第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
A级 必备知识基础练
1.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是( )
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
2.焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆的标准方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
3.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P,-4和Q-,3,则此椭圆的标准方程是 ( )
A.+x2=1
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1
D.以上都不对
4.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为( )
A.10 B.12 C.16 D.20
5.(多选题)椭圆=1的焦距为4,则m的值可以是( )
A.12 B.10
C.6 D.4
6.P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为( )
A.60° B.30° C.120° D.150°
7.过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为 .
8.已知椭圆C:=1,点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);
(2)经过两点(2,-),.
B级 关键能力提升练
10.椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为( )
A.± B.±
C.± D.±
11.已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为( )
A.=1(y≠0) B.=1(y≠0)
C.=1(y≠0) D.=1(y≠0)
12. 如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为 ( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
13.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则该椭圆的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
14.已知椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2的大小为 .
15.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b= .
16.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值.
C级 学科素养创新练
17.设P是椭圆=1上一点,M,N分别是圆A:(x+4)2+y2=1和圆B:(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )
A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12
18.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆=1上,则= .
3.1.1 椭圆及其标准方程
1.AC 当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;
当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;
当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.
2.D (方法1)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.
(方法2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得故选D.
3.A 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得
∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
4.D 由椭圆=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,
由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B的周长=4a=20.故选D.
5.AD 因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,
当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;
当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.
故m=4或12.
6.A 由椭圆的定义得
|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2,
∴(|PF1|+|PF2|)2=64.
∵|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40,
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=,
∵0°<∠F1PF2<180°,
∴∠F1PF2=60°.
7.=1 椭圆=1的焦点为(0,±4),
设椭圆方程为=1(a>b>0),
则有a2-b2=16, ①
再代入点(,-),得
=1, ②
由①②解得a2=20,b2=4.
则所求椭圆方程为=1.
8.12 如图,取MN的中点G,G在椭圆C上,
因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,
故有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|,
所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12.
9.解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以可设它的标准方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义知2a==12,所以a=6.
又c=2,所以b==4.
所以椭圆的标准方程为=1.
(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以可设其标准方程为=1(a>b>0).
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为=1.
(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,
设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为=1.
同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.
综上,所求椭圆的标准方程为=1.
(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
将两点(2,-),代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为=1.
10.D ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),
∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3,∵点P在椭圆上,∴=1,即y2=,∴y=±.
∴点M的纵坐标为±.
11.A 依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其标准方程为=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9.
又A,B,C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为=1(y≠0).故选A.
12. C 由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',
∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',
∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',
在Rt△PFF'中,由勾股定理,
得|PF'|==8,
由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,
从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,
∴椭圆C的方程为=1.
13.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵A,B在椭圆上,
∴
①-②,得
=0,
即=-.
∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2.
而=kAB=,
∴.又a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为=1.故选D.
14.2 120° 由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.
在△PF1F2中,
cos∠F1PF2==-.故∠F1PF2=120°.
15.3 由题意得,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1||PF2|=9,
∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,
∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3.
16. 解(1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R, ①
|CC2|=2+R, ②
①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.
解得x=2,
由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为6的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=x1,y1-,=x2,y2-.由=5可得,x1,y1-=5x2,y2-,所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18,由P,Q是轨迹E上的两点,得
解得
所以x1=0,y1=-3.
所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.
17. C 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆的定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB,分别与左、右两圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2r=8.延长PA,PB,分别与左、右两圆相交于M',N'两点,此时|PM'|+|PN'|最大,最大值为|PA|+|PB|+2r=12,即最小值和最大值分别为8,12.
18. 由椭圆的方程得a=5,b=4,c=3.
∵△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆=1上,3.1.2 椭圆的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1.曲线=1与=1(0A.有相等的焦距,相同的焦点
B.有相等的焦距,不同的焦点
C.有不等的焦距,不同的焦点
D.以上都不对
2.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m km,远地点B距离地面n km,地球半径为k km,则飞船运行轨道的短轴长为( )
A.2 km
B. km
C.mn km
D.2mn km
5.(多选题)已知椭圆=1的离心率e=,则k的值可能是( )
A.-4 B.4 C.- D.
6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆C的方程为 .
B级 关键能力提升练
7.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )
A.[6,10] B.[6,8] C.[8,10] D.[16,20]
8.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根为x1,x2,则点P(x1,x2)( )
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情况都有可能
9.(多选题)已知F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,O为坐标原点,若椭圆的长轴长是6,且cos ∠OFA=,则椭圆的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
10.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为 .
11.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.
C级 学科素养创新练
12.(多选题)阿基米德是古希腊数学家,他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为6π,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程可以为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.1.2 椭圆的简单几何性质
1.B 曲线=1的焦距为2c=8,而曲线=1(02.A 由题意得c=2,a+b=10,
所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,
解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为=1.
3.B 不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),直线l过(0,b)(c,0),则可设直线l:=1,依题意,有,即4=b2,
∴=3,=3,∴e=.
4.A 由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,
故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),
即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),
所以b=.
所以椭圆的短轴长为2 km.
5.BC ①当焦点在x轴上,即当k+8>9,即k>1时,由椭圆的标准方程得a=,b=3,则c=,
所以椭圆的离心率e=,解得k=4.
②当焦点在y轴上,即当0则c=,所以椭圆的离心率e=,解得k=-.
6.=1 因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,
所以有tan 60°=,即b=c.又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,
所以有a-c=,而a2=b2+c2,三个等式联立得解得
所以椭圆的标准方程为=1.
7.C 不妨设椭圆的焦点在x轴上,
由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),
由椭圆的范围知,|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,
点M到椭圆中心的距离d=.
又因为=1,
所以=64=64-,
则d=.
因为0≤≤100,
所以64≤+64≤100,所以8≤d≤10.
8.A 由已知x1+x2=-,x1x2=-,
从而=(x1+x2)2-2x1x2==1-e2+2e=1-+1=<2,故点P在圆x2+y2=2内.
9.BD
10.4 由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积取得最大值,即bc=2.
∴a2=b2+c2≥2bc=4,当且仅当b=c=时等号成立.
∴a≥2,
∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4.
11.解设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),
所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.
所以=b2,
所以-c2+b2=c2,
解得.
因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],
即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2.
即,所以,
即椭圆离心率的取值范围是.
12.AD 由题意可知,
又a2=b2+c2,3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
A级 必备知识基础练
1.(多选题)如果方程=1表示双曲线,则m的取值可能是( )
A.-4 B.-2 C.-1 D.
2.(多选题)双曲线=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( )
A.17 B.7 C.22 D.2
3.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是( )
A.双曲线,焦点在x轴上
B.双曲线,焦点在y轴上
C.椭圆,焦点在x轴上
D.椭圆,焦点在y轴上
4. 如图,已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为( )
A.2a+2m B.4a+2m
C.a+m D.2a+4m
5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在( )
A.一个椭圆上 B.一个圆上
C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上
6.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 .
7.已知点F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.则△F1PF2的面积为 .
8.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.
B级 关键能力提升练
9.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
10.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
11.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,△F1PF2的内切圆圆心为M,若+8,则=( )
A.2 B.6 C.8 D.10
12.(多选题)已知方程=1表示的曲线为C,下列说法正确的有( )
A.当1B.当t>4或t<1时,曲线C为双曲线
C.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1D.若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则t>4
13.(多选题)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有 ( )
A.点P到x轴的距离为
B.|PF1|+|PF2|=
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2=
14.设P是双曲线=1上一点,M,N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
15.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为 .
16.已知双曲线=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.
(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少 若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少
C级 学科素养创新练
17. 某地发生里氏8.0级地震,为了援救灾民,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,要把这批药品沿道路PA,PB送到矩形灾民区ABCD中去,若PA=100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线 并求出其方程.
3.2.1 双曲线及其标准方程
1.AD 要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1.
由选项知AD符合.
2.CD 设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=5,b=3,c=,设P为双曲线上一点,不妨令|PF1|=12(12>a+c=5+),
∴点P可能在左支,也可能在右支,
由||PF1|-|PF2||=2a=10,
得|12-|PF2||=10,
∴|PF2|=22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
3.B 原方程可化为+y2=1,因为ab<0,
所以<0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y轴上.
4.B 由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.
又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.
5.D 由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,
画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,
设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,
∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,
∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.
6.=1 设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),则
解得A=-,B=-,
故双曲线的标准方程为=1.
7.16 因为P是双曲线左支上的点,
所以|PF2|-|PF1|=6,
两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==0,
所以∠F1PF2=90°,
所以|PF1|·|PF2|=×32=16.
8.解当k<0时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的双曲线;
当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;
当0当k=2时,曲线方程化为x2+y2=4,表示一个圆;
当k>2时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的椭圆.
9.C 由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,可得=1,
解得a=3,b=1,c=,a+c>3,
点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,
则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.
10. B 如图所示,连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点,∴MF2=2.
∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P.
由垂直平分线的性质可得PM=PF1.
∴|PF2-PF1|=|PF2-PM|=MF2=2由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
11.D 由双曲线=1得a=4,b=3,
可得c==5.
设△F1PF2的内切圆的半径为r,
由+8,可得r|PF1|=r|PF2|+8,
即r(|PF1|-|PF2|)=8.
易得|PF1|-|PF2|>0,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,
则有4r=8,解得r=2,
则r|F1F2|=10.
12.BCD A错误,当t=时,曲线C为圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;C正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴14.
13.BC 因为双曲线C:=1,所以c==5.又因为·2c|yP|=·10·|yP|=20,所以|yP|=4,所以选项A错误;
将|yP|=4代入C:=1得=1,即|xP|=.
由对称性,不妨取P的坐标为,可知|PF2|=.
由双曲线定义可知|PF1|=|PF2|+2a=+8=,所以|PF1|+|PF2|=,所以选项B正确;
对于点P,在△PF1F2中,|PF1|=>2c=10>|PF2|=,则>0,
则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,选项C正确;
由余弦定理得cos∠F1PF2=,
∴∠F1PF2≠,
所以选项D错误.
14.9 如图所示,设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,则点F1(-5,0)为圆(x+5)2+y2=1的圆心,点F2(5,0)为圆(x-5)2+y2=4的圆心,
当|PM|-|PN|取最大值时,点P在该双曲线的左支上,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6.
由圆的几何性质得|PM|≤|PF2|+2,|PN|≥|PF1|-1,所以|PM|-|PN|≤|PF2|-|PF1|+3=6+3=9.
15.=1(x≤-2) 设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=8.
∴点P的轨迹是以A(-4,0),B(4,0)为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支.
又2c=8,∴c=4.∴b2=c2-a2=12.
∴动圆圆心的轨迹方程为=1(x≤-2).
16.解设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,
因为r1r2sin θ,θ已知,
所以只需求r1r2即可.
(1)当θ=90°时,r1r2sin θ=r1r2.
由双曲线方程知a=2,b=3,c=,
由双曲线的定义,得r1-r2=2a=4,
两边平方,得-2r1r2=16.
又=|F1F2|2,即|F1F2|2-4=16,
也即52-16=4,求得=9.
(2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,
|F1F2|2=-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,
求得r1r2sin 120°=3.
同理,可求得当∠F1MF2=60°时,=9.
17.解矩形灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样远近,依题意知,界线是第三类点的轨迹.
设M为界线上的任一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,
∴界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分,
如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
设所求双曲线方程的标准形式为=1(a>0,b>0),
∵a=25,2c=|AB|==50,
∴c=25,b2=c2-a2=3 750,3.2.2 双曲线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1.已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=( )
A. B.4 C.2 D.
2.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
3.已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线l共有( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
4.(多选题)已知双曲线C:=1过点(3,),则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的焦距为4
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为y=±x
D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点
5.若实数k满足0A.焦距相同
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
6.已知双曲线=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为 .
7.过双曲线x2-=1的左焦点F1,作倾斜角为的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|= .
8.双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积.
9.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;
(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.
B级 关键能力提升练
10.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于( )
A.-1 B.
C.+1 D.+2
11.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为( )
A.+1 B.+1
C.2 D.
12.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
13.已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为 ( )
A.4x-3y+1=0
B.2x-y-1=0
C.3x-4y+6=0
D.x-y+1=0
14.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为( )
A.-y2=1
B.=1
C.=1
D.=1
15.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且=0,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
16.已知l为双曲线C:=1的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为 ;C的方程为 .
17.已知F为双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|,则双曲线E的离心率是 .
18.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长.
C级 学科素养创新练
19.(多选题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF1的周长不小于14,则双曲线C的离心率可能为( )
A. B.2 C. D.3
20.已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 .
3.2.2 双曲线的简单几何性质
1.D ∵双曲线的离心率e=,c=,
∴,解得a=,故选D.
2.ABD 令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.
3.B 因为双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,所以过点P(1,0)且与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条.故选B.
4.AC 由双曲线C:=1过点(3,),可得m=1,则双曲线C的标准方程为-y2=1.
所以a=,b=1,c==2,因为双曲线C的焦距为2c=4,所以选项A正确;
因为双曲线C的离心率为,所以选项B不正确;
因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以选项C正确;
将直线2x-y-1=0与双曲线-y2=1联立,消去y可得3x2-4x+4=0,Δ=(-4)2-4×3×4=-32<0,所以直线2x-y-1=0与双曲线C没有公共点,所以选项D不正确.
5.A 由于00,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0);
∵9-k>0,∴25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0),
故两曲线的焦距相同,故选A.
6.y=±x 依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.
因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=b,于是双曲线渐近线方程为y=±x=±x.
7.3 依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,
所以|AB|=·|x1-x2|
=
=
=3.
8.解由题意得,双曲线=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±x.
不妨设直线FB的方程为y=(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,
解得x=,y=-,所以B,-.
所以S△AFB=|AF||yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×.
9.解(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.
(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,
解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.
10.C 不妨设双曲线标准方程为=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=.
因为∠PF1Q=,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=+1或e=1-(舍去),故选C.
11.B 设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=,故x1+x2=0,x1·x2=,y1·y2=3x1·x2=,设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,
即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得-6-3=0,解得=3+2.
故c=+1,故选B.
12.C 设双曲线的半焦距为c,
则F(c,0),将x=c代入双曲线=1,
得y=±,不妨取C,B,
又A1(-a,0),A2(a,0),
故=-.
因为A1B⊥A2C,
故-=-1,
即=1,即=1,
所以a=b,故渐近线方程是y=±x=±x.
13.A 设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2=2,2=2,两式相减得,2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
又x1+x2=4,y1+y2=6,
∴8(x1-x2)-6(y1-y2)=0,即kPQ=.
因此直线PQ的方程为y-3=(x-2),
即4x-3y+1=0.
经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交.
因此适合题意的直线方程为4x-3y+1=0,
故选A.
14.ABD 依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知ABD均可能.
15.ACD 易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,故A正确;由a=b=1得c=,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;易知F1(-,0),则F1到双曲线的一条渐近线的距离d==1,故C正确;
由=0得,PF1⊥PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由得y2=,∴|y|=,因此,|F1F2|·|y|=×2=1,
故D正确.故选ACD.
16.(,0) =1 由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k==tan =1,
解得a=b=,则双曲线的右顶点为(,0),C的方程为=1.
17. 如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为D.
由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±x,
则F(c,0)到渐近线的距离d==b,
即|FA|=|FD|=b,又|OF|=|FB|=c,
则|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.
∵△OFB为等腰三角形,
∴D为OB的中点,∴|OB|=2a.
∵AB⊥OA,
∴|OB|2=|OA|2+|AB|2,
即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,
∴c=2b.则2a=c,∴e=.
18.解(1)∵点A(-,0)和B(,0),
动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.
|AB|=2>2,
∴点C的轨迹方程是以A(-,0)和B(,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=,∴点C的轨迹方程是x2-=1.
(2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.
∴联立得x2+4x-6=0,
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,
∴|DE|==4.
故线段DE的长为4.
19. ABC 由右焦点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),|AF1|==5,
由△APF1的周长不小于14,可得|PA|+|PF1|的最小值不小于9,
又F2为双曲线的左焦点,可得|PF1|=|PF2|+2a,|PA|+|PF1|=|PA|+|PF2|+2a,
当A,P,F2三点共线时,|PA|+|PF2|=|AF2|,由对称性知|AF2|=|AF1|=5.
此时|PA|+|PF2|+2a取最小值5+2a,
所以5+2a≥9,即a≥2.
因为c=2,可得e=.
故选ABC.
20. 32 根据题意,双曲线C:=1的左焦点F(-,0),
所以点A(,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,
所以|PQ|=12.双曲线图象如图.
|PF|-|AP|=2a=4,①
|QF|-|QA|=2a=4,②3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
A级 必备知识基础练
1.抛物线y=x2的准线方程是y=1,则a的值是( )
A. B.- C.4 D.-4
2.(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程可以为( )
A.y2=x B.x2=8y
C.x2=-8y D.y2=-8x
3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于( )
A.4 B.2 C.1 D.8
4. 如图,已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=( )
A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3
5.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:-y2=1的焦距为 .若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为 .
B级 关键能力提升练
6. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是( )
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线
7. 如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=9x B.y2=6x
C.y2=3x D.y2=x
8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于( )
A. B. C.3 D.2
9.(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为(0,2)
B.开口向右,准线方程为x=-
C.开口向右,焦点为
D.开口向上,准线方程为y=-2
10.在平面直角坐标系xOy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是 .
11.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求实数λ的值.
C级 学科素养创新练
12.已知P为抛物线x2=12y上一个动点,Q为圆(x-4)2+y2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.D 抛物线y=x2的标准方程为x2=ay,其准线方程为y=-,又抛物线准线方程为y=1,得1=-,解得a=-4.
2.AC 若抛物线的焦点在x轴上,
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
又因为抛物线经过点P(4,-2),
所以(-2)2=2p×4,解得p=,
所以抛物线的方程可以为y2=x.
若抛物线的焦点在y轴上,
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
又因为抛物线经过点P(4,-2),
所以42=-2p×(-2),解得p=4,
所以抛物线的方程可以为x2=-8y.
3.C 如图,易知F,0,准线l的方程为x=-.
过A作AA'⊥l,垂足为A',则|AF|=|AA'|,
即x0=x0+=x0+,∴x0=1.
4.C 易知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),∴抛物线的准线方程l:y=-1.又点A的坐标为(2,0),∴直线AF的斜率k==-.如图,过点M作MG⊥l于点G,根据抛物线的定义知|FM|=|MG|.
在Rt△MNG中,易知tan∠MNG=-k=,
∴,即|NG|=2|MG|,
∴|MN|=|MG|,
∴|FM|∶|MN|=1∶.故选C.
5.4 4 在双曲线C:-y2=1中,a2=3,b2=1,
∴c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.
∵双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,∴在抛物线y2=2px(p>0)中,=c,即p=4.
6.D 由题意知,直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.
7.C 如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1,
BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,
∴∠AFx=60°,连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,
则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,
∴抛物线方程为y2=3x.
8. C 过点Q作QQ'⊥l于点Q',如图.
∵=4,
∴|PQ|∶|PF|=3∶4,
又焦点F到准线l的距离为4,
∴|QF|=|QQ'|=3.
9.AD 抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.
10. 3 设P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,|PB|==
=|x|,
即|PB|为点P到y轴的距离.抛物线的焦点为F,准线方程为x=-,可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-.过点A作准线的垂线,垂足为K,
可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AK|=,即有|PA|+|PB|的最小值为3.
11.解(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,故x1+x2=.
由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.
故抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,
则y1=-2,y2=4.
故A(1,-2),B(4,4).
设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4λ),
又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
可得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
12.D 由抛物线的方程可知焦点F(0,3),则准线方程为y=-3,
如图,过点P作x轴的垂线,垂足为点A,延长PA交准线于点B,设圆(x-4)2+y2=1的圆心为点C.
根据抛物线的定义可得|PA|=|PB|-|AB|=|PF|-|AB|,
∴|PA|+|PQ|=|PF|+|PQ|-|AB|=|PF|+|PQ|-3,
∴当|PA|+|PQ|最小时,则|PF|+|PQ|最小,即F,P,Q(Q位于C,P之间)三点共线时,|PA|+|PQ|最小,3.3.2 抛物线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为( )
2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
4.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是 .
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p= .
6.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
B级 关键能力提升练
7.(2021山东枣庄检测)设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标是( )
A.(2,±2) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,2)
8.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A. B.3 C. D.
9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2=6x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=x
10.已知点A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B.+1
C. D.-1
11.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )
A.2 B. C. D.3
12.(多选题)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为过点A,点B向l做垂线,得到的垂足,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
13.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .
14.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,= .
15.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.
(1)求直线l的方程;
(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称 若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.
16.已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值 并说明理由.
C级 学科素养创新练
17.
抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为 .
3.3.2 抛物线的简单几何性质
1.D (方法1)将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为=1与y2=-x.
因为a>b>0,所以>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.
(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0的曲线关于x轴对称,排除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.
2.C ∵P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,
∴=4x0,则点P与点(5,0)的距离
d=.
∵x0≥0,∴当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.
3.B (1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1,由方程组
消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,
①若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个交点;
②若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个交点.
(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,
该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.
综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有3条.
4.4 根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为,边长为a,则有tan ,
解得y0=2,
故边长a=4.
5.2 ∵F,∴直线AB的方程为y=x-,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+=0.
设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知
xA+xB=3p,xAxB=.
|AB|==4p=8,解得p=2.
6.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.
从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
7.B 由题意知F(1,0),设A,则,由=-4得y0=±2,∴点A的坐标为(1,±2).
8.D 设直线AB的方程为x=ty+m,则直线AB与x轴的交点为M(m,0),则m>0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2).把x=ty+m代入y2=x,
可得y2-ty-m=0,满足Δ>0,则y1y2=-m.
∵=6,∴x1x2+y1y2=6,
从而(y1y2)2+y1y2-6=0.
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-3,
故m=3.不妨设点A在x轴上方,则y1>0,
又F,y2=-,
∴S△ABO+S△AFO=×3×(y1-y2)+y1=y1+≥2,
当且仅当y1=,即y1=时,等号成立.
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是.
9.B 设M(x1,y1),
则由|MF|=4|OF|得x1+=4×,
即x1=p,则=3p2,
则|y1|=p,则S△OMF=p=4,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.
10. B 由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,
从而A(0,-1),如图所示.设∠PAQ=θ.
∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,
∴m=.
结合图形知,当AP与抛物线相切时,sin θ最小,从而m最大.
设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),
由得x2-4kx+4=0,
令Δ=16k2-16=0,解得k=±1,
不妨取k=1,得点P坐标为(2,1).
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).
在双曲线=1(a>0,b>0)中,2c=2,
即c=1,
2a=|PA|-|PB|=2-2,即a=-1,
∴离心率e=+1.故选B.
11.A 由
得3y2+16y+48=0,Δ=256-12×48<0,故方程无解,∴直线3x+4y+12=0与抛物线相离.
又d1+d2=d1+1+d2-1,
而d1+1为P到准线x=-1的距离,
故d1+1为P到焦点F(1,0)的距离,
从而d1+1+d2的最小值为F到直线3x+4y+12=0的距离,
即=3,
故d1+d2的最小值为2.
12.AC 由y2=4x,得2p=4,即p=2,
∴焦点F(1,0),准线l:x=-1.
设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-4my-4=0,
∴y1+y2=4m,y1·y2=-4.
从而x1+x2=4m2+2, ①
x1·x2=1. ②
又|AF|=3|BF|,∴x1+=3x2+,即x1=3x2+2. ③
将③代入①得,x2=m2.将③代入②得3+2x2-1=0,解得x2=或x2=-1(舍去).
∴m2=,∴m=±,即直线AB的斜率为±,故C正确;
C(-1,y1),D(-1,y2),
∴=4+y1y2=4-4=0,从而∠CFD=90°,故A正确;
M(2m2+1,2m),
∴=4(m2+1)2+4m2-2m(y1+y2)+y1y2=4m4+4m2=,结合图形知△CMD不是直角三角形,故B错误;
S△AOB=|OF||y1-y2|=,故D错误.故选AC.
13.2 设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,
∴+2p(x2-x1)=0,
即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.
∴x2-x1=0,即x1=x2.
根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,
由△OAB为等边三角形,
不妨设直线OB的方程为y=x,
由解得B(6p,2p),
∴|OB|==4p.
∵△OAB的面积为48,
∴(4p)2=48,解得p2=4,∴p=2.
14.2 1 由题意知=1,从而p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
当直线AB斜率不存在时,x=1代入y2=4x,解得y1=2,y2=-2,即|AF|=|BF|=2,
从而=1.
当直线AB斜率存在时,设AB的方程为
y=k(x-1),显然k≠0,联立消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
从而=1.
15.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.
设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.
判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-2+>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,
由8m=4,得m=,
所以直线l的方程为2x-y-2=0.
(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,
则可设lCD:y=-x+n,与抛物线方程y2=8x联立,
消去y,得x2-(n+8)x+n2=0,
其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,
则n>-4. (*)
又因为xC+xD=4(n+8),
所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,
得n=-,不满足(*)式.
所以满足题意的C,D两点不存在.
16.解(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.
因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
17.y2=3x 由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F.
当直线PQ的斜率不存在时,易得|PQ|=2p;
当直线PQ的斜率存在时,
设PQ的方程为y=k,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立
得k2=2px,
整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,
所以x1+x2=p+,x1x2=.
所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p.
综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,
