初中数学人教版八年级下学期期中专题复习 ：04 矩形
一、单选题
1．（2020九上·静安月考）在 ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO
C．AO⊥BO D．∠OBC＝∠OBA
2．（2021九上·莲湖期末）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
3．（2021九上·清涧期末）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， ，若 的周长比 的周长大10，则 的长为（ ）.
A． B． C．10 D．20
4．（2020九上·宁化月考）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2020八上·郑州期中）如图，长方形 OABC 放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交数轴于 P 点，则 P 点表示的数为（ ）
A．2﹣ B．﹣ C． D．
6．（2020九上·南山月考）如图，矩形ABCD中，点O是对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E．若OD＝2OE，AE＝ ，则DE的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
二、填空题
7．（2020七上·南岗期末）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为 ．
8．（2020八上·陕西月考）杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）.
9．（2020九上·子洲期中）如图，矩形 中， ， ，点P是 边上动点，则 的最小值为 .
10．（2020九上·金塔期中）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=OA=4，则AD= .
三、解答题
11．（2021九上·沈北期末）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
12．（2021九上·金台期末）如图，点 在矩形 的边 上，延长 到点 ，使 ，连接 .求证： .
13．（2020九上·榆林月考）如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F连接CE，EF，CF，得到 .且 ， ， .求CE的长；
四、综合题
14．（2020八上·银川期中）如图，已知 为坐标原点，四边形 为长方形， ，点 是 的中点，点 在线段 上运动.
（1）写出点 的坐标；
（2）当 是腰长为5的等腰三角形时，求点 的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加AO＝BO，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD为矩形，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，判断四边形为矩形即可。
2．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，AC，
∵点B的坐标为（2，5），
∴BO=.
∵矩形OABC，
∴.
故答案为：C.
【分析】由点B的坐标，利用勾股定理求出BO的长，再利用矩形的对角线相等，可得到AC的长.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，∠ABC=90°，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=30°，
∴AB= BC，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB＋AO＋BO，
又∵ABC的周长比△AOB的周长长10，
∴AB+AC+BC-（AB＋AO＋BO）=BC=10，
∴AB= BC= ；
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质可得到AO=CO=DO=BO，AD=BC，∠ABC=90°，AB∥CD，可证得∠BAC=30°，利用勾股定理可得到AB= BC；再利用ABC的周长比△AOB的周长长10，可得到BC=10，由此可求出AB的长.
4．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，
OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=3．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的判定求解即可。
5．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵长方形OABC的长OA为2，宽OC为1，
∴由勾股定理得， ，
∴AP= ，
∵点A表示的数是2，
∴点P表示的数是2- .
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可.
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，OB=OD，
∴BE=OE，
∵AE⊥BD于点E，
∴AB=AO（等腰三角形三线合一），
又AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴OE=AEcot60°= ，
∴DE=3OE=3．
故答案为：B．
【分析】由“ ”和矩形的对角线相等且互相平分可知BE=OE，又AE⊥BD于点E，所以AO=BO，所以△ABO是等边三角形，再利用三角函数求出OE，DE的长就等于OE的3倍．
7．【答案】（3，2）
【知识点】点的坐标；矩形的性质
【解析】【解答】过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，
交点为（3，2），即为第四个顶点坐标．故答案为（3，2）．
【分析】根据长方形的性质和点的坐标求解即可。
8．【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵22+1.52=6.25 2.152，
即：AD2+DC2 AC2，
∴∠D 90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.
9．【答案】3
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO ，BO=DO= ，AC=BD，∠ADC=90°，
∴OD=OC，
∵∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADB=30°，
由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，
此时 .
故答案为：3.
【分析】根据矩形的性质可推出OD=OC，由∠BOC=120°可得∠DOC=60°，进而可得△DOC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和角的和差可得∠ADB=30°，由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，再根据30°角的直角三角形的性质即可求得答案.
10．【答案】4
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形.
∴OA=OB=OD=OC=4.
∴BD=OB+OD=4+4=8.
在直角三角形ABD中，AB=4，BD=8.
由勾股定理可知AD2=BD2-AB2=82-42=48.
∴AD=4 .
故答案为：4 .
【分析】根据矩形的性质得到BD=8，然后利用勾股定理求解即可.
11．【答案】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD.
∵在 DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行可得EC∥BD，EC＝BD，结合已知可得EC∥AD，EC＝AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解.
12．【答案】证明：四边形 是矩形，
， ，
∴EF=BC
.
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD=BC，由线段的构成并结合已知的相等线段可得EF=BC，于是结论可求解.
13．【答案】解： 四边形 是矩形， ，
， ，
，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得 ，
，
∴矩形 中， ，
是 的中点，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得， .
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得，根据矩形的性质可得 在 中，利用勾股定理求出CE的长.
14．【答案】（1）解：∵四边形 为长方形，
∴BC=OA=10，AB=OC=4
∴A（10，0），B（10，4），C（0，4）；
（2）解：∵点 是 的中点，
∴OD=
①当 时，过点P作PE⊥OA于E，PE垂直平分
此时OE= ，PE=OC=4
，不符合题意，舍去；
②当OP= =5时， 点就是以点 为圆心，以5为半径画弧与 的交点，
在 中， ，
则 的坐标是（3，4）；
③当DP= =5时， 点就是以点 为圆心，以5为半径的弧与 的交点，此时点P有两种情况，过 作 于点 ，
在 中， ，
当 在 的左边时， ，
则 的坐标是（2，4）；
当 在 的右侧时， ，
则 的坐标是（8，4），
故 的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）.
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得BC=OA=10，AB=OC=4，从而求出各点坐标；
（2）先求出OD，然后根据等腰三角形腰的情况分 ①当 时， ②当OP= =5时 ， ③当DP= =5时 三 类讨论，分别利用三线合一、勾股定理等知识即可分别求出结论.
1 / 1初中数学人教版八年级下学期期中专题复习 ：04 矩形
一、单选题
1．（2020九上·静安月考）在 ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO
C．AO⊥BO D．∠OBC＝∠OBA
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加AO＝BO，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴ ABCD为矩形，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，判断四边形为矩形即可。
2．（2021九上·莲湖期末）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，5），则A，C两点间的距离是（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，AC，
∵点B的坐标为（2，5），
∴BO=.
∵矩形OABC，
∴.
故答案为：C.
【分析】由点B的坐标，利用勾股定理求出BO的长，再利用矩形的对角线相等，可得到AC的长.
3．（2021九上·清涧期末）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， ，若 的周长比 的周长大10，则 的长为（ ）.
A． B． C．10 D．20
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，∠ABC=90°，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=30°，
∴AB= BC，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB＋AO＋BO，
又∵ABC的周长比△AOB的周长长10，
∴AB+AC+BC-（AB＋AO＋BO）=BC=10，
∴AB= BC= ；
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质可得到AO=CO=DO=BO，AD=BC，∠ABC=90°，AB∥CD，可证得∠BAC=30°，利用勾股定理可得到AB= BC；再利用ABC的周长比△AOB的周长长10，可得到BC=10，由此可求出AB的长.
4．（2020九上·宁化月考）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，
OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=3．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的判定求解即可。
5．（2020八上·郑州期中）如图，长方形 OABC 放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交数轴于 P 点，则 P 点表示的数为（ ）
A．2﹣ B．﹣ C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵长方形OABC的长OA为2，宽OC为1，
∴由勾股定理得， ，
∴AP= ，
∵点A表示的数是2，
∴点P表示的数是2- .
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理列式求出AC，然后根据数轴写出点P所表示的数即可.
6．（2020九上·南山月考）如图，矩形ABCD中，点O是对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E．若OD＝2OE，AE＝ ，则DE的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，OB=OD，
∴BE=OE，
∵AE⊥BD于点E，
∴AB=AO（等腰三角形三线合一），
又AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴OE=AEcot60°= ，
∴DE=3OE=3．
故答案为：B．
【分析】由“ ”和矩形的对角线相等且互相平分可知BE=OE，又AE⊥BD于点E，所以AO=BO，所以△ABO是等边三角形，再利用三角函数求出OE，DE的长就等于OE的3倍．
二、填空题
7．（2020七上·南岗期末）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为 ．
【答案】（3，2）
【知识点】点的坐标；矩形的性质
【解析】【解答】过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，
交点为（3，2），即为第四个顶点坐标．故答案为（3，2）．
【分析】根据长方形的性质和点的坐标求解即可。
8．（2020八上·陕西月考）杨师傅要做一个长方形的桌面，做好后量得长为2m，宽为1.5m，对角线为2.15m，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）.
【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵22+1.52=6.25 2.152，
即：AD2+DC2 AC2，
∴∠D 90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果不相等，长、宽、对角线构成的就不是直角三角形，可得此桌面不合格.
9．（2020九上·子洲期中）如图，矩形 中， ， ，点P是 边上动点，则 的最小值为 .
【答案】3
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO ，BO=DO= ，AC=BD，∠ADC=90°，
∴OD=OC，
∵∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADB=30°，
由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，
此时 .
故答案为：3.
【分析】根据矩形的性质可推出OD=OC，由∠BOC=120°可得∠DOC=60°，进而可得△DOC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和角的和差可得∠ADB=30°，由垂线段最短的性质可知：当OP⊥AD时OP最小，如图，再根据30°角的直角三角形的性质即可求得答案.
10．（2020九上·金塔期中）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=OA=4，则AD= .
【答案】4
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形.
∴OA=OB=OD=OC=4.
∴BD=OB+OD=4+4=8.
在直角三角形ABD中，AB=4，BD=8.
由勾股定理可知AD2=BD2-AB2=82-42=48.
∴AD=4 .
故答案为：4 .
【分析】根据矩形的性质得到BD=8，然后利用勾股定理求解即可.
三、解答题
11．（2021九上·沈北期末）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
【答案】证明：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD.
∵在 DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且平行可得EC∥BD，EC＝BD，结合已知可得EC∥AD，EC＝AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解.
12．（2021九上·金台期末）如图，点 在矩形 的边 上，延长 到点 ，使 ，连接 .求证： .
【答案】证明：四边形 是矩形，
， ，
∴EF=BC
.
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD=BC，由线段的构成并结合已知的相等线段可得EF=BC，于是结论可求解.
13．（2020九上·榆林月考）如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F连接CE，EF，CF，得到 .且 ， ， .求CE的长；
【答案】解： 四边形 是矩形， ，
， ，
，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得 ，
，
∴矩形 中， ，
是 的中点，
，
中， ， ， ，
根据勾股定理得， .
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得，根据矩形的性质可得 在 中，利用勾股定理求出CE的长.
四、综合题
14．（2020八上·银川期中）如图，已知 为坐标原点，四边形 为长方形， ，点 是 的中点，点 在线段 上运动.
（1）写出点 的坐标；
（2）当 是腰长为5的等腰三角形时，求点 的坐标.
【答案】（1）解：∵四边形 为长方形，
∴BC=OA=10，AB=OC=4
∴A（10，0），B（10，4），C（0，4）；
（2）解：∵点 是 的中点，
∴OD=
①当 时，过点P作PE⊥OA于E，PE垂直平分
此时OE= ，PE=OC=4
，不符合题意，舍去；
②当OP= =5时， 点就是以点 为圆心，以5为半径画弧与 的交点，
在 中， ，
则 的坐标是（3，4）；
③当DP= =5时， 点就是以点 为圆心，以5为半径的弧与 的交点，此时点P有两种情况，过 作 于点 ，
在 中， ，
当 在 的左边时， ，
则 的坐标是（2，4）；
当 在 的右侧时， ，
则 的坐标是（8，4），
故 的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）.
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得BC=OA=10，AB=OC=4，从而求出各点坐标；
（2）先求出OD，然后根据等腰三角形腰的情况分 ①当 时， ②当OP= =5时 ， ③当DP= =5时 三 类讨论，分别利用三线合一、勾股定理等知识即可分别求出结论.
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