初中数学华师大版八年级下学期 第20章 20.3 数据的离散程度
一、单选题
1．一般具有统计功能的计算器可以直接求出（ ）
A．平均数和标准差 B．方差和标准差
C．众数和方差 D．平均数和方差
【答案】A
【知识点】利用计算器求方差
【解析】【解答】解：根据计算器的功能可得答案为A．
故本题选A．
【分析】根据科学记算器的功能回答．
2．（2021八上·金塔期末）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.2 9.2 9.2 9.2
方差（环2） 0.35 0.15 0.25 0.27
则这四个中，成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】根据题意，
0.15<0.25<0.27<0.35
方差最小的是乙，故最稳定的是乙，
故答案为：B.
【分析】一组数据，方差越小，越稳定，据此解题.
3．（2020八上·高台月考）对于两组数据A、B，如果 ＞ ， = ，则（ ）
A．这两组数据的波动相同. B．数据B的波动小一些.
C．它们的平均水平不一样 D．数据A的波动小一些.
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵ ， = ，
∴数据B的波动小一些.
故答案为：B.
【分析】根据方差越大波动越大即可判断求解.
4．（2020八上·滕州月考）某班5个合作学习小组人数如下：4，5，x，6，7，已知这数据的平均数为6，则这组数据的方差是（ ）
A．2.9 B．2.8 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵这组数据的平均数是6，
∴（4+5+x+6+7）÷5＝6，
解得：x＝8，
则这组数据的方差是： [（4﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2]＝2．
故答案为：C．
【分析】设一组数据x1，x2，x3……xn中，各组数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2，(x2-)2……(xn-)2，那么我们用他们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，本题据此计算即可.
5．（2020九上·高邑期中）一组数据 的方差是2，那么另一组数据 的方差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的方差是2，
∴由于另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3是在原数据基础上每个数据都加上3，
∴新数据的波动幅度没有发生改变，
∴另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是2，
故答案为：A．
【分析】根据方差的定义求解可得．
二、填空题
6．（2021八上·扶风期末）有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 .
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 2，3，a，5，6，它们的平均数是4 ，
∴ 2+3+a+5+6=4×5
解之：a=4
∴.
故答案为：2.
【分析】利用平均数公式求出a的值；再利用方差公式求出这组数据的方差.
7．（2020八上·盐田期末）下图为甲、乙10次射击训练成绩的折线统计图。这些成绩的方差的大小关系是：S2甲 S2乙。(选填“>”“=”“<”)
【答案】<
【知识点】方差
【解析】【解答】解： 由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
∴甲的平均数，
乙的平均数，
∴ 甲的方差S甲2=[2×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+（10-8.5）2+5×（9-8.5）2]=0.85，
乙的方差S乙2=[3×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+2×（9-8.5）2+3×（10-8.5）2]=1.35，
∴S2甲＜S2乙．
故答案为：＜．
【分析】 从折线图中得出甲乙的射击成绩，先求出甲乙的平均数，再利用方差的公式求出甲乙的方差进行比较，即可求解．
8．（2020九上·长沙月考）小明用 计算一组数据的方差，那么 ．
【答案】60
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】由题意得：这组数据的平均数为6，
则 ，
解得 ，
故答案为：60．
【分析】根据方差的计算公式可得这组数据的平均数为6，进而求得这组数的和.
9．（2020八上·西安月考）已知：一组数据 ， ， ， ， 的平均数是22，方差是13，那么另一组数据 ， ， ， ， 的方差是 .
【答案】117
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：依题意，得= =22，
∴ =110，
∴3a-2，3b-2，3c-2，3d-2，3e-2的平均数为
= = ×（3×110-2×5）=64，
∵数据a，b，c，d，e的方差13，
S2= [（a-22）2+（b-22）2+（c-22）2+（d-22）2+（e-22）2]=13，
∴数据3a-2，3b-2，3c-2，3d-2，3e-2方差
S′2= [（3a-2-64）2+（3b-2-64）2+（3c-2-64）2+（3d-2-64）2+（3e-2-64）2]
= [（a-22）2+（b-22）2+（c-22）2+（d-22）2+（e-22）2]×9
=13×9
=117.
故答案为：117.
【分析】由已知的平均数和平均数公式可求得a+b+c+d+e的值，则另一组数据 ， ， ， ， 的平均数可求解，然后根据方差公式S2=即可求得方差.
三、综合题
10．（2020八上·未央月考）由甲、乙两组各10名学生，进行趣味数学抢答比赛，共10道题.答对题数统计如下：
答对题数 5 6 7 8 9 10 平均数 中位数 众数 方差
甲组学生数 1 0 1 5 2 1 8 8 8
乙组学生数 0 0 4 3 2 1
（1）将表中的数据填写完整.
（2）根据所学的统计知识，从不同方面评价甲、乙两组选手的成绩.
【答案】（1）解：甲组的方差
乙组的平均数：
将乙组数据按从小到大的顺序排列如下：7、7、7、7、8、8、8、9、9、10，
∴乙组的中位数是
乙组的众数：7
乙组的方差
如表格所示：
答对题数 5 6 7 8 9 10 平均数 中位数 众数 方差
甲组学生数 1 0 1 5 2 1 8 8 8 1.6
乙组学生数 0 0 4 3 2 1 8 8 7 1
（2）解：从平均数和中位数看，甲乙都是8，成绩相等，从众数看，甲组是8，乙组是7，甲组比乙组好，从方差来看，甲组数据的方差是1.6，而乙组数据的方差是1，甲组成绩波动较大，乙组成绩较稳定.
【知识点】方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、方差、众数的概念分别计算求值；
（2）分别从平均数、中位数、方差、众数四个角度对甲乙两组选手的成绩进行分析即可.
11．（2020八上·城固月考）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次
甲 9 8 8 7
乙 10 6 7 9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由.
【答案】（1）解：甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）解：甲的方差是：
＝ ，
乙的方差是：
＝ .
所以推荐甲参加省比赛更合适.理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适.
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数的公式计算可求解；
（2）根据方差的公式S2=计算可求得甲、乙两人的方差，由方差越小，成绩越稳定可求解.
12．（2020九上·南京期中）嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图所示的折线统计图.
（1）这组成绩的众数是 ；中位数是 ；
（2）求这组成绩的方差；
【答案】（1）10；9
（2）解：这组成绩的平均数为： ，
这组成绩的方差为：
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由折线统计图可知第1次：10环；第2次：7环；第3次：10环；第4次：10环；第5次：9环；第6次：8环；第7次：9环
10出现的次数最多，所以众数为10；
这7次成绩从小到大排列为：7，8，9，9，10，10，10，
故中位数为9.
【分析】（1）中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；据此判断即得. 众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此解答即可；
（2）根据平均数公式及方差公式分别计算即可.
1 / 1初中数学华师大版八年级下学期 第20章 20.3 数据的离散程度
一、单选题
1．一般具有统计功能的计算器可以直接求出（ ）
A．平均数和标准差 B．方差和标准差
C．众数和方差 D．平均数和方差
2．（2021八上·金塔期末）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如表：
选手 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.2 9.2 9.2 9.2
方差（环2） 0.35 0.15 0.25 0.27
则这四个中，成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．（2020八上·高台月考）对于两组数据A、B，如果 ＞ ， = ，则（ ）
A．这两组数据的波动相同. B．数据B的波动小一些.
C．它们的平均水平不一样 D．数据A的波动小一些.
4．（2020八上·滕州月考）某班5个合作学习小组人数如下：4，5，x，6，7，已知这数据的平均数为6，则这组数据的方差是（ ）
A．2.9 B．2.8 C．2 D．3
5．（2020九上·高邑期中）一组数据 的方差是2，那么另一组数据 的方差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．（2021八上·扶风期末）有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 .
7．（2020八上·盐田期末）下图为甲、乙10次射击训练成绩的折线统计图。这些成绩的方差的大小关系是：S2甲 S2乙。(选填“>”“=”“<”)
8．（2020九上·长沙月考）小明用 计算一组数据的方差，那么 ．
9．（2020八上·西安月考）已知：一组数据 ， ， ， ， 的平均数是22，方差是13，那么另一组数据 ， ， ， ， 的方差是 .
三、综合题
10．（2020八上·未央月考）由甲、乙两组各10名学生，进行趣味数学抢答比赛，共10道题.答对题数统计如下：
答对题数 5 6 7 8 9 10 平均数 中位数 众数 方差
甲组学生数 1 0 1 5 2 1 8 8 8
乙组学生数 0 0 4 3 2 1
（1）将表中的数据填写完整.
（2）根据所学的统计知识，从不同方面评价甲、乙两组选手的成绩.
11．（2020八上·城固月考）某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次
甲 9 8 8 7
乙 10 6 7 9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由.
12．（2020九上·南京期中）嘉淇同学利用业余时间进行射击训练，一共射击7次，经过统计，制成如图所示的折线统计图.
（1）这组成绩的众数是 ；中位数是 ；
（2）求这组成绩的方差；
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用计算器求方差
【解析】【解答】解：根据计算器的功能可得答案为A．
故本题选A．
【分析】根据科学记算器的功能回答．
2．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】根据题意，
0.15<0.25<0.27<0.35
方差最小的是乙，故最稳定的是乙，
故答案为：B.
【分析】一组数据，方差越小，越稳定，据此解题.
3．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵ ， = ，
∴数据B的波动小一些.
故答案为：B.
【分析】根据方差越大波动越大即可判断求解.
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵这组数据的平均数是6，
∴（4+5+x+6+7）÷5＝6，
解得：x＝8，
则这组数据的方差是： [（4﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2]＝2．
故答案为：C．
【分析】设一组数据x1，x2，x3……xn中，各组数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2，(x2-)2……(xn-)2，那么我们用他们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，本题据此计算即可.
5．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的方差是2，
∴由于另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3是在原数据基础上每个数据都加上3，
∴新数据的波动幅度没有发生改变，
∴另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是2，
故答案为：A．
【分析】根据方差的定义求解可得．
6．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 2，3，a，5，6，它们的平均数是4 ，
∴ 2+3+a+5+6=4×5
解之：a=4
∴.
故答案为：2.
【分析】利用平均数公式求出a的值；再利用方差公式求出这组数据的方差.
7．【答案】<
【知识点】方差
【解析】【解答】解： 由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，
乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，
∴甲的平均数，
乙的平均数，
∴ 甲的方差S甲2=[2×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+（10-8.5）2+5×（9-8.5）2]=0.85，
乙的方差S乙2=[3×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+2×（9-8.5）2+3×（10-8.5）2]=1.35，
∴S2甲＜S2乙．
故答案为：＜．
【分析】 从折线图中得出甲乙的射击成绩，先求出甲乙的平均数，再利用方差的公式求出甲乙的方差进行比较，即可求解．
8．【答案】60
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】由题意得：这组数据的平均数为6，
则 ，
解得 ，
故答案为：60．
【分析】根据方差的计算公式可得这组数据的平均数为6，进而求得这组数的和.
9．【答案】117
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：依题意，得= =22，
∴ =110，
∴3a-2，3b-2，3c-2，3d-2，3e-2的平均数为
= = ×（3×110-2×5）=64，
∵数据a，b，c，d，e的方差13，
S2= [（a-22）2+（b-22）2+（c-22）2+（d-22）2+（e-22）2]=13，
∴数据3a-2，3b-2，3c-2，3d-2，3e-2方差
S′2= [（3a-2-64）2+（3b-2-64）2+（3c-2-64）2+（3d-2-64）2+（3e-2-64）2]
= [（a-22）2+（b-22）2+（c-22）2+（d-22）2+（e-22）2]×9
=13×9
=117.
故答案为：117.
【分析】由已知的平均数和平均数公式可求得a+b+c+d+e的值，则另一组数据 ， ， ， ， 的平均数可求解，然后根据方差公式S2=即可求得方差.
10．【答案】（1）解：甲组的方差
乙组的平均数：
将乙组数据按从小到大的顺序排列如下：7、7、7、7、8、8、8、9、9、10，
∴乙组的中位数是
乙组的众数：7
乙组的方差
如表格所示：
答对题数 5 6 7 8 9 10 平均数 中位数 众数 方差
甲组学生数 1 0 1 5 2 1 8 8 8 1.6
乙组学生数 0 0 4 3 2 1 8 8 7 1
（2）解：从平均数和中位数看，甲乙都是8，成绩相等，从众数看，甲组是8，乙组是7，甲组比乙组好，从方差来看，甲组数据的方差是1.6，而乙组数据的方差是1，甲组成绩波动较大，乙组成绩较稳定.
【知识点】方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据平均数、中位数、方差、众数的概念分别计算求值；
（2）分别从平均数、中位数、方差、众数四个角度对甲乙两组选手的成绩进行分析即可.
11．【答案】（1）解：甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）解：甲的方差是：
＝ ，
乙的方差是：
＝ .
所以推荐甲参加省比赛更合适.理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适.
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）根据平均数的公式计算可求解；
（2）根据方差的公式S2=计算可求得甲、乙两人的方差，由方差越小，成绩越稳定可求解.
12．【答案】（1）10；9
（2）解：这组成绩的平均数为： ，
这组成绩的方差为：
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由折线统计图可知第1次：10环；第2次：7环；第3次：10环；第4次：10环；第5次：9环；第6次：8环；第7次：9环
10出现的次数最多，所以众数为10；
这7次成绩从小到大排列为：7，8，9，9，10，10，10，
故中位数为9.
【分析】（1）中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；据此判断即得. 众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此解答即可；
（2）根据平均数公式及方差公式分别计算即可.
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