第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
A级 必备知识基础练
1.(多选题)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若角θ是第四象限角,则角90°+θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.与-468°角的终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°+456°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+252°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+96°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-252°,k∈Z}
4.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( )
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=k·360°+180°,k∈Z
C.α-β=k·360°+180°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
5.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= .
6.与-2 022°角终边相同的最小正角是 ,最大负角是 .
7.
已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.
B级 关键能力提升练
8.下列各角中,与27°角终边相同的角是( )
A.63° B.153°
C.207° D.387°
9.已知集合M=ββ=±45°,k∈Z,P=ββ=±90°,k∈Z,则M,P之间的关系为( )
A.M=P B.M P
C.M P D.M∩P=
10.(多选题)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是( )
A.B=A∩C
B.B∪C=C
C.B∩A=B
D.A=B=C
11.(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
12.终边落在直线y=-x上的角的集合是 .
C级 学科素养创新练
13.设集合M=xx=·180°+45°,k∈Z,N=xx=·180°+45°,k∈Z,那么( )
A.M=N
B.N M
C.M N
D.M∩N=
5.1.1 任意角
1.AC 当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,α为第三象限角;
当k=2m(m∈Z)时,α=m·360°+45°,α为第一象限角.
综上,角α的终边落在第一象限或第三象限.
2.A 如图,将角θ的终边按逆时针方向旋转90°得角90°+θ的终边,则角90°+θ是第一象限角.
3.B 因为-468°=-2×360°+252°,所以252°角与-468°角的终边相同,所以与-468°角的终边相同的角为k·360°+252°,k∈Z,故选B.
4.B (方法1 特值法)
令α=30°,β=150°,则α+β=180°,α-β=-90°,只有选项B满足条件.
(方法2 直接法)
因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°+180°,k∈Z.
5.-30°+k·360°,k∈Z 在-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.
6.138° -222° 因为-2 022°=-6×360°+138°,138°-360°=-222°,所以最小正角为138°,最大负角为-222°.
7.解在0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°或210°<α<330°,
故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α
8.D 与27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°,故与27°角终边相同的角是387°.故选D.
9.B 对于集合M,β=±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z;对于集合P,β=±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z,∴M P.
10.BC 对A,A∩C除了锐角,还包括其他角,比如-330°角,所以A选项错误;
对B,锐角是小于90°的角,故B选项正确;
对C,锐角是第一象限角,故C选项正确;
对D,A,B,C中角的范围不一样,所以D选项错误.
11.AC 因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α12.{β|β=150°+k·180°,k∈Z} 在0°~360°范围内,终边落在直线y=-x上的角有两个,即150°角与330°角.又所有与150°角终边相同的角构成的集合S1={β|β=150°+k·360°,k∈Z},所有与330°角终边相同的角构成的集合S2={β|β=330°+k·360°,k∈Z},于是,终边落在直线y=-x上的角的集合S=S1∪S2={β|β=150°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}={β|β=150°+n·180°,n∈Z}.5.1.2 弧度制
A级 必备知识基础练
1.若α=-3,则角α的终边落在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.将2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是( )
A.10π- B.10π+
C.12π- D.10π+
3.某市在创建全国文明城市活动中,计划在某老旧小区内建立一个扇形绿化区域.若该区域的半径为20米,圆心角为45°,则这块绿化区域占地 平方米.
4.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N等于 .
5.已知扇形半径为8,弧长为12,则圆心角大小是 弧度,扇形面积是 .
6.已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈.
B级 关键能力提升练
7.下图(阴影部分)能表示集合αkπ+≤α≤kπ+,k∈Z中角的范围的是( )
8.(2022四川成都高一期末)已知扇形的周长是8 cm,当扇形面积最大时,扇形的圆心角的大小为( )
A. B. C.1 D.2
9.(多选题)下列转化结果正确的是( )
A.67°30'化成弧度是 rad
B.- rad化成角度是-600°
C.-150°化成弧度是- rad
D. rad化成角度是15°
10.(多选题)圆的一条弦的长度等于半径长,则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )
A. B. C. D.
11.(2022天津和平高一期末)已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的圆心角的大小是 .
12.若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α= .
C级 学科素养创新练
13.如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒转弧度,点Q按顺时针方向每秒转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间及P,Q点各自走过的弧长.
5.1.2 弧度制
1.C 因为-π<-3<-,所以角α的终边落在第三象限.
2.B 2 025°=5×360°+225°,225°=,故2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为10π+.
3.50π 45°化为弧度为,则这块绿化区域占地面积为×202=50π(平方米).
4. 由-π<<π,得-因为k∈Z,所以当k=-1,0,1,2时M中的元素满足条件,故M∩N=.
5. 48 |α|=,S=lr=×12×8=48.
6.解(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=,
∴α=+(-3)×2π,
∴α与角终边相同,
∴α是第四象限角.
(2)∵与α终边相同的角为2kπ+,k∈Z,
∴γ=2kπ+,k∈Z.
又γ∈,
∴-<2kπ+,k∈Z,
解得k=-1,
∴γ=-2π+=-.
7.C k为偶数时,集合对应的区域为y轴非负半轴及第一象限内直线y=x左上的部分(包含边界);k为奇数时,集合对应的区域为y轴非正半轴及第三象限内直线y=x右下的部分(包含边界).
8.D 设扇形半径为r cm,弧长为l cm.
∵扇形的周长为8 cm,∴2r+l=8,即l=8-2r,0∴S=lr=(8-2r)r=-r2+4r=-(r-2)2+4.
∴当半径为2 cm时,扇形的面积最大为4 cm2,此时l=8-2×2=4.
设扇形的圆心角为α,则|α|==2.故选D.
9.ABD 对于A,67°30'=67.5× rad= rad,正确;
对于B,- rad=-°=-600°,正确;
对于C,-150°=-150× rad=- rad,错误;
对于D, rad=°=15°,正确.
10.AD 设该弦所对的圆周角为α,则其圆心角为2α或2π-2α.由于弦长等于半径长,所以2α=或2π-2α=,解得α=或α=.
11.1或4 设扇形的半径为r,弧长为l,
则l+2r=12,S=lr=8,解得r=2,l=8或r=4,l=4.
设扇形的圆心角为α,则|α|==1或4.
12.-或- 如图所示,设角的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边且在0到2π之间的角为,
故以OB为终边的角的集合为αα=2kπ+,k∈Z.
∵α∈(-4π,4π),
∴-4π<2kπ+<4π,
∴-∵k∈Z,∴k=-2,-1,0,1,
∴α=-,-.
13.解如图,设P,Q第一次相遇(点C)时所用的时间是t秒,
则t·+t·=2π,
解得t=4,
即P,Q第一次相遇时所用的时间为4秒.5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
A级 必备知识基础练
1.(2022河北唐山高一期末)sin(-1 080°)=( )
A.- B.1 C.0 D.-1
2.点A(x,y)是60°角的终边与单位圆的交点,则的值为( )
A. B.- C. D.-
3.当α为第二象限角时,的值是 ( )
A.1 B.0 C.2 D.-2
4.tan的值等于( )
A. B.- C. D.
5.角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且m2+n2=10,则m-n等于( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
6.已知角α的终边经过点P(x,-6),且tan α=-,则x的值为 .
7.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-,-1),则tan α= ;cos α-sin α= .
B级 关键能力提升练
8.点P从(1,0)出发,沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
9.(2022江苏南京高一期末)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则( )
A.sin α>0 B.sin α<0
C.cos α>0 D.cos α<0
10.在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,则a等于( )
A.1 B.
C.1或 D.1或-3
11.α是第三象限角,且=-cos,则为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
12.角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则cos α= .
13.已知角θ的顶点为坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y= ,tan θ= .
14.求下列各式的值:
(1)sin+tan;
(2)sin(-1 380°)cos 1 110°+tan 405°.
C级 学科素养创新练
15.(多选题)已知角α是第一象限角,则下列结论中正确的是( )
A.sin 2α>0 B.cos 2α>0
C.cos>0 D.tan>0
5.2.1 三角函数的概念
1.C sin(-1 080°)=sin(-3×360°+0°)=sin 0°=0.故选C.
2.A 由三角函数定义知=tan 60°=.
3.C ∵α为第二象限角,
∴sin α >0,cos α<0,
∴=2,故选C.
4.A tan=tan=tan.
5.A 由题意知
∴m=-1,n=-3,
∴m-n=2,故选A.
6.10 由已知,得tan α==-,即=-,解得x=10.
7. ∵角α终边过点P(-,-1),
∴|OP|=2(O为坐标原点),
∴tan α=,sin α=-,cos α=-,
∴cos α-sin α=.
8.A 由题意知圆心角α=角的终边与单位圆的交点坐标为,故选A.
9.C ∵角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),∴由三角函数的定义可知sin α=符号不确定,故A,B均错误;cos α=>0,故C正确,D错误.故选C.
10.A 由题意得cos α=,化简得a2+2a-3=0,解得a=-3或1.当a=-3时,点P(-3,-6)在第三象限,cos α<0,与题意不符,舍去.
经验证a=1符合题意,故选A.
11.B 因为α是第三象限角,
所以2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
所以kπ+所以为第二或第四象限角.
又因为=-cos,所以cos<0.
所以为第二象限角.
12.- 由题意可得|OP|==5|a|(O为坐标原点).
当a>0时,|OP|=5a,则cos α==-;
当a<0时,|OP|=-5a,则cos α=.
13.-8 -2 易知y<0,|OP|=.
根据任意角三角函数的定义,得=-,
解得y=-8或y=8(舍去),
所以tan θ==-2.
14.解(1)原式=sin+tan=sin+tan.5.2.2 同角三角函数的基本关系
A级 必备知识基础练
1.化简的结果是( )
A.cos 160° B.±|cos 160°|
C.±cos 160° D.-cos 160°
2.已知cos α+sin α=-,则sin αcos α的值为 ( )
A.- B.± C.- D.±
3.(2022北京东城高一期末)已知tan α=-1,则2sin2α-3cos2α=( )
A.- B.- C. D.
4.若tan α=2,则+cos2α=( )
A. B.- C. D.-
5.若α是第三象限角且cos α=-,则sin α= ,tan α= .
6.已知α为第二象限角,则cos α+sin α= .
7.已知θ为第四象限角,sin θ+3cos θ=1,则tan θ= .
8.已知tan α=,求下列各式的值:
(1);
(2).
B级 关键能力提升练
9.已知α是三角形的一个内角,且sin α+cos α=,那么这个三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
10.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )
A. B. C.1 D.
11.若cos α+2sin α=-,则tan α等于( )
A. B.2 C.- D.-2
12.(多选题)化简的值可以为( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
13.已知,则等于( )
A. B.- C.2 D.-2
14.已知cos,0<α<,则sinα+= .
15.设a>0,且a≠1,若loga(sin x-cos x)=0,则sin8x+cos8x= .
C级 学科素养创新练
16.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sin α,cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根 若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由.
5.2.2 同角三角函数的基本关系
1.D =|cos 160°|=-cos 160°.
2.A 由已知得(cos α+sin α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2sin αcos α=,
解得sin αcos α=-.
3.B 因为tan α=-1,
所以cos α≠0,
则2sin2α-3cos2α==-.故选B.
4.A ∵tan α=2,
∴cos α≠0,
∴+cos2α=,故选A.
5.- ∵α是第三象限角且cos α=-,
∴sin α=-=-,
∴tan α=.
6.0 由题可知cos α≠0,
所以原式=cos α+sin α=cos α+sin α,
因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
所以cos α+sin α=-1+1=0.
7.- 由题意知(sin θ+3cos θ)2=sin2θ+cos2θ,得6sin θcos θ=-8cos2θ.因为θ为第四象限角,所以cos θ≠0,所以tan θ=-.
8.解 由题可知cos θ≠0.
(1).
(2).
9.B ∵sin α+cos α=,
∴(sin α+cos α)2=,
即1+2sin αcos α=,
∴sin αcos α=-<0.
又α是三角形的一个内角,
∴α∈.
∴三角形为钝角三角形.
10.C 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
11.B (方法1)由联立消去cos α,
得(--2sin α)2+sin2α=1,
化简得5sin2α+4sin α+4=0,
∴(sin α+2)2=0,
∴sin α=-,
∴cos α=--2sin α=-,
∴tan α==2.
(方法2)由题可知cos α≠0.
∵cos α+2sin α=-,
∴cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5,
∴=5,
∴=5,
∴tan2α-4tan α+4=0,
∴(tan α-2)2=0,∴tan α=2.
12.ABCD 原式=.
当α为第一象限角时,上式值为3;
当α为第二象限角时,上式值为1;
当α为第三象限角时,上式值为-3;
当α为第四象限角时,上式值为-1.
13.B 由题可知sin x≠1,cos x≠0.
因为,所以=-.
14. ∵sin2+cos2=1,
∴sin2=1-.
∵0<α<,
∴<α+,
∴sin.
15.1 设a>0且a≠1.
因为loga(sin x-cos x)=0,
所以sin x-cos x=1,
所以(sin x-cos x)2=x-2sin xcos x=1,
所以sin xcos x=0.
由=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x=1,
则sin4x+cos4x=1,
所以sin8x+cos8x=-2sin4xcos4x==1.
16.解假设存在实数m满足条件,
则由题设得Δ=36m2-32(2m+1)≥0. ①
∵α为第三象限角,
∴sin α<0,cos α<0,
∴sin α+cos α=-m<0, ②
sin αcos α=>0. ③
又sin2α+cos2α=1,
∴(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1.
把②③代入上式得-2×=1,
即9m2-8m-20=0,解得m1=2,m2=-.
∵m1=2不满足条件①,舍去;5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
A级 必备知识基础练
1.计算cos(-330°)的值是( )
A.- B.- C. D.
2.若cos(π-α)=-,则cos(-2π-α)的值为 ( )
A. B.± C.- D.±
3.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是( )
A. B.- C.± D.
4.已知tan,则tan等于 ( )
A. B.- C. D.-
5.若P(-4,3)是角α终边上一点,则的值为 .
6.已知sin,则sin= ,cos-αcosα-= .
7.已知sin(540°+α)=,求:
的值.
B级 关键能力提升练
8.sin-cos-tan的值为 ( )
A.-2 B.0 C. D.1
9.记cos(-80°)=k,则tan 100°=( )
A. B.-
C. D.-
10.=( )
A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2
C.±(sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2
11.(2022北京海淀高一期末)已知2cos2α-3sin2α=1,α∈-,-π,那么tan α的值为 ( )
A.2 B.-2 C. D.-
12.(多选题)已知cos(π-α)=-,则sin(-2π-α)的值可以为( )
A. B.-
C.- D.
13.(多选题)已知f(x)=sin x,下列式子中不成立的有( )
A.f(x+π)=sin x
B.f(2π-x)=sin x
C.f(x-π)=-sin x
D.f(π-x)=-f(x)
14.(多选题)已知A=(k∈Z),则A的值可以为( )
A.-1 B.-2
C.1 D.2
15.已知a=tan-,b=cos,c=sin-,则a,b,c的大小关系是 .(用“>”表示)
16.已知f(n)=sin(n∈Z),则f(1)= ,f(7)= ,f(1)+f(2)+…+f(8)= ,f(1)+f(2)+…+f(100)= .
17.已知f(x)=(n∈Z).
(1)化简f(x)的表达式;
(2)求f.
C级 学科素养创新练
18.已知f(x)=则f+f的值为 .
19.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cos A=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
第1课时 诱导公式二、三、四
1.D cos(-330°)=cos 330°=cos(360°-30°)=cos(-30°)=cos 30°=.故选D.
2.A ∵cos(π-α)=-cos α=-,
∴cos α=,
∴cos(-2π-α)=cos(-α)=cos α=.
3.B 因为sin(π+α)=-sin α=,
所以sin α=-.
又α是第四象限角,
所以cos α=,
所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-.故选B.
4.B 因为tan=tanπ--α=-tan,所以tan=-.
5.- 由题意知sin α=,原式==-=-=-.
6.- sin=sinα-+π=-sinα-=-,
coscos=cosα-cosα--2π=cos2=1-sin2.
7.解∵sin(540°+α)=,∴sin α=-,∴原式==-sin α=.
8.D 原式
=-sin-cos-tan
=-sin-cos-tan
=-+cos+tan=-+1=1.
9.B ∵cos(-80°)=cos 80°=k,sin 80°=,∴tan 100°=-tan 80°=-.故选B.
10.A =|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.
11.D 因为2cos2α-3sin2α=2(1-sin2α)-3sin2α=1,
所以sin2α=,cos2α=.
因为α∈-,-π,
所以sin α=,cos α=-,可得tan α==-.故选D.
12.AB 因为cos(π-α)=-cos α=-,
所以cos α=,所以α为第一或第四象限角,
所以sin α=±=±,
所以sin(-2π-α)=sin(-α)=-sin α=±.
13.ABD f(x+π)=sin(x+π)=-sin x,f(2π-x)=sin(2π-x)=-sin x,f(x-π)=sin(x-π)=-sin(π-x)=-sin x,f(π-x)=sin(π-x)=sin x=f(x),故ABD不成立.
14.BD 当k为偶数时,A==2;当k为奇数时,A=-=-2.故选BD.
15.b>a>c 因为a=-tan=-,
b=cos,c=-sin=-,所以b>a>c.
16. - 0 1+ ∵f(n)=sin (n∈Z),
∴f(1)=sin,f(2)=sin=1,f(3)=sin,f(4)=sin=0,f(5)=sin=-,f(6)=sin=-1,f(7)=sin=-,f(8)=sin=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(8)=0,
且f(n)以8为周期循环,则f(1)+f(2)+…+f(100)=12×0+sin+sin+sin+sin=sin +sin +sin +sin =1+.
17.解f(x)的定义域为(2n+1)π-x≠+nπ,
即x≠+nπ,n∈Z.
(1)当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,
f(x)==sin2x;
当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时,
f(x)==sin2x.
综上,f(x)=sin2x.
(2)由(1)知f=sin2=sin2672π+=sin2=sin2=sin2.
18.-2 因为f=sin=sin-2π+=sin,f=f-1=f-2=sin-2=--2=-,
所以f+f=-2.
19.解由题意得sin A=sin B,cos A=cos B,
平方相加得2cos2A=1,
所以cos A=±.
又因为A∈(0,π),
所以A=.
当A=时,cos B=-<0.
因为B∈(0,π),
所以B∈,所以A,B均为钝角,不合题意,舍去,
所以A=,cos B=,第2课时 诱导公式五、六
A级 必备知识基础练
1.若α∈,则=( )
A.sin α B.-sin α
C.cos α D.-cos α
2.已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°等于( )
A.a B.-a
C.a2 D.
3.如果角θ的终边经过点,那么sin+θ+cos(π-θ)+tan(2π-θ)等于( )
A.- B. C. D.-
4.(2021黑龙江哈尔滨南岗高一期末)已知sin+α=-,则cos-α=( )
A. B. C.- D.-
5.α为锐角,2tan(π-α)-3cos=-5,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin α=( )
A. B. C. D.
6.若cos α=,且α是第四象限的角,则sin α= ,cos= .
7.若sin,则cos2= .
8.(2021天津东丽高一期末)已知sin(π+α)=-,α∈,π,求.
B级 关键能力提升练
9.(2022吉林公主岭高一期末)已知角θ终边经过点(3,-4),则= ( )
A. B. C.- D.-
10.计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°等于 ( )
A.89 B.90 C. D.45
11.已知cos(60°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( )
A.- B. C.- D.
12.已知角α的终边上有一点P(1,3),则的值为( )
A.- B.- C.- D.-4
13.(多选题)(2021山东青岛高一期末)在△ABC中,下列等式恒成立的是( )
A.tan(A+B)=tan C
B.cos(2A+2B)=cos 2C
C.sin=sin
D.sin=cos
14.(多选题)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是( )
A.sin β= B.cos(π+β)=
C.tan β= D.tan β=
15.已知sin,则sin= ,cos= .
16.已知cos=2sin,则= .
17.已知sin α=,则sin(α-π)cos(2π-α)的值为 .
18.已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值;
(2)求的值.
C级 学科素养创新练
19.是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=coscos(-α)=-cos(π+β)同时成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
第2课时 诱导公式五、六
1.B ∵α∈,∴sin α<0,
∴=-sin α.
2.A cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a.
3.B 易知tan θ=-,
所以原式=cos θ-cos θ-tan θ=.
4.C ∵sin+α=-,∴cos-α=cos-+α=sin+α=-,故选C.
5.C 由条件可知-2tan α+3sin β=-5, ①
tan α-6sin β=1. ②
①×2+②可得tan α=3,即sin α=3cos α.
又sin2α+cos2α=1,α为锐角,
所以cos α=,sin α=.
6.- - 因为α是第四象限的角,
所以sin α=-=-,
于是cos=-cos=sin α=-.
7. sin=cos θ=,则cos2=sin2θ=1-cos2θ=1-.
8.解 ∵sin(π+α)=-sin α=-,α∈,π,
∴sin α=,∴cos α=-=-.
=-=-.
9.A ∵角θ终边经过点(3,-4),∴tan θ=-,则=-,故选A.
10.C ∵sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1,
sin22°+sin288°=sin22°+cos22°=1,……,
∴sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=44+sin245°=44+.
11.A 由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°,
所以sin(60°+α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-=-=-.
12.A 因为角α终边上有一点P(1,3),
所以cos α≠0,tan α=3,
所以=-.故选A.
13.BD tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,故A不正确;
cos(2A+2B)=cos[2(π-C)]=cos(2π-2C)=cos 2C,故B正确;
sin=sin=cos,故C不正确,D正确.
故选BD.
14.AC ∵sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=,
∴cos α=±.
若α+β=,则β=-α.
A中,sin β=sin-α=cos α=±,
故A符合条件;
B中,cos(π+β)=-cos-α=-sin α=-,
故B不符合条件;
C,D中,tan β=tan=±,故C符合条件,D不符合条件.
15.- sin=sin=-sin=-,cos=cos=cos=sin.
16. 因为cos=2sin,
所以sin α=2cos α,
所以原式=.
17.- 原式=[-sin(π-α)]cos(-α)=(-sin α)cos α=-sin2α=-.
18.解(1)∵角α的终边经过点P,
∴|OP|=1(O是坐标原点),
∴sin α=-.
(2),
由三角函数定义知cos α=,
故所求式子的值为.
19.解由条件,得
①2+②2得sin2α+3cos2α=2,
∴cos2α=.
又α∈,
∴α=或α=-.
将α=代入②,得cos β=.
又β∈(0,π),∴β=,代入①可知符合;
将α=-代入②,得cos β=.5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
A级 必备知识基础练
1.用“五点法”画函数y=1+sin x的简图时,首先应确定五点的横坐标是( )
A.0,,π B.0,,π,,2π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,
2.如图中的曲线对应的函数解析式是( )
A.y=|sin x| B.y=sin|x|
C.y=-sin|x| D.y=-|sin x|
3.已知f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象( )
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位长度,得g(x)的图象
D.向右平移个单位长度,得g(x)的图象
4.若sin x=2m+1且x∈R,则m的取值范围是 .
5.函数y=的定义域是 .
6.利用正弦曲线,写出函数y=2sin x的值域是 .
7.利用“五点法”画出函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的简图.
B级 关键能力提升练
8.在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
9.当x∈[0,2π]时,满足sin≥-的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数f(x)=|sin x|,x∈[-2π,2π],则方程f(x)=的所有根的和等于( )
A.0 B.π C.-π D.-2π
11.方程sin x=的根的个数是( )
A.7 B.8
C.9 D.10
12.(多选题)已知cos x=-,且x∈[0,2π],则x的值为( )
A. B.
C. D.
13.(多选题)满足不等式sin x≥cos x,x∈[0,2π]的x的值可以是( )
A. B.
C. D.
14.函数y=sin x+2|sin x|在[0,2π]上的图象若与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则实数k的取值范围是 ;若与直线y=k有四个不同的交点,则k的取值范围是 .
15.作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点,求a的取值范围.
C级 学科素养创新练
16.函数y=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是 .
17.若方程sin x=在x∈上有两个实数根,求实数a的取值范围.
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1.B 该函数的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同,即0,,π,,2π,故选B.
2.C 排除法,可知C正确.
3.D 由诱导公式,得f(x)=sin=cos x,所以f(x)的图象向右平移个单位长度,得到g(x)的图象.
4.[-1,0] 因为sin x∈[-1,1],所以-1≤2m+1≤1,故-1≤m≤0.
5.,k∈Z 要使函数有意义,只需2cos x- ≥0,即cos x≥.由余弦函数的图象知(如图),所求定义域为,k∈Z.
6.[1,2] 函数y=2sin x的部分图象如图.
由图可知,当x=时,ymax=2,当x=时,ymin=1,
故函数的值域是[1,2].
7.解(1)取值列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y=2-sin x 2 1 2 3 2
(2)描点连线,图象如图所示:
8.A 当x=时,sin=1>=0,故排除选项C,D,当0,故排除选项B.故选A.
9.C 由sin≥-,得cos x≥-.
在同一直角坐标系中画出函数y=cos x,x∈[0,2π]与直线y=-的图象,如图所示.
∵cos=cos=-,∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥-,可得x∈.
10.A 若f(x)=,即|sin x|=,
则sin x=或sin x=-.
因为x∈[-2π,2π],
所以方程sin x=的4个根关于x=-对称(如图),
则对称的2个根之和为-π,则4个根之和为-2π.
同理可得方程sin x=-的四个根之和为2π.
综上,方程f(x)=的所有根的和等于0.故选A.
11.A 在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=的图象(如图所示).由图象,得两函数的图象有7个不同交点,即方程sin x=的根的个数是7,故选A.
12.AC 如图:
由图象可知,x=.
13.BCD 作出y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图.
由图可知sin x≥cos x,x∈[0,2π]的解集为,
故符合题意的有BCD.
14.(1,3) (0,1) y=sin x+2|sin x|=
由题意在坐标系中作出函数的图象如图所示,若有两个不同的交点,则115.解列表如下:
x -π - 0 π
sin x 0 -1 0 1 0
1-2sin x 1 3 1 -1 1
描点、连线,如图
(1)由图象可知图象在直线y=1上方部分时y>1,在直线y=1下方部分时y<1,所以,①当x∈(-π,0)时,y>1;②当x∈(0,π)时,y<1.
(2)如图所示,当直线y=a与函数图象有两个交点时,116.4π 如图所示,将函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方,可得一个矩形,其面积为2π×2=4π.
17.解在同一直角坐标系中作出函数y=sin x,x∈和y=,x∈的图象.5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性、奇偶性
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=-2sin的最小正周期为 ( )
A.6 B.2π C.π D.2
2.下列函数中是奇函数的为( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=3x-sin x D.y=x2+sin x
3.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象可能是( )
4.设函数f(x)=x3cos x+1,若f(a)=11,则f(-a)= .
5.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且当x∈时,f(x)=1-sin x,求当x∈,3π时,f(x)的解析式.
B级 关键能力提升练
6.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
7.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f-的值等于( )
A.1 B. C.0 D.-
8.(多选题)下列函数中周期为π,且为偶函数的是( )
A.y=|cos x| B.y=sin 2x
C.y=sin2x+ D.y=cosx
9.(多选题)若函数y=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称,那么φ的取值可以是( )
A.- B. C.π D.
10.已知函数f(x)=cos,则f(x)的最小正周期是 ,f(x)的图象的对称中心是 .
11.(2022辽宁大连高一期末)设函数f(x)=3sinωx+,ω>0,x∈R,且以为最小正周期.若f=,则sin α的值为 .
C级 学科素养创新练
12.已知函数f(n)=sin,n∈Z.求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)的值.
第1课时 周期性、奇偶性
1.D T==2.
2.C 令f(x)=3x-sin x.易知x∈R,则f(-x)=3·(-x)-sin(-x)=-3x+sin x=-f(x),故函数是奇函数.
3.B 由f(-x)=f(x),得f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除A,C.
由f(x+2)=f(x),则f(x)的周期为2,排除D.故选B.
4.-9 易知x∈R.令g(x)=x3cos x,∴g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cos x=-g(x),∴g(x)为奇函数.
又f(x)=g(x)+1,∴f(a)=g(a)+1=11,g(a)=10,
∴f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-9.
5.解当x∈时,3π-x∈.
∵当x∈时,f(x)=1-sin x,
∴f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x.
又f(x)是以π为周期的偶函数,
∴f(3π-x)=f(-x)=f(x),
∴当x∈时,f(x)的解析式为f(x)=1-sin x.
6.D 由题可知,函数的最小正周期T=≤2,
∴k≥4π,∴正整数k的最小值为13.
7.B f-=f×(-3)+=f=sin.
8.AC 由y=|cos x|的图象(图略)知,y=|cos x|是周期为π的偶函数,所以A正确;
B中函数为奇函数,所以B不正确;
C中y=sin2x+=cos 2x,所以C正确;
D中函数的周期为4π,所以D不正确.
9.ABD 因为函数的图象关于y轴对称,所以该函数是偶函数.所以φ=+kπ,k∈Z.
10.4π +2kπ,0,k∈Z 依题意得T==4π,即函数的最小正周期为4π.令=kπ+(k∈Z),解得x=+2kπ(k∈Z),所以函数的图象的对称中心是+2kπ,0,k∈Z.
11.± 因为f(x)的最小正周期为,ω>0,
所以ω==4.
所以f(x)=3sin4x+.
因为f=3sinα+=3cos α=,
所以cos α=,
所以sin α=±=±.
12.解 ∵f(n)=sin,
∴T==8.
又f(1)=sin,f(2)=sin=1,
f(3)=sin,f(4)=sin π=0,
f(5)=sin=-,f(6)=sin=-1,
f(7)=sin=-,f(8)=sin 2π=0,第2课时 单调性、最大值与最小值
A级 必备知识基础练
1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
2.下列函数中,周期为π,且在上单调递减的是( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
3.函数y=cosx+,x∈0,的值域是 ( )
A.- B.-
C.,1 D.,1
4.函数y=的最小值是( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
5.函数y=sin2x+2cos x的最大值和最小值分别是( )
A.,- B.,-2
C.2,- D.2,-2
6.函数f(x)=sin-x,x∈[0,π]的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
7.sin 1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为 .
8.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω= .
B级 关键能力提升练
9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值可能是( )
A. B.- C. D.
10.函数y=(x∈R)的最大值是( )
A. B. C.3 D.5
11.已知函数f(x)=sin,其中x∈,若f(x)的值域是,则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为( )
A. B.1 C. D.
13.(多选题)(2021广州番禺高一期末)设函数f(x)=sinx-,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的图象关于点-,0对称
D.f(x)在区间0,上单调递增
14.求函数y=sin2x+sin x-1的最大值和最小值.
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.
(1)求ω的值;
(2)求y=f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈,求y=f(x)的值域.
C级 学科素养创新练
16.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上单调递增,α,β是锐角三角形的两个内角,求证:f(sin α)>f(cos β).
第2课时 单调性、最大值与最小值
1.C 画出y=|sin x|的图象即可求解.
故选C.
2.A 因为函数周期为π,所以排除C,D.
又因为y=cos=-sin 2x在上为增函数,所以B不符合.故选A.
3.B 因为0≤x≤,所以≤x+π.
所以cosπ≤cosx+≤cos,
所以-≤y≤.故选B.
4.B 由y==2-,当sin x=-1时,y=取得最小值-2.故选B.
5.B 因为函数y=sin2x+2cos x=1-cos2x+2cos x=-(cos x-1)2+2,又cos x∈.
所以当cos x=-1,即x=π时,函数y取得最小值为-4+2=-2;当cos x=,即x=时,函数y取得最大值为-+2=.
6.,π 0, f(x)=-sinx-,
令-+2kπ≤x-+2kπ,k∈Z,
则-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z时,f(x)单调递减.
又0≤x≤π,所以0≤x≤,
即f(x)的单调递减区间为0,,
同理f(x)的单调递增区间为,π,
所以f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间为0,,单调递增区间为,π.
7.sin 3y=sin x在0,上单调递增,且0<π-3<1<π-2<,所以sin(π-3)即sin 38. ∵x∈,
即0≤x≤,且0<ω<1,
∴0≤ωx≤,
∴f(x)max=2sin,x∈,
∴sin,即ω=.
9.D 由题意,当x=时,f(x)=sin2×+φ=±1,
故+φ=kπ+(k∈Z),
解得φ=kπ+(k∈Z).
当k=0时,φ=,故φ的值可能是.
10.C 由题意有y=-1,而1≤2-cos x≤3,所以≤4,所以≤y≤3.故函数y的最大值是3.
11.D 若-≤x≤α,则-≤x+≤α+,
∵当x+=-或x+时,sin=-,
∴要使f(x)的值域是,
则有≤α+≤α≤π,
即α的取值范围是.
12.A 因为x++-x=,
所以f(x)=sinx++cosx-=sinx++cos-x=sinx++sinx+=sinx+≤.所以f(x)max=.故选A.
13.AD 对于A,ω=1,T=2π,故A正确;
对于B,由x-=kπ+,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,
k=0时,x=,k=-1时,x=-,故B错误;
对于C,由x-=kπ,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,k=0时,x=,k=-1时,x=-,故C错误;
对于D,由-故函数在-上单调递增,故D正确.
故选AD.
14.解令t=sin x∈[-1,1],则y=t2+t-1=,显然-≤y≤1,故函数的最大值为1,最小值为-.
15.解(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.
(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,
所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=.
所以函数f(x)的解析式是y=sin.
令2x+,k∈Z,
解得x∈,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(3)因为x∈,所以2x+.
所以sin,
即函数的值域为.
16.证明由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
因为函数f(x)在[-4,-3]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.
因为α,β是锐角三角形的两个内角,所以α+β>,
即>α>-β>0.
因为y=sin x在上单调递增,
所以sin α>sin=cos β,5.4.3 正切函数的性质与图象
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
2.(多选题)与函数y=tan的图象不相交的一条直线方程是( )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=-
3.函数y=( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
4.下列说法错误的是( )
A.正切函数是周期函数,最小正周期为π
B.正切函数的图象是不连续的
C.直线x=kπ+(k∈Z)是正切曲线的渐近线
D.把y=tan x,x∈的图象向左、右平行移动kπ个单位长度,就得到y=tan x的图象
5.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间0,上单调递增的是( )
A.y=sin 2x B.y=cos 2x
C.y=tan x D.y=sin
6.若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足17.若tan≤1,则x的取值范围是 .
8.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.
B级 关键能力提升练
9.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是( )
10.在区间范围内,函数y=tan x与函数y=sin x 图象交点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.方程tan2x+=在[0,2π)上的解的个数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
12.(多选题)下列关于函数f(x)=tan2x+的相关性质的命题,正确的有( )
A.f(x)的定义域是
B.f(x)的最小正周期是π
C.f(x)的单调递增区间是(k∈Z)
D.f(x)的对称中心是,0(k∈Z)
13.(多选题)对于函数f(x)=asin x+btan x+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的结果可能是 ( )
A.4和6 B.3和1
C.2和4 D.1和2
14.已知函数y=tan ωx在区间上单调递减,则ω的取值范围为 .
15.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:
①对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
②f(x)的图象关于对称;
③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.
其中不正确的说法的序号是 .
16.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增 若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.
C级 学科素养创新练
17.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为,且过点(0,-3).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求满足f(x)≥的x的取值范围.
5.4.3 正切函数的性质与图象
1.A 由题意得
即 k∈Z,
所以x≠(k∈Z),选A.
2.AD 令2x-+kπ,k∈Z,
得x=,k∈Z,
∴直线x=,k∈Z与函数y=tan的图象不相交,∴当k=-1时,x=-;
当k=0时,x=.
3.A 函数的定义域为xx≠kπ+,且x≠π+2kπ,k∈Z,关于原点对称.
设y=f(x)=,
则f(-x)==-f(x).
所以y=f(x)是奇函数.故选A.
4.D 正切函数是周期函数,周期为kπ(k∈Z),最小正周期为π;正切曲线是由相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)(称为渐近线)所隔开的无穷多支曲线组成的,故A,B,C均正确.选项D中,没有明确k的取值,故D错.
5.C 在区间0,上,2x∈(0,π),则y=sin 2x不单调,故A错误;在区间0,上,2x∈(0,π),y=cos 2x单调递减,故B错误;在区间0,上,y=tan x单调递增,且其最小正周期为π,故C正确;根据函数以π为最小正周期,y=sin的周期为=4π,故D错误.故选C.
6.2或3 由题意知1<<2,即k<π<2k.又k∈N,所以k=2或k=3.
7.x-kπ解得-kπ8.解∵-≤x≤,
∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
9.D 当当x=π时,y=0;
当πsin x,y=2sin x,且-210.C 在同一平面直角坐标系中,首先作出y=sin x与y=tan x在区间内的图象,需明确x∈0,时,有sin x11.B 由题意知,2x++kπ,k∈Z,
所以x=,k∈Z.又x∈[0,2π),
所以x=0,,π,,共4个.故选B.
12.AC 对A,令2x++kπ(k∈Z),解得x≠(k∈Z),
则函数y=f(x)的定义域是xx≠,k∈Z,A选项正确;
对B,函数y=f(x)的最小正周期为,B选项错误;
对C,令kπ-<2x+则函数y=f(x)的单调递增区间是(k∈Z),C选项正确;
对D,令2x+(k∈Z),解得x=(k∈Z),
则函数y=f(x)的图象的对称中心为,0(k∈Z),D选项错误.
13.ABC 设g(x)=asin x+btan x,显然g(x)为奇函数.
∵f(1)=g(1)+c,f(-1)=g(-1)+c,
∴f(1)+f(-1)=2c.
∵c∈Z,∴f(1)+f(-1)为偶数.故选ABC.
14.[-1,0) 由题意可知ω<0,
又,故-1≤ω<0.
15.① ①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tan x的图象,可知其关于(k∈Z)对称,令x+φ=,k∈Z,得x=-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.
16.解y=tan-ax=tan-ax+,
∵y=tan x在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上单调递增,
∴a<0,
又x∈,
∴-ax∈-,-,
∴-ax∈,
∴
解得-≤a≤6-8k(k∈Z).
由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.
∴a=-2<0,
∴存在a=-2∈Z,满足题意.
17.解(1)由题意可得f(x)的周期T=.
因为ω>0,所以ω=,得f(x)=Atan,它的图象过点,
所以tan=0,
即tan=0,
所以+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=Atan.
它的图象过点(0,-3),
所以Atan=-3,得A=3,
所以f(x)=3tan.