第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
A级 必备知识基础练
1.(2021天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( )
A.a2·a3=a6 B.(3a)3=9a3
C.=a D.(-2a2)3=-8a6
2.(多选题)下列运算错误的是( )
A.=a(a>0) B.=0(a>0)
C.()2=(a>0) D.=a(a>0)
3.(2021福建福州三中高一期中)已知x2+x-2=3,则x+x-1的值为( )
A. B.1 C.± D.±1
4.-(1-0.5-2)÷的值为( )
A.- B. C. D.
5.化简:()2 022·()2 022= .
6.若α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .
7.化简求值:
(1)-(9.6)0-;
(2)(a>0,b>0).
B级 关键能力提升练
8.(2021河北张家口张垣联盟高一联考)将根式化简为指数式是( )
A. B. C. D.
9.(2021河南开封高一期中)已知正数x满足,则x2+x-2=( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10.(多选题)(2021河北唐山一中高一期中)下列计算正确的是( )
A.
B.()(-3)÷=-9a(a>0,b>0)
C.
D.=-
11.已知x2+x-2=2,且x>1,则x2-x-2的值为( )
A.2或-2 B.-2
C. D.2
12.若a>0,b>0,则化简的结果为 .
13.化简:(2-a)[(a-2)-2= .
14.化简求值:
(1);
(2)-2-4π0÷.
15.已知a2x=+1,求的值.
C级 学科素养创新练
16.(2021黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x满足3×16x+2×81x=5×36x,则x的值为 .
4.1 指数
1.D a2·a3=a5,故A错误;(3a)3=27a3,故B错误;=|a|=故C错误;(-2a2)3=-8a6,故D正确.故选D.
2.ABC 由指数幂运算性质可得只有D正确,故选ABC.
3.C 由(x+x-1)2=x2+x-2+2=5,可得x+x-1=±.故选C.
4.D 原式=1-(1-22)÷=1-(-3)×.故选D.
5.1 ()2 022·()2 022=[()()]2 022=12 022=1.
6. 利用一元二次方程根与系数的关系,得
α+β=-2,αβ=,
则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=.
7.解(1)原式=-1--1-;
(2)原式=·b-2÷b-2·=a-1·b0=.
8.A ,故选A.
9.B 因为正数x满足,所以=5,即x+x-1+2=5,则x+x-1=3,所以=9,即x2+x-2+2=9,因此x2+x-2=7.故选B.
10.BC ,故A错误;
()(-3)÷=-9=-9a,故B正确;
,故C正确;=(-2=(-2×=(-=-,故D错误.故选BC.
11.D (方法1)∵x>1,∴x2>1.
由x-2+x2=2,可得x2=+1,
∴x2-x-2=+1-+1-(-1)=2.
(方法2)令x2-=t, ①
∵x-2+x2=2, ②
∴由①2-②2,得t2=4.
∵x>1,∴x2>x-2,
∴t>0,于是t=2,即x2-x-2=2,故选D.
12.1 =1.
13.(-a 由已知条件知a≤0,
则(a-2)-2=(2-a)-2,
所以原式=(2-a)[(2-a)-2·=(2-a)(2-a)-1.
14.解(1)根据指数幂与根式的运算,化简可得
=2-1+8+=2-1+8+8×9=81.
(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得
-2-4π0÷+10-2-4×+10-2-3=+10-6-3=.
15.解∵a2x=+1,∴a-2x=-1,即a2x+a-2x=2,∴=a2x+a-2x-1=2-1.4.2 指数函数
A级 必备知识基础练
1.若函数f(x)=(m2-m-1)ax(a>0,a≠1)是指数函数,则实数m的值为( )
A.2 B.1
C.3 D.2或-1
2.(2021河南新乡高一期中)已知a=40.1,b=0.40.5,c=0.40.8,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
3.(2021北京房山高一期末)如果函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则( )
A.b<-1 B.-1
C.01
4.函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )
5.已知06.(2021陕西西安高一期中)已知07.设函数f(x)=10-ax,其中a为常数,且f(3)=,则a的值为 ;若f(x)≥4,则x的取值范围为 .
8.(2021陕西咸阳四校高一期中)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值为M,最小值为N.
(1)若M+N=6,求实数a的值;
(2)若M=2N,求实数a的值.
B级 关键能力提升练
9.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点( )
A.-2,
B.-1,
C.(1,2)
D.3,
10.(2021安徽黄山高一期末)若2 020a=2 021b>1,则( )
A.0C.011.函数y=a|x|+1(a>0,且a≠1),x∈[-k,k],k>0的图象可能为( )
12.(2021北京通州高一期末)函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.,1 D.0,
13.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.6
14.已知f(x)=x2,g(x)=-m.若对任意x1∈[-1,3],总存在x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围是 .
15.(2021四川阆中高一期中)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点2,.
(1)求a,并比较f(b2+b+1)与f的大小;
(2)求函数g(x)=的值域.
16.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值;
(2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围;
(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.
C级 学科素养创新练
17.(多选题)(2021福建泉州实验中学高一期中)已知函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的可能取值是( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
18.(多选题)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,下列四条结论中正确的为( )
A.该函数的值域为(0,+∞)
B.该函数在区间[0,+∞)上单调递增
C.该函数的图象关于直线x=1对称
D.该函数的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点
4.2 指数函数
1.D 由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D.
2.C 因为40.1>40=1,而0<0.40.8<0.40.5<0.40=1,即a>1,0b>c.故选C.
3.B 函数f(x)=3x+b的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则04.C 当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当05.三 06.ba>aa>ab 先比较aa,ab,由于0ab,
再比较aa,ba,由于0aa.
综上ba>aa>ab.
7.2 [6,+∞) 函数f(x)=10-ax,由f(3)=,得10-3a=,得3a-10=-4,解得a=2,故f(x)=22x-10.
由f(x)≥4,得22x-10≥22,故2x-10≥2,解得x≥6.
8.解①当a>1时,f(x)在[1,2]上单调递增,则f(x)的最大值为M=f(2)=a2,
最小值N=f(1)=a;
②当0最小值N=f(2)=a2.
(1)∵M+N=6,∴a2+a=6,解得a=2,或a=-3(舍去).
(2)∵M=2N,∴当a>1时,a2=2a,解得a=2,或a=0(舍去);当09.D 设f(x)=ax,a>0且a≠1.
∵f(-1)==2,解得a=,即f(x)=x.
∵f(-2)=-2=4,f(-1)=-1=2,f(1)=,f(3)=3=.故D正确.
10.A 在同一坐标系内分别作出y=2 020x以及y=2 021x的图象,因为2 020a=2 021b>1,所以011.C 由题意易知,函数y=a|x|+1为偶函数,且y>1,排除A,B.当01时,函数图象在区间[0,k]上单调递增,但图象应该是下凸,排除D.故选C.
12.D 因为函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,所以解得013.C 画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图所示.
由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值22=6-2=4,即M的最小值为4,故选C.
14. 由f(x)的单调性可知f(x)=x2的最小值为f(0)=0,又g(x)在[0,2]上是减函数,故g(x)的最小值为g(2)=-m,由题意得0≥-m,即m≥.
15.解(1)由已知得a2=,解得a=,故f(x)=x.∵f(x)=x在R上单调递减,
且b2+b+1=,
∴f≥f(b2+b+1).
(2)令t=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,∵y=t在R上单调递减,∴y=t≤-4=81.
∵y=t>0,故g(x)的值域是(0,81].
16.解(1)因为函数f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),
所以解得a=,b=-3.
(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),
因为f(0)=1+b<0,即b<-1,
所以b的取值范围为(-∞,-1).
(3)由题图①可知y=|f(x)|的图象如图所示.
由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{m|m=0或m≥3}.
17.AC 因为函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,由题意,画出函数f(x)在[-4,0)∪(0,4]的图象如图所示,在同一坐标系内画出y=3x-1的图象,
因为f(2)=,所以f(-2)=-f(2)=-=3-2-1,
又f(1)=2=31-1,即f(x)与y=3x-1交于-2,-和(1,2)两点.由图象可得f(x)≥3x-1的解满足x≤-2或018.CD 画出f(x)=2|x-1|的图象如图所示.
对于A,根据f(x)图象可知,函数f(x)的值域为[1,+∞),A错误;
对于B,根据f(x)图象可知,函数f(x)在区间[0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,B错误;4.3 对数
4.3.1 对数的概念
A级 必备知识基础练
1.方程的解是( )
A. B. C. D.9
2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是 ( )
A.e0=1与ln 1=0
B.与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
3.(2022北京大兴高一期末)2等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(多选题)下列式子中正确的是( )
A.lg(lg 10)=0
B.lg(ln e)=0
C.若10=lg x,则x=10
D.若log25x=,则x=±5
5.若a>0,a2=,则loa= .
6.解答下列各题.
(1)计算:lg 0.000 1;log2;log3.12(log1515).
(2)已知log4x=-,log3(log2y)=1,求xy的值.
7.求下列各式的值:
(1)lo2; (2)log7; (3)log2(log93).
B级 关键能力提升练
8.若loga3=m,loga5=n(a>0且a≠1),则a2m+n的值是( )
A.15 B.75 C.45 D.225
9.函数y=log(2x-1)的定义域是( )
A.,1∪(1,+∞)
B.,1∪(1,+∞)
C.,+∞
D.,+∞
10.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是( )
①若M=N,则logaM=logaN;②若logaM=logaN,则M=N;③若logaM2=logaN2,则M=N;④若M=N,则logaM2=logaN2.
A.①② B.②③④
C.② D.②③
11.(多选题)(2021福建泉州高一期末)下列函数中,与y=x是同一个函数的是( )
A.y= B.y=
C.y=lg 10x D.y=10lg x
12.已知lo(log2x)=lo(log3y)=1,则x,y的大小关系是( )
A.xC.x>y D.不确定
13.的值等于 .
14.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则= .
15.已知logab=logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1),求证:a=b或ab=1.
C级 学科素养创新练
16.若log2(lo(log2x))=log3(lo(log3y))=log5(lo(log5z))=0,试确定x,y,z的大小关系.
4.3.1 对数的概念
1.A ∵=2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2=.
2.ABD log39=2应转化为32=9.
3.B 2=-log 22=2-1=1.故选B.
4.AB ∵lg 10=1,∴lg(lg 10)=lg 1=0,A正确;
∵ln e=1,∴lg(ln e)=lg 1=0,B正确;
若10=lg x,则x=1010,C不正确;
若log25x=,则x=2=5,D不正确.
5.1 ∵a2=且a>0,∴a=,∴lo=1.
6.解(1)因为10-4=0.000 1,
所以lg 0.000 1=-4.
因为2-6=,所以log2=-6.
log3.12(log1515)=log3.121=0.
(2)因为log4x=-,所以x==2-3=.
因为log3(log2y)=1,所以log2y=3.
所以y=23=8.所以xy=×8=1.
7.解(1)设lo2=x,则=2,即2-4x=2,
∴-4x=1,x=-,即lo2=-.
(2)设log7=x,则7x=.
∴x=,即log7.
(3)设log93=x,则 9x=3,即32x=3,∴x=.
设log2=y,则2y==2-1,
∴y=-1.∴log2(log93)=-1.
8.C 由loga3=m,得am=3,由loga5=n,得an=5,
∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45.
9.A 要使函数有意义,则解此不等式组可得x>且x≠1且x>,故函数的定义域是,1∪(1,+∞),故选A.
10.C ①中若M,N小于或等于0时,logaM=logaN不成立;②正确;③中M与N也可能互为相反数,所以错误;④中当M=N=0时错误.
11.AC y=x的定义域为R,值域为R,函数y==x的定义域为R,故是同一函数;函数y==|x|≥0,与y=x解析式、值域均不同,故不是同一函数;函数y=lg 10x=x,且定义域为R,对应关系相同,故是同一函数;y=10lg x=x的定义域为(0,+∞),与函数y=x的定义域不相同,故不是同一函数.故选AC.
12.A 因为lo(log2x)=1,
所以log2x=.所以x=.
又因为lo(log3y)=1,所以log3y=.
所以y=.
因为,所以x13.2=2×=2×(=2×=2.
14.108 设2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=k,则a=2k-2,b=3k-3,a+b=6k,即4a=2k,27b=3k,∴108ab=6k,
∴108ab=a+b,∴108=.
15.证明设logab=logba=k,则b=ak,a=bk,因此b=.因为b>0,b≠1,所以k2=1,即k=±1.
当k=1时,a=b;当k=-1时,a=b-1=,即ab=1.
综上可知a=b或ab=1.
16.解由log2(lo(log2x))=0,得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215.
由log3(lo(log3y))=0,得lo(log3y)=1,log3y=,y==(310.4.3.2 对数的运算
A级 必备知识基础练
1.2log510+log50.25=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.(2021河南郑州高一期末)已知alog32=1,则2a=( )
A. B.1 C.2 D.3
3.(2022吉林公主岭高一期末)log2+lg 25+lg 4++9.80=( )
A.1 B.4 C.5 D.7
4.(多选题)(2021江苏连云港高一期末)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是 ( )
A.lg x+lg y=lg(x+y)
B.lg=lg x-lg y
C.loym=logxy
D.lg
5.已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
6.设ax=M,y=logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示loga= .
7.log35log46log57log68log79= .
8.计算:
(1);
(2)lg-lg+lg-log92·log43.
B级 关键能力提升练
9.(2021北京昌平高一期末)已知2x=3,log2=y,则2x+y=( )
A.3 B.4 C.8 D.9
10.设a=log36,b=log520,则log215=( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C. D.
12.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a= ,b= .
13.解下列对数方程.
(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;
(2)logx4+log2x=3.
14.(2022湖南长沙高一期末)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物.
(1)求常数k的值;
(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)
(参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11)
C级 学科素养创新练
15.已知2y·logy4-2y-1=0(y>0,y≠1),·log5x=-1(x>0,x≠1),求的值.
4.3.2 对数的运算
1.C 原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
2.D alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.
3.C 原式=log22+lg(25×4)++1=2+2+1=5.
故选C.
4.BCD 因为x>0,y>0,n≠0,m∈R,则lg x+lg y=lg(xy),故A错误;
lg=lg x-lg y,故B正确;loym=logxy,故C正确;
lg ,故D正确.故选BCD.
5.D ∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,
∴=logk2,=logk3,∵2a+b=ab,∴=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1,∴k=18.
6.3x- ∵ax=M,∴x=logaM,∴loga=logaM3-loga=3logaM-logaN=3x-.
7.3 log35log46log57log68log79==3.
8.解(1)原式==1.
(2)(方法1)原式=lg+lg=lg=lg 1-=-.
(方法2)原式=(lg 1-lg 2)-(lg 5-lg 8)+(lg 5-lg 4)-=-lg 2+lg 8-lg 4-=-(lg 2+lg 4)+lg 8-=-lg(2×4)+lg 8-=-.
9.A 由2x=3可知x=log23,且y=log2.
2x+y=2log23+log2=log232×=log28=3.
10.D ∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,
∴log23=,log25=,∴log215=log23+log25=.故选D.
11.AD 由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
对于选项A,由ab+bc=2ac,可得=2,因为=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;
对于选项C,=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,故C错误;
对于选项D,=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,故D正确.
12.4 2 ∵logab+logba=logab+,
∴logab=2或logab=.∵a>b>1,∴logab∴2b=b2,∴b=2,∴a=4.
13.解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,
得
即
解得x=2或x=-9(舍).
(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),得2logx2+log2x-3=0,令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,
解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;
当t=2时,可得log2x=2,即x=4.
经检验x=2,x=4均符合题意.
故原方程的解为x=2或x=4.
14.解 (1)由已知得当t=0时,P=P0;
当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9(或k≈0.022).
(2)由(1)知P=P0,当P=30%P0时,有0.3P0=P0,解得t=≈55.故污染物减少到30%至少需要55 h.
15.解由2y·logy4-2y-1=0,得2y=0,
∴logy4=,即y=16.由·log5x=-1,
得=-,即=-logx5>0.4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
4.4.2 对数函数的图象和性质
A级 必备知识基础练
1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为( )
A.[0,1]
B.(0,1)
C.(-∞,1]
D.[1,+∞)
2.已知函数f(x)=loga(x-m)(a>0,且a≠1)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是( )
A.增函数
B.减函数
C.奇函数
D.偶函数
3.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在-,0内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(0,2) D.(1,2)
4.已知loga>logb>0,则下列关系正确的是( )
A.0B.0C.1D.15.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)= ( )
A.log2x B.lox
C. D.x2
6.已知a=,b=log2,c=lo,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
7.(2021江苏南京六校高一期中)已知函数f(x)=loga(a-ax)(a>1),则f(x)的定义域为 ,值域为 .
8.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
B级 关键能力提升练
9.(多选题)已知a>0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是( )
10.将y=2x的图象先 ,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象( )
A.先向上平移1个单位长度
B.先向右平移1个单位长度
C.先向左平移1个单位长度
D.先向下平移1个单位长度
11.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是( )
A.-e B.- C.e D.
12.(多选题)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
B.函数y=f(x)的最小值为-4
C.函数y=f(x)的最大值为4
D.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称
13.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .
14.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:
①a>b>1;②b>a>1;③a15.(2022安徽黄山高一期末)设f(x)=ax(a>0,且a≠1),其图象经过点,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称.
(1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值;
(2)若g(x)在区间[,c]上的值域为[m,n],且n-m=,求c的值.
C级 学科素养创新练
16.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.
(1)若1 M,2∈M,求实数a的取值范围;
(2)若M=R,求实数a的取值范围.
4.4.1 对数函数的概念 4.4.2 对数函数的图象和性质
1.A 由于0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,∴log21≤log2(x+1)≤log22,即0≤log2(x+1)≤1,故函数f(x)的值域为[0,1],故选A.
2.A 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有解得a=4和m=3,则有f(x)=log4(x-3).由于定义域是x>3,则函数不具有奇偶性.函数f(x)在定义域上是增函数.
3.D 由-0恒成立,则04.A 由于loga>logb>0,则由对数换底公式可得>0,即<0,结合lg 3>0可得lg a<0,lg b<0且lg a>lg b,因此05.B 因为y=ax的反函数为y=logax,又此函数经过点(,a),因此loga=a,解得a=,所以f(x)=lox.
6.D ∵0lo=1,∴c>a>b.故选D.
7.(-∞,1) R 令a-ax>0,即ax因为a>1,
所以x<1.
因为a-ax>0,所以f(x)=loga(a-ax)∈R,因此,函数f(x)的定义域为(-∞,1),值域为R.
8.解(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).
由题意得f(9)=loga9=2,故a2=9,
解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.
故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,
所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.
9.ABD ∵函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,又函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确,故选ABD.
10.D y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1,所以将y=2x先向下平移1个单位长度,得y=2x-1.
11.B ∵函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,∴函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=ln x,又由y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=ln(-x).又f(m)=-1,∴ln(-m)=-1,m=-,故选B.
12.AB 令(log2x)2-log2x2-3=0,即(log2x)2-2log2x-3=0,解得log2x=3或log2x=-1,即x=8或x=,即选项A正确;
由f(x)=(log2x)2-2log2x-3=(log2x-1)2-4≥-4,即函数f(x)的最小值为-4,无最大值,即选项B正确,选项C错误;
显然f(1)≠f(3),函数y=f(x)的图象不关于直线x=2对称,选项D错误.故选AB.
13.(0,1] 函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则014.②④⑤ 实数a,b满足等式log2a=log3b,即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等,当a=b=1时,log2a=log3b=0,此时⑤成立;作直线y=1,由图象知,此时log2a=log3b=1,可得a=2,b=3,由此知②成立,①不成立;作出直线y=-1,由图象知,此时log2a=log3b=-1,可得a=,b=,由此知④成立,③不成立.综上知正确的关系式为②④⑤.
15.解(1)因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点,所以,所以a=10,所以f(x)=10x.
因为f(2m)=4,f(n)=25,所以102m=4,10n=25,
所以102m·10n=100,所以102m+n=102,所以2m+n=2.
(2)因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称,所以g(x)=lg x(x>0),且为增函数,所以g(x)在区间[,c]上的值域为[lg,lg c]=[m,n].
因为n-m=,所以lg c-lg,所以lg c=2,则c=100.
16.解(1)由题意M={x|ax2+2x+a>0}.
由1 M,2∈M可得
化简得解得-所以a的取值范围为.
(2)由M=R可得ax2+2x+a>0恒成立.
当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;4.4.3 不同函数增长的差异
A级 必备知识基础练
1.(多选题)有一组实验数据如表所示:
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型较不适合的有( )
A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
2.(多选题)下面对函数f(x)=lox与g(x)=x在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快
B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢
C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢
D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快
3.下列函数中,增长速度越来越慢的是( )
A.y=6x B.y=log6x
C.y=x6 D.y=6x
4.某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温为37 ℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )
5.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1 Δy2(填“>”“=”或“<”).
6.某企业常年生产一种出口产品,根据近几年的数据显示,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lox+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式;
(2)因受到影响,2024年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,求出2024年的年产量.
B级 关键能力提升练
7.(2021北京海淀高一期末)下图为某种植物1~5年内的植株高度,根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律,下列函数模型中符合要求的是( )
A.y=kax+b(k>0,a>0,且a≠1)
B.y=klogax+b(k>0,a>0,且a≠1)
C.y=+b(k>0)
D.y=ax2+bx+c(a>0)
8.当0A.h(x)B.h(x)C.g(x)D.f(x)9.(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(单位:月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )
10.(多选题)已知函数y1=x2,y2=2x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是( )
A.随着x的逐渐增大,y1增长速度越来越快于y2
B.随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0,+∞)时,y1增长速度一直快于y3
D.当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1
11.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲在最前面;
②当x>1时,乙在最前面;
③当01时,丁在最后面;
④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲.
其中正确结论的序号为 .
12.(2021福建福州三中高一期末)某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积约为18 m2,经过3个月其覆盖面积约为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过x(x∈N*)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=loga(x+1)+q(a>1)可供选择.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式;
(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍
C级 学科素养创新练
13.(多选题)(2021北京丰台高一期末)已知函数f1(x)=2x,f2(x)=2x+1,g1(x)=logax(a>1),g2(x)=kx(k>0),则下列结论正确的是 ( )
A.函数f1(x)和f2(x)的图象可能有两个交点
B. x0∈R,当x>x0时,恒有g1(x)>g2(x)
C.当a=2时, x0∈(0,+∞),f1(x0)D.当a=时,方程g1(x)=g2(x)有解
4.4.3 不同函数增长的差异
1.ABD 由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.
2.ABD 在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如下图所示,由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢.
3.B
4.C 观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”.综上,只有C是正确的.
5.< 由这两个函数的图象可知,指数函数增长得快些,所以Δy1<Δy2.
6.解(1)符合条件的是f(x)=ax+b,
理由:若模型为f(x)=2x+a,
则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,
此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.若模型为f(x)=lox+a,
则f(x)是减函数,与已知不符合.
由已知得
解得
所以f(x)=x+,x∈N*.
(2)2024年预计年产量为f(7)=×7+=13,2024年实际年产量为13×(1-30%)=9.1.
所以2024年的年产量为9.1万件.
7.B 由散点图可知,植物高度增长越来越缓慢,故选择对数模型,即B符合.故选B.
8.D 在同一坐标下作出函数f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.
9.BCD 由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃,故B不正确.
10.BD 在同一坐标系内画出函数y1=x2,y2=2x,y3=x的图象,如图所示:
对于A,随着x的逐渐增大,y1增长速度不是越来越快于y2,故A错误;
对于B,随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1,故B正确;
对于C,当x∈(0,+∞)时,y1增长速度不是一直快于y3,故C错误;
对于D,当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1,故D正确;
故选BD.
11.③④⑤ 路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).
它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型.
当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,则①不正确;
当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,则②不正确;
根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,画出四个函数的图象(图略),可知当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,从而当01时,丁在最后面,则③正确;
结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,则④正确;
指数型函数的增长速度是先慢后快,若运动的时间足够长,则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲,则⑤正确.
12.解(1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=loga(x+1)+q(a>1)的增长速度越来越慢,
∴依题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则
解得故y=8(x∈N*).
(2)设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍,则k·≥k×100.∵k>0,则≥100,
故x≥lo100=≈11.36.
∵x∈N*,故x=12.
即约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.
13.AD 对于A,指数函数f1(x)=2x与一次函数f2(x)=2x+1都过(0,1),但f1(x)=2x在x增大时呈爆炸式增长,故还会出现一个交点,如图所示,所以函数f1(x)和f2(x)的图象有两个公共点,故A正确;
对于B,取x=0,g2(x)=kx(k>0)=0,当x→0时,g1(x)=logax(a>1)→-∞,此时g1(x)4.5.1 函数的零点与方程的解
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间( )
A.(2,3) B.(3,4) C.(0,1) D.(1,2)
2.(2022江西赣州高一期末)若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k,k+1)(k∈Z),则k=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.函数f(x)=x3-的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.无数个
5.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点
C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点
6.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且07.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
8.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为( )
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-∞,-4]∪[0,+∞)
D.[-4,0)
9.(2021北京丰台高一期末)已知函数f(x)=则f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.已知实数x0是函数f(x)=的一个零点,若0A.f(x1)<0,f(x2)<0
B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0
D.f(x1)>0,f(x2)>0
11.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,有如下的对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 -7.82 11.45 -53.76 -128.88
则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间[1,6]上有3个零点
B.函数y=f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点
C.函数y=f(x)在区间[1,6]上至多有3个零点
D.函数y=f(x)在区间[1,2]上无零点
12.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( )
A.a<αC.α13.已知函数f(x)=若f(x)恰有两个零点,则正数a的取值范围是 ( )
A.0, B.,2
C.,1 D.(1,2)
14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 .
15.已知函数f(x)=若f(x0)=-1,则x0= ,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围为 .
16.(2021河南洛阳高一期末)已知函数f(x)=
(1)若f(a)=1,求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)-m=0恰有三个解,求实数m的取值范围.
C级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.
(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;
(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.
4.5.1 函数的零点与方程的解
1.D f(x)=ln 2x-1在定义域上是增函数,并且是连续函数,且f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 4-1>0,根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.
2.A 因为函数f(x)=2x+x-4在R上单调递增,且f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,
所以函数的零点在区间(1,2)内.又因为函数的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,所以k=1,故选A.
3.C 根据题意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
令1++3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.
4.B 作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个公共点,所以函数f(x)只有一个零点.故选B.
5.AC 因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,
所以f(0)f(1)<0,
因为函数f(x)的图象在R上连续不断,
由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点.
又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.
6. 因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0所以设f(x)=x2-(k+2)x+1-3k,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.
结合图象知f(0)=1-3k>0,且f(1)=-4k<0,
且f(2)=1-5k>0,所以0故实数k的取值范围为.
7.解令x2-mx+a-m=0,
因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,
故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,
即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,
即a≤+m对任意的实数m恒成立.
∵+m=(m+2)2-1≥-1,
∴a≤-1.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1].
8.D 由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,
又由函数f(x)在区间(0,1]上存在零点,则满足
解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.
9.C ∵f(x)=
令f(x)=0,
当x≤0时,x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去);
当x>0时,-1=0,解得x=1.
所以f(x)=0有2个实数解,即函数f(x)的零点个数为2.故选C.
10.B 因为y=与y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且f(x0)=0,所以当00.故选B.
11.B 由题中表格可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0.
由函数零点存在定理知,函数y=f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上分别至少存在1个零点,所以函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.
虽然f(1)f(2)>0,但函数y=f(x)在[1,2]上也有可能存在一个或多个零点.同理,在[5,6]上也如此.
12.C ∵α,β是函数f(x)的两个零点,
∴f(α)=f(β)=0.
又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
13.C 函数f(x)=若f(x)恰有两个零点,
可得2x-1=0,解得x=0<1;(x-a)(x-2a)=0,可得x=a或x=2a,
由a≥1,2a<1,可得a∈ ;由2a≥1,a<1,可得≤a<1,
综上可得a的取值范围是,1.故选C.
14.a观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a15.-1 (0,1) 由方程f(x0)=-1得解得x0=-1.关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根等价于y=f(x)的图象与y=k的图象有两个不同的交点,观察图象可知,当016.解(1)当a>0,f(a)=1,即a2-3a+2=1,解得a=,均满足条件.当a≤0时,∵ea>0,ea+1>1,
∴f(a)=1无解.故a=.
(2)在同一坐标系内分别作出y1=f(x)和y2=m的图象如图所示.
当x≤0时,f(x)单调递增,1当x>0时,f(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,f=-.
故当117.解(1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,
∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.则解得k=-2.
(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,∴则4.5.2 用二分法求方程的近似解
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列函数中,能用二分法求函数零点的有( )
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x
D.f(x)=ex-2
2.(2021江西上高二中高二期末)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)= 0.625 f(1.25)= -0.984
f(1.375)= -0.260 f(1.437 5)= 0.162 f(1.406 25)= -0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A.1.4 B.1.3
C.1.2 D.1.5
3.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点,其中a>0,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间内可能有零点
B.函数f(x)在区间内可能有零点
C.函数f(x)在内无零点
D.函数f(x)的零点可能是
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为 .
5.下表是连续函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值:
x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438
f(x) -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165
x 1.5 1.625 1.75 1.875 2
f(x) 0.625 1.982 2.645 4.35 6
由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为 .(精确到0.1)
6.已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)证明:f(x)有且只有一个零点;
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.
B级 关键能力提升练
7.在用二分法求的近似值的过程中,可以构造函数f(x)=x2-2(x>0),我们知道f(1)·f(2)<0,所以∈(1,2),要使的近似值满足精确度为0.1,则对区间(1,2)至少二等分的次数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.用二分法求方程ln x-=0在[1,2]上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为( )
A.(1,1.25) B.(1,1.5)
C.(1,2) D.(1.5,2)
9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是( )
A.f B.f(2)
C.f(1) D.f
10.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.531 25 0.562 5
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066
x 0.625 0.75 1
f(x) 0.215 0.512 1.099
由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是( )
A.0.625 B.-0.009
C.0.562 5 D.0.066
11.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0)≈ 0.200 f(1.587 5)≈ 0.133 f(1.575 0)≈ 0.067
f(1.562 5)≈ 0.003 f(1.556 2)≈ -0.029 f(1.550 0)≈ -0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为 (精确到0.01).
12.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.
C级 学科素养创新练
13.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,3)内是否有零点 若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.18,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
1.ACD f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值总是异号.故选ACD.
2.A 由表格中参考数据可得f(1.437 50)>0,f(1.406 25)<0,又因为题中要求精确到0.1,所以近似根为1.4,故选A.
3.ABD 根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在中,或f=0,故选ABD.
4.[2,2.5] 因为f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0,
所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0.
所以下一个有解区间应为[2,2.5].
5.1.4 由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间[1.406 5,1.438]上,由精确度可知近似解可为1.4.
6.(1)证明令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且>1,x1-x2>0.
∴f(x1)>f(x2),即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)至多有一个零点.又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.
∴f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.
(2)解∵f(2)<0,f(3)>0,取x1=,f=ln -1<0,
∴f(3)f<0,即f(x)零点x0∈,3.
取x2=,则f=ln>0.
∴ff<0.
∴x0∈.又=,
∴满足题意的区间为.
7.B 设要计算n次,则n满足<0.1,即2n>10.故计算4次就可满足要求.
所以将区间(1,2)等分的次数为4次.故选B.
8.D 令f(x)=ln x-,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0,
f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=ln -ln e2<(ln 4-2)=0,所以下一个有根区间为(1.5,2).故选D.
9.BD 由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在区间(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;④零点在区间1,内,则有f(1)·f<0,则f(1)>0,f<0,则取中点;⑤零点在区间内,则有f·f<0,则f>0,f<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f.
10.C 设近似解为x0,
因为f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0,
所以x0∈(0.531 25,0.562 5).
因为0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.05,
所以方程的近似解可取为0.562 5,故选C.
11.1.56 由表知,f(1.556 2)=-0.029,f(1.562 5)=0.003,则f(1.556 2)f(1.562 5)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.
12.解因为f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,
所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2,-1]上有零点x0.
至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:
取区间[-2,-1]的中点x1==-,且f-=-+5=-<0,所以x0∈-,-1.
取区间-,-1的中点x2==-,
且f-=+5>0,
所以x0∈-,-.
取区间-,-的中点x3==-,
且f-=+5>0,
所以x0∈-,-.
因为---<0.2,所以区间-,-的中点x4==-即为零点的近似值,即x0≈-,所以至少需进行3次函数值的计算.
13.解(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
理由如下:令0≤x1故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
(2)g(x)=+log2x-2是增函数.
∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(3)=+log23-2>0,g(2)=+log22-2=-1>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.
∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,∴函数的零点在(1.5,1.75)内.4.5.3 函数模型的应用
A级 必备知识基础练
1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( )
2.有一组实验数据如下:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.V=log2t B.V=lot
C.V= D.V=2t-2
3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
4.(2022福建泉州高一期末)已知火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料质量M(单位:kg)、火箭质量m(单位:kg)的关系是v=2 000ln1+.若火箭的最大速度为9 240 km/s,则≈( )(参考数值:e4.62≈101)
A. B. C.10 D.100
5.已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k= ,经过5 h,1个病毒能繁殖 个.
6.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过 h才能开车(结果精确到1 h,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48).
7.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从哪年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
B级 关键能力提升练
8.(2021广西河池高一期末)某化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份产量为( )
A.106吨 B.108吨 C.110吨 D.112吨
9.(2021福建福州高一期末)已知比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为30~40分贝(符号:dB),声强I(单位:W/m2)与声强级L(单位:dB)的函数关系式为I=b·10aL(a,b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为10-5.2 W/m2,声强级为68 dB,驶进市区附近降低速度后的声强为10-6.5 W/m2,声强级为55 dB,若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求,则声强的最大值为( )
A.10-9 W/m2 B.10-8 W/m2
C.10-7 W/m2 D.10-6 W/m2
10.(多选题)(2021江苏连云港高二期末)已知2000年底,人类知识总量为a,假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天计算)是每73天翻一番,则下列说法正确的是( )
A.2006年底人类知识总量是2a
B.2009年底人类知识总量是8a
C.2019年底人类知识总量是213a
D.2020年底人类知识总量是218a
11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(单位:ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间存在函数关系y=27-mt(m为常数),则m= ;若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,那么至少需要排气 分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.
12.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:
强度/J 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4
注:地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度x和震级y的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于 .(取lg 2≈0.3进行计算)
13.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确的叙述是 .(填序号)
14.(2021福建宁德高一期末)为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N*)时,水的杂质含量为y.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求 (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
C级 学科素养创新练
15.(2022山东聊城高一期末)测得某水域2020年二月底浮萍覆盖面积为45 m2,四月底浮萍覆盖面积为80 m2,八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2020年1月底记x=1,2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mlog2x+n(m>0)可供选择.
(1)你认为选择哪个模型更符合实际 并解释理由;
(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2 (可能用到的数据log215≈3.9,≈1.37,≈66.72)
4.5.3 函数模型的应用
1.D 设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.
2.C 当t=4时,选项A中的V=log24=2,
选项B中的V=lo4=-2,
选项C中的V==7.5,
选项D中的V=2×4-2=6,故选C.
3.BC 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则,即,由nlg≤-lg 20,即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),得n≥≈7.4.
4.D 由题意,火箭的最大速度v和燃料质量M、火箭质量m的关系是v=2 000ln1+,可得v=2 000ln1+=9 240,即ln1+==4.62,所以1+=e4.62≈101,可得=100.故选D.
5.2ln 2 1 024 当t=0.5时,y=2,
∴2=,∴k=2ln 2,
∴y=e2tln 2.当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
6.2 设经过n h后才能开车,
此时酒精含量为0.3(1-25%)n.
根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,
则有nlg=n(lg 3-2lg 2)≤lg =lg 2-lg 3,
将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,
∴n≥,故至少要经过2 h才能开车.
7.解设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,
由题意可得y=400×(1+50%)n=400×n,n∈N*,
当y=4 000时,有n=10,两边取对数可得n(lg 3-lg 2)=1,
∴n(0.477 1-0.301 0)=1,0.176 1n=1,解得n≈6,
∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.
8.B 因为化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,所以一月份的产量为100×(1+20%)=120(吨).又因为二月份比一月份减产10%,
所以二月份的产量为120×(1-10%)=108(吨).故选B.
9.B 由题意可知解得a=0.1,b=10-12,所以I=10-12×100.1L=100.1L-12,所以当L取最大值40时,I取得最大值100.1×40-12=10-8(W/m2),故选B.
10.BCD 2006年底人类知识总量为a×2×2=4a,故A错误;2009年底人类知识总量为a×2×2×2=8a,故B正确;2019年底人类知识总量为8a×210=213a,故C正确;2020年底人类知识总量为213a×25=218a,故D正确.故选BCD.
11. 32 ∵函数y=27-mt(m为常数)经过点(4,64),
∴64=27-4m,解得m=.故y=.
由,解得t≥32.
故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
12. 由记录的部分数据可知x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.
所以
②-①,得0.2=alg,0.2=alg 2.
所以a=.
13.①③ 由图象可得,当t=2时,y=,即a2=,
解得a=.故y=.
所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=,所以①正确;
第一个月的减少量为1-;
第二个月的减少量为,显然两者不同,所以②错误;
③由已知,所以,即,所以t1+t2=t3,故③正确.
14.解(1)因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,所以每次过滤后所含的杂质是前一次的,故y=a%×,x∈N*.
(2)设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求,则
a%×≤0.002a%,所以,
所以lgx≤lg,即xlg≤lg,
所以x≥≈5.7,又x∈N*,所以x≥6.
故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.
15.解(1)若选择数据(2,45)和(4,80),
由解得m=35,n=10,
则y=35log2x+10,
当x=8时,y=35log28+10=115,与实际情况相符;
由解得a=,k=,
则y=×x,
当x=8时,y=×8=>115,与实际情况差别比较大,故选函数模型y=35log2x+10.
(2)因为35log215+10≈35×3.9+10=146.5,