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高中数学人教A版（2019）必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式 本章复习与测试

2023-2024学年高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 课后习题 （打包3份）（含解析）

文档属性

名称 2023-2024学年高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 课后习题 （打包3份）（含解析）
格式 zip
文件大小 147.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版（2019）
科目 数学
更新时间 2023-12-29 09:07:21

文档简介

第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
A级 必备知识基础练
1.(2022广东中山高一期末)已知0A.MB.M>N
C.M=N
D.M与N的大小关系不确定
2.(2021北京顺义高一期末)已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(　　)
A. B.a2>b2
C.b-a>0 D.|b|a<|a|b
3.设实数a=,b=-1,c=,则 (　　)
A.b>a>c B.c>b>a
C.a>b>c D.c>a>b
4.(多选题)下列四个条件中,能推出成立的有(　　)
A.a<0C.b<05.(2021河北唐山高二期中)已知x>0,y>0,M=,N=,则M和N大小关系为(　　)
A.M>N B.MC.M=N D.以上都有可能
6.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在0~1间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　)
A.“屏占比”不变
B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大
D.变化不确定
7.若bc-ad≥0,bd>0,求证:.
B级 关键能力提升练
8.(多选题)(2022福建四校联盟高一期末)已知a,b,c为非零实数,且a-b≥0,则下列结论正确的有(　　)
A.a+c≥b+c B.-a≤-b
C.a2≥b2 D.
9.(多选题)若正实数x,y满足x>y,则有下列结论,其中正确的有(　　)
A.xyy2
C.(m>0) D.
10.(多选题)(2021湖南长沙一中高三月考)设x,y为实数,满足1≤x≤4,0A.1C.011.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这个直角三角形面积的最大值等于　　　　　.
12.能说明“若a>b,则”为假命题的一组a,b的值依次为　　　　　(写出一组,答案合理即可).
13.已知0(1)a2+b2与b的大小;
(2)2ab与的大小.
C级 学科素养创新练
14.设a≥b≥c,且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,则的取值范围为　.
15.(2021北京石景山高一期末)对于四个正数x,y,z,w,如果xw(1)对于2,3,7,11,试求(2,7)的“下位序对”;
(2)设a,b,c,d均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序对”,试判断之间的大小关系.
2.1　等式性质与不等式性质
1.B　M-N=xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1).∵0∴M-N>0,即M>N.故选B.
2.A　由实数a,b在数轴上对应的点可知b因此,故A正确;
由b由b由b故选A.
3.A　-1=,∵+1<,
∴,即b>a>c.
4.ABD　由00,不等式b0,ab>0,∴>0,∴>0,∴,∴B正确;又正数大于负数,A正确;∵b<00>,∴C错误.
5.A　∵M-N=>0,∴M>N.故选A.
6.C　设升级前“屏占比”为,升级后“屏占比”为(a>b>0,m>0),因为>0,所以该手机“屏占比”和升级前比变大.
7.证明因为bc-ad≥0,所以ad≤bc.因为bd>0,所以,所以+1≤+1,所以.
8.AB　因为a-b≥0,则a≥b,根据不等式性质可知A,B正确;因为a,b符号不确定,所以C,D选项无法确定,故不正确.故选AB.
9.BCD　A中,由于x,y为正实数,且x>y,两边乘y得xy>y2,故A选项错误;
B中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x2>y2,故B选项正确;
C中,由于x,y为正实数,且x>y,所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)D中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得0<,故D选项正确.
10.BD　∵1≤x≤4,0∵1≤x≤4,-2≤-y<0,∴-1≤x-y<4,B错误;
∵1≤x≤4,0∵1≤x≤4,0<,∴,D错误.故选BD.
11.　设直角三角形的斜边长为c,直角边长分别为a,b,由题意知c=5,则a2+b2=25,则三角形的面积S=ab,∵25=a2+b2≥2ab,∴ab≤,则三角形的面积S=ab≤,即这个直角三角形面积的最大值等于.
12.1,-1(答案不唯一)　易知当a>0>b时,“若a>b,则”为假命题,不妨取a=1,b=-1.
13.解(1)因为0所以0则a2+b2-b=a2+b(b-1)=a2-ab=a(a-b)<0,
所以a2+b2(2)因为2ab-=2a(1-a)-=-2a2+2a-=-2a2-a+=-2<0,所以2ab<.
14.-2≤≤-　∵1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,∴a+b+c=0,得b=-a-c.
∵a≥b≥c,∴a≥b,a≥c,∴3a≥a+b+c=0,∴a≥0.
由题意知,a≠0.
∵b=-a-c,则a≥-a-c≥c,
即
则不等式等价为即-2≤≤-.综上,的取值范围为-2≤≤-.
15.解(1)∵3×7<11×2,
∴(2,7)的“下位序对”是(3,11).
(2)∵(a,b)是(c,d)的“下位序对”,∴ad∵a,b,c,d均为正数,
∴>0,即>0,2.2　基本不等式
A级 必备知识基础练
1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.4
2.已知0A. B. C. D.
3.(多选题)若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.0< B.<2
C.≥1 D.
4.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释,这个说法正确的是 (　　)
A.如果a>b>0,那么a>b
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立
D.对任意正实数a和b,有a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立
5.(多选题)设x>0,y>0,xy=x+y+a,其中a为参数.下列选项正确的是(　　)
A.当a=0时,x+y的最大值为4
B.当a=0时,x+y的最小值为4
C.当a=3时,xy的最小值为9
D.当a=3时,xy的最大值为3
6.已知t>0,则的最小值为　　　　.
7.已知正实数x,y满足x+2y=4,则xy的最大值为　　　　　,的最大值为　　　　　.
8.设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,求实数k的最小值.
9.已知a,b,c为正数,求证:≥3.
10.已知a>0,b>0,求证:≥a+b.
B级 关键能力提升练
11.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是(　　)
A. x∈R,且x≠0,x+≥2
B. x∈R,使得x2+1≤2x
C.若x>0,y>0,则
D.若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为9
12.(2022安徽宣城高一期末)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则实数m的最大值为(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
13.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是(　　)
A. B.ab≤
C.ab≤ D.
14.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=(　　)
A.-3 B.2 C.3 D.8
15.(多选题)已知a,b均为正实数,则下列不等式不一定成立的是(　　)
A.a+b+≥3
B.(a+b)≥4
C.≥a+b
D.
16.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　.
17.直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为　　　　.
18.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.
C级 学科素养创新练
19.若a>0,b>0,且(a+b)=1.
(1)求ab的最大值;
(2)是否存在a,b,使得的值为 并说明理由.
2.2　基本不等式
1.D　∵ab=a+b≥2,()2≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4.
2.B　∵00.
∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.
3.CD　A项:=2,∴ab≤4.
∵ab>0,∴,A错误;
B项:=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,
故B项错误;
C项:≥2≥2×=1,当且仅当a=b=2时,等号成立,故C项正确;
D项:a2+b2≥=8,∴,当且仅当 a=b=2时,等号成立,∴D项正确.故选CD.
4.C　依题意,图中的四个直角三角形是全等的直角三角形,设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则大正方形的边长为,如题图,整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和,即a2+b2≥4×ab=2ab,当a=b时,中间空白的正方形消失,即整个正方形与四个直角三角形重合.故选C.
5.BC　当a=0时,x>0,y>0,xy=x+y,
∴=1.
x+y=(x+y)=2+≥2+2=4,当且仅当,且=1,即x=y=时,等号成立,x+y取得最小值4,A错误,B正确;
当a=3时,xy=x+y+3≥2+3,当且仅当x=y时,等号成立,解得≥3,即xy≥9,故xy的最小值为9,C正确,D错误.故选BC.
6.-1　=t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.
7.2　3　正实数x,y满足x+2y=4,则xy=x·2y≤=2,当且仅当x=2y即x=2,y=1时,等号成立,故xy的最大值为2.
∵≤2×=3,当且仅当x=y+1,且x+2y=4,即x=3,y=时,等号成立.
8.解因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k≥-(a+b),所以k≥--2.因为≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.所以--2的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4.
9.证明左边=-1+-1+-1=-3.∵a,b,c为正数,
∴≥2(当且仅当a=b时,等号成立);
≥2(当且仅当a=c时,等号成立);≥2(当且仅当b=c时,等号成立).
从而≥6(当且仅当a=b=c时,等号成立).
∴-3≥3,即≥3.
10.证明∵a>0,b>0,∴+b≥2=2a,+a≥2=2b,∴+b++a≥2a+2b,∴≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立.
11.BCD　对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B正确;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为,当且仅当x=y>0时,等号成立,C正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2,∴≤9,D正确.故选BCD.
12.C　因为a>0,b>0,则m≤(2a+b),
所以(2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当,即b=2a时,等号成立,要使不等式恒成立,所以m≤8.即实数m的最大值为8.故选C.
13.BCD　当a>0,b>0时,因为,所以,当且仅当a=b时,等号成立,故A不正确;显然B,C,D均正确.
14.C　y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即 x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.
15.AD　对于A项,a+b+≥2≥2<3,当且仅当a=b=时,等号同时成立;对于B项,(a+b)·=2+≥4,当且仅当a=b时,等号成立;对于C项,=a+b,当且仅当a=b时,等号成立;当a=,b=时,,即,当a=b=1时,=1,即,所以D项满足题意.故选AD.
16.　∵a>b>c,
∴a-b>0,b-c>0,
∴.
当且仅当b=时,等号成立.
17.3-2　设直角三角形的两直角边长为a,b,则斜边长为,面积为S,周长L=2,由于a+b+=L≥2,当且仅当a=b时,等号成立,
∴.
∴S=ab≤2=·2=L2=3-2.
18.解∵(x+y)=1+a+,
又x>0,y>0,a>0,∴≥2=2,
∴1+a+≥1+a+2,
当且仅当y=x时,等号成立.∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.
∴(+1)2≥9,即+1≥3,
∴a≥4,故a的最小值为4,此时y=2x=2.
19.解(1)∵(a+b)=1,∴a+b= .
∵a>0,b>0,∴a+b≥2,当且仅当a=b=时,等号成立,∴≥2,∴ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立,∴ab的最大值为.
(2)不存在.理由如下,2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
A级 必备知识基础练
1.不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1}
B.{x|x≥1,或x≤-6}
C.{x|-6≤x<1}
D.{x|x>1,或x≤-6}
2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a≤-4,或a≥4}
B.{a|-4≤a≤4}
C.{a|a<-4,或a>4}
D.{a|-43.若不等式ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|-4B.{a|a<-4,或a>0}
C.{a|a≥0}
D.{a|-44.若m,n∈R,且m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集为(　　)
A.{x|x<-n,或x>m}
B.{x|-nC.{x|-mD.{x|x<-m,或x>n}
5.(多选题)(2022山东聊城高一期末)不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2},对于系数a,b,c,下列结论正确的是(　　)
A.a+b=0 B.a+b+c>0
C.c>0 D.b<0
6.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　.
7.若关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R)的解集为,则a的取值范围为　　　　　.
8.已知关于x的不等式x2-2x+a<0的解集为{x|-1(1)求实数a,t的值;
(2)实数c为何值时,关于x的不等式(c+a)x2+2(c+a)x-1<0的解集为R.
B级 关键能力提升练
9.(2022江苏淮安高二期末)不等式A.{x|02}
C.{x|20,或x<4}
10.若关于x的不等式x2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m的取值范围为(　　)
A.{m|6C.{m|6≤m<7} D.{m|m>6}
11.(多选题)(2022湖南郴州高一期末)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2A.a>0
B.不等式ax+c>0的解集为{x|x<6}
C.a+b+c>0
D.不等式cx2-bx+a<0的解集为x-12.(多选题)(2021浙江名校联合体高一期末)若不等式ax2+x-(a+1)≥0的解集是{x|-2≤x≤1}的子集,则实数a的取值可以是 (　　)
A.-1 B.0 C.- D.-
13.若1≤x≤2时,不等式x2+mx+m≥0恒成立,则实数m的最小值为　　　　　.
14.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
15.某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上一年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内
16.(2022江苏南京高二期末)已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B=　　　　　.若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,给出如下三个条件:①{x|a-1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|≤x≤+3}.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a存在,求出a的取值范围.
C级 学科素养创新练
17.(多选题)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1A.x1+x2=2 B.x1x2<-3
C.x2-x1>4 D.-118.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R.
(1)若5∈A,求实数k的取值范围;
(2)求不等式的解集A;
(3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数 若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由.
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
1.C　不等式≥0等价于解得-6≤x<1.故解集为{x|-6≤x<1}.
2.B　因为不等式x2+ax+4<0的解集为空集,所以方程x2+ax+4=0的根的判别式Δ≤0,因此a2-16≤0,解得-4≤a≤4.
3.C　当a=0时,不等式为3>0,满足题意;
当a≠0,需满足
解得a>0.
综上可得,a的取值范围为{a|a≥0}.
4.B　(m-x)(n+x)>0,则(x-m)(n+x)<0,因为m+n>0,所以m>-n,(x-m)(n+x)<0的解集为{x|-n5.ABC　由不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2}可得a<0,且ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,由一元二次方程根与系数的关系可知-=-1+2=1>0,所以b=-a,b>0,故A正确,D错误;由=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因此当x=1时,f(1)=a+b+c>0,故B正确.故选ABC.
6.
{x|x<-2,或x>3}　根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.
7.{a|a>1}　不等式ax2-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0,由不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集为,得a>0,则方程(ax-1)(x-1)=0的两根为x1=1,x2=,且<1,所以a的取值范围为a>1.
8.解(1)∵x2-2x+a<0的解集为{x|-1∴-1+t=2,-1×t=a,解得t=3,a=-3.
(2)由(1)可知a=-3,则有(c-3)x2+2(c-3)x-1<0.当c=3时,有-1<0,符合题意.
当c≠3时,∵其解集为R,
∴解得29.C　由题意得解得210.A　原不等式可化为(x-2)(x-m)<0,若m<2,则解得m若m>2,则解得211.BCD　因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2由题得,-2+3=-,-2×3=,
所以b=-a,c=-6a,
则不等式ax+c>0可化为ax-6a>0,
因为a<0,所以x<6,故B正确;
因为a+b+c=a-a-6a=-6a,
又a<0,所以a+b+c>0,故C正确;
不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,
又a<0,所以-6x2+x+1>0,即6x2-x-1<0,即(3x+1)(2x-1)<0,解得-12.AD　当a=0时,不等式ax2+x-(a+1)=x-1≥0,解得x≥1,不满足题意;
当a≠0时,由于不等式ax2+x-(a+1)≥0的解集是{x|-2≤x≤1}的子集,
则a<0,解方程ax2+x-(a+1)=0,
即(ax+a+1)(x-1)=0,解得x1=-,x2=1.
由题意可得-2≤-≤1,解得a≤-.故AD选项满足题意,BC选项不满足题意.故选AD.
13.-　令y=x2+mx+m,若1≤x≤2时,不等式x2+mx+m≥0恒成立,
则有Δ=m2-4m≤0,或
解得m≥-,实数m的最小值为-.
14.解(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.
由根与系数的关系,得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为 .
15.解(1)依题意,得y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1 000×(1+0.6x)=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2).
则所求关系式为y=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)(0(2)依题意,得1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)×1 000.化简,得3x2-x<0,解得016.解A={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},
若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,
若选①,B={x|a-1≤x≤a},则解得2≤a≤3,
即a的取值范围为{a|2≤a≤3}.
若选②,B={x|a≤x≤a+2},则解得a=1,
此时A=B,故“x∈A”是“x∈B”的充要条件,不满足题意,故无解.
若选③,B={x|≤x≤+3},则方程组无解.
即不存在a满足“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
17.ABC　∵关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1∴a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的根.∴x1+x2=2,x1x2=-3<-3.
∴x2-x1==2>4.由x2-x1>4及x1+x2=2,可得x2>3.故D错误,ABC正确.
18.解(1)由题意(5k-k2-4)(5-4)>0,解得1(2)当k=0时,不等式化为x-4<0,A={x|x<4};
当k>0时,不等式化为x-k-(x-4)>0.
当k>0且k≠2时,因为k+>4,
所以A=xx<4,或x>k+;
当k=2时,A={x|x≠4};
当k<0时,不等式化为x-k-(x-4)<0,A=xk+(3)存在k=-2满足题意.
由(1)知,当k≥0时,A中整数的个数为无限个;
当k<0时,A中整数的个数为有限个.
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