7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率 7.1.2 全概率公式
A级 必备知识基础练
1.在某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( )
A.0.2 B.0.33
C.0.5 D.0.6
2.若P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)和P(B|A)分别等于( )
A. B. C. D.
3.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲,假如男人、女人各占一半,现随机选一人,则此人恰是色盲的概率是( )
A.0.012 45 B.0.057 86
C.0.026 25 D.0.028 65
4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,B为“第二次取到的是3的整数倍”,则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
5.(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球,先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐,分别以事件A1,A2,A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出一个球,以事件B表示由乙罐取出的球是红球,下列结论正确的是( )
A.事件B与事件A1不相互独立
B.A1,A2,A3是两两互斥的事件
C.P(B)=
D.P(B|A1)=
6.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为 .
7.某种元件用满6 000小时未坏的概率是,用满10 000小时未坏的概率是,现有一个此种元件,已经用满6 000小时未坏,则它能用到10 000小时的概率为 .
8.某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
9.在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,考生至少能答对其中4道题即可通过,至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
10.坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个咸鸭蛋,求:
(1)第1次拿出绿皮咸鸭蛋的概率;
(2)第1次和第2次都拿出绿皮咸鸭蛋的概率;
(3)在第1次拿出绿皮咸鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮咸鸭蛋的概率.
B级 关键能力提升练
11.某社区活动中心打算周末去照看养老院的老人,现有四个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁和有4个需要帮助的养老院可供选择,每个志愿者小组只去一个养老院,设事件A=“4个志愿者小组去的养老院各不相同”,事件B=“小组甲独自去一个养老院”,则P(A|B)等于( )
A. B. C. D.
12.抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点数不同的情况下,有一枚出现6点的概率是( )
A. B. C. D.
13.把外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个、白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,则试验成功的概率为( )
A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64
14.设袋中有6个球,4个新球、2个旧球,第一次比赛取2球,比赛后放回(球用后即视为旧球),第二次比赛再任取2球,则第二次比赛取得2个新球的概率为( )
A. B. C. D.
15.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病,在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应,某地区此种病患者占人口总数的0.5%,则:
(1)某人化验结果为阳性的概率为 (用百分数表示);
(2)若此人化验结果为阳性,则此人确实患有此病的概率为 .
16.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.
C级 学科素养创新练
17.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为,记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)P2的值为 ;
(2)若n∈N,n≥2,用Pn-1表示Pn的表达式为 .
7.1.1 条件概率 7.1.2 全概率公式
1.A 设事件A为“数学不及格”,事件B为“语文不及格”,P(B|A)==0.2.所以数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为0.2.
2.C P(A|B)=,
P(B|A)=
3.C 用事件A,B分别表示随机选一人是男人和女人,用事件C表示此人恰好患色盲,则Ω=A∪B,且A,B互斥,P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=5%+0.25%=0.026 25.
4.B 由题意得P(A)=,
事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”,
若第一次取到的为3或9,第二次有2种情况;
若第一次取到的为1,5,7,第二次有3种情况.
故共有2×2+3×3=13(个)样本点,
则P(AB)=,
由条件概率的定义,得P(B|A)=,故选B.
5.ABD 对于A,由题意可知,事件A1发生与否影响事件B的发生,故事件B与事件A1不相互独立,故A正确;
对于B,A1,A2,A3两两不可能同时发生,故B正确;
对于C,P(B)=,故C不正确;
对于D,已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐,这时乙罐中有11个球,其中红球有7个,因此,在事件A1发生的条件下,事件B发生的概率为P(B|A1)=,故D正确.故选ABD.
6 记“第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,故在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为P(B|A)=
7 设“用满6 000小时未坏”为事件A,“用满10 000小时未坏”为事件B,则P(A)=,P(AB)=P(B)=,故P(B|A)=
8.解记“居民所遇到的一位同学是甲班的”为事件A,“居民所遇到的一位同学是乙班的”为事件,“居民所遇到的一位同学是女生”为事件B.
则P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,由全概率公式可知P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=
9.解记事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题”,事件C为“该考生答对了其中4道题”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由题意可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=,
P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),
故P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)=
故获得优秀成绩的概率为
10.解设“第1次拿出绿皮咸鸭蛋”为事件A,“第2次拿出绿皮咸鸭蛋”为事件B,则“第1次和第2次都拿出绿皮咸鸭蛋”为事件AB.
(1)从5个咸鸭蛋中不放回地依次拿出2个咸鸭蛋包含的样本点的个数为n(Ω)==20.
又n(A)==12,于是P(A)=
(2)因为n(AB)=3×2=6,
所以P(AB)=
(3)由(1)(2),可得在第1次拿出绿皮咸鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮咸鸭蛋的概率为P(B|A)=
11.A 由题意P(A)=,P(AB)=P(A),P(B)=,
∴P(A|B)=
12.A 设“有一枚出现6点”为事件A,“两枚骰子的点数不同”为事件B,则n(B)=6×5=30,n(AB)=10,
所以P(A|B)=
13.A 设A=“从第一个盒子中取得标有字母A的球”,
B=“从第一个盒子中取得标有字母B的球”,
R=“第二次取出的球是红球”,
则P(A)=,P(B)=,P(R|A)=,
P(R|B)=,
P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)==0.59.
14.A 设Ai=“第一次比赛恰取出i个新球”,i=0,1,2,
B=“第二次比赛取得2个新球”,则Ω=A0∪A1∪A2,
且A0,A1,A2两两互斥,
∴P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=
15.(1)1.47% (2) A=“呈阳性反应”,B=“患有此种病”.
(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%.
(2)P(B|A)=
16.解(1)从甲箱中任取2个产品包含的样本点数为=28,这2个产品都是次品包含的样本点数为=3,所以这2个产品都是次品的概率为
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1,B2,B3彼此互斥.
P(B1)=,
P(B2)=,
P(B3)=,
P(A|B1)=,
P(A|B2)=,
P(A|B3)=
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=
17.(1) (2)Pn=-Pn-1+ (1)P2=7.2 离散型随机变量及其分布列
A级 必备知识基础练
1.一串钥匙有6把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为( )
A.6 B.5 C.4 D.2
2.一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出3个小球,下列变量是离散型随机变量的是( )
A.小球滚出的最大距离
B.倒出小球所需的时间
C.倒出的3个小球的质量之和
D.倒出的3个小球的颜色的种数
3.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是( )
A.5 B.9 C.10 D.25
4.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数).
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列结论错误的是( )
A.a=0.1 B.P(X≥2)=0.7
C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3
5.某射手射击所得环数X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A.0.28 B.0.88
C.0.79 D.0.51
6.已知离散型随机变量X的分布列如下表,则实数c为( )
X 0 1
P 9c2-c 3-8c
A. B.
C. D.
7.(多选题)已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),其中a是常数,则( )
A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1
B.a=
C.P(0≤X<2)=
D.以上均不正确
8.一批产品分为一、二、三级,其中一级品数量是二级品的两倍,三级品数量为二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量X,则P≤X≤= .
9.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.如明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223.
第一排 明文字母 A B C
密码数字 11 12 13
第二排 明文字母 E F G
密码数字 21 22 23
第三排 明文字母 M N P
密码数字 1 2 3
(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码;
(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.
①求P(ξ=2);
②求随机变量ξ的分布列.
B级 关键能力提升练
10.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能取值的个数是( )
A.6 B.7 C.10 D.25
11.(多选题)已知随机变量X的分布列如表所示,其中a,b,c成等差数列,则( )
X -1 0 1
P a b c
A.a=
B.b=
C.c=
D.P(|X|=1)=
12.(多选题)下列随机变量服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X
13.若随机变量X的分布列如表所示:
X 0 1 2 3
P a b
则a2+b2的最小值为 .
14.袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量ξ,则P(ξ≤6)= .
15.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.
(1)求获得复赛资格的人数.
(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人
(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数,求X的分布列.
C级 学科素养创新练
16.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S(m,n不相等).
(1)设“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的样本点;
(2)设ξ=m2,求ξ的分布列.
7.2 离散型随机变量及其分布列
1.B 由于是逐次试验,可能前5次都打不开锁,那么剩余钥匙一定能打开锁,故选B.
2.D 对于A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于C,3个小球的质量之和是一个定值,不是随机变量;对于D,倒出的3个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量.
3.B X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.
4.C
5.C P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.
6.A 由离散型随机变量分布列的性质知,9c2-c≥0,3-8c≥0,9c2-c+3-8c=1,
解得c=或c=(舍去).故选A.
7.ABC 根据题意,随机变量X的分布列为
P(X=n)=(n=0,1,2),
则P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)==1,
解得a=,
则P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=
8 设二级品有k个,则一级品有2k个,三级品有个,总数为个.∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴PX=P(X=1)=
9.解(1)这个明文对应的密码是12232.
(2)①∵表格的第一、二列均由数字1,2组成,
∴当ξ=2时,明文只能取表格第一、第二列中的字母.
∴P(ξ=2)=
②由题意可知,ξ的取值为2,3.
∴P(ξ=3)=1-P(ξ=2)=1-
∴ξ的分布列为
ξ 2 3
P
10.C
11.BD ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
由分布列的性质得a+b+c=3b=1,∴b=
∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-
12.BCD
13 由分布列的性质,知a+b=,又a2+b2当且仅当a=b=时等号成立,则a2+b2的最小值为
14 取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球的个数为0,1,2,3,其得分ξ=4,6,8,10,则P(ξ≤6)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=
15.解(1)由题意知在区间(90,110]的频率为1-20×(0.002 5+0.005+0.007 5×2+0.012 5)=0.3,
0.3+(0.012 5+0.005)×20=0.65,
故获得复赛资格的人数为800×0.65=520.
(2)0.012 5∶0.005=5∶2,
在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人,
则在区间(110,130]与(130,150]中各抽取5人,2人.
(3)X的可能取值为0,1,2,则
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=
故X的分布列为
X 0 1 2
P
16.解 (1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.由于m,n∈Z,m,n∈S,且m+n=0,所以A包含的样本点为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1).
(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,
所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9,
且有P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=4)=,P(ξ=9)=
故ξ的分布列为
ξ 0 1 4 9
P7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
A级 必备知识基础练
1.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的均值E(X)等于( )
A.2 B.2或 C. D.1
2.若随机变量ξ的分布列如表所示,则E(ξ)的值为( )
ξ 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A. B. C. D.
3.若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于( )
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A.16 B.11 C.2.2 D.2.3
4.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为( )
A. B. C.2 D.
5.甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率为,乙、丙打中的概率均为(0
A. B. C.1 D.
6.某射手射击所得环数ξ的分布列如下.
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的均值E(ξ)=8.9,则y的值为 .
7.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,则a= ,b= .
8.为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:
处罚金额x/元 0 5 10 15 20
会闯红灯的人数y 80 50 40 20 10
(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少
(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.
①求这两种金额之和不低于20元的概率;
②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.
B级 关键能力提升练
9.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是( )
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
10.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,则E(ξ)等于( )
A.1.48 B.0.76
C.0.24 D.1
11.(多选题)已知随机变量ξ的分布列是
ξ -1 0 2
P cos α
其中α∈0,,则下列表述正确的是( )
A.+cos α=1
B.cos α=,sin α=
C.E(ξ)=1
D.以上均不正确
12.(多选题)设p为非负实数,随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P -p p
则下列说法正确的是( )
A.p∈0, B.E(X)最大值为
C.p∈0, D.E(X)最大值为
13.设l为平面上过点(0,1)的直线,l的斜率k等可能地取-2,-,-,0,,2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变量ξ的均值 E(ξ)= .
14.(2022浙江金华模拟)袋中原有3个白球和2个黑球,每次从中任取2个球,然后放回2个黑球.设第一次取到白球的个数为ξ,则E(ξ)= ,第二次取到1个白球1个黑球的概率为 .
15.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.
16.某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超过4 km时租车费为10元,若行驶路程超出4 km,则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每累计停车5分钟按1 km路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η.
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;
(2)若随机变量ξ的分布列为
ξ 15 16 17 18
P 0.1 0.5 0.3 0.1
求所收租车费η的均值;
(3)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15 km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟
C级 学科素养创新练
17.从一批含有13件正品、2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)=( )
A.2 B.1 C.3 D.4
7.3.1 离散型随机变量的均值
1.C 由分布列的性质知,=1,解得a=1或a=-2(舍去).
所以E(X)=0+1
2.C 根据概率和为1,可得x=,
E(ξ)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=
3.A 由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.
4.D 依题意X=2,3,所以P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=2+3
5.D ,
∴t=3(t=-3舍去).
列出分布列,利用均值公式计算.
记ξ的所有可能取值为0,1,2,
ξ 0 1 2
P
∴E(ξ)=+2
6.0.4 由
解得y=0.4.
7 0 易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3. ①
又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,
即10a+4b=1, ②
由①②,得a=,b=0.
8.解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是
(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=
②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为
X 5 10 15 20 25 30 35
P
故E(X)=5+10+15+20+25+30+35=20.
9.B 出海的期望效益为5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200(元).
10.A 随机变量ξ的取值有1,3两种情况,ξ=3表示三个景点都游览了或都没有游览,所以P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24=0.76,所以随机变量ξ的分布列为
ξ 1 3
P 0.76 0.24
E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48.
11.ABC 对于A,由随机变量的分布列的性质,
得+cos α=1;
对于B,由+cos α=1,得sin α+2cos α=2,
联立
得5cos2α-8cos α+3=0,
解得cos α=或cos α=1(舍去),又α∈0,,
则sin α=;
对于C,E(ξ)=-+2cos α=-+2=1.
12.AB 由表可得解得p∈0,,
均值E(X)=0×-p+1×p+2=p+1,
当且仅当p=时,E(X)最大值=
13 当l的斜率k为±2时,直线l的方程为±2x-y+1=0,此时坐标原点到l的距离ξ=;
当k为±时,ξ=;当k为±时,ξ=;
当k为0时,ξ=1.由古典概型的概率公式可得ξ的分布列为
ξ 1
P
故E(ξ)=+1
14 由题意得ξ的可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
故E(ξ)=0+1+2
第二次取到1个白球1个黑球的概率为
P=
15.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=,P(X=2)=,
P(X=3)=
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1+2+3=2.
16.解(1)依题意得,η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2.
(2)E(ξ)=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4.
∵η=2ξ+2,∴E(η)=2E(ξ)+2=34.8.
故所收租车费η的均值为34.8元.
(3)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15.
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.
17.C 由题意可知ξ的取值分别为0,1,2,
∴P(ξ=0)=;
P(ξ=1)=;
P(ξ=2)=
∴E(ξ)=0+1+2
∴E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=3.7.3.2 离散型随机变量的方差
A级 必备知识基础练
1.(多选题)对于离散型随机变量X,有关它的均值E(X)和方差D(X),下列说法正确的是( )
A.E(X)是反映随机变量的平均取值
B.D(X)越小,说明X越集中于E(X)
C.E(aX+b)=aE(X)+b
D.D(aX+b)=a2D(X)+b
2.设0X 0 a 1
P
若D(X)=,则a=( )
A. B. C. D.
3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分) 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好( )
A.甲 B.乙
C.甲、乙均可 D.无法确定
4.(多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则( )
A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布
C.E(X)=1 D.D(X)=
5.(2022陕西西安模拟)已知随机变量ξ的分布列如表,D(ξ)表示ξ的方差,则D(2ξ+1)= .
ξ 0 1 2
P a 1-2a
6.设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)= ,D(X)= .
7.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若E(X)=.
(1)求D(X)的值;
(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.
8.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
B级 关键能力提升练
9.设10≤x1A.D(X1)>D(X2)
B.D(X1)=D(X2)
C.D(X1)D.D(X1)与D(X2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关
10.已知X的分布列如表所示.
X -1 0 1
P
有下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则( )
A.抽取2次后停止取球的概率为
B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为
C.取球次数ξ的均值为2
D.取球次数ξ的方差为
12.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,c,d四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)= .
13.已知随机变量ξ的所有可能取值为m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=,则E(ξ)= ,当D(ξ)取最小值时,mn= .
14.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.
甲:
分数X 80 90 100
概率P 0.2 0.6 0.2
乙:
分数Y 80 90 100
概率P 0.4 0.2 0.4
试分析两名学生的成绩水平.
C级 学科素养创新练
15.甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则( )
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
7.3.2 离散型随机变量的方差
1.ABC 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差越小,说明随机变量的取值越集中于均值,即A,B正确;
由均值和方差的性质可得,E(aX+b)=aE(X)+b,
D(aX+b)=a2D(X),即C正确,D错误.
2.A ∵E(X)=0+a+1,
∴D(X)=[(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=(a2-a+1)=,
∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=
3.A ∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)4.ABD 由已知X的可能取值为0,1,且服从两点分布.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
∴E(X)=0+1,
D(X)=
5.2 由题意可得a+1-2a+=1,解得a=,则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以E(ξ)=0+1+2=1,
D(ξ)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=,
D(2ξ+1)=22D(ξ)=2.
6.2 8 随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,
则E(Y)=2E(X)+b=4+b.所以E(X)=2.
D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,
所以D(X)=8.
7.解由+p=1,得p=
又E(X)=0+1x=,
所以x=2.
(1)D(X)=0-2
(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.
8.解(1)由题意得,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得,
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),D(ξ)9.A 由题意可知E(X1)=E(X2),又由题意可知,X1的波动性较大,从而有D(X1)>D(X2).
10.C E(X)=(-1)+0+1=-,故①正确.
D(X)=,故②不正确.
由分布列知③正确.
11.BD 设取球次数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,
则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=
对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误;
对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=,B选项正确;
对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1+2+3,C选项错误;
对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-2+2-2+3-2,D选项正确.
12 由题意知X的可能取值有0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
故E(X)=0+1+2+3,
D(X)=
13 由分布列的性质得=1,即m+n=1,
所以E(ξ)=m+n,
D(ξ)=m-2+n-2=m-2+1-m-2=m-2≥0,
当且仅当m=n=时等号成立,
此时mn=
14.解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,
D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,
E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,
D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,
∴E(X)=E(Y),D(X)∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.
15.D 由题意得X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=1+2+3,
D(X)=1-2+2-2+3-2;
Y的可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,
∴E(Y)=0+1+2,
D(Y)=0-2+1-2+2-2;
∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
A级 必备知识基础练
1.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
2.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为( )
A.100和0.08 B.20和0.4
C.10和0.2 D.10和0.8
3.某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为( )
A. B.3
C. D.2
4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为( )
A. B.
C. D.
5.(多选题)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时( )
A.X服从二项分布
B.P(X=1)=
C.X的均值E(X)=
D.X的方差D(X)=
6.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则在1次试验中事件A发生的概率为 .
7.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为 .
8.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个网站购物,掷出点数为5或6的人去A网购物,掷出点数小于5的人去B网购物,且参加者必须从A网和B网选择一家购物.
(1)求这4个人中恰有1人去A网购物的概率;
(2)用ξ,η分别表示这4个人中去A网和B网购物的人数,令X=ξη,求随机变量X的分布列.
B级 关键能力提升练
9.有n位同学参加某项选拔测试,每位同学通过测试的概率都是p(0A.(1-p)n B.1-pn
C.pn D.1-(1-p)n
10.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A.[0.4,1) B.(0,0.4]
C.(0,0.6] D.[0.6,1)
11.(多选题)若随机变量X~B5,,则P(X=k)最大时,k的值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.某人抛掷一枚硬币,出现正反面的概率都是,构造数列{an},使得an=记Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),则S4=2的概率为 .
13.用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布,两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”.双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列.
C级 学科素养创新练
14.掷骰子游戏:规定掷出1点,甲盒中放一球,掷出2点或3点,乙盒中放一球,掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,共掷6次,用x,y,z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数.令X=x+y,则E(X)= .
15.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少
7.4.1 二项分布
1.A 当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=21-=3,故选A.
2.D 因为X~B(n,p),所以
解得n=10,p=0.8.
3.A 因为该同学经过每个路口时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成3重伯努利试验,即X~B3,,则X的方差D(X)=31-=,
所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9=6,
所以Y的标准差为
4.A 该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮,
有两天出现大潮的概率为2,
有三天出现大潮的概率为3=,
所以至少有两天出现大潮的概率为
5.ABC 由二进制数A的特点知,每一个数位上的数字只能填0,1,
且每个数位上的数字互不影响,故X的可能取值有0,1,2,3,4,则P(X=0)=4=;
P(X=1)=3=;
P(X=2)=22=;
P(X=3)=3=;
P(X=4)=4=,
故X~B4,,故A正确;
又P(X=1)=3=,故B正确;
∵X~B4,,
∴E(X)=4,故C正确;
∴X的方差D(X)=4,故D错误.
6 设在一次试验中,事件A发生的概率为p,
由题意知,1-(1-p)4=,
所以(1-p)4=,故p=
7 每位申请人申请房源为一次试验,这是4次独立重复试验,设申请A片区房源为A,则P(A)=,
所以恰有2人申请A片区的概率为
8.解依题意,得这4个人中,每个人去A网购物的概率为,去B网购物的概率为设“这4个人中恰有i人去A网购物”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
则P(Ai)=i4-i(i=0,1,2,3,4).
(1)这4个人中恰有1人去A网购物的概率为3=
(2)X的所有可能取值为0,3,4,
则P(X=0)=P(A0)+P(A4)=0×4+4×0=,
P(X=3)=P(A1)+P(A3)=1×3+3×1=,
P(X=4)=P(A2)=22=
所以随机变量X的分布列为
X 0 3 4
P
9.D 所有同学都不能通过测试的概率为(1-p)n,则至少有1位同学能通过测试的概率为1-(1-p)n.
10.A 由题意得,p(1-p)3p2(1-p)2,
∴4(1-p)≤6p.
∵011.AB 依题意得P(X=k)=k×5-k,
k=0,1,2,3,4,5.
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=,P(X=5)=
故当k=1或k=2时,P(X=k)最大.
12 S4=2,即4次中有3次正面1次反面,则所求概率P=3
13.解(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头,石头),(石头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀),(布,布),共有9个基本事件.玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共有3个.
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P=
(2)X的可能取值分别为0,1,2,3,X~B,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
14.3 将每一次掷骰子看作一次实验,实验的结果分丙盒中投入球(成功)和丙盒中不投入球(失败)两种,且丙盒中投入球(成功)的概率为,设Z表示6次实验中成功的次数,则Z~B6,,
∴E(Z)=3,
∴E(X)=E(6-Z)=6-E(Z)=6-3=3.
15.解(1)记“甲射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件为“甲射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.故P()=4=
所以P(A1)=1-P()=1-
所以甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率为
(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2,
则P(A2)=2×1-2=,
P(B2)=3×1-1=
由于甲、乙射击相互独立,
故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=
所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为
(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),
则A3=D5D4D1∪D2),
且P(Di)=
由于各事件相互独立,故P(A3)=P(D5)P(D4)P()·P(D1∪D2)=1-=7.4.2 超几何分布
A级 必备知识基础练
1.(多选题)关于超几何分布,下列说法正确的是( )
A.超几何分布的模型是不放回抽样
B.超几何分布的总体里可以有两类或三类
C.超几何分布的E(X)=np
D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
2.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是( )
A. B. C. D.
3.在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为( )
A. B. C. D.
4.一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是( )
A.P(0C.P(X=1) D.P(X=2)
5.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,则概率是的事件为( )
A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的
C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的
6.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为 (用分式表示).
7.10名同学中有a名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽取1名女生的概率为,则a= .
8.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
9.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;
(2)他能及格的概率.
B级 关键能力提升练
10.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本),从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文课本共有( )
A.2本 B.3本 C.4本 D.5本
11.在某次学校的春游活动中,高二(2)班设计了这样一个游戏:一个纸箱里放了5个红球和5个白球,这些球除颜色外其余完全相同,若一次性从中摸出5个球,摸到4个或4个以上红球即中奖,则中奖的概率是(精确到0.001)( )
A.0.114 B.0.112 C.0.103 D.0.121
12.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)= .
13.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为 .
14.甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.
(1)求甲恰有2个题目答对的概率;
(2)求乙答对的题目数X的分布列;
(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.
C级 学科素养创新练
15.一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球,若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分,若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分,若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得-10分).
(1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X,求X的分布列;
(2)许多玩过这款游戏的人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.
7.4.2 超几何分布
1.ACD 由超几何分布的定义易知A,C,D均正确,因为超几何分布的总体里只有差异明显的两类,故选项B错误.
2.C 记X为抽出的2张中的中奖数,则P(X=2)=
3.A 正品数比次品数少,有两种情况:0个正品、4个次品或1个正品、3个次品,
由超几何分布的概率可知,当0个正品、4个次品时,概率为
当1个正品、3个次品时,概率为
所以正品数比次品数少的概率为
4.B 本题相当于求至多取出1个白球的概率,即取到1个白球或没有取到白球的概率.
5.C 令“X=k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”,则P(X=k)=(k=1,2,3,4).
所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=
6 二级品不多于1台,即一级品有3台或4台,
故所求概率为
7.2或8 根据题意,得,
解得a=2或a=8.
8 P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=
9.解(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X,
X的可能取值为0,1,2,3,且服从超几何分布,
则P(X=k)=,k=0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)他能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=
10.C 设语文课本n(n≥2)本,则数学课本有7-n本,则2本都是语文课本的概率为,由组合数公式得n2-n-12=0,解得n=4(负值舍去).
11.C 设摸出的红球个数为X,则X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=5,于是中奖的概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.103.
12 根据题意,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=
13.15 用X表示中奖票数,P(X≥1)=>0.5,且n∈N*,且n≤50,解得n≥15.
14.解(1)∵甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是,∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P=
(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=,
P(X=3)=,P(X=4)=,
故X的分布列为
X 2 3 4
P
(3)乙平均答对的题目数E(X)=2+3+4
∵甲答对题目数Y~B4,,∴甲平均答对的题目数E(Y)=4E(X)=E(Y),∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.
15.解(1)每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为P=X可能的取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)设每轮游戏得分为Y.
由(1)知,Y的分布列为
X -10 20 200
P
E(Y)=-10+20+200=-1.69.7.5 正态分布
A级 必备知识基础练
1.某厂生产的零件外径X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm,则可认为( )
A.上午生产情况正常,下午生产情况异常
B.上午生产情况异常,下午生产情况正常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ≤4)=0.9,则P(-2≤ξ≤1)= ( )
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.6
3.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率为( )
A.0.954 5 B.0.045 5
C.0.977 3 D.0.022 75
4.某工厂生产了10 000根钢管,其钢管内径(单位:mm)近似服从正态分布N(20,σ2)(σ>0),工作人员通过抽样的方式统计出,钢管内径高于20.05 mm的占钢管总数的,则这批钢管中,内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为( )
A.4 200 B.4 500
C.4 800 D.5 200
5.已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.682 7,则σ= ,P(|X-2|≤4)= .
6.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 .
7.已知某地外来务工人员年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.
(1)写出此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式;
(2)求此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比.
8.设X~N(4,1),证明P(2≤X≤6)=2P(2≤X≤4).
B级 关键能力提升练
9.若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为( )
A.p1>p2 B.p1C.p1=p2 D.不确定
10.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1≤ξ≤0)=( )
A.+p B.1-p
C.1-2p D.-p
11.在某市2022年3月份的高三线上质量检测考试中,学生的数学成绩X服从正态分布X~N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9 455人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A.1 500名 B.1 700名
C.4 500名 D.8 000名
12.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),其正态曲线在(-∞,80]上单调递增,在[80,+∞)上单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.682 7,则( )
A.μ=80
B.σ=4
C.P(X>64)=0.977 25
D.P(6413.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.设随机变量X服从二项分布X~B6,,则P(X=3)=
B.已知随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2)且P(X≤4)=0.9,则P(0≤X≤2)=0.4
C.已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|≤2)=a,则P(X>2)的值为
D.E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=2D(X)+3
14.已知某正态分布的概率密度函数为f(x)=,x∈(-∞,+∞),则函数f(x)的极值点为 ,X落在区间(2,3]内的概率为 .
15.(2022云南昭通期末)某照明单元按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则照明单元正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(2 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该照明单元的使用寿命超过2 000小时的概率为 .
16.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).
(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73 mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;
(2)如果钢管的直径X在60.6 mm~69.4 mm 之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(精确到0.01)
(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
C级 学科素养创新练
17.(2022山东泰安模拟)随着时代发展和社会进步,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10 000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本,整理得到如表频数分布表:
笔试 成绩X [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
人数 5 10 25 30 20 10
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中,μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替),则μ= .若σ=12.9,据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9分的人数(结果四舍五入精确到个位)为 .
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
7.5 正态分布
1.A 因测量值X为随机变量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,记I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],则9.9∈I,9.3 I.故选A.
2.C 由题意可知正态曲线关于x=1对称,P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=0.1,
根据对称性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,
故P(-2≤ξ≤1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.
3.D 由题知对应的正态曲线的对称轴为x=0,
所以P(X<-2)=0.5-P(-2≤X≤2)≈0.5-0.954 5=0.022 75.
4.C ∵P(X<19.95)=P(X>20.05)=,
∴P(19.95≤X≤20.05)=1-,
∴P(19.95≤X≤20)=,
故这批钢管内径在19.95 mm到20 mm之间的钢管数约为10 000=4 800.
5.2 0.84 ∵X~N(4,σ2),
∴μ=4.
∵P(2≤X≤6)≈0.682 7,
∴σ=2.
∴P(|X-2|≤4)=P(-2≤X≤6)=P(-2≤X≤2)+P(2≤X≤6)=[P(-2≤X≤10)-P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)=P(-2≤X≤10)+P(2≤X≤6)0.997 3+0.682 7=0.84.
6.10 由题意知,P(ξ>110)==0.2,
故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.
7.解设此地外来务工人员年均收入X~N(μ,σ2),
结合题图可知,μ=8 000,σ=500.
(1)此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式为
f(x)=,x∈R.
(2)∵P(7 500≤X≤8 500)=P(8 000-500≤X≤8 000+500)≈0.682 7,
∴P(8 000≤X≤8 500)=P(7 500≤X≤8 500)≈0.341 35=34.135%.
故此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比为34.135%.
8.证明因为μ=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2≤x≤4)=P(4≤X≤6).
又因为P(2≤X≤6)=P(2≤X≤4)+P(4≤X≤6),
所以P(2≤X≤6)=2P(2≤X≤4).
9.C 由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.
10.D 由已知得P(-1≤ξ≤0)=P(-1≤ξ≤1)=[1-2P(ξ>1)]=-p.
11.A 因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X>108)=[1-P(88≤X≤108)]=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)](1-0.682 7)=0.158 65.所以0.158 65×9 455≈1 500.
12.ACD 因为正态曲线在(-∞,80]上单调递增,在[80,+∞)上单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80;因为P(72≤X≤88)≈0.682 7,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,可知σ=8;
因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
且P(X<64)=P(X>96),
所以P(X<64)(1-0.954 5)=0.045 5=0.022 75,
所以P(X>64)=0.977 25;
因为P(X<72)=(1-P(72≤X≤88))(1-0.682 7)=0.158 65,
所以P(6464)-P(X>72)=0.977 25-(1-0.158 65)=0.135 9.
13.AB ∵随机变量X服从二项分布X~B6,,
则P(X=3)=3×1-3=,故A正确;
∵随机变量X服从正态分布X~N(2,σ2),
∴正态曲线的对称轴是x=2.
∵P(X≤4)=0.9,
∴P(2≤X≤4)=0.4,
∴P(0≤X≤2)=P(2≤X≤4)=0.4,故B正确;
已知随机变量X~N(0,σ2),
若P(|X|≤2)=a,
则P(X>2)=[1-P(|X|≤2)]=,故C错误;
E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=4D(X),
故D错误.
14.x=1 0.135 9 由正态分布的概率密度函数知μ=1,σ=1,所以总体分布密度曲线关于直线x=1对称,且在x=1处取得最大值.根据正态分布密度曲线的特点可知x=1为f(x)的极大值点.由X~N(1,1)知P(215 设元件1,2,3的使用寿命超过2 000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=,
则该照明单元的使用寿命超过2 000的事件为(AB+AB)C,
故该照明单元的使用寿命超过2 000小时的概率为P=
16.解(1)由题得μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,而73∈(μ+3σ,+∞),
∴P(X>71.6)==0.001 35,此事件为小概率事件,故该质检员的决定有道理.
(2)因为μ=65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由题意可知钢管直径满足μ-2σ≤X≤μ+2σ为合格品,
所以该批钢管为合格品的概率约为0.95,
所以在60根钢管中,合格品约57根,次品约3根,任意挑选3根,则次品数Y的可能取值为0,1,2,3.
P(Y=0)=,
P(Y=1)=,
P(Y=2)=,
P(Y=3)=
则次品数Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以E(Y)=0+1+2+3=0.15.
17.73 1 587 由题意知μ≈=73,
易知P(X>85.9)=P(X>73+12.9)=0.158 65,