初中数学北师大版八年级下学期期中考试复习专题：01 等腰三角形、直角三角形
一、单选题
1．（2021八上·鞍山期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，BC＝2BD,根据等边对等角得出∠B＝∠C，据此逐一判断即可.
2．（2021八上·鞍山期末）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故答案为：A.
【分析】由尺规作图，可知MN是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得出AD＝DC，根据等边对等角得出∠C＝∠DAC=30°，利用三角形内角和可求出∠BAC＝95°，利用∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD计算即得.
3．（2021八上·抚顺期末）已知：如图，下列三角形中， ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能.
故答案为：C.
【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形.
4．（2021八下·台州开学考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2s B．4s C．2s或4.5s D．2s或4s
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：AP=BQ=t.
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°.
∵AC=3，
∴AB=2AC=6.
①当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，
∴AQ=2AP，
∴6-t=2t，
∴t=2.
②当∠AQP=90°时，
当0∴t=2(6-t)，
∴t=4（不合题意，舍去）.
当t>3时，P与C重合，则AQ==6-t，
∴t=4.5.
综上，t的值未2s或4.5s.
故答案为：C.
【分析】先根据时间×速度=路程可得AP=BQ=t，然后由直角三角形30°所对的直角边为斜边的一半可求出AB的值，接下来分：①∠APQ=90°，②∠AQP=90°两种情况，利用AQ=2AP和AP=2AQ列方程求解即可.
5．（2021八上·武昌期末）如图，已知： ，点 、 、 在射线ON上，点 、 、 在射线OM上， 、 、 均为等边三角形，若 ，则 的边长为（ ）
A．2017 B．2018 C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
、 是等边三角形，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
当 时，
，
故答案为：C.
【分析】此题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，图形、数字规律问题，由等边三角形性质与直角三角形性质，找三角形边的关系，然后通过观察分析，找出规律，再按规律求解即可.
二、填空题
6．（2021八下·姑苏开学考）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于D，E点，且AC＝EC，则∠BAC＝ .
【答案】108°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】连接AE，如图所示：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB的垂直平分线分别交边AB，BC于D，E点，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∵AC=EC，
∴∠EAC=∠AEC，
设∠B=x°，则∠EAC=∠AEC=2x°，则∠BAC=3x°，
在△AEC中，
x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠BAC=3x°=108°，
故答案为：108°.
【分析】连接AE，多次利用等腰三角形的等边对等角的性质得到相等的角，然后在三角形ABC中利用三角形内角和求得∠C的度数，从而求得答案.
7．（2021八上·曾都期末）等腰三角形有两条边长分别为3cm、5cm，它的周长为 .
【答案】11cm或13cm
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若等腰三角形的腰长为3cm，底边长为5cm，
，
能组成三角形，
它的周长是： ；②若等腰三角形的腰长为5cm，底边长为3cm，
，
能组成三角形，
它的周长是： .
它的周长是：11cm或13cm.
故答案为11cm或13cm.
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系.此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解.由等腰三角形两边长为3cm、5cm，分别从等腰三角形的腰长为3cm或5cm去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形.
8．（2021八上·武昌期末）在 中， ， ， ，则 .
【答案】 或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：①过A作 于D，如图1，
则 ，
在 中， ， ，
，由勾股定理得： ，
在 中， ， ，由勾股定理得： ，
，②如图2，
故答案为： 或 .
【分析】分为两种情况，过A作 于D，在 中求出 ，由勾股定理求出 ，在 中由勾股定理求出CD，即可求出答案.
三、综合题
9．（2021八下·台州开学考）已知：如图，在 中， ， 动点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，设运动的时间为 ，
（1）当 为直角三角形时，求 的值；
（2）当 为等腰三角形时，求 的值。
【答案】（1）解： ，
①当 为直角时，点P与点C重合， ， ；
②当 为直角时，BP=2t cm,CP=(2t-4) cm,AC=3 cm,
在 中，
在 中，
，解得
综上，当 或 时， 为直角三角形
（2）解：①当BP=BA=5时，
②当AB=AP时，BP=2BC=8cm, ;
③当PB=PA时，PB=PA=2t cm,CP=(4-2t) cm,AC=3 cm
在 中， ,解得
综上，当 为等腰三角形时， 或 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）首先由勾股定理求出BC的长，①当∠APB为直角时，BP=BC=4cm，据此可得t的值；当∠BAP为直角时，表示出BP、CP、AC，分别在Rt△ACP、Rt△BAP中表示出AP2，令其相等可得t的值；
（2） 当BP=BA=5时， 利用路程除以速度=时间可得t的值；当AB=AP时，BP=2BC=8cm，求出此时的t的值；当PB=PA时，表示出PB、PA、CP、AC，在Rt△ACP中应用勾股定理可得t的值.
10．（2021八下·台州开学考）有公共顶点A的△ABD，△ACE都是等边三角形.
（1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；
（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD＝90°时，延长EC角BD于F，
①求证：∠DCF＝∠BEF；
②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵△ABD，ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠CAE＝∠E＝∠ACE＝60°，AD＝AB，AC＝AE
∵∠DAC＝∠DAB+∠BAC，∠BAE＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中 ，
∴△DAC≌△BAE，∴∠ACD＝∠E＝60°，
∵E，C，B共线，
∴∠BCD＝180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝60°
（2）解：①∵△ABD，ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠CAE＝∠AEC＝∠ACE＝60°，AD＝AB，AC＝AE
∵∠DAC＝∠DAB﹣∠BAC，∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中 ，
∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠AEB＝∠ACD＝90°，
∴∠BEC＝∠AEB﹣∠AEC＝90°﹣60°＝30°，
∵∠DCF＝180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝30°，
∴∠DCF＝∠BEF；
②DF＝BF，
理由：如图，
在EF上取一点G，使BG＝BF，
∴∠GFB＝∠FGB，
∴∠DFC＝∠BGE，
由（1）知，△DAC≌△BAE，CD＝EB，
∵∠DCF＝∠BEC，
∴△DCF≌△BEG，
∴DF＝BG，
∴DF＝BF.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质以及角度之间的和差关系可推出△DAC≌△BAE ，进而得到∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝180°-∠ACD-∠ACE计算即可；
（2）①用（1）可证△DAC≌△BAE，得到∠AEB=∠ACD=90°，进而求得∠BEC的度数，由∠DCF＝180°-∠ACD-∠ACE可求出∠DCF的度数，进而证明即可；
②在EF上取一点G，使BG＝BF，由等腰三角形的性质以及平角的知识可得∠DFC＝∠BGE，进而证明△DCF≌△BEG，得到DF＝BG，据此可得BF与DF的数量关系.
11．（2021八下·杭州开学考）如图，在 中， 与点 ， 与点 ，且 .
（1）如图①，当 为 中点时，试说明 ;
（2）如图②，当点 在 内部，且 ，试判断 与 的关系.
【答案】（1）解：∵ 为 中点
∴
∵ ，且
∴
（2）解：
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用斜边直角边定理证明△OBE和△OCF全等，则其对应边AB=AC；
（2）根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB，再利用斜边直角边定理证明△OBE和△OCF全等，则其对应角∠ABO=∠ACO，从而得出∠ABC=∠ACB，则AB=AC.
12．（2021八上·崇左期末）如图， ， ， ，点 是 的中点， ．
（1）求证： ；
（2）连结 、 ，试判断 的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明： ，
∴ ，又 ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明： 是等腰三角形．
∵ ，
∴ ；
又 ，点 是 的中点，
∴ ；
如图所示：过点 作 于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
又 ，
∴ ；
∴ ；
∴ 垂直平分 ，
∴ ；
又 ，
∴ ；
∴ 是等腰三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】( 1 )先证明Rt△ABD≌Rt△BCE , 则可求得∠EFB=90° ,可证得结论；
（2）过点D作DG⊥BC于G , 结合条件可证明△ABD≌△GDB ,则可证得BD=CD ,结合条件可证得CD=CE ,即可证明△CDE为等腰三角形.
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期期中考试复习专题：01 等腰三角形、直角三角形
一、单选题
1．（2021八上·鞍山期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
2．（2021八上·鞍山期末）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
3．（2021八上·抚顺期末）已知：如图，下列三角形中， ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021八下·台州开学考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2s B．4s C．2s或4.5s D．2s或4s
5．（2021八上·武昌期末）如图，已知： ，点 、 、 在射线ON上，点 、 、 在射线OM上， 、 、 均为等边三角形，若 ，则 的边长为（ ）
A．2017 B．2018 C． D．
二、填空题
6．（2021八下·姑苏开学考）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于D，E点，且AC＝EC，则∠BAC＝ .
7．（2021八上·曾都期末）等腰三角形有两条边长分别为3cm、5cm，它的周长为 .
8．（2021八上·武昌期末）在 中， ， ， ，则 .
三、综合题
9．（2021八下·台州开学考）已知：如图，在 中， ， 动点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，设运动的时间为 ，
（1）当 为直角三角形时，求 的值；
（2）当 为等腰三角形时，求 的值。
10．（2021八下·台州开学考）有公共顶点A的△ABD，△ACE都是等边三角形.
（1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；
（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD＝90°时，延长EC角BD于F，
①求证：∠DCF＝∠BEF；
②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由.
11．（2021八下·杭州开学考）如图，在 中， 与点 ， 与点 ，且 .
（1）如图①，当 为 中点时，试说明 ;
（2）如图②，当点 在 内部，且 ，试判断 与 的关系.
12．（2021八上·崇左期末）如图， ， ， ，点 是 的中点， ．
（1）求证： ；
（2）连结 、 ，试判断 的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，BC＝2BD,根据等边对等角得出∠B＝∠C，据此逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故答案为：A.
【分析】由尺规作图，可知MN是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得出AD＝DC，根据等边对等角得出∠C＝∠DAC=30°，利用三角形内角和可求出∠BAC＝95°，利用∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD计算即得.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能.
故答案为：C.
【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形.
4．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：AP=BQ=t.
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°.
∵AC=3，
∴AB=2AC=6.
①当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，
∴AQ=2AP，
∴6-t=2t，
∴t=2.
②当∠AQP=90°时，
当0∴t=2(6-t)，
∴t=4（不合题意，舍去）.
当t>3时，P与C重合，则AQ==6-t，
∴t=4.5.
综上，t的值未2s或4.5s.
故答案为：C.
【分析】先根据时间×速度=路程可得AP=BQ=t，然后由直角三角形30°所对的直角边为斜边的一半可求出AB的值，接下来分：①∠APQ=90°，②∠AQP=90°两种情况，利用AQ=2AP和AP=2AQ列方程求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
、 是等边三角形，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
当 时，
，
故答案为：C.
【分析】此题考查了等边三角形性质，直角三角形性质，图形、数字规律问题，由等边三角形性质与直角三角形性质，找三角形边的关系，然后通过观察分析，找出规律，再按规律求解即可.
6．【答案】108°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】连接AE，如图所示：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB的垂直平分线分别交边AB，BC于D，E点，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∵AC=EC，
∴∠EAC=∠AEC，
设∠B=x°，则∠EAC=∠AEC=2x°，则∠BAC=3x°，
在△AEC中，
x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠BAC=3x°=108°，
故答案为：108°.
【分析】连接AE，多次利用等腰三角形的等边对等角的性质得到相等的角，然后在三角形ABC中利用三角形内角和求得∠C的度数，从而求得答案.
7．【答案】11cm或13cm
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若等腰三角形的腰长为3cm，底边长为5cm，
，
能组成三角形，
它的周长是： ；②若等腰三角形的腰长为5cm，底边长为3cm，
，
能组成三角形，
它的周长是： .
它的周长是：11cm或13cm.
故答案为11cm或13cm.
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系.此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解.由等腰三角形两边长为3cm、5cm，分别从等腰三角形的腰长为3cm或5cm去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形.
8．【答案】 或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：①过A作 于D，如图1，
则 ，
在 中， ， ，
，由勾股定理得： ，
在 中， ， ，由勾股定理得： ，
，②如图2，
故答案为： 或 .
【分析】分为两种情况，过A作 于D，在 中求出 ，由勾股定理求出 ，在 中由勾股定理求出CD，即可求出答案.
9．【答案】（1）解： ，
①当 为直角时，点P与点C重合， ， ；
②当 为直角时，BP=2t cm,CP=(2t-4) cm,AC=3 cm,
在 中，
在 中，
，解得
综上，当 或 时， 为直角三角形
（2）解：①当BP=BA=5时，
②当AB=AP时，BP=2BC=8cm, ;
③当PB=PA时，PB=PA=2t cm,CP=(4-2t) cm,AC=3 cm
在 中， ,解得
综上，当 为等腰三角形时， 或 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）首先由勾股定理求出BC的长，①当∠APB为直角时，BP=BC=4cm，据此可得t的值；当∠BAP为直角时，表示出BP、CP、AC，分别在Rt△ACP、Rt△BAP中表示出AP2，令其相等可得t的值；
（2） 当BP=BA=5时， 利用路程除以速度=时间可得t的值；当AB=AP时，BP=2BC=8cm，求出此时的t的值；当PB=PA时，表示出PB、PA、CP、AC，在Rt△ACP中应用勾股定理可得t的值.
10．【答案】（1）解：∵△ABD，ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠CAE＝∠E＝∠ACE＝60°，AD＝AB，AC＝AE
∵∠DAC＝∠DAB+∠BAC，∠BAE＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中 ，
∴△DAC≌△BAE，∴∠ACD＝∠E＝60°，
∵E，C，B共线，
∴∠BCD＝180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝60°
（2）解：①∵△ABD，ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠CAE＝∠AEC＝∠ACE＝60°，AD＝AB，AC＝AE
∵∠DAC＝∠DAB﹣∠BAC，∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中 ，
∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠AEB＝∠ACD＝90°，
∴∠BEC＝∠AEB﹣∠AEC＝90°﹣60°＝30°，
∵∠DCF＝180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝30°，
∴∠DCF＝∠BEF；
②DF＝BF，
理由：如图，
在EF上取一点G，使BG＝BF，
∴∠GFB＝∠FGB，
∴∠DFC＝∠BGE，
由（1）知，△DAC≌△BAE，CD＝EB，
∵∠DCF＝∠BEC，
∴△DCF≌△BEG，
∴DF＝BG，
∴DF＝BF.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质以及角度之间的和差关系可推出△DAC≌△BAE ，进而得到∠ACD的度数，然后根据∠BCD＝180°-∠ACD-∠ACE计算即可；
（2）①用（1）可证△DAC≌△BAE，得到∠AEB=∠ACD=90°，进而求得∠BEC的度数，由∠DCF＝180°-∠ACD-∠ACE可求出∠DCF的度数，进而证明即可；
②在EF上取一点G，使BG＝BF，由等腰三角形的性质以及平角的知识可得∠DFC＝∠BGE，进而证明△DCF≌△BEG，得到DF＝BG，据此可得BF与DF的数量关系.
11．【答案】（1）解：∵ 为 中点
∴
∵ ，且
∴
（2）解：
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用斜边直角边定理证明△OBE和△OCF全等，则其对应边AB=AC；
（2）根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB，再利用斜边直角边定理证明△OBE和△OCF全等，则其对应角∠ABO=∠ACO，从而得出∠ABC=∠ACB，则AB=AC.
12．【答案】（1）证明： ，
∴ ，又 ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明： 是等腰三角形．
∵ ，
∴ ；
又 ，点 是 的中点，
∴ ；
如图所示：过点 作 于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
又 ，
∴ ；
∴ ；
∴ 垂直平分 ，
∴ ；
又 ，
∴ ；
∴ 是等腰三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】( 1 )先证明Rt△ABD≌Rt△BCE , 则可求得∠EFB=90° ,可证得结论；
（2）过点D作DG⊥BC于G , 结合条件可证明△ABD≌△GDB ,则可证得BD=CD ,结合条件可证得CD=CE ,即可证明△CDE为等腰三角形.
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