3.1.1 函数的概念
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=的定义域是( )
A.[-1,1) B.[-1,1)∪(1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(1,+∞)
2.(多选题)下列四种说法中,正确的是( )
A.函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素
3.下列四个函数:①y=x+1;②y=x-1;③y=x2-1;④y=,其中定义域与值域相同的是 ( )
A.①②③ B.①②④
C.②③ D.②③④
4.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是( )
A.[0,1)∪(1,2] B.[0,1)∪(1,4]
C.[0,1) D.(1,4]
5.下列关于x,y的关系式中,y可以表示为x的函数关系式的是( )
A.x2+y2=1 B.|x|+|y|=1
C.x3+y2=1 D.x2+y3=1
6.(2021广州广雅中学高一期末)下列四组函数中,表示同一个函数的一组是( )
A.y=|x|,u=
B.y=,s=()2
C.y=,m=n+1
D.y=,y=
7.函数y=的值域为 .
8.若函数f(x)=ax2-1,a为正常数,且f(f(-1))=-1,则a的值是 .
9.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(a)=2,求a的值;
(3)求证:f=-f(x).
B级 关键能力提升练
10.设f(x)=1+,x≠±1,则f(-x)等于 ( )
A.f(x) B.-f(x)
C.- D.
11.(2022黑龙江绥化高一期末)函数y=的值域是( )
A.- B.0,
C.[0,1] D.[0,+∞)
12.(多选题)(2021浙江东阳高一期中)下列函数中,值域为[0,4]的是( )
A.f(x)=x-1,x∈[1,5]
B.f(x)=-x2+4
C.f(x)=
D.f(x)=x+-2(x>0)
13.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:
①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}.
那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
14.已知函数f(x)=4-2x的值域为[-2,10],则函数的定义域为 .
15.已知函数f(x)=x2-2x,x∈[0,b],且该函数的值域为[-1,3],则b的值为 .
16.已知函数f(x)=.
(1)求f(1),f(2)+f的值;
(2)证明:f(x)+f等于定值.
17.(2021湖南长沙一中高一月考)函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域为R,求k的取值范围;
(2)当k=-1时,求f(x)的值域.
C级 学科素养创新练
18.已知函数f(x)的定义域为[0,+∞),且函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),若f(16)=1,则f()的值是( )
A.- B. C. D.
19.已知函数f(x)=x2+2ax+3a+2.
(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞),求a的值;
(2)若函数f(x)的函数值均为非负实数,求g(a)=2-a|a+3|的值域.
3.1.1 函数的概念
1.B 由解得x≥-1,且x≠1.
2.ACD
3.B ①y=x+1,定义域为R,值域为R,②y=x-1,定义域为R,值域为R,③y=x2-1,定义域为R,值域为[-1,+∞),④y=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故①②④的定义域与值域相同.
4.C 由题意,得即0≤x<1.
5.D 根据函数的定义,函数关系中任意一个x都有唯一的y对应,
选项A,B,C的关于x,y的关系式中,一个x都有两个y与之对应,不能构成函数关系,选项D中的任意一个x都有唯一的y对应,能构成函数关系.故选D.
6.A 对于A,y=|x|和u==|v|的定义域都是R,对应关系也相同,因此是同一个函数;
对于B,y=的定义域为R,s=()2的定义域为{t|t≥0},两函数定义域不同,因此不是同一个函数;
对于C,y=的定义域为{x|x≠1},m=n+1的定义域为R,两函数定义域不同,因此不是同一个函数;
对于D,y=的定义域为{x|x≥1},y=的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},定义域不同,不是同一个函数.故选A.
7. ∵x2+x+1=,
∴0<.∴值域为.
8.1 ∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.∴a3-2a2+a=0,
∴a=1或a=0(舍去).故a=1.
9.(1)解要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.
(2)解因为f(x)=,且f(a)=2,
所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.
(3)证明由已知得f,
-f(x)=-,所以f=-f(x).
10.D f(x)=1+,则f(-x)=,故选D.
11.B 由题得,y=.∵0≤-2+,
∴0≤y≤,即原函数的值域为0,.故选B.
12.AC x∈[1,5]时,x-1∈[0,4],所以函数f(x)=x-1,x∈[1,5]的值域是[0,4],故A正确;因为-x2≤0,所以-x2+4≤4,所以函数值域是(-∞,4],故B错误;因为-x2≤0,所以16-x2≤16,又16-x2≥0,所以0≤≤4,即函数值域为[0,4],故C正确;因为x>0,所以x+≥2,所以x+-2≥0,故函数值域为[0,+∞),故D错误.故选AC.
13.C 函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的孪生函数,分别为①y=2x2+1,x∈{0,};②y=2x2+1,x∈{0,-};③y=2x2+1,x∈{0,,-},共3个,故选C.
14.[-3,3] 由函数的值域为[-2,10]可知,-2≤4-2x≤10,解得-3≤x≤3,因此函数的定义域为[-3,3].
15.
3 作出函数f(x)=x2-2x(x≥0)的图象如图所示.
由图象结合值域[-1,3]可知,区间右端点b必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以f(b)=3,即b2-2b=3,解得b=-1或b=3.又-1 [0,b],所以b=3.
16.(1)解f(1)=;f(2)=,f,所以f(2)+f=1.
(2)证明f,
所以f(x)+f=1,为定值.
17.解(1)由题意得,2kx2+kx+>0对x∈R恒成立,当k=0时,满足题意;
当k≠0时,则解得0
综上可知,k的取值范围为[0,3).
(2)k=-1时,令y=-2x2-x+=-2x+2+.故0<,则f(x)的值域为[,+∞).
18.C ∵函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(16)=1,∴f(16)=f(4)+f(4)=2f(2)+2f(2)=4f(2)=4[f()+f()]=8f()=1,∴f()=.
19.解(1)∵函数值域为[0,+∞),∴Δ=(2a)2-4(3a+2)=0,解得a=-或a=2.
(2)∵对一切实数x,f(x)的函数值均为非负实数,
∴Δ=(2a)2-4(3a+2)≤0,解得-≤a≤2,
∴a+3>0,∴g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-a+2+-≤a≤2.
∵抛物线g(a)开口向下,对称轴为a=-,3.1.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
A级 必备知识基础练
1.(2022四川眉山高一期末)下列图象中,表示函数关系y=f(x)的是( )
2.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:
x 1 2 3
f(x) 2 1 3
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则方程g[f(x)]=x+1的解集为( )
A.{1} B.{2}
C.{1,2} D.{1,2,3}
3.已知f=x,则f(x)=( )
A. B. C. D.
4.已知f(x)是一次函数,且2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则( )
A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2
C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x-3
5.(2021广州南沙高一月考)下列函数中,对任意x,不满足2f(x)=f(2x)的是( )
A.f(x)=|x| B.f(x)=-2x
C.f(x)=x-|x| D.f(x)=x-1
6.已知函数f(x)的图象是如图所示的曲线段OAB,其中O(0,0),A(1,2),B(3,1),则f= ,函数g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为 .
7.作出下列函数的图象,并指出其值域:
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).
8.已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f(x)的解析式.
B级 关键能力提升练
9.若f(1-2x)=(x≠0),那么f= ( )
A.1 B.3
C.15 D.30
10.若函数y=f(x)对任意x∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),则下列函数中可以为y=f(x)解析式的是( )
A.f(x)=x+1 B.f(x)=2x-1
C.f(x)=2x D.f(x)=x2+x
11.(多选题)已知f(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是( )
A.f(3)=9 B.f(-3)=4
C.f(x)=x2 D.f(x)=(x+1)2
12.(2022安徽合肥蜀山高一期末)已知f(+1)=,则f(x)= ,其定义域为 .
13.(2021江西南康中学高一月考)已知函数f(x)满足f=x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数y=f-的值域.
14.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值.
C级 学科素养创新练
15.(1)已知f(1+2x)=,求f(x)的解析式.
(2)已知g(x)-3g=x+2,求g(x)的解析式.
第1课时 函数的表示法
1.D 根据函数的定义知,一个x有唯一的y对应,由图象可看出,只有选项D的图象满足.故选D.
2.C ∵当x=1时,g[f(1)]=g(2)=2=1+1,∴x=1是方程的解.
∵当x=2时,g[f(2)]=g(1)=3=2+1,∴x=2是方程的解.∵当x=3时,g[f(3)]=g(3)=1≠3+1,∴x=3不是方程的解.故选C.
3.B 令=t,则x=,故f(t)=,即f(x)=.
4.B 设f(x)=kx+b(k≠0),
∴
∴f(x)=3x-2.故选B.
5.D 选项D中,2f(x)=2x-2≠f(2x)=2x-1,选项A,B,C中函数均满足2f(x)=f(2x).故选D.
6.2 2 由题得f(3)=1,∴f=f(1)=2.
令g(x)=f(x)-=0,所以f(x)=,观察函数f(x)的图象可以得到f(x)=有两个解,所以g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为2.
7.解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图所示.
由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图所示.
由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).
8.解(方法1)由于函数图象的顶点坐标为(1,3),
则设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0).
∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0,∴a=-3.
故f(x)=-3(x-1)2+3.
(方法2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意得解得
∴f(x)=-3x2+6x.
9.C 令1-2x=,则x=.∵f(1-2x)=(x≠0),∴f==15.故选C.
10.C 若f(x)=2x,则f(x+y)=2(x+y),f(x)+f(y)=2x+2y=2(x+y),其他选项都不符合,故选C.
11.BD 令t=2x-1,则x=,
∴f(t)=4=(t+1)2.
∴f(3)=16,f(-3)=4,f(x)=(x+1)2.
12.(x>1) (1,+∞) 令+1=t,则t≥1,x=(t-1)2,故f(t)=(t≥1).∵t-1≠0,解得t≠1,故t>1,故f(x)=(x>1).
因此函数f(x)的定义域是(1,+∞).
13.解(1)令=t,则x=-2t+1,
则f(t)=-2t+1,即f(x)=-2x+1.
(2)y=f-=x-,
设t=,则t≥0,且x=-t2+,得y=-t2-t+=-(t+1)2+1,
∵t≥0,∴y≤.∴该函数的值域为-∞,.
14.解由f(x)=x,得=x,即ax2+(b-1)x=0.
∵方程f(x)=x有唯一解,∴Δ=(b-1)2=0,即b=1.
∵f(2)=1,∴=1.∴a=.∴f(x)=.∴f(f(-3))=f(6)=.
15.解(1)由题意得,f(1+2x)的定义域为{x|x≠0}.
设t=1+2x(t≠1),则x=,∴f(t)=(t≠1),∴f(x)=(x≠1).
(2)由g(x)-3g=x+2, ①第2课时 分段函数
A级 必备知识基础练
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域是( )
A.R
B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.(-1,0)
2.若f(x)=则f(5)的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
3.已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为( )
A.[-1,1] B.[-1,2]
C.(-∞,1] D.[-1,+∞)
4.函数f(x)=的值域是( )
A.R B.[0,2]∪{3}
C.[0,+∞) D.[0,3]
5.(2022江西名校联盟高一期末)已知函数y=若f(a)=10,则a的值是( )
A.3或-3 B.-3或5
C.-3 D.3或-3或5
6.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .
7.(2021浙江浙东北名校高一期末联考)设函数f(x)=则f(f(8))= ,使得f(a)≥4a的实数a的取值范围是 .
8.
如图所示,在边长为4的正方形ABCD边上有一点P,由点B(起点)沿着边BC,CD,DA向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x,△APB的面积为y,求:
(1)y与x之间的函数关系式;
(2)画出y=f(x)的图象.
B级 关键能力提升练
9.设函数f(x)=若f(a)=a,则实数a的值为( )
A.±1 B.-1
C.-2或-1 D.±1或-2
10.已知函数f(x)=则f(x)的值域是( )
A.[1,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞)
11.(多选题)已知f(x)=x,g(x)=x2-2x,且F(x)=则F(x)的最值情况是( )
A.有最大值3 B.有最小值-1
C.无最小值 D.无最大值
12.(2022福建厦门高一期末)“高斯函数”为y=[x],其中[x]表示不超过x的最大整数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=|x-1|(3-[x]),x∈[0,2),若f(x)=,则x= ;不等式f(x)≤x的解集为 .
13.设集合A=0,,B=,函数f(x)=已知m∈A,且f(f(m))∈A,则实数m的取值范围是 .
14.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(f(4))的值及f(x)的解析式;
(2)若f(x)=,求实数x的值.
C级 学科素养创新练
15.某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:当公司参加培训的员工人数不超过30时,每人的培训费用为850元;当公司参加培训的员工人数多于30时,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元.
(1)写出y与x(x>0,x∈N*)之间的函数关系式;
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润 并求出最大利润.
第2课时 分段函数
1.C 由题图知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
2.A 由题意知,f(5)=f(f(11))=f(8)=f(f(14))=f(11)=8.故选A.
3.A 原不等式等价于解得-1≤x≤1.
4.B 当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;当15.B 若a≤0,则f(a)=a2+1=10,∴a=-3(a=3舍去);若a>0,则f(a)=2a=10,∴a=5.综上可得,a=5或a=-3,故选B.
6.f(x)= 当0≤x<1时,f(x)=-1;
当1≤x≤2时,设f(x)=kx+b(k≠0),
则解得此时f(x)=x-2.
综上,f(x)=
7. (-∞,1] 因为f(x)=所以f(8)=,因此f(f(8))=f=+12=.
当a<1时,f(a)≥4a可化为(a+1)2≥4a,即(a-1)2≥0显然恒成立,所以a<1;当a≥1时,f(a)=≥4a,解得a=1.综上a的取值范围为(-∞,1].
8.解(1)当点P在BC边上,即0≤x≤4时,S△APB=×4x=2x;当点P在CD边上,即4(2)画出y=f(x)的图象,如图所示.
9.B 当a≥0时,有a-1=a,解得a=-2(不满足条件,舍去);当a<0时,有=a,解得a=1(不满足条件,舍去)或a=-1.所以实数a的值是-1.故选B.
10.B 由f(x)=知当x≤1时,x2≥0;
当x>1时,x+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当x=,即x=2时等号成立.
综上,f(x)的值域是[0,+∞).故选B.
11.CD 由f(x)≥g(x)得0≤x≤3;由f(x)3,所以F(x)=作出函数F(x)的图象如图,
可得F(x)无最大值,无最小值.
12. ,2 由题意,得f(x)=
当0≤x<1时,3-3x=,即x=;
当1≤x<2时,2x-2=,即x=(舍),综上x=.
当0≤x<1时,3-3x≤x,即≤x<1,当1≤x<2时,2x-2≤x,即1≤x<2,综上≤x<2.
13. ∵m∈A,∴0≤m<,f(m)=m+∈,1.∴f(f(m))=2-2m+=1-2m.
∵f(f(m))∈A,∴0≤1-2m<,则∵0≤m<,∴∴m的取值范围是.
14.解(1)根据图象可知f(4)=0,则f(f(4))=f(0)=1,
设直线段对应的方程为y=kx+d(-1≤x≤0).
将点(0,1)和点(-1,0)代入可得d=1,k=1,即y=x+1,
当x>0时,设y=a(x-2)2-1(a>0).
又图象经过(4,0),∴4a-1=0,a=,
∴y=(x-2)2-1,即y=x2-x.
∴f(x)=
(2)当x+1=时,x=-,符合题意;
当x2-x=时,解得x=2+或x=2-(舍去).
故x的值为-或2+.
15.解(1)参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元,
当1≤x≤30且x∈N时,y=850;
当30所以y=3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
A级 必备知识基础练
1.(多选题)(2021山东潍坊高一调研)下列四个函数中单调递减的是( )
A.f(x)=-2x+1 B.f(x)=
C.f(x)=x+1 D.f(x)=2x2(x<0)
2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
3.(2021吉林实验中学高一期中)定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则( )
A.f(3)B.f(1)C.f(2)D.f(3)4.(2021四川泸州泸县二中高一月考)已知定义在[0,+∞)上的减函数f(x),若f(2a-1)>f,则a的取值范围是( )
A.-∞, B.
C.,+∞ D.
5.下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0”的是 (填序号).
①f(x)=-;②f(x)=-3x+1;
③f(x)=x2+4x+3;④f(x)=x-.
6.已知函数f(x)的图象如图所示,根据图象有下列三个命题:
①函数f(x)在定义域上是增函数;②函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间;③函数f(x)的单调递增区间是(a,b)∪(b,c).
其中所有正确的命题的序号有 .
7.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2)时,f(x)单调递减,则m= ,f(1)= .
8.证明函数f(x)=-在定义域上为减函数.
B级 关键能力提升练
9.(2022陕西榆林高二期末)已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x10,则实数a的取值范围是( )
A.,+∞ B.,+∞
C.,+∞ D.,+∞
10.(多选题)(2021湖北荆州沙市中学高一期中)下列函数中,满足“ x1,x2∈(0,+∞),都有<0”的有( )
A.f(x)=|x-1| B.f(x)=-3x+1
C.f(x)=x2+4x+3 D.f(x)=
11.(多选题)下列函数中,在R上是增函数的是 ( )
A.y=|x| B.y=x
C.y=x2 D.y=
12.(2021山东滕州第一中学高一月考)函数f(x)=|x+2|+1的单调递减区间为 ;函数g(x)=若g(x)是定义在R上的减函数,则实数k的值为 .
13.(2022上海杨浦中学高一期末)已知函数f(x)=x2--3(x>0).
(1)判断函数的单调性,并证明;
(2)用函数观点解不等式:f(x)>0.
14.讨论函数f(x)=在区间(-2,+∞)上的单调性.
C级 学科素养创新练
15.(多选题)(2021重庆南开中学高一期中)下列命题正确的是( )
A.若对于 x1,x2∈R,x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则函数y=f(x)在R上是增函数
B.若对于 x1,x2∈R,x1≠x2,都有>-1,则函数y=f(x)+x在R上是增函数
C.若对于 x∈R,都有f(x+1)>f(x)成立,则函数y=f(x)在R上是增函数
D.函数y=f(x),y=g(x)在R上都是增函数,则函数y=f(x)·g(x)在R上也是增函数
第1课时 函数的单调性
1.AD 根据一次函数的性质,可得函数f(x)=-2x+1为减函数,故A符合题意;函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)不是单调函数,不符合题意;
根据一次函数的性质,可得函数f(x)=x+1为增函数,不符合题意;
根据二次函数的性质,可得函数f(x)=2x2在区间(-∞,0)上单调递减,符合题意.
故选AD.
2.B 易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).
3.A 定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则函数f(x)在R上单调递减.
∵1<2<3,∴f(3)4.D 根据题意,f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,若f(2a-1)>f,则有0≤2a-1<,解得≤a<,即a的取值范围为,故选D.
5.①③④ 由题意知f(x)在(0,+∞)上单调递增,①③④在(0,+∞)上都单调递增.
6.② 由题意以及函数的图象可知,函数f(x)在定义域上不是增函数,所以①不正确;函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间,所以②正确;
函数f(x)的单调递增区间是(a,b),(b,c),不能写成(a,b)∪(b,c),所以③不正确.
7.-8 13 ∵函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴x==-2,
∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.
8.证明函数f(x)=-的定义域为[0,+∞).
x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=.
∵x1-x2<0,>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)∴函数f(x)=-在定义域[0,+∞)上为减函数.
9.C 由任意x1,x2∈[2,+∞),且x10,
得函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,又函数f(x)为二次函数,故其开口向上,且对称轴在区间[2,+∞)的左侧,即解得a≥.故选C.
10.BD 因为 x1,x2∈(0,+∞),都有<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)=|x-1|在(1,+∞)上单调递增,故A错误;
f(x)=-3x+1在(0,+∞)上单调递减,故B正确;函数f(x)=x2+4x+3的对称轴x=-2<0,故f(x)=x2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,故C错误;函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故D正确.
11.BD 选项A,y=|x|,当x<0时单调递减,不符合题意;
选项B,显然在R上是增函数,符合题意;
选项C,y=x2,当x<0时单调递减,不符合题意;
选项D,作出草图如下,实线部分,观察图象可得函数在R上为增函数,符合题意.
12.(-∞,-2) -2 由f(x)=|x+2|+1,得f(x)=所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-2).
因为g(x)=在R上为减函数,
所以y=|x+2|+1在(-∞,k)上单调递减,y=kx-3在[k,+∞)上单调递减,
所以即k=-2.
13.解(1)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,
即x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=-3--3=()+=(x1-x2)(x1+x2)+=(x1-x2)x1+x2+,
因为x1>x2>0,则x1-x2>0,x1+x2+>0,
则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=x2--3在区间(0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)可知函数f(x)=x2--3在区间(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,因此由f(x)>0=f(2)可得x>2.
因此不等式f(x)>0的解集为(2,+∞).
14.解f(x)==a+,
x1,x2∈(-2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)==(1-2a).
∵-20,(x2+2)(x1+2)>0.
当a<时,1-2a>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在区间(-2,+∞)上单调递减.
当a>时,1-2a<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)故f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.
综上,当a<时,f(x)在区间(-2,+∞)上单调递减;当a>时,f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.
15.AB x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)化简为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,
故函数f(x)在R上是增函数,故A正确;
>-1 >0,即x1A级 必备知识基础练
1.函数y=-|x|在R上( )
A.有最大值0,无最小值
B.无最大值,有最小值0
C.既无最大值,又无最小值
D.以上都不对
2.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
3.已知函数y=(k≠0),在[3,8]上的最大值为1,则k的值为( )
A.1
B.-6
C.1或-6
D.6
4.(多选题)(2021江苏泰兴高一期中)已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是( )
A.[-1,2]
B.[-3,2]
C.[-1,1]
D.[-2,1]
5.函数y=x+的值域是( )
A.[0,+∞)
B.[2,+∞)
C.[4,+∞)
D.[,+∞)
6.已知函数f(x)=(x>0),则函数f(x)在(0,+∞)上 (填“单调递增”或“单调递减”).若f(x)在上的值域是,则a的值是 .
7.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是 .
8.(2021山东烟台高一期中)已知函数f(x)=x+.
(1)根据定义证明f(x)在[1,+∞)上单调递增;
(2)若对 x∈[2,4],恒有f(x)≤2m-1,求实数m的取值范围.
B级 关键能力提升练
9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.120万元
C.120.25万元 D.60万元
10.已知函数y=x2-4x+3在区间[a,b]上的值域为[-1,3],则b-a的取值范围是( )
A.[0,2] B.[0,4]
C.(-∞,4] D.[2,4]
11.(多选题)(2021江苏徐州高一期中)已知函数y=-x(x>1),则该函数的( )
A.最大值为-3 B.最小值为1
C.没有最小值 D.最小值为-3
12.(多选题)已知函数f(x)=-2x+1,x∈[-2,2],g(x)=x2-2x,x∈[0,3],则下列结论正确的是( )
A. x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-3)
B. x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)
C. x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]
D. x∈[-2,2], t∈[0,3],f(x)=g(t)
13.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .
14.(2021天津静海一中高一期末)设函数f(x)=当a=1时,f(x)的最小值是 ;若f(x)≥a2恒成立,则a的取值范围是 .
15.(2021河南新乡高一期中)某商场就一新款儿童玩具进行促销活动,活动时长是30天,这30天内第x(1≤x≤30,x∈N*)天的销售单价(单位:元/件)为p(x)=
销售量(单位:件)为q(x)=n-x,1≤x≤30,x∈N*,且第20天的销售额为1 800元(销售额=销售单价×销售量).
(1)求n的值,并求出第5天的销售额;
(2)求这30天内单日销售额的最大值.
C级 学科素养创新练
16.(2022安徽蚌埠高一期末)在① x∈[-2,2],② x∈[1,3]这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该问题.
已知函数f(x)=x2+ax+4.
(1)当a=-2时,求f(x)在[-2,2]上的值域;
(2)若 ,f(x)≥0,求实数a的取值范围.(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分)
第2课时 函数的最大(小)值
1.A 因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.
2.C ∵f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,
∴f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)min=f(0)=a=-2,
∴f(x)max=f(1)=3+a=1.
3.A 由题意,k>0时,函数y=在[3,8]上单调递减,
∵函数在[3,8]上的最大值为1,∴=1,解得k=1;
k<0时,函数y=在[3,8]上单调递增,∵函数在[3,8]上的最大值为1,
∴=1,解得k=6(舍去),故选A.
4.AD ∵f(x)的值域是[0,4],
∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2.
∴f(x)的定义域可能是[-1,2],[-2,1].
∵f(-3)=9,f(x)在[-1,1]上的最大值为1,
∴[-3,2]和[-1,1]不可能是f(x)的定义域.故选AD.
5.B 函数y=x+在[2,+∞)上单调递增,所以其最小值为2.
6.单调递增 由于函数y=-在区间(0,+∞)上是增函数,因此函数f(x)=(x>0)在(0,+∞)上单调递增.函数f(x)在上单调递增,∴f=-2=,且f(2)==2,解得a=.
7.[1,2] y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由(x-1)2+2=3,得x=0或x=2.作出函数图象如图所示,由图象知,m的取值范围是[1,2].
8.解(1)任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则f(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)+=(x2-x1)1-=.
因为x2>x1≥1,所以x2-x1>0且x1x2>1,所以>0,
则f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)所以f(x)在[1,+∞)上单调递增.
(2)由(1)可得函数f(x)在[2,4]上单调递增,
所以f(x)max=f(4)=.
所以2m-1≥,解得m≥,
所以m的取值范围是,+∞.
9.B 设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.
因为该函数图象的对称轴为x=,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元.
10.D ∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,画出图象如图所示,
当x=0或x=4时,x2-4x+3=3,当x=2时,x2-4x+3=-1,结合二次函数的性质可得,b-a的最小值为4-2=2,b-a的最大值为4-0=4.故选D.
11.AC 因为x>1,所以1-x<0,则y=-x=+1-x-1=-+x-1-1.
令g(x)=+x(x>0),下面证明g(x)在(0,1)上单调递减,[1,+∞)上单调递增,任取x1,x2∈(0,1),且x1∵00,
∴>0,即f(x1)>f(x2),故函数g(x)在(0,1)上单调递减,同理可证函数g(x)在[1,+∞)上单调递增.
故知h(x)=+x-1在(1,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.
所以y=-+x-1-1在(1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,当x=2时,函数取得最大值为-3,没有最小值.故选AC.
12.AC 在A中,因为f(x)=-2x+1,x∈[-2,2]是减函数,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;
在B中,因为f(x)=-2x+1,x∈[-2,2]是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;
在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;
在D中, x∈[-2,2], t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],D错误.故选AC.
13.6 在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).
由图象可知,函数f(x)的最大值为6.
14.1 [0,] 当a=1时,当x≤0时,f(x)=(x-1)2≥1,当x>0时,f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.所以f(x)的最小值为1.
当x≤0时,f(x)≥a2,即(x-a)2≥a2,即x(x-2a)≥0恒成立,所以x-2a≤0恒成立,即2a≥x恒成立,所以2a≥0,即a≥0.
当x>0时,f(x)≥a2,即x+≥a2恒成立,因为x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,所以a2≤2,所以-≤a≤.综上所述,a的取值范围是[0,].
15.解(1)设单日销售额为y元,则y=p(x)·q(x)=
整理得y=
当x=20时,y=400-20(n+80)+80n=1 800,解得n=50,故y=
当x=5时,y=2 700,
即第5天的销售额为2 700元.
(2)由(1)知,当1≤x≤10,x∈N*时,y=-2x2+50x+2 500单调递增,则单日销售额的最大值为-2×102+50×10+2 500=2 800(元),
当10综上所述,这30天内单日销售额的最大值为2 800元.
16.解(1)当a=-2时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,
则f(x)在[-2,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=3,f(-2)=12,f(2)=4,
故f(x)的值域为[3,12].
(2)选择条件①:
若a≥4,则f(x)在[-2,2]上单调递增,
∴f(x)min=f(-2)=8-2a≥0,解得a≤4.
又a≥4,∴a=4.
若-4在-,2上单调递增,
∴f(x)min=f-=4-≥0,解得-4若a≤-4,则f(x)在[-2,2]上单调递减,
∴f(x)min=f(2)=8+2a≥0,解得a≥-4.
又a≤-4,∴a=-4.
综上所述,a的取值范围是[-4,4].
选择条件②:
∵ x∈[1,3],f(x)≥0,∴f(x)max≥0,3.2.2 奇偶性
A级 必备知识基础练
1.下列函数是奇函数的是( )
A.y= B.y=-3x2
C.y=-|x| D.y=πx3-x
2.下列说法中,正确的是( )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R
D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
3.(2021四川乐山外国语学校高一期中)函数f(x)=的图象关于( )
A.x轴对称
B.y轴对称
C.坐标原点对称
D.直线y=x对称
4.(多选题)(2021山东新泰一中高一期中)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是( )
A.这个函数有2个单调递增区间
B.这个函数有3个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值-7
5.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=( )
A.-1 B.1
C.-3 D.3
6.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)= .
7.若函数f(x)=|x|(x-a),a∈R是奇函数,则a= ,f(2)= .
8.(2021江苏苏州高一期中)已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求f(2)和实数a的值;
(2)求方程f(x)=f(2)的解.
B级 关键能力提升练
9.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2021河北邯郸高三期末)已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a=( )
A.2 B.-1
C.2或-1 D.2或1
11.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
12.(多选题)(2021广东湛江二中高一期末)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x+a-2,则( )
A.a=2 B.f(2)=2
C.f(x)是增函数 D.f(-3)=-12
13.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2++t,则t= ,f(-2)=.
14.(2021山东临沂高一期中)已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)= .
15.(2021山西运城高一期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)若f(x)在[-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.
C级 学科素养创新练
16.已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=,h(x)=.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性;
(2)试判断g(x),h(x)与f(x)的关系;
(3)由此你能猜想出什么样的结论 (不必证明)
3.2.2 奇偶性
1.D 先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.
2.B y=是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A错误;
若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确;
若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;
函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.
3.B ∵函数f(x)=,定义域为{x|x≠±},定义域关于原点对称,
且f(-x)==f(x),
∴函数f(x)=为偶函数,图象关于y轴对称,
故选B.
4.BC 根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.
5.C ∵g(x)=f(x)-x,f(2)=1,
∴g(2)=f(2)-2=1-2=-1.
∵y=g(x)是偶函数,∴g(-2)=f(-2)+2=-1,
∴f(-2)=-3.故选C.
6.-26 令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.
因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,
所以h(-2)=f(-2)+8=18.
h(2)=-h(-2)=-18,
所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.
7.0 4 因为函数f(x)=|x|(x-a),a∈R是奇函数,
即f(x)+f(-x)=0,令x=1,则f(1)+f(-1)=0,
即1-a+(-1-a)=0,解得a=0,故f(x)=x|x|,
则f(2)=4.
8.解(1)设x>0,则-x<0.
因为x≤0时,f(x)=-x2-4x,
则f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x,
因为f(-x)=-f(x)=-x2+4x,
所以f(x)=x2-4x=x2+ax,
所以a=-4,则f(2)=-4.
(2)原方程等价于
解得x=2或x=-2-2.
9.B f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
10.C ∵g(x)是奇函数,∴g(x)+g(-x)=0,
∴f(x)+f(-x)=2x2,而f(a)=2,f(-a)=2a+2,则4+2a=2a2,解得a=2或-1,故选C.
11.C ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,
故A错误;
|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),
故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;
f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;
|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.
12.ACD 因为f(x)是R上的奇函数,
故f(0)=a-2=0,得a=2,故A正确;
若x=2,则f(2)=4+2=6,故B错误;
当x≥0时,f(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,利用奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,故f(x)是R上的增函数,故C正确;
f(-3)=-f(3)=-9-3=-12,故D正确.故选ACD.
13.-1 因为函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即-02++t=0,解得t=-1.
所以f(x)=-x2+-1.
所以f(2)=-22+-1=-.
又函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=.
14.2 因为y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2),f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2),
两式相减可得f(2)=g(-2),若f(2)=2,则g(-2)=2.
15.解(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,若x<0,则-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又由f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x2+2x,
综上可得,f(x)=
(2)由(1)知f(x)=作出函数图象如图,
若f(x)在[-2,b)上有最大值,即函数图象在区间[-2,b)上有最高点,必有-21,
故b的取值范围为(-2,0]∪(1,+∞).
16.解 (1)由题意知函数g(x)与h(x)的定义域均为R.
∵g(-x)==g(x),h(-x)==-h(x),∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数.3.3 幂函数
A级 必备知识基础练
1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )
A.f(x)=3x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-3
2.(2022河北唐山高一期末)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则下列关于f(x)的说法正确的是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.定义域为(0,+∞)
D.在(0,+∞)上单调递增
3.已知a=1.,b=0.,c=,则( )
A.cC.b4.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是 .
5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .
6.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f(x)=(m2-2m-2)·xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=( )
A.8 B.3
C.-1 D.
8.(2022吉林延边高一期末)已知幂函数f(x)=,若f(a-1)A.[-1,3)
B.(-∞,5)
C.[1,5)
D.(5,+∞)
9.已知幂函数g(x)=(2a-1)xa+2的图象过函数f(x)=32x+b的图象所经过的定点,则b的值等于( )
A.-2 B.1
C.2 D.4
10.函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0
B.恒小于0
C.等于0
D.无法判断
11.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )
A.函数y=xα的图象过原点
B.函数y=xα是偶函数
C.函数y=xα是减函数
D.函数y=xα的值域为R
12.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f= .
13.已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求实数m的值;
(2)当x∈(1,2]时,记 (x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.
C级 学科素养创新练
14.已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m∈N*,则x-m=.
3.3 幂函数
1.C 函数f(x)=3x2,不是幂函数;
函数f(x)=,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f(x)==x-4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;
函数f(x)=x-3是幂函数,但不是偶函数.故选C.
2.D 设幂函数f(x)=xα(α为常数),∵幂函数y=f(x)图象过点(2,),∴2α=,∴α=,∴幂函数f(x)=.∵>0,∴幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以选项D正确;∵幂函数f(x)=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C错误,故选D.
3.A b=0.,c==1.,∵>0,且1.2>>1.1,
∴1.>1.,即a>b>c.
4. 因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<.
5.9 由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.
6.解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不合题意,舍去.故f(x)=x2.
(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数,
∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4.
故实数a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).
7.D 函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f(x)=x3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f(x)=,所以f(2)=,故选D.
8.C 由幂函数f(x)=,若f(a-1)可得,即得1≤a<5.所以a的取值范围为[1,5).
9.A 易知函数g(x)=(2a-1)xa+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g(x)=x3,幂函数过定点(1,1),在函数f(x)=32x+b中,当2x+b=0时,函数过定点,据此可得-=1,故b=-2.故选A.
10.A 由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.
11.AD 因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,
所以α=3,即y=x3.
故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD.
12.2或3 4 幂函数y=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m2-5m+4<0,且m2-5m+4是偶数,由m2-5m+4<0得1由题知m是整数,故m的值可能为2或3,
验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f(x)=x-2,则f=4.
13.解(1)依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f(x)=x2,符合题设,故m=0.
(2)由(1)可知f(x)=x2,当x∈(1,2]时,函数f(x)和g(x)均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k,4-k].
∵A∪B=A,∴B A.∴
∴0≤k≤1.∴实数k的取值范围是[0,1].
14.解(1)∵函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,
∴m2-2m+2=1,解得m=1,故f(x)=x-2(x≠0).
(2)函数f(x)=x-2为偶函数.
证明如下:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x,都有f(-x)=(-x)-2==x-2=f(x),故函数f(x)=x-2为偶函数.
(3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
证明如下:在区间(0,+∞)上任取x1,x2,不妨设0A级 必备知识基础练
1.(2022浙江义乌高一期末)用一段长为50 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙a长25 m.当这个矩形菜园ABCD的宽(矩形的较短边)为( )时,围成的矩形菜园ABCD的面积最大
A. B. C.10 D.15
2.(多选题)(2022江苏常州高一期末)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行价就减少5 000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为( )
A.2.5元 B.3元
C.3.2元 D.3.5元
3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是( )
A.升高7.84% B.降低7.84%
C.降低9.5% D.不增不减
4.(2021北京房山高一期中)为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为 千瓦时.
5.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加1单位,成本增加1万元,又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)=4Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是 万元,这时产品的生产数量为 .(总利润=总收入-成本)
6.某辆汽车以x千米/时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为x-100+升.
(1)欲使每小时的油耗不超过9升,求x的取值范围;
(2)求该汽车行驶100千米的油耗y关于汽车行驶速度x的函数,并求y的最小值.
B级 关键能力提升练
7.(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位:km)与时间x(单位:min)的关系,下列结论正确的是 ( )
A.甲同学从家出发到公园的时间是30 min
B.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢
C.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=x
D.当30≤x≤60时,y与x的关系式为y=x-2
8.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶2 km,乘客需付费8元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
9.(多选题)(2022广州越秀高一期末)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站10 km处建仓库,则y1为1万元,y2为4万元,下列结论正确的是( )
A.y1= B.y2=0.4x
C.y1+y2有最小值4 D.y1-y2无最小值
10.(2021江苏南通高一期末)某山区盛产苹果、梨子、猕猴桃,并对生产的水果进行线上销售,销售方案如下:若一次购买水果总价不低于200元,则顾客少付款m元,每次订单付款成功后,农民会收到支付款的80%,在销售活动中,为了使得农民收入不低于总价的70%,则m的最大值为 .
11.(2021江苏常州高二期中)为了响应国家节能减排的号召,2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析:全年需投入固定成本2 500万元.每生产x(单位:百辆)新能源汽车,需另投入成本C(x)万元,且C(x)=由市场调研知,每辆车售价9万元,且生产的车辆当年能全部销售完.
(1)请写出2020年的利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式;(利润=销售-成本)
(2)当2020年产量为多少百辆时,企业所获利润最大 并求出最大利润.
C级 学科素养创新练
12.
如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( )
13.某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10a-万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业
(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润条件下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少
3.4 函数的应用(一)
1.B 设矩形的宽为x米,矩形的面积为S,则由题意可得矩形的长为50-2x,则02.BC 设杂志的定价为x元,总销售收入为y元,根据题意可得y=x100 000-×5 000=-25 000x2+150 000x,当销售收入不少于22.4万元时,-25 000x2+150 000x≥224 000,解得2.8≤x≤3.2,故选BC.
3.B 设该商品原价为a,四年后的价格为a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.921 6a.∴(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即比原来降低7.84%.
4.580 设用电量为x千瓦时,电费y元,
y=
若y=360时,
当0≤x≤240时,则0.5x=360,解得x=720 [0,240],不满足题意;
当240解得x=640 (240,400],不满足题意;
当x>400时,则0.8(x-400)+216=360,解得x=580∈(400,+∞),满足题意.
故该户居民10月份的用电量为580千瓦时.
5.250 300 由题意可得L(Q)=4Q-Q2-(200+Q)=-(Q-300)2+250,则当Q=300时,总利润L(Q)取得最大值250万元.
6.解(1)由题意,令×x-100+≤9,
化简得x2-145x+4 500≤0,解得45≤x≤100;
又因为60≤x≤120,所以欲使每小时的油耗不超过9升,x的取值范围是[60,100].
(2)设该汽车行驶100千米的油耗为y.
则y=x-100+=90 0002+,其中60≤x≤120.
由60≤x≤120,知∈,所以x=90时,汽车行驶100千米的油耗取得最小值为升.
7.ABC 由题中图象知,A正确;
甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,B正确;
当0≤x≤30时,设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=,C正确;当30≤x≤40时,题中图象是平行于x轴的线段,D错误.
8.BCD 在A中,出租车行驶2 km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元,共9元,A错误;
在B中,出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;
在C中,乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;
在D中,设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.
9.BCD 依题意设y1=,y2=k2x,k1≠0,k2≠0,x>0,
∵在距离车站10 km处建仓库,则y1为1万元,y2为4万元,∴=1,10k2=4,解得k1=10,k2=0.4.
∴y1=,y2=0.4x,x>0,
∴y1+y2=+0.4x≥2=4,当且仅当=0.4x,即x=5时,等号成立,所以选项B,C正确,选项A错误;
∵y1-y2=-0.4x在(0,+∞)上单调递减,∴y1-y2无最小值,选项D正确,故选BCD.
10.25 设每笔订单的总价为x元,根据题意有(x-m)×80%≥x×70%,即m≤恒成立,由题意得x≥200,所以=25,所以m≤25,所以m的最大值为25.
11.解(1)当0当x≥40时,L(x)=9×100x-901x-+4 300-2 500=1 800-x+.
所以L(x)=
(2)当0当x=20时,L(x)max=1 500.
当x≥40时,L(x)max=1 800-x+≤1 800-2=1 800-200=1 600,
当且仅当x=,
即x=100时,等号成立.
因为1 600>1 500,
所以当x=100时,即2020年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1 600万元.
12.A 依题意,当0当1当2∴y=f(x)=
再结合题图知应选A.
13.解(1)由题意,得10(1 000-x)(1+0.2x%)≥10×1 000,即x2-500x≤0,
又x>0,
所以0即最多调整500名员工从事第三产业.
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10a-x万元,从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000-x)1+x万元,则10a-x≤10(1 000-x)1+x,所以ax-≤1 000+2x-x-x2,
所以ax≤+1 000+x,即a≤+1在x∈(0,500]时恒成立.则≥2=4,
当且仅当,即x=500时,等号成立,