公 开 课 教 案
24．2 相似三角形的判定（一）
安庆市第四中学 王南林
[教材分析] 本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．
[教学目标]
知识与技能目标：
（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．
（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．
过程与方法目标：
（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．
（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．
情感与态度目标：
（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．
（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．
[教学重点] 相似三角形判定定理的预备定理的探索
[教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明
[教学方法] 探究法
[教学媒体] 多媒体课件 直尺、 三角板
[教学过程]
一、课前准备
1、全等三角形的基础知识
2、三角形中位线定理及其证明方法
3、平行四边形的判定和性质
4、相似多边形的定义
5、比例的性质
二、复习引入
（一）复习 1、相似图形指的是什么？
2、什么叫做相似三角形？
（二）引入 如图1，△ABC与△A’B’C’相似.
图1
记作“△ABC∽△A’B’C’”， 读作“△ABC相似于△A’B’C’”．
[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．
对于△ABC ∽△A’B’C’,根据相似形的定义,应有
∠A＝∠A’， ∠B＝∠B’ , ∠C＝∠C’,
＝＝.
[问题]：将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B’C’与△ABC相似比记为k2,那么k1 与k2有什么关系? k1＝ k2能成立吗?
三、探索交流
（一）［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？
（1）“角” ∠BAC＝∠DAE．
∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C．
（2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？
Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理 图2
∵DB∥BC，D为AB的中点，
∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线．
（三角形中位线定理的逆定理）
∴DE＝BC．（三角形中位线定理）
∴＝＝＝．
∴△ADE∽△ABC．
Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识
过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3．
则△ADE≌△ABC,（ASA）
且四边形DFCE为平行四边形.
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图3
∴DE＝BF＝FC.
∴＝＝＝．
∴△ADE∽△ABC．
2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作 BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？
由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．
过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点．
则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2,（ASA）
且四边形D1F1CE1、D2F2CE2、D1GE2E1、D2F2F1G为平行四边形.
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图4
∴D1E1＝BF2＝F2F1＝F1C， ∴AE1＝E1E2＝E2C，
∴ ＝＝＝．
∴△AD1E1∽△ABC． ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
[思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？
过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5．
则四边形D2F2CE2为平行四边形，
且△AD1E1≌D2BF2,（ASA） ∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2．
由（1）知，D1E1＝D2E2，AE1＝AE2， 图５
∴D1E1＝BC，AE1＝AC． ∴＝＝＝．
∴△AD1E1∽△ABC． ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
（二）［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC．
图6
（三）［归纳］定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
这个定理可以证明，这里从略．
四、应用迁移
[操作]：课本第53～54页练习1、3
练习1、如图案，点D在△ABC 的边AB上，DB∥BC交AC于点E．
写出所有可能成立的比例式．
练习3、在第1题中，如果＝，AC＝8cm．求AE长．
五、整理反思
（一）小结 内容总结 思想归纳 图7
（二）反思
六、布置作业
课本第53～54页 练习2．
《基础训练》第41～42页 练习2、3．
思考题：
如图8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E， 那么 ＝． 图8
板书设计
相似三角形
记号 读法
注意
24．2 相似三角形的判定
探究1、在△ABC中，D为AB的中点
课本第53～54页
练习1
定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
探究2、当D1、D2为AB的三等分点
猜想
练习3
小结
作业
[教学反思]
新课程提出，学习目标应由“关注知识”转向“关注学生”，课堂设计应由“给出知识”转向“引起活动”得到“经历、体验”。在课堂中，教师也积极地创设出有利于学生主动参与的教学情境，激发学生的学习兴趣，充分地调动学生学习积极性，给学生留有思考和探索的余地，让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题．
这节课是教学公开课，课前让学生允分的预习。在这种前提下，感觉教学过程进行非常顺利，学生学习也达到目标。这样使我感觉到：“先学后教”对学生自学能力的培养无疑有促进作用，教师在课堂教学中把引导学生学会学习放到教学的首位，教师在引导自学和发现、帮助学生克服学习困难上下工夫，这种先学后教的教学要求有效地制约了习惯于“满堂灌”的教师，这对贯彻“以学生为主体”的教学理念是十分重要的。这节课在要培养学生的数学探索能力方面做了有益的尝试，探索的过程实质上是一个不断提出设想、验证设想、修正和发展设想的过程。在数学中，它表现在提出数学问题，探求数学结论，探索解决途径，寻找解题规律等一系列有意义的发现活动中，而数学探索能力就集中表现为提出设想和进行转换的本领。教学中，激发学生的学习兴趣，使学生处于探索未知世界的主动地位；在具体教学中要善于引导学生推敲关键性的词句，使学生学会“引申”所学的知识．
课堂教学要充分张扬教师、学生的教学个性。教学要有统一的要求，但无须也不该要统一的方法。教育的最高境界应该是教无定法，学无定法。绚丽多姿的课堂需要个性飞扬的教师，教学管理者应鼓励教师在教学方法、教学技巧、教学手段上标新立异。
附： [定理] 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似
简析：该定理的证明分为两步：先证“思考题”，再证该定理（以直线DE∥BC交AB、AC于点D、E为例）．
[证明]Ⅰ、如图8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E，那么
＝．
图8 图9
证明：如图9，连接BE，过点E作边AB的垂线段h．
∵S△ADE＝AD·h，S△BDE＝DB·h．∴＝＝．
同理可证 ＝．
∵DE∥BC， ∴S△BDE＝S△CED．
∴＝，＝．∴＝．
Ⅱ、如图10，直线DE∥BC交AB、AC于点D、E，则△ADE∽△ABC．
（1）“角” ∠BAC＝∠DAE．
∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C.
（2）“边” ∵DB∥BC,＝．
过D点作DF∥AC交BC于点F．
∴＝．
又∵四边形DFCE是平行四边形，∴ FC＝DE ， 图10
∴ ＝．∴ ＝＝．
∴ △ADE∽△ABC．
公开课《24.2相似三角形的判定（一）》
说课稿
安庆市第四中学 王南林
一、说教材
1、教材地位和作用
本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．本节课是判定三角形相似的起始课，是本章的重点之一．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，这三个判定定理都需要借助它来完成，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．
2、教育教学目标
根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：
知识与技能目标：
（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．
（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．
过程与方法目标：
（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．
（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．
情感与态度目标：
（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．
（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．
3、教学重点、难点
依据课程标准，在把握教材的基础上，确立如下的教学重点、难点：
（1）教学重点：相似三角形判定定理的预备定理的探索
（2）教学难点：相似三角形判定定理的预备定理的有关证明
突破重难点的方法是充分运用多媒体教学手段，设置问题、合作交流、猜想论证、课后小结直至布置作业，突出主线，层层深入，逐一突破重难点．
二、说教学方法
1、教法分析
根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用以探究法的教学模式．设计“实验——观察——讨论”的教学方法，以引导发现法为主，并以讨论法、演示法相结合，意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解．本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率．
2、学法指导
《数学新课程标准纲要》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式．为了充分体现《数学课程标准》的要求，培养学生的动手实践能力、逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验，这节课课前让学生允分的预习，课堂上主要采用动手实践、自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学全过程，在教学过程展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解类比、转化、数形结合等数学思想方法．
三、说教学过程
（一）、课前准备
1、全等三角形的基础知识
2、三角形中位线定理及其证明方法
3、平行四边形的判定和性质
4、相似多边形的定义
5、比例的性质
（二）、复习引入
Ⅰ、复习 1、相似图形指的是什么？
2、什么叫做相似三角形？
Ⅱ、引入 如图1，△ABC与△A’B’C’相似． 图1
记作“△ABC∽△A’B’C’”， 读作“△ABC相似于△A’B’C’”．
[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．
[问题]：将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B’C’与△ABC相似比记为k2,那么k1 与k2有什么关系? k1＝ k2能成立吗?
（三）、探索交流
Ⅰ、［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？
（1）“角” ∠BAC＝∠DAE． ∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C．
（2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？
直接运用三角形中位线定理及其逆定理
图2 图3
利用全等三角形和平行四边形知识 过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3．
2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作 BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？
由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．
过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点．则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2, 易证明△AD1E1∽△ABC．
∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC． 图4
[思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？
过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5．
则四边形D2F2CE2为平行四边形，
且△AD1E1≌D2BF2,（ASA） ∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2．
易证△AD1E1∽△ABC．∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
图5
Ⅱ、［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC．
图6
Ⅲ、［归纳］定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
这个定理可以证明，这里从略．
（四）、应用迁移
[操作]：课本第53～54页练习1、3
练习1、如图案，点D在△ABC 的边AB上，DB∥BC交AC于点E．
写出所有可能成立的比例式．
练习3、在第1题中，如果＝，AC＝8cm．求AE长．
（五）、整理反思 图7
（一）小结 内容总结 思想归纳
（二）反思
（六）、布置作业
课本第53～54页 练习2．
《数学基础训练》第41～42页 练习2、3．
思考题：
如图8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E，
那么 ＝． 图8
四、说教学评价：
为了实现教学目标，优化教学过程，提高课堂效率，在教学上采用以探究法的教学模式．组织学生参与“创设情境——探索交流——应用迁移——整理反思”教学全过程，这符合现代教学理论的观点，把素质教育落到实处．另一方面对学生暴露思维过程，先特殊再一般，由边上到延长线，实验、猜想、探索、证明，培养了学生的动手操作能力、直觉思维能力和发散思维能力，
渗透类比、转化的数学思想方法．通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．
从学生课堂上的反映来看，学生参与意识很强，回答问题踊跃，特别是数学成绩一般的学生发言也很积极，很想表现自己，希望得到教师和同学们的认可，看来，如果平时经常多关心他们，多给他们成功的机会，调动他们的学习积极性，那么他们一定会愿意学数学的，并且也一定会学好数学的．从课后反馈情况看，发现有少数较差的学生，虽然能用“预备定理”进行有关判断及计算,但对定理证明过程的难以理解，看来，教师的备课不仅着眼于如何教，还要着眼于引导学生如何学，努力寻找教师与学生的契合点，从而真正把教和学结合起来．
新课程提出，学习目标应由“关注知识”转向“关注学生”，课堂设计应由“给出知识”转向“引起活动”得到“经历体验”．在课堂中，教师也积极地创设出有利于学生主动参与的教学情境，激发学生的学习兴趣，充分地调动学生学习积极性，给学生留有思考和探索的余地，让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题．这节课的教学中，教师的角色由过去的那种课堂教学的主宰者转变为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，让学生充当数学学习的主人．
课件13张PPT。沪科数学九年级（上册） §24.2 相似三角形的判定
（一）安庆市第四中学 王南林相似三角形定义 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec)如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F；
，则△ABC与△DEF相似，记做
“△ABC∽△DEF”。其中k叫做它们的相似比。 思考：如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！如果△ABC∽△DEF,那么 ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F. 相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例.全等三角形知多少什么样的两个三角形叫做全等三角形?
三角对应相等,三边也对应相等的两个三角形全等.
全等三角形有什么性质?
全等三角形的对应角相等,对应边相等.
你还记得三角形全等的判定条件吗?
边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS);斜边直角边(HL).三角形相似的条件的探索方向“各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形相似”是两多边形相似的定义与判定方法.“三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似”
仍沿用了两多边形相似的定义与判定,
根本没有显示出“三角形是多边形的特殊情形”。也就是边按一定的比例放大或缩小,
而角的大小与边的长短无关,
所以类比三角形全等可知…只考虑角只考虑边考虑部分角与部分边.［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？（1）“角” （2）“边”： 要证明对应边的比相等，有哪些方法？ Ⅰ、 直接运用三角形中位线定理及其逆定理Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识
过点D作DF∥AC交BC于点F，如图． 2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作 BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？ ［猜想］3、 通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC． ［归纳］ 定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似． [操作]：课本第53～54页练习1、3小结 内容总结 方法归纳 作业： 课本第53～54页 练习2． 《基础训练》第41～42页 练习2、3． 思考题： 如图、过
△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E，那么
再 见
