【提分必刷】浙江地区九年级上学期期末数学必刷卷5(浙教版 含解析)

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【提分必刷】浙江地区九年级上学期期末数学必刷卷5(浙教版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，对角线，交于点，为三等分点且，连接交于点，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．18
2．二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
3．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的图象的开口向下 B．该函数图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．该函数的图象与轴有两个不同的交点
4．如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
5．如图，电路图有4只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，线段，点C为平面上一点，若，则线段的最大值是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．
7．如图，在中，，．在内依次作，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．
二、填空题
9．为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，该校两名互不相识的同学王明和李强，随机进入学校，二人恰好均从A通道入校的概率是 ．
10．如图，是的直径，点为圆上一点，是的中点，与交于点，若，则的长为 ．
11．已知抛物线经过点(－3，0)和(1，0)，则该抛物线的对称轴是 ．
12．如图，点A、B、C在半径为6的⊙O上，劣弧的长为2π，则∠ACB的大小为 ．
13．已知二次函数的图象的对称轴为直线，且，为其图象上的两点，则下列结论中正确的是 ．
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则
14．在Rt△ABC中，C为直角顶点，过点C作AB的垂线，若D为垂足，若AC、BC为方程x2﹣6x+2＝0的两根，则AD BD的值等于 ．
三、解答题
15．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，求油的最大深度．
16．在平面直角坐标系中，二次函数（，都是常数）的图象经过点和．
（1）求出函数解析式，并写出顶点坐标；
（2）已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标．
17．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，已知，．
(1)求证：．
(2)测得米，米，米，求该古城墙的高度．
已知二次函数y＝ax2+（km+c），当x＝3时，y＝15；当x＝﹣2时，y＝5，试求y与x之间的函数关系式．
19．如图，P为⊙O上一点，⊙P交⊙O于A，B，AD为⊙P的直径，延长DB交⊙O于点C，求证：PC⊥AD．
20．如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由
（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由
21．如图,在⊙O中,点C是优弧ACB的中点,D、E分别是OA、OB上的点,且AD=BE,弦CM、CN分别过点D、E.
(1)求证：CD=CE．
(2)求证：=.
22．如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点，过点作轴交抛物线于点．若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．点在线段的下方．
(1)求与的值．
(2)求线段的最大值．
(3)作点关于直线的对称点，连结，．若，求的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】证明，由相似三角形的性质得出，，得出，求出三角形的面积，则可得出答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为三等分点且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
2．C
【分析】先根据一次函数的解析式求出和时，的值，再分，和三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得．
【详解】对于一次函数，
当时，，
当时，，
二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
（1）当时，
若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0，
即或，
不等式可化为，
利用因式分解法解方程得：，
由二次函数的性质可知，当时，或（舍去），
同理可得：不等式无解，
综上，此时的取值范围为；
（2）当时，
若两个函数的图象没有交点，则无解，
即关于的方程无解，
则方程的根的判别式，
解得，
则此时的取值范围为；
（3）当时，
当时，二次函数的函数值为，
所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，
则此时的取值范围为；
综上，的取值范围为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数以一次函数的综合，根据一次函数的取值范围，正确分三种情况讨论是解题关键．
3．D
【分析】根据二次函数的性质解题．
【详解】解：A、由于y=x2-4x-3中的a=1＞0，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意．
B、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该函数图象的顶点坐标是（2，-7），故本选项不符合题意．
C、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该抛物线的对称轴是x=2且抛物线开口方向向上，所以当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意．
D、由y=x2-4x-3知，△=（-4）2-4×1×（-3）=28＞0，则该抛物线与x轴有两个不同的交点，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，需要利用二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴交点的求法，配方法的应用等解答，难度不大．
4．B
【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF，利用全等三角形的判定和性质得出EF＝FN，再由等腰三角形三线合一的性质确定△EBN为等腰三角形、BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF，
在△DFE与△CFN中，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF＝FN，
∴△EBN为等腰三角形，
无法确定△EBN为等边三角形，故②错误；
由等腰三角形的三线合一得：BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①正确；
∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，
∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，
∴∠EFM＝∠EBF，
∵∠DFE＝∠EFM，
∴∠DFE＝∠FBE，
∴；故③正确；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④正确．
综上所述：①③④都正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断．此题难度适中，证得△DFE≌△CFN是解题的关键．
5．A
【分析】用所求情况数除以总情况数即可解答．
【详解】由题意可知，共有六种情况，而小灯泡不发光的情况只有关闭时，
∴小灯泡发光的概率为
故选A．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
6．C
【分析】以为边作等边三角形，作的外接圆O，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：以为边作等边三角形，作的外接圆O，
∵，
∴点C在优弧上，
当为圆O的直径时，最大，
故选：C．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的性质是解题的关键．
7．C
【分析】分别证明，利用相似三角形的性质即可求得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例解答是解题的关键．
8．C
【分析】根据圆的概念的认识进行解答即可．
【详解】∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm，
故选C．
【点睛】本题考查圆的认识，关键是根据圆的概念进行解答．
9．
【分析】利用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：
王明李强 A B
A AA BA
B AB BB
共有4种可能出现的结果，其中二人恰好均从A通道入校的有1种，
所以二人恰好均从A通道入校的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
10．
【分析】连接交于点H，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据可得，推出，根据直径所对的圆周角为90度可得，通过证明可得，设，则，通过证明可得，进而可得，由垂径定理得 ，最后用勾股定理解即可．
【详解】解：如图，连接交于点H，
，点F为圆心，为弦，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
即，
，
，，
，
，
设，则，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
解得或（负值舍去），
，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等．涉及知识点较多，有一定难度，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．直线x=－1.
【分析】由条件知：点(－3，0)和(1，0)关于抛物线的对称轴对称，据此求出即可.
【详解】解：∵抛物线经过x轴上的点(－3，0)和(1，0)，∴这两点关于抛物线的对称轴对称，
故抛物线的对称轴为：直线；
故答案为直线x=－1.
【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，若抛物线上两点的纵坐标相等，则这两点必关于抛物线的对称轴对称，这是解题的关键.
12．30°
【分析】连结OA、OB．先由劣弧的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB=60°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,可得答案.
【详解】如图，连结OA、OB.设∠AOB=n .
∵劣弧的长为2π，
∴，
∴n=60，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=30°.
故答案为：30°.
【点睛】本题考查弧长公式和圆周角定理，熟记公式和定理是解题的关键.
13．③
【分析】根据二次函数的性质，结合条件，逐一判断各个式子是否正确，即可得到答案．
【详解】∵二次函数的图象的对称轴为直线，且，为其图象上的两点，
∴若，则，即：，，
∴，
∴①错误，③正确，
∴若，则，即，，
∴，均无法判断正负性，
∴②④错误，
综上所述：结论中正确的是③．
故答案是：③．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
14．
【分析】由AC、BC是方程x2-6x+2=0的两根，则可得x1=3+，x2=3 ，所以，可得斜边AB及其高CD的长，根据射影定理即可得出AD BD的值
【详解】解：∵AC、BC为方程x2﹣6x+2＝0的两根，
∴x1＝3+，x2＝3 ，
令AC＝3+，BC＝3 ，
∴AB＝＝4，
又AB×CD＝AC×BC，
∴CD＝ ＝＝，
∴AD BD＝CD2＝＝．
故答案为．
【点睛】本题考查射影定理，根与系数的关系，勾股定理.
，
15．40
【详解】试题分析：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，交弧AB于点E，根据垂径定理求出AM的长度，根据Rt△AOM的勾股定理求出OM的长度，然后求出CD的长度.
试题解析：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．
16．（1）y=x2-3x+2；顶点坐标为（，-）；（2）点P坐标为（1，0）．
【分析】（1）把点（-1，6）和（0，2）代入二次函数，列方程组求出边、c的值，即可得二次函数解析式；把所得解析式配方为二次函数顶点式的形式，即可得顶点坐标；
（2）由m+n=1可得n=1-m，把（m，1-m）代入（1）中所求解析式可求出m的值，进而求出n值即可得答案．
【详解】∵二次函数的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴该二次函数解析式为y=x2-3x+2，
∵y=x2-3x+2=(x-)2-，
∴顶点坐标为（，-）．
（2）∵m+n=1，
∴n=1-m，
∵点在该函数的图象上，
∴m2-3m+2=1-m，
解得：m1=m2=1，
∴n=1-1=0，
∴点P坐标为（1，0）．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数解析式的三种形式是解题关键．
17．(1)见解析
(2)8米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明三角形相似并根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
（1）根据题意可得，因为，所以，根据，可得，进而证得；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算即可．
【详解】（1）证明：如图所示，
，
，
∵光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，
∴，
，
；
（2）解：，
∴，
∴，
，
∴该古城墙的高度为8米．
18．y＝2x2﹣3
【分析】由题意把km+c看为一个整体，把x＝3时，y＝15和x＝﹣2时，y＝5，代入二次函数的解析式，得到两个方程，解出x和km+c，从而求出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：把x＝3，y＝15，x＝﹣2，y＝5，别代入y＝ax2+（km+c），
得，
解得，a＝2， km+c＝﹣3，
∴y＝2x2﹣3
【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，整体法代入求解是本题解题的关键．
19．见解析.
【分析】连结AB,从而得到新的条件∠CBA=∠CPA,将已知和待证联系了起来.通常情况下“直径所对的圆周角是90°”是圆的重要性质,在遇到圆的直径时可考虑试一试，再因为∠CBA和∠CPA.是同弧所对的圆周角，所以相等，即可证明
【详解】解：证明:连结AB.
∵ ∠CPA是弧CA所对的圆周角 ∠CBA是弧CA所对的圆周角
∴ ∠CBA=∠CPA (同弧所对的圆周角相等)
∵ AD是⊙P的直径
∴ ∠ABD=90° (直径所对的圆周角是直角)
∴ ∠CBA=90°
∵ ∠CBA=∠CPA ∠CBA=90°
∴ ∠CPA=90°
∴ PC⊥AD
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90度，同弧所对的圆周角相等，解题关键是熟练掌握性质.
20．（1），y=-x+3；（2）3；（3）存在，P()；（4）存在，点Q的坐标为（2，3），或
【分析】（1）先通过代入A点坐到二次函数解析式中，求出系数a的值，从而求二次函数解析式，再代入A，B求出直线AB解析式；
（2）C点坐标为（1，4），求出CD的长，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）连接PB，PA，过P作PE∥y轴，交AB于E，设P（a，-a2+2a+3），则E（a，-a+3），可得PE=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a，再根据S△ABP=S△BEP+S△AEP=EP×AO=（-a2+3a）×3=-a2+a=-（a-）2+，即可得出结论；
（4）根据S△QAB=S△CAB即可得到一个关于点Q的横坐标的方程，即可求出方程根的情况，进而得到不存在符合要求的Q点．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
∴y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
由y=-x2+2x+3可得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，可得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3；
（2）如图，过C作CD∥y轴，交AB于D
由y=-（x-1）2+4得，C（1，4）
又直线AB的解析式为：y=-x+3；
∴D（1，2）
∴CD=4-2=2
∴S△CAB＝×3×2＝3
（3）如图，过P作PE∥y轴，交AB于E，连接PB，PA，
设P（a，-a2+2a+3），则E（a，-a+3），
∴PE=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a，
∴S△ABP=S△BEP+S△AEP=EP×AO=（-a2+3a）×3=-a2+a=-（a-）2+，
∴当a=时，△ABP面积的最大值是，此时点P的坐标为（，）
（4）由（2）得S△CAB＝2
假设存在符合条件的点Q，
当点Q在第一象限时，设点Q的横坐标是x，△QAB的铅垂高为h，
则h=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，
由S△QAB=S△CAB，得：
×3×（-x2+3x）=3
化简得：x2-3x+2=0，
∴x=1（舍去）或x=2，
∴点P（2，3）．
当点Q不在第一象限时，如图，设点Q的坐标是（x，-x2+2x+3）
则有：
整理，得，
解得，，
所以，，
∴点Q的坐标为或
综上，点Q的坐标为（2，3），或
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、一元二次方程的解，第一、第二问相对较简单，难点在第三问，关键是设出点P坐标，得出点F坐标，表示出PF的长度，根据S△QAB=S△CAB建立方程．
21．见解析
【分析】(1)连结CO,证△COD≌△COE,根据全等三角形的性质即可得到CD=CE．
(2)分别连结OM,ON,证∠AOM=∠BON，根据圆心角，弧的关系即可证明.
【详解】(1)连结CO,
∵在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
∵AD=BE，OA=OB，
∴OD=OE，
在△COD和△COE中，
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD=CE.
(2)分别连结OM,ON,过点O作
易证△COG≌△COH(SAS)，
得到
根据垂径定理得到
CD=CE.
△COD≌△COE.
又OD=OE，
△DOM≌△EON(SAS)，
∠AOM=∠BON，
=.
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
22．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将代入和即可求解；
（2）设点P横坐标为m，用含m代数式表示长度，进而求解；
（3）先证，推出，进而可得与的长度比为或，进而求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，直线的解析式为，
设点P横坐标为m，则点E的坐标为，点F的坐标为，
点在线段的下方，
，
若是线段上一点，且点在线段的下方，
，
当时，取最大值，最大值为；
（3）解：如图，设与y轴的交点为M，则，，
由题意知，，
，
；
点与点关于直线对称，点F的坐标为，
，
点G坐标为，即，
若，则或，
当时，，
解得或，
由（2）得，
，
点G的坐标为；
当时，，
解得或，均不合题意，
综上可知，点G的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数与图形的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
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