第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列叙述正确的是( )
A.平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
C.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°),则此直线的斜率为tan α
D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
2.若经过A(3,m),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m=( )
A.6 B.-6 C.4 D.-4
3.(多选题)已知直线斜率的绝对值为,则直线的倾斜角可以为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1
B.k3C.k3D.k15.已知直线l经过点P(3,m)和点Q(m,-2),直线l的方向向量为(2,4),则直线l的斜率为 ,实数m的值为 .
6.如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求直线l1,l2的斜率.
B级 关键能力提升练
7.已知直线l经过点P(1,2)和点Q(-2,-2),则直线l的单位方向向量为( )
A.(-3,-4) B.-,-
C.±,± D.±
8.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则的值等于( )
A. B.- C.2 D.-2
9.(多选题)下列命题中,错误的是( )
A.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大
B.直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α
C.直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α
D.直线的倾斜角α∈或α∈,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
10.直线l1,l2均与y轴相交,且关于y轴对称,它们的倾斜角α1与α2的关系是 .
11.已知三点P(3,-1),M(5,1),N(2,-1),直线l过点P,且与线段MN相交.求:
(1)直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)直线l的斜率k的取值范围.
C级 学科素养创新练
12.直线l的方向向量为(-1,2),直线l的倾斜角为α,则tan 2α的值是( )
A. B.- C. D.-
2.1.1 倾斜角与斜率
1.BCD 根据斜率的定义知当直线与x轴垂直时,斜率不存在,故A错误,其他选项正确.
2.C 由题意可得tan 45°=,即=1,解得m=4,故选C.
3.BC 由题意得直线的斜率为或-,故直线的倾斜角为60°或120°.
4.D 设直线l1,l2,l3的倾斜角分别是α1,α2,α3,由图可知α1>90°>α2>α3>0°,所以k1<05.2 由直线l的方向向量为(2,4)得,直线l的斜率为=2,因此=2,解得m=.
6.解l1的斜率k1=tan α1=tan 30°=.
∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,∴l2的斜率k2=tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=-.
7.D 由题意得,直线l的一个方向向量为=(-2-1,-2-2)=(-3,-4),
则||==5,
因此直线l的单位方向向量为±=±(-3,-4)=±.故选D.
8.A ∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,即,即ab=2a+2b,两边同除以ab,得1=,
即.
9.ABC 直线的倾斜角α∈或α∈,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A错误,D正确;当α=90°时,斜率不存在,故B错误;只有当α∈[0,π)时,直线的倾斜角才是α,故C错误,故选ABC.
10.α1+α2=180° 如图,由l1,l2关于y轴对称,得α1=α3,
∵α3+α2=180°,
∴α1+α2=180°.
11.解(1)kPN==-,kPM==1,所以直线PN的倾斜角为120°,直线PM的倾斜角为45°,如图,
所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤120°.
(2)直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
12.A ∵直线l的方向向量为(-1,2),2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列说法错误的是( )
A.若直线l1⊥l2,则它们的斜率之积互为负倒数
B.若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等或都不存在
C.若两条直线中,一条直线的斜率存在,而另一条直线的斜率不存在,则两条直线一定垂直
D.两条不重合直线的倾斜角的正弦值相等,则这两条直线平行
2.(多选题)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是( )
A.PQ∥SR B.PQ⊥PS
C.PS∥QS D.PR⊥QS
3.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则实数m的值为( )
A.1 B.0
C.0或1 D.0或2
4.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
5.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为 .
6.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.
B级 关键能力提升练
7.已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为 ( )
A.(3,4) B.(4,3) C.(3,1) D.(3,8)
8.已知△ABC的两顶点坐标为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为 ( )
A.(-19,-62) B.(19,-62)
C.(-19,62) D.(19,62)
9.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,且O,A,B,C四点共圆,则y的值是( )
A.19 B. C.5 D.4
10.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m= ;若l1∥l2,则m= .
11.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,点D使直线CD⊥AB,且CB∥AD,则点D坐标为 .
12.已知直线l1,l2不重合,直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为 .
C级 学科素养创新练
13.已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求实数m的值.
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.ACD 若两直线垂直,则两直线的斜率之积为-1或其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0,据此知A,C错误;两直线平行,可能两直线斜率都不存在,故B正确;因为60°和120°的正弦值相等,但两直线不平行,所以D错误.
2.ABD 由斜率公式知,kPQ==-,kSR==-,kPS=,kQS==-4,kPR=,
∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而kPS≠kQS,
∴PS与QS不平行,故ABD正确.
3.C (方法1)∵A(m,3),B(2m,m+4),
∴直线AB的一个方向向量为=(m,m+1).
∵C(m+1,2),D(1,0),
∴直线CD的一个方向向量为=(-m,-2).
由直线AB与直线CD平行,得m×(-2)-(m+1)×(-m)=0,解得m=0或m=1.
经检验,当m=0或m=1时,两直线不重合.故选C.
(方法2)当m=0时,直线AB与直线CD的斜率均不存在,此时AB∥CD,满足题意.
当m≠0时,kAB=,kCD=,
由题意得kAB=kCD,即,解得m=1.
经检验,当m=0或m=1时,两直线不重合.故选C.
4.C 易知kAB==-,kAC=,
∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,∠A为直角.
5.-1 由题意得kPQ==1,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.
6.解由斜率公式可得kAB=,kBC==0,kAC==5.
由kBC=0知直线BC∥x轴,如图,故BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.
设AB,AC边上高线的斜率分别为k1,k2,由k1kAB=-1,k2kAC=-1,
即k1=-1,5k2=-1,
解得k1=-,k2=-.
综上可知,BC边上的高所在直线的斜率不存在;
AB边上的高所在直线的斜率为-;
AC边上的高所在直线的斜率为-.
7.A 设点D(m,n),直线AB,DC,AD,BC的斜率分别为kAB,kDC,kAD,kBC,由题意,得AB∥DC,AD∥BC,
则有kAB=kDC,kAD=kBC,
所以解得m=3,n=4.
所以顶点D的坐标为(3,4).
8.A 设A的坐标为(x,y),由已知得,AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在,
所以
解得即顶点A的坐标为(-19,-62).
9.B 由O,A,B,C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补,又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即=-1,解得y=.故选B.
10.-2 2 由根与系数的关系,知k1k2=,
若l1⊥l2,则k1k2==-1,得m=-2;
若l1∥l2,则k1=k2,
∴Δ=16-8m=0,得m=2.
11.(0,1) 设D(x,y),则kCD=,kAB=3,kCB=-2,kAD=.∵kCD·kAB=-1,kAD=kCB,
∴即D(0,1).
12.-10 由题意可得,直线l1的斜率为,直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,所以=-2,解得m=-8.
由于直线l3的斜率为-,因为l2⊥l3,
所以(-2)·-=-1,解得n=-2,所以m+n=-10.
13.解 易知直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,
∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.
当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2.
当m≠1时,直线AB的斜率kAB=,
∴线段AB的垂直平分线l2的斜率k2=.
∵l1与l2平行,∴k1=k2,即,2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
A级 必备知识基础练
1.直线y-4=-(x+3)的倾斜角和所经过的定点分别是( )
A.30°,(-3,4) B.120°,(-3,4)
C.150°,(3,-4) D.120°,(3,-4)
2.过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是( )
A.y=2x-1 B.y=-2x-1
C.y=-2x+1 D.y=2x+1
3.直线y=ax+(a≠0)的图形可能是( )
4.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a= .
5.直线l与直线y=-x+2垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为 .
6.已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的斜截式方程为 .
7.求满足下列条件的m的值.
(1)直线l1:y=-x+1与直线l2:y=(m2-2)x+2m平行;
(2)直线l1:y=-2x+3与直线l2:y=(2m-1)x-5垂直.
B级 关键能力提升练
8.将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是( )
A.y=-x+2 B.y=x+2
C.y=-x-2 D.y=x-2
9.若y=a|x|与y=x+a(a>0)的图象有两个交点,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C. D.(0,1)∪(1,+∞)
10.(多选题)在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax与y=x+a大致图象的是( )
11.设a∈R,如果直线l1:y=-x+与直线l2:y=-x-平行,那么a= .
12.已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R).
(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
C级 学科素养创新练
13.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是 .
2.2.1 直线的点斜式方程
1.B 斜率k=-,所以倾斜角为120°,且过定点(-3,4).
2.C 与直线y=(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C.
3.B 直线y=ax+(a≠0)的斜率是a,在y轴上的截距是.当a>0时,直线在y轴上的截距>0,此时直线y=ax+过第一、二、三象限;当a<0时,直线在y轴上的截距<0,此时直线y=ax+过第二、三、四象限,只有选项B符合.
4.4 经过点(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a,7)代入y-5=2(x-3),解得a=4.
5.y=x+4 设直线l的方程为y=x+m,又它在y轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l的方程为y=x+4.
6.y=x+1或y=x-1 设直线l的方程为y=x+b(b≠0).当x=0时,y=b;当y=0时,x=-6b.由题意可得·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l的方程为y=x+1或y=x-1.
7.解(1)∵l1∥l2,
∴两直线的斜率相等.
∴m2-2=-1且2m≠1,
∴m=±1.
(2)∵l1⊥l2,∴2m-1=,
∴m=.
8.A ∵直线y=(x-2)的倾斜角是60°,
∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-,且过点(2,0).
∴其方程为y-0=-(x-2),即y=-x+2.
9. A y=x+a(a>0)表示斜率为1,在y轴上的截距为a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于y轴对称的两条射线.根据题意画出大致图象,如图.若y=a|x|与y=x+a的图象有两个交点,且a>0,则根据图象可知a>1.
故选A.
10.BC
11.-2或1 由l1∥l2,得-=-≠-,解得a=-2或a=1.
12.解 (1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2,
要使直线l不经过第四象限,需满足解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞).
(2)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为4k+2,且k>0,所以A,B(0,4k+2),故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16,当且仅当4k=,即k=时,等号成立.故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4.
13. 由已知得,直线l恒过定点P(2,1),如图所示.
若l与线段AB相交,
则kPA≤k≤kPB,2.2.2 直线的两点式方程
A级 必备知识基础练
1.已知三角形三个顶点分别为A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在的直线方程是( )
A.x-13y+5=0 B.x-13y-5=0
C.x+13y+5=0 D.x+13y=0
2.过点P(1,4)且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 011,b)在直线l上,则b的值为( )
A.2 019 B.2 020 C.2 023 D.2 022
4.经过点A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .
5.斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为 .
6.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.
B级 关键能力提升练
7.过点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是 ( )
A.- B.- C. D.2
8.若直线=1过第一、三、四象限,则 ( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
9.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy( )
A.无最小值,且无最大值
B.无最小值,但有最大值
C.有最小值,但无最大值
D.有最小值,且有最大值
10.(多选题)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A.x+y-5=0 B.x-y-5=0
C.x-4y=0 D.x+4y=0
11.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为 .
12.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为 .
13.已知直线l过点P(4,1),
(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
C级 学科素养创新练
14.直线过点P,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:
(1)△AOB的周长为12;
(2)△AOB的面积为6
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
2.2.2 直线的两点式方程
1.C ∵B(3,-3),C(0,2),∴线段BC中点的坐标为D,即D.
则BC边上的中线应过A(-5,0),D两点,由两点式,得,整理得x+13y+5=0.
故选C.
2.C 当直线经过原点时,在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0,符合题意;当直线不经过原点时,设直线方程为=1,
由题意得解得
综上,符合题意的直线共有3条.
3.C 直线l的两点式方程为,化简得y=2x+1,将x=1 011代入,得b=2 023.
4.x-(a-1)y+3a-4=0 当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;
当a≠1时,由两点式,得,
整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,
在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,
所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.
5.x-2y+4=0或x-2y-4=0 设直线方程为y=x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.
由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=x±2,
即x-2y+4=0或x-2y-4=0.
6.解由两点式方程得AB:,
即AB方程为y=-x-.
由两点式方程得BC:,
即BC方程为y=-x+1.
由截距式方程,得AC:=1.
即AC方程为y=x+1.
7.A 由直线的两点式方程得过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为,即2x-y+3=0.
令y=0,得x=-.
8.B 因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.
9.D 线段AB的方程为=1(0≤x≤3),于是y=41-(0≤x≤3),从而xy=4x1-=-x-2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.
10.AC 当直线过点(0,0)时,直线方程为y=x,
即x-4y=0;
当直线不过点(0,0)时,可设直线方程为=1,
把(4,1)代入,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0.
综上可知,直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.
11.4 设直线l的截距式方程为=1,依题意,a>0,b>0,又因为点P(2,1)在直线l上,所以=1,即2b+a=ab.
又因为△OAB面积S=|OA|·|OB|=ab,
所以S=ab=(2b+a)≥,
当且仅当2b=a时,等号成立,所以ab≥,解这个不等式,得ab≥8.
从而S=ab≥4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.
12.x+2y-6=0 设直线l的方程为=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得=1,
∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+≥5+2=9,
当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立.
∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0.
13.解(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为,即x+y-5=0.
(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).
令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-.
∴1-4k=24-,解得k=或k=-2.
∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x或2x+y-9=0.
14.解存在.设直线方程为=1(a>0,b>0),
若满足条件(1),则a+b+=12. ①
又直线过点P,2,∴=1. ②
由①②可得5a2-32a+48=0,解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2),则ab=12, ③
由题意得=1, ④
由③④整理得a2-6a+8=0,解得
∴所求直线的方程为=1或=1,2.2.3 直线的一般式方程
A级 必备知识基础练
1.两直线3x+y-a=0与3x+y-1=0的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.重合 D.平行或重合
2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则( )
A.C=0,B>0 B.A>0,B>0,C=0
C.AB<0,C=0 D.AB>0,C=0
3.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为 ( )
A.-4 B.20
C.0 D.24
4.已知点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为( )
A.x-y+5=0 B.x-y-3=0
C.x+y-5=0 D.x-y+1=0
5.如图所示,直线l的方程为Ax+By+C=0,则 ( )
A.AB>0,BC<0
B.AB<0,BC>0
C.AB>0,BC>0
D.AB<0,BC<0
6.(多选题)直线l1:ax-y+b=0与直线l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象可能是( )
7.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a= .
8.直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
9.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为( )
A.(2,-2) B.(-2,2)
C.(-2,-2) D.(2,2)
10.直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
11.已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为( )
A.0 B.2 C.4 D.
12.(多选题)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3围成一个三角形,则a的取值可以是 ( )
A.-1 B.1 C.2 D.5
13.垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为 .
C级 学科素养创新练
14.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则直线FH的一般式方程为 .
2.2.3 直线的一般式方程
1.D
2.D 直线l过原点,所以C=0,方程可化为y=-x,直线过二、四象限,所以斜率k=-<0,∴AB>0.
3.A ∵直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,
∴2a-20=0,解得a=10.
将(1,c)分别代入两直线的方程得c=-2,b=-12.
∴a+b+c=-4.
4.A ∵kMH==-1,∴直线l的斜率k=1,
∴直线l的方程为y-4=x+1,即x-y+5=0.
5.B 由题图知,直线l的倾斜角为锐角,则其斜率k=->0,于是AB<0;直线l与y轴的交点在y轴负半轴上,则直线l在y轴上的截距b=-<0,于是BC>0.
6.BC l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a.
在A中,由l1知a>0,b<0,则-b>0,与l2的图象不符;
在B中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;
在C中,由l1知a<0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;
在D中,由l1知a>0,b>0,与l2的图象不符.
7. 令x=0,得y=(a-1)×2+a=6,解得a=.
8.解 (1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,此时a=2,即l的方程为3x+y=0;
若a≠2,则=a-2,即a+1=1,
所以a=0,即l的方程为x+y+2=0.所以a的值为0或2.
(2)直线l的方程化为a(x-1)+(x+y+2)=0,l恒过定点(1,-3),
所以当斜率-(a+1)≥0,即a≤-1时,l不经过第二象限.故a的取值范围是(-∞,-1].
9.A 设B的坐标为(a,b),
由题意可知
解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A.
10.B ∵直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,∴(a+3)×1+1×(a-1)=0,∴a=-1,
∴直线l1:2x+y+4=0,令y=0,可得x=-2,
∴直线l1在x轴上的截距是-2,故选B.
11.B 由两直线互相垂直知,a2+(b+2)(b-2)=0,
∴a2+b2=4.
又a2+b2≥2ab,∴ab≤2,
当且仅当a=b=±时,等号成立.
∴ab的最大值为2.故选B.
12.CD 直线x+y=0,x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3总不能经过原点,故只需直线x+ay=3与另两条直线均不平行即可,即a≠±1.
13.4x+3y-12=0或4x+3y+12=0 由题意可设与直线3x-4y-7=0垂直的直线的方程为4x+3y+c=0(c≠0),
令y=0,得x=-,令x=0,得y=-,
则S==6,得c2=122,c=±12,
∴直线l的方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0.
14.x+4y-14=0 过点H,F分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N(图略).
∵四边形ACGH为正方形,
∴Rt△AMH≌Rt△COA.
∵OC=AM=1,MH=OA=2,
∴OM=OA+AM=3,
∴点H的坐标为(2,3),同理,得F(-2,4),2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
A级 必备知识基础练
1.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为 ( )
A.-,- B.
C.,- D.-
2.在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.x+2y-4=0 B.x-2y=0
C.2x-y-3=0 D.2x-y+3=0
3.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.直线l被两条直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为 .
5.已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1,m),则m= .
6.直线l经过直线x-2y+4=0和直线x+y-2=0的交点,且与直线x+3y+5=0垂直,求直线l的方程.
B级 关键能力提升练
7.若直线2x+3y+7=0,x-y+1=0和x+my=0相交于一点,则m=( )
A.- B. C.-2 D.2
8.若直线l1:y=kx-k+1与直线l2关于点(3,3)对称,则直线l2一定过定点( )
A.(3,1) B.(2,1) C.(5,5) D.(0,1)
9.若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0°<α<60° B.30°<α<60°
C.30°<α<90° D.60°<α<90°
10.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是( )
A.a=1,或a=-2 B.a≠±1
C.a≠1,且a≠-2 D.a≠±1,且a≠-2
11.已知直线ax+y+a+2=0恒过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是 .
12.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0} {(x,y)|y=3x+b},则b= .
13.已知两点A(-2,1),B(4,3),两直线l1:2x-3y-1=0,l2:x-y-1=0,求:
(1)过点A且与直线l1平行的直线方程;
(2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程.
C级 学科素养创新练
14.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的角平分线方程为y=x+1,则AC所在直线方程为( )
A.y=2x+4 B.y=x-3
C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0
2.3.1 两条直线的交点坐标
1.B 由题意得2a-(a+1)=0,解得a=1.
联立解得
所以这两条直线的交点坐标为.故选B.
2.C 根据点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,可得直线l的斜率为=2,且直线l经过点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点(2,1),故直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
3.D 直线(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0,由
故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1),
又点(2,-1)在第四象限,故该直线恒过第四象限.
4.3x+y+1=0 设直线l与l1的交点为A(x0,y0),直线l与l2的交点为B.由已知条件,得直线l与l2的交点为B(-2-x0,4-y0).
联立
即解得
即A(-2,5).所以直线l的方程为,即3x+y+1=0.
5.-2 由两直线垂直得2a-10=0,解得a=5.
又点(1,m)在直线ax+2y-1=0上,
所以a+2m-1=0,
所以m=-2.
6.解(方法1)由
∴交点坐标为(0,2).又直线l与直线x+3y+5=0垂直,∴直线l的斜率为3,∴直线l的方程为y-2=3x,即3x-y+2=0.
(方法2)设直线l方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0,
即(λ+1)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0,
因为l与x+3y+5=0垂直,
所以1×(λ+1)+3(λ-2)=0,解得λ=,
代回方程并化简,得l的方程为3x-y+2=0.
7.C 由即交点为(-2,-1),代入直线方程x+my=0,解得m=-2.
8.C ∵y=kx-k+1=k(x-1)+1,
∴直线l1:y=kx-k+1过定点(1,1).
设定点(1,1)关于点(3,3)对称的点的坐标为(x,y),
则解得
即直线l2恒过定点(5,5).故选C.
9.C 由所以两直线的交点坐标为,由交点在第一象限知解得k>,即tan α>,α是锐角,
故30°<α<90°,故选C.
10.D 为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点.
①若l1∥l2,则由a×a-1×1=0,得a=±1.
②若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,得a=1.
③若l1∥l3,则由a×1-1×1=0,得a=1.
当a=1时,l1,l2与l3三线重合,当a=-1时,l1,l2平行.
④若三条直线交于一点,由解得
将l2,l3的交点(-a-1,1)的坐标代入l1的方程,
解得a=1(舍去)或a=-2.
所以要使三条直线能构成三角形,需a≠±1,且a≠-2.
11.2x-y=0 由直线ax+y+a+2=0,
得a(x+1)+(y+2)=0,
令解得x=-1,y=-2,
∴直线ax+y+a+2=0恒过定点(-1,-2),
∴过这一定点和原点的直线方程是,即y=2x,即2x-y=0.
12.2 解方程组
得
代入直线方程y=3x+b,得b=2.
13.解(1)设与直线l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为2x-3y+c=0(c≠-1),
将点A(-2,1)的坐标代入,得-4-3+c=0,解得c=7.
∴所求直线方程是2x-3y+7=0.
(2)设线段AB的中点为M.
∵A(-2,1),B(4,3),∴M(1,2).
设直线l1,l2的交点为N,
联立解得
∴N(2,1).
∴所求直线的方程为,
即x+y-3=0.
14.C 设B关于直线y=x+1的对称点为B'(x,y),
则
即
解得即B'(1,0).2.3.2 两点间的距离公式 2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离
A级 必备知识基础练
1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为( )
A.1 B.-5
C.1或-5 D.-1或5
2.(多选题)与直线3x-4y+1=0垂直,且与点(-1,-1)的距离为2的直线方程为( )
A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0
C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0
3.(多选题)到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程可能为( )
A.2x+y-1=0 B.2x+y-2=0
C.2x+y=0 D.2x+y+2=0
4.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是( )
A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0
5.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( )
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0
6.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的距离为( )
A.5 B.2 C.5 D.10
7.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有 条.
8.两平行直线l1:ax+4y=0,l2:3x+4y+m=0,若两直线之间的距离为1,则m= .
9.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.
10.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30).
(1)判断△ABC的形状;
(2)当BC边上的高为1时,求m的值.
B级 关键能力提升练
11.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是( )
A. B. C. D.3
12.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是( )
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0
13.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.3 B.2 C.3 D.4
14.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为( )
A. B.
C. D.3
15.(多选题)若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值可以是( )
A.6 B.8.5 C.10 D.12
16.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线是点M的“相关直线”的是( )
A.y=x+1 B.y=2
C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0
17.经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且和原点相距为1的直线的条数为 .
18.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a= .
19.已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.
(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;
(2)求△OAB面积的最小值.
20.在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1C级 学科素养创新练
21.已知x+y-3=0,则的最小值为 .
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
1.C 由|AB|==5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5.
2.AB 设所求直线方程为4x+3y+C=0,
则=2,
即|C-7|=10,解得C=-3或C=17.
故所求直线方程为4x+3y-3=0或4x+3y+17=0.
3.CD 因为所求直线与直线2x+y+1=0的距离为,所以可得所求直线与已知直线平行.
设所求直线方程为2x+y+c=0(c≠1),
则d=,解得c=0或c=2,
故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.
4.B 设P(x,y),则,即3x+y+4=0.
5.D (方法1)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知,
解得C=-6(舍去)或C=8.
故所求直线的方程为2x+3y+8=0.
(方法2)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.
6.C 点B(2,10)关于x轴的对称点为B'(2,-10),由对称性可得光线从A到B经过的距离为|AB'|==5.故选C.
7.2 显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由=1得,k=,因此满足条件的直线有两条.
8.±5 根据两平行直线之间的距离公式,得=1,解得m=±5.
9.解(方法1)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.
又直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.
由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,
得,
解得k=0或k=1.
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
(方法2)①当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.
∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),
∴直线l的方程是x-y+2=0.
②当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.
∵直线AB的斜率为0,
∴直线l的斜率为0,
∴直线l的方程为y=2.
综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.
10.解(1)因为直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-,
所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形.
(2)解方程组即A(2,6).
由点到直线的距离公式得d=.当d=1时,=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.
所以m的值为25或35.
11.B 由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).
∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,
∴y=1-2x,∴|MP|=,
故当x=-时,|MP|取得最小值.故选B.
12.A 根据题意得,所求直线与直线OA垂直,
因为直线OA的斜率为2,
所以所求直线的斜率为-.
所以由点斜式方程得y-2=-(x-1),
即x+2y-5=0.
13.A 由题意知,直线l1与l2平行,所以点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3.
14.B (方法1)如图1,由平行线间的距离公式得|PQ|=.
图1
设点P(a,-a-2),点Qa+,-a-.
则|AP|+|PQ|+|QB|=.
图2
设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,则=|MC|+|MD|≥|CD|=.
故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.
(方法2)如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=.
图3
过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.则有PQ AA'.
设点A'(x0,y0),
则
因此,点A'-,-,则|A'B|=.
连接A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,
故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.
因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥.
故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.
15.ABC ∵点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,
∴-6≤x≤3.
∵线段4x+3y=0(-6≤x≤3)过原点,
∴点P到坐标原点的最近距离为0.
又点(-6,8)在线段上,
∴点P到坐标原点的最远距离为=10.
∴点P到坐标原点距离的取值范围是[0,10].
对照选择项知ABC均可.
16.BC 点M到直线y=x+1的距离d==3>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A中的直线不是点M的“相关直线”;点M到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故B中的直线是点M的“相关直线”;点M到直线4x-3y=0的距离d==4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故C中的直线是点M的“相关直线”;点M到直线2x-y+1=0的距离d=>4,故D中的直线不是点M的“相关直线”.故选BC.
17.2 设所求直线l的方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0,
因为原点到直线的距离d==1,
所以λ=±3,即直线方程为x=1或4x-3y+5=0,
所以和原点相距为1的直线的条数为2.
18.3 由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.
19.解(1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则点O到直线l的距离d==4,
解得k=-.
故直线l的方程为-x-y-4×-+3=0,即7x+24y-100=0.
(2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,
所以A-+4,0,B(0,-4k+3).
则△OAB的面积S=|OA|·|OB|=×-+4×(-4k+3)=--16k+24.由题意可知k<0,则--16k≥2=24,当且仅当k=-时,等号成立.故△OAB面积的最小值为×(24+24)=24.
20.解∵A(1,1),C(4,2),
∴|AC|=,直线AC的方程为x-3y+2=0.
根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=,∴S=|AC|·d=|m-3+2|=.
∵1∴1<<2 -,
∴0≤2<,
∴当m=时,△ABC的面积S最大.
21. 设P(x,y),A(2,-1),
则点P在直线x+y-3=0上,2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
A级 必备知识基础练
1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( )
A.是圆心 B.在圆上
C.在圆内 D.在圆外
2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y-3)2=29
B.(x+1)2+(y-3)2=116
C.(x-1)2+(y+3)2=29
D.(x-1)2+(y+3)2=116
3.方程x=表示的图形是( )
A.两个半圆 B.两个圆
C.圆 D.半圆
4.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .
5.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为 .
6.若直线3x-4y+12=0与y轴、x轴交点分别为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是 .
7.已知圆M过A(1,-1),B(-1,1)两点,且圆心M在直线x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)若圆M上存在点P,使|OP|=m(m>0),其中O为坐标原点,求实数m的取值范围.
B级 关键能力提升练
8.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )
A.,-4 B.-,4
C.,4 D.-,-4
9.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.-∞,-∪,+∞
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
10.(多选题)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为( )
A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20
C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20
11.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为 ( )
A.(x-2)2+(y+3)2=36
B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18
D.(x-2)2+(y+3)2=9
12.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
13.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是 .
14.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C的标准方程为 .
15.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
C级 学科素养创新练
16.设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系内的两点,其中xA,yA,xB,yB∈Z.令Δx=xB-xA,Δy=yB-yA,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).
(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.
(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上 若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.
2.4.1 圆的标准方程
1.C ∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.
2.C 因为A(-4,-5),B(6,-1),所以线段AB的中点为C(1,-3),所求圆的半径r=|AB|=,所以以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C.
3.D 根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1,由此确定图形为半圆,故选D.
4.(2,-3)
5.x2+(y+1)2=5 圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.
6.(x+2)2+y-2= 由题意得A(0,3),B(-4,0),AB的中点-2,为圆的圆心,直径AB=5,则以线段AB为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-2=.
7. 解(1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),根据题意得
解得
所以圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)如图,m=|OP|∈[2-,2+].
8.A 因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.
9.C (方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.
过A,B两点的直线方程为y=x+,
即ax-4y+2a=0,令d==1,
化简后,得3a2=16,解得a=±.再进一步判断便可得到正确答案为C.
(方法2)(数形结合法)
如图,设直线AB切圆O于点C,在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.
在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=,再由图直观判断,选C.
10.AD 令x=0,则y=4;
令y=0,则x=2.
所以直线2x+y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).
所以|AB|==2.
所以以A为圆心,过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20.以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20.
11.B 由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,
得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,
则
解得
即P(-1,1).
∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),
∴|PC|==5,
∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
故选B.
12.ABD 圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,故A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,
∵Δ=36-40=-4<0,
∴2k2-6k+5=0无实数根,故B正确;
由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D正确.故选ABD.
13.5 由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5.
14.(x-2)2+y2=4 设圆心坐标为(a,0),且a>0,则点(a,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-(舍去),则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.
15.解(1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-2.又因为点T(-1,0)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.
(2)由解得所以点A的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1),所以M为矩形外接圆的圆心.
又|AM|=,从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.
16.解(1)因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,2.4.2 圆的一般方程
A级 必备知识基础练
1.(多选题)若a∈-2,0,1,,方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的值可以为( )
A.-2 B.0 C.1 D.
2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )
A.x2+y2+4x-2y-5=0
B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y=0
D.x2+y2-4x+2y=0
3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )
A.2 B. C.1 D.
4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-4x+6y+8=0
B.x2+y2-4x+6y-8=0
C.x2+y2-4x-6y=0
D.x2+y2-4x+6y=0
5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是 ,半径是 .
6.已知圆C过定点(7,2),且和圆C':x2+(y-3)2=2相切于点(1,2),则圆C的一般方程是 .
7.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.
B级 关键能力提升练
8.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是( )
A.两个点 B.四个点
C.两条直线 D.四条直线
9.(多选题)下列结论正确的是( )
A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示圆
D.若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F>0
10.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,0]
C.[0,+∞) D.[5,+∞)
11.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)的连线中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.x+2+y2=
12.(多选题)若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则实数a的值可能为( )
A.2 B.0 C. D.-2
13.已知圆C经过点(4,2),(1,3)和(5,1),则圆C与两坐标轴的四个截距之和为 .
14.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.
(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;
(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.
C级 学科素养创新练
15.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.4.2 圆的一般方程
1.ABD 根据题意,若方程表示圆,则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1,又a∈-2,0,1,,则a的值可以为-2,0,.
2.C 设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,
∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.
3.D 因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=.
4.D 易知圆C的半径为,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.
5.(-2,1) 由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为.
6.x2+y2-8x+2y-1=0 设定点(7,2)为点A,切点(1,2)为点B,圆C'的圆心C'坐标为(0,3),则直线BC'的方程为x+y-3=0.
设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则点C坐标为-,-,
则解得
所以圆C的一般方程是x2+y2-8x+2y-1=0.
7.解∵圆心在直线2x-y-3=0上,
∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),
则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.
把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,
得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2, ①
(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2, ②
由①②可得a=2,r2=10.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,
即x2+y2-4x-2y-5=0.
8.B 方程(x2-4)2+(y2-4)2=0,
则x2-4=0,且y2-4=0,
即
解得
得到4个点.
9.ABD AB显然正确;C中方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0,所以表示点(1,-2);D正确.
10.A 圆x2+y2-4x+2y+a=0,即(x-2)2+(y+1)2=5-a,圆心(2,-1),半径r=.
∵圆与x轴、y轴都有公共点,∴解得a≤1.
11.C 设M(x0,y0)为圆上的动点,则有=1,设线段MA的中点为P(x,y),则x=,y=,
则x0=2x-3,y0=2y,代入=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.
12.AB 圆x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,它的圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为,则a=0或a=2.
13.-2 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将(4,2),(1,3),(5,1)代入方程中,
得解得
所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0,则y2+4y-20=0,
由根与系数的关系得y1+y2=-4;
令y=0,则x2-2x-20=0,
由根与系数的关系得x1+x2=2,
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1+y2+x1+x2=-4+2=-2.
14.解(1)m=1,则圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)到直线的距离为,
所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-(x1+x2)+4=+4=0,
所以m=,此时Δ>0.
15.C 由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3),2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
A级 必备知识基础练
1.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-5,15)
B.(-∞,-5)∪(15,+∞)
C.(-∞,4)∪(13,+∞)
D.(4,13)
2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
3.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A.0 B.4 C.-2 D.
4.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为( )
5.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不存在
6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.- B.-
C.- D.-或-
7.过点P(3,5)作圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为 .
8.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为 m.
9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.
B级 关键能力提升练
10.若点(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交但不过圆心 D.相交且过圆心
11.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3]
12.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点,则b满足( )
A.|b|=
B.-1C.-1≤b<1
D.非以上答案
13.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点.若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )
A. B.
C.2 D.2
14.(多选题)从点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后,照射到圆C:x2+y2-4x-4y+7=0上,则下列结论正确的是 ( )
A.若反射光线与圆C相切,则切线方程为3x-4y-3=0
B.若反射光线穿过圆C的圆心,则反射光线方程为x-y=0
C.若反射光线照射到圆上后被吸收,则光线经过的最短路程是5-1
D.若反射光线反射后被圆C遮挡,则在x轴上被挡住的范围是
15.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,则DE的最短距离为( )
A.6 km B.(4-1)km
C.(4+1)km D.4 km
16.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .
17.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的“盲区”中的时长约 秒(精确到0.1).
18.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.
19.在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求分别以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.
C级 学科素养创新练
20.一辆货车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( )
A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米
2.5.1 直线与圆的位置关系
1.B 圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为(1,-2),半径为2.由题意得,圆心到直线3x+4y+m=0的距离>2,解得m<-5或m>15.故选B.
2.D 圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,
可化为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1,得b=2或b=12,故选D.
3.AB 由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.
又直线被圆截得的弦长为2,
所以圆心到直线的距离d=.
又d=,
所以|a-2|=2,
解得a=4或a=0.
4.ABD 由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.
5.B 由题意知,=1,∴a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.
6.D 由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
又因为反射光线与圆相切,所以=1,整理为12k2+25k+12=0,解得k1=-,或k2=-.
7.4 由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,
得到圆心A坐标(1,1),半径r=2,
又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|==2,设B为切点,由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|==4.则切线长为4.
8. 2 以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如右图所示:
由题意可知,设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2 m,水面宽12 m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,
所以圆的方程为x2+(y+10)2=100,当水面下降1 m后,设A'(x0,-3)(x0>0),代入圆的方程中,得x0=,所以此时水面宽2 m.
9.解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,若直线l的斜率不存在,直线l与圆相离,与题意不符.
故设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
根据点到直线的距离公式,得<1,
即k2<,解得-即直线l斜率k的取值范围为-.
10.C 由题意,得a2+b2>r2,
从而圆心(0,0)到直线的距离为d=∈(0,r),
所以直线与圆相交但不过圆心.
11. A 设圆心到直线AB的距离d==2.
点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.
又AB=2,
∴S△ABP=·|AB|·d'=d',
∴2≤S△ABP≤6.
12.B 曲线x=含有限制条件,即x≥0,
故曲线表示单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.
在同一平面直角坐标系中,画出y=x+b与曲线x=(就是x2+y2=1,x≥0)的图象,如图所示.
相切时,b=-,其他位置符合条件时需-113. D 圆C: x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1,
由圆的性质知S四边形PACB=2S△PBC.
∵四边形PACB的最小面积是2,
∴S△PBC的最小值为1,
即rd=1 (其中d是切线长),
∴d最小值=2.
∴PC的最小值为.
∵圆心到直线kx+y+4=0(k>0)的距离就是PC的最小值,∴,
∴k=2或k=-2(舍去).
故选D.
14.BCD 点A(-3,3)关于x轴的对称点为A'(-3,-3).圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,由题意知反射光线的斜率存在,设反射光线方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.对于A,由相切知=1,
解得k=或k=.
∴反射光线方程为y+3=(x+3)或y+3=(x+3).
即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0,故A错误;
又经过点A'(-3,-3),C(2,2)的方程为y=x,故B正确;
因为|A'C|==5,所以直线的最短路程为5-1,故C正确;
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和,所以被挡住的范围是,故D正确.
15.B 以O为坐标原点,过OB,OC的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系(图略),则圆O的方程为x2+y2=1,因为点B(8,0),C(0,8),
所以直线BC的方程为x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE为最短距离,此时DE的最小值为-1=(4-1)km.
16. 如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.
∴直线l的斜率的取值范围为.
17.4.4 以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),
可得出直线PQ的方程y-10+t=(x-10),
圆O的方程为x2+y2=1,
由直线PQ与圆O有公共点,可得≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得0≤t≤,而≈4.4,因此,点Q在点P的“盲区”中的时长约为4.4秒.
18.解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得
L=2=2=2.
∵0(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,
即|m-2a|=2.
∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,
∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.
∵019. 解如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).
设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).再设切点分别为E,F,G,则|OE|+|EA|+|OF|+|FB|=2r+|AG|+|BG|.
即2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
即x2+y2-2y=2x-1. ①
又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25, ②
∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.
∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,
∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.
又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π2+π2+π2=(|PA|2+|PB|2+|PO|2),
∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为π,最小值为π.
20.B 如图所示,
半圆的方程为x2+y2=3.62(y≥0),D(0.8,0),