初中数学湘教版七年级下册2.2.2完全平方公式 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·镇原期末）已知 ， ，则 （ ）
A．0 B．-4 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=2，
∴（a+b）2=4，
∴a2+2ab+b2=4，
∵ab=-2，
∴a2+2×（-2）+b2=4，
∴a2+b2=8.
故选D.
【分析】先求出（a+b）2=4，可求出a2+2ab+b2=4，代入计算可求出a2+b2的值。
2．（2020八上·江油月考）已知 ， ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ．
故答案为：A．
【分析】给原式减去ab再加上ab，利用完全平方公式可变形为（a-b）2+ab，再将已知式子的值整体代入计算即可.
3．（2020八上·射洪期中）如果 是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．-7 C．-5或7 D．-5或5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+（m-1）x+9是一个完全平方式，
∴（m-1）x=±2 x 3，
∴m-1=±6，
∴m=-5或7，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方式的含义，即可得到m的值。
4．（2020八上·长沙期中）下列各式中，运算错误的是（ ）
A．（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25 B．（﹣x﹣5）（﹣x+5）＝x2﹣25
C．（x+ ）2＝x2+x+ D．（x﹣3y）2＝x2﹣3xy+9y2
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25，故本选项不合题意；
B．（﹣x﹣5）（﹣x+5）＝x2﹣25，故本选项不合题意；
C．（x+ ）2＝x2+x+ ，故本选项不合题意；
D．（x﹣3y）2＝x2﹣6xy+9y2，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的性质，分别计算判断得到答案即可。
5．（2020八上·朔城月考）已知 ， ，则 的值是（ ）
A．70 B．76 C．80 D．84
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B．
【分析】由，两边平方可得 ，从而可得，将ab=3代入计算即得结论.
6．（2020八上·永定期中）已知 ，则 的值是（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： = =32．
故答案为：C．
【分析】根据题意，由完全平方公式，将式子化简变形，求出答案即可。
7．（2020八上·北京期中）已知 ，则a2+4b2的值是（ ）
A．110 B．120 C．125 D．130
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a-2b=10，ab=5，∴a2+4b2=（a-2b）2+4ab=102+4×5=120．
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式的性质，计算得到答案即可。
8．下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式(a+b)2=a2+2ab+b2的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A.整体面积= ，分部面积= ，即得到的是
，故A选项不符合题意；
B.整体面积= ，分部面积= ，即得到的是
，故B选项不符合题意；
C.整体面积= ，分部面积= ，即得到是
，故C选项不符合题意；
D.整体面积= ，分部面积= ，即得到的是
，
故答案为：D.
【分析】根据正方形及长方形的面积，分别表示出各个小正方形、长方形、拼接的大正方形的面积，然后利用面积相等建立等式，根据各个结果比较判断即可.
9．（2020八上·上蔡月考）如果4x2﹣（a﹣b）x+9是一个整式的平方，则2a﹣2b的值是（ ）
A．±24 B．±9 C．±6 D．12
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵4x2 (a b)x+9是一个整式的平方，
∴a b=±12，
则原式=2(a b)=±24，
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断确定出a-b的值，代入原式计算即可求出值.
10．（2020七下·余杭期末）若 是方程ax-by=-3的解，则4a2-12ab+9b2+2020的值为（ ）
A．2011 B．2017 C．2029 D．2035
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意得：
则
故答案为：C.
【分析】先根据方程的解的定义可得 ，再利用完全平方公式化简所求式子，然后整体代入即可算出答案.
二、填空题
11．（2020八上·武威月考）计算 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab=b2”计算即可求解.
12．（2020八上·重庆月考）已知 ，求 的值为 .
【答案】47
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：47.
【分析】在已知的等式两边同时除以a可得a=3，将这个变形后的等式两边平方并移项得a2+=7,，继续把这个等式两边平方整理即可求解.
13．（2020八上·海淀期中）等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为 ．
【答案】ab＝0
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为ab＝0，
故答案为：ab＝0．
【分析】根据完全平方公式展开式得到等式，移项整理得2ab的值，即可得到ab的值．
14．（2020八上·常州期中）我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么（a+b）2 的值为 .
【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，则四个直角三角形的面积和是25﹣1=24，即4× ab=24，即2ab=24， =25，则 = =25+24=49.
故答案为49.
【分析】由“ 大正方形的面积是25，小正方形的面积是1 ”可得四个直角三角形的面积为24，即2ab=24，由勾股定理可得 =25，根据完全平方公式 = 代入即可。
15．（2020八下·潜江期末）观察：① ，② ，③ ，…，请你根据以上各式呈现的规律，写出第6个等式： .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵① ，
② ，
③ ，
……
∴第n个式子为： ，
∴第6个等式为：
故答案为： .
【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为 （n≥1的整数），直接利用已知数据得出数字变化规律，进而得出答案.
三、计算题
16．（2020八上·江城月考）先化简，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4)，其中a=
【答案】解：原式=a2+6a+9-(a2-1)-4a-8，
=2a+2，
当a= 时，
∴原式=2× +2=3
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式，将式子化简得到答案，继而代入a的值求出答案即可。
17．（2020八上·钦南月考）用简便方法计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）将原式化为，再利用完全平方公式计算即可.
18．（2020八上·袁州月考）已知 ， ，求 及 的值．
【答案】解：∵（a+b）2=60，（a-b）2=80，
∴a2+b2+2ab=60①，a2+b2-2ab=80②，
∴①+②得：2（a2+b2）=140，
解得：a2+b2=70，
∴70+2ab=60，
解得：ab=-5．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式的展开，再计算即可。
19．（2020八下·沙坪坝月考）已知a= +2012，b= +2013，c= +2014，求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.
【答案】解：∵a= +2012，b= +2013，c= +2014，
∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca
= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca）
= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]
= ×（1+1+4）
=3.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】由已知可得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，所求式子提取 ，利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值.
20．（2020七下·成华期末）图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：
（1）如图1，求S大正方形的方法有两种：S大正方形=(x+y)2，同时，S大正方形=S①+S②+S③+S④= ．所以图1可以用来解释等式： ；同理图2可以用来解释等式： ．
（2）已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a2+b2+c2的值．
【答案】（1）x2+2xy+y2；(x+y)2=x2+2xy+y2；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
=(a+b+c)2﹣2(ab+ac+bc)
=62﹣2×11
=14．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)∵S③=S④=xy，S①=x2，S②=y2，
∴S大正方形=S①+S②+S③+S④=x2+2xy+y2．
∴(x+y)2=x2+2xy+y2．
∵图2大正方形的面积=(a+b+c)2，
同时图2大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：x2+2xy+y2，(x+y)2=x2+2xy+y2，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
【分析】(1)根据正方形的面积等于各小长方形、小正方形面积的和得结论；(2)变形(1)的等式，代入计算得结论．
1 / 1初中数学湘教版七年级下册2.2.2完全平方公式 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·镇原期末）已知 ， ，则 （ ）
A．0 B．-4 C．4 D．8
2．（2020八上·江油月考）已知 ， ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2020八上·射洪期中）如果 是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．-7 C．-5或7 D．-5或5
4．（2020八上·长沙期中）下列各式中，运算错误的是（ ）
A．（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25 B．（﹣x﹣5）（﹣x+5）＝x2﹣25
C．（x+ ）2＝x2+x+ D．（x﹣3y）2＝x2﹣3xy+9y2
5．（2020八上·朔城月考）已知 ， ，则 的值是（ ）
A．70 B．76 C．80 D．84
6．（2020八上·永定期中）已知 ，则 的值是（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
7．（2020八上·北京期中）已知 ，则a2+4b2的值是（ ）
A．110 B．120 C．125 D．130
8．下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式(a+b)2=a2+2ab+b2的是（ ）．
A． B．
C． D．
9．（2020八上·上蔡月考）如果4x2﹣（a﹣b）x+9是一个整式的平方，则2a﹣2b的值是（ ）
A．±24 B．±9 C．±6 D．12
10．（2020七下·余杭期末）若 是方程ax-by=-3的解，则4a2-12ab+9b2+2020的值为（ ）
A．2011 B．2017 C．2029 D．2035
二、填空题
11．（2020八上·武威月考）计算 .
12．（2020八上·重庆月考）已知 ，求 的值为 .
13．（2020八上·海淀期中）等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为 ．
14．（2020八上·常州期中）我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么（a+b）2 的值为 .
15．（2020八下·潜江期末）观察：① ，② ，③ ，…，请你根据以上各式呈现的规律，写出第6个等式： .
三、计算题
16．（2020八上·江城月考）先化简，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4)，其中a=
17．（2020八上·钦南月考）用简便方法计算：
（1）
（2）
18．（2020八上·袁州月考）已知 ， ，求 及 的值．
19．（2020八下·沙坪坝月考）已知a= +2012，b= +2013，c= +2014，求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.
20．（2020七下·成华期末）图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：
（1）如图1，求S大正方形的方法有两种：S大正方形=(x+y)2，同时，S大正方形=S①+S②+S③+S④= ．所以图1可以用来解释等式： ；同理图2可以用来解释等式： ．
（2）已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a2+b2+c2的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=2，
∴（a+b）2=4，
∴a2+2ab+b2=4，
∵ab=-2，
∴a2+2×（-2）+b2=4，
∴a2+b2=8.
故选D.
【分析】先求出（a+b）2=4，可求出a2+2ab+b2=4，代入计算可求出a2+b2的值。
2．【答案】A
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ．
故答案为：A．
【分析】给原式减去ab再加上ab，利用完全平方公式可变形为（a-b）2+ab，再将已知式子的值整体代入计算即可.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+（m-1）x+9是一个完全平方式，
∴（m-1）x=±2 x 3，
∴m-1=±6，
∴m=-5或7，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方式的含义，即可得到m的值。
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25，故本选项不合题意；
B．（﹣x﹣5）（﹣x+5）＝x2﹣25，故本选项不合题意；
C．（x+ ）2＝x2+x+ ，故本选项不合题意；
D．（x﹣3y）2＝x2﹣6xy+9y2，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的性质，分别计算判断得到答案即可。
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B．
【分析】由，两边平方可得 ，从而可得，将ab=3代入计算即得结论.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： = =32．
故答案为：C．
【分析】根据题意，由完全平方公式，将式子化简变形，求出答案即可。
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a-2b=10，ab=5，∴a2+4b2=（a-2b）2+4ab=102+4×5=120．
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式的性质，计算得到答案即可。
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A.整体面积= ，分部面积= ，即得到的是
，故A选项不符合题意；
B.整体面积= ，分部面积= ，即得到的是
，故B选项不符合题意；
C.整体面积= ，分部面积= ，即得到是
，故C选项不符合题意；
D.整体面积= ，分部面积= ，即得到的是
，
故答案为：D.
【分析】根据正方形及长方形的面积，分别表示出各个小正方形、长方形、拼接的大正方形的面积，然后利用面积相等建立等式，根据各个结果比较判断即可.
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵4x2 (a b)x+9是一个整式的平方，
∴a b=±12，
则原式=2(a b)=±24，
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断确定出a-b的值，代入原式计算即可求出值.
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意得：
则
故答案为：C.
【分析】先根据方程的解的定义可得 ，再利用完全平方公式化简所求式子，然后整体代入即可算出答案.
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab=b2”计算即可求解.
12．【答案】47
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：47.
【分析】在已知的等式两边同时除以a可得a=3，将这个变形后的等式两边平方并移项得a2+=7,，继续把这个等式两边平方整理即可求解.
13．【答案】ab＝0
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴等式（a+b）2＝a2+b2成立的条件为ab＝0，
故答案为：ab＝0．
【分析】根据完全平方公式展开式得到等式，移项整理得2ab的值，即可得到ab的值．
14．【答案】49
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，则四个直角三角形的面积和是25﹣1=24，即4× ab=24，即2ab=24， =25，则 = =25+24=49.
故答案为49.
【分析】由“ 大正方形的面积是25，小正方形的面积是1 ”可得四个直角三角形的面积为24，即2ab=24，由勾股定理可得 =25，根据完全平方公式 = 代入即可。
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵① ，
② ，
③ ，
……
∴第n个式子为： ，
∴第6个等式为：
故答案为： .
【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为 （n≥1的整数），直接利用已知数据得出数字变化规律，进而得出答案.
16．【答案】解：原式=a2+6a+9-(a2-1)-4a-8，
=2a+2，
当a= 时，
∴原式=2× +2=3
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式，将式子化简得到答案，继而代入a的值求出答案即可。
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）将原式化为，再利用完全平方公式计算即可.
18．【答案】解：∵（a+b）2=60，（a-b）2=80，
∴a2+b2+2ab=60①，a2+b2-2ab=80②，
∴①+②得：2（a2+b2）=140，
解得：a2+b2=70，
∴70+2ab=60，
解得：ab=-5．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式的展开，再计算即可。
19．【答案】解：∵a= +2012，b= +2013，c= +2014，
∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca
= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca）
= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]
= ×（1+1+4）
=3.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】由已知可得a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，所求式子提取 ，利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值.
20．【答案】（1）x2+2xy+y2；(x+y)2=x2+2xy+y2；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
=(a+b+c)2﹣2(ab+ac+bc)
=62﹣2×11
=14．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)∵S③=S④=xy，S①=x2，S②=y2，
∴S大正方形=S①+S②+S③+S④=x2+2xy+y2．
∴(x+y)2=x2+2xy+y2．
∵图2大正方形的面积=(a+b+c)2，
同时图2大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：x2+2xy+y2，(x+y)2=x2+2xy+y2，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
【分析】(1)根据正方形的面积等于各小长方形、小正方形面积的和得结论；(2)变形(1)的等式，代入计算得结论．
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