人教新课标A版 选修2-3 2.4正态分布
一、单选题
1．（2020高二下·重庆期末）在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布 （ ），若 ，则 ＝（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
2．（2020高二下·重庆期末）设随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A．0.35 B．0.6 C．0.7 D．0.85
3．（2020高二下·连云港期末）已知随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(﹣2＜Z＜2)＝（ ）
A．2a B．2a﹣1 C．1﹣2a D．2(1﹣a)
4．（2020高三上·湛江月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布： ，若 ，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）
A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744
5．（2020高二下·唐山期中）已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 等于（ ）
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
6．（2020高二下·吉林期中）已知 ，且 ，则 等于（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8
7．（2020高二下·广州期末）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
8．（2020高二下·重庆期末）在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ，若 在 内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ）
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
9．（2020高二下·项城期末）某班有60名学生，一次考试后数学成绩 ，若 ，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．（2020高二下·开鲁期末）某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布 ，则分数位于区间 分的考生人数近似为（ ）
（已知若 ，则 ， ， ）
A．1140 B．1075 C．2280 D．2150
11．（2020高二下·郑州期末）某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布 ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）
（参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， .）
A．17 B．23 C．34 D．46
12．（2020高二下·洛阳期末）设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则函数 没有极值点的概率是（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
二、多选题
13．（2020·济南模拟）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 服从正态分布 ，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（ ）．
附：随机变量 服从正态分布 ，则 ， ，
A．该市学生数学成绩的期望为100
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.8
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
14．（2020高二下·东莞期末）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布 和 ，则下列选项正确的是（ ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 .
A．若红玫瑰日销售量范围在 的概率是 ，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在 的概率约为0.3413
三、填空题
15．（2020高二下·通辽期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 ．
16．（2020高二下·广州期末）已知随机变量 ～ ,且 ,则 .
17．（2020·淄博模拟）设随机变量 ，若实数a满足 ，则a的值是
18．（2020高二下·莲湖期末）在某市高二的联考中，这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在 之外的人数，则 ，X的数学期望 ．
附：若随机变量Z服从正态分布 ，则 ， ，取 ， ．
四、解答题
19．（2020高二下·齐齐哈尔期末）2020年4月，受新型冠状病毒疫情的影响，某校初三年级500名学生参加了市里组织的线上联考，这500名学生的数学成绩（满分120分）的频率分布直方图如图所示（用样本的频率作为概率）.
（1）由频率分布直方图，可以认为学生成绩z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ2分别取考生的平均成绩 （同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和考生成绩的方差S2，请估计该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数（结果四舍五入取整数）.
（2）现从该市参加线上联考的学生中随机抽取20名，设其中有k名学生的数学成绩在[100，120]内的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…20），则当P（X＝k）最大时，求k的值.
附：①s2＝28.2， ；②若z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜z＜μ+3σ）≈0.9973.
20．（2020高二下·驻马店期末）甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位： ）均服从正态分布 ，在出厂检测处，直接将质量在 之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.
（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；
（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为 ，则“质量误差” .按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是 ， 、 （正品零件中没有“质量误差”大于 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：
质量误差
甲厂频数 10 30 30 5 10 5 10
乙厂频数 25 30 25 5 10 5 0
（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为 （元），求 的分布列及数学期望 ；
（ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.
附：若随机变量 .则 ； ， ， .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为ξ服从正态分布 （ ），所以
故答案为：C
【分析】由ξ服从正态分布 （ ）可得 ，即可选出答案.
2．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】随机变量X服从正态分布 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性得到 ，再利用概率和为1得到选项.
3．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】∵随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，∴P(Z≥2或Z≤﹣2)＝2﹣2a，
∴P(﹣2＜Z＜2)＝1﹣(2﹣2a)＝2a﹣1，
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
4．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为 ，所以根据正态曲线的对称性知， .
故答案为：C.
【分析】根据正态曲线的对称性可求得结果.
5．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由于随机变量 服从正态分布 ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】根据正态密度曲线的对称性得出 ，由此可计算出结果.
6．【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由 可知，正态曲线关于 对称，由 ，可知 ，则 ，
故答案为：A．
【分析】利用正态分布的图象特征结合正态分布求概率公式，再利用已知条件，从而求出概率 的值。
7．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题可知， ，
由于 ，所以， ，
因此， ，
故答案为：B.
【分析】先计算出 ，由正态密度曲线的对称性得出 ，于是得出 可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】 ,
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正态分布的图象特征，从而求出该生成绩不高于80的概率。
9．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为数学成绩 ，
所以由 可得： ，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为： ，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为： （人）
故答案为：A
【分析】由 计算出 ，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解．
10．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意得 ，
因此 ，
所以 ，
即分数位于区间 分的考生人数近似为 ，
故答案为：C.
【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果.
11．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题得
所以 ，
所以 ，
所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.
故答案为B.
【分析】先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数.
12．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】 ，因为函数 没有极值点，
所以 ，解得 或 .
因为 服从正态分布 ，所以 的分布关于 对称，
所以 .
故函数 没有极值点的概率为 .
故答案为：C
【分析】首先利用导数求出 的范围，再利用正态分布的对称性即可得到答案.
13．【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】数学成绩 服从正态分布 ，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，A符合题意B不符合题意；
及格率为 ，C符合题意；
不及格概率为 ，优秀概率 ，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据正态分布定义得到A符合题意B不符合题意，及格率为 ，C符合题意，不及格概率为 ，优秀概率 ，D不符合题意，得到答案.
14．【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对于A： ，正确；
对于B C：利用 越小越集中， 小于 ，B符合题意，C不正确；
对于D： ，正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正态分布的知识点， 代表平均数，图像关于 对称， 代表标准差， 越小图像越集中，选出正确答案.
15．【答案】0.2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】 ,所以 。
【分析】利用已知条件结合正态分布的图象特征和求概率的方法，从而求出的值。
16．【答案】0.4
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为随机变量 ～ ，所以正态分布曲线关于 对称，
因此有 , .
【分析】随机变量 ～ ,根据正态分布曲线的特征，可以知道曲线关于 对称，所以通过 ，可以求出 ，根据对称性可以求出 的值.
17．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为随机变量 ，所以正态曲线关于 对称，
又 ，所以 ，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据正态曲线的对称性列式可解得.
18．【答案】0.7329；0.456
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意，数学成绩 服从正态分布 ，则 ， ，
， ，则 ，
从而数学成绩在 之外的概率为 ，故 ，
因此 ，
所以， 的数学期望为 ．
故答案为：0.7329,0.456
【分析】根据题意得出 ， ，可计算出 ，可知 ，进而可计算出 的值，并利用二项分布的期望公式可计算得出 的值.
19．【答案】（1）解：
，
所以z～ ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数约为79人，
（2）解：由频率分布直方图可知学生成绩在[100，120]内的频率为 ，
所以 ～ ，则 ，
故 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以当 时，P（X＝k）取得最大值.
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【分析】（1）计算 ，根据正态分布的概率公式和对称性得出 ，再计算人数即可；（2）计算成绩在[100，120]内的频率，根据二项分布的概率公式计算 ，令 ，得出概率的增减性，从而得出 的值.
20．【答案】（1）解：由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在 之内的概率为 ，
则这 件质量全都在 之内（即没有废品）的概率为 ；
则这 件零件中至少有 件是废品的概率为 .
（2）解：（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂
生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为 ；
则 的可能取值为 元，有：
； ；
； ；
； ，
得到 的分布列如下：
150 140 130 125 115 100
则数学期望为：
（元）.
（ⅱ）设乙厂生产的 件该零件规格的正品零件中有 件“优等”品，则有 件“一级”品，
由已知有 ，解得： ，则 取 或 .
故所求的概率为： .
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）求得没有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定 所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；（ⅱ）利用 构造不等式可确定 可能的取值，利用二项分布概率公式可求得结果
1 / 1人教新课标A版 选修2-3 2.4正态分布
一、单选题
1．（2020高二下·重庆期末）在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布 （ ），若 ，则 ＝（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为ξ服从正态分布 （ ），所以
故答案为：C
【分析】由ξ服从正态分布 （ ）可得 ，即可选出答案.
2．（2020高二下·重庆期末）设随机变量X服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A．0.35 B．0.6 C．0.7 D．0.85
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】随机变量X服从正态分布 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性得到 ，再利用概率和为1得到选项.
3．（2020高二下·连云港期末）已知随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(﹣2＜Z＜2)＝（ ）
A．2a B．2a﹣1 C．1﹣2a D．2(1﹣a)
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】∵随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，∴P(Z≥2或Z≤﹣2)＝2﹣2a，
∴P(﹣2＜Z＜2)＝1﹣(2﹣2a)＝2a﹣1，
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
4．（2020高三上·湛江月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布： ，若 ，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）
A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为 ，所以根据正态曲线的对称性知， .
故答案为：C.
【分析】根据正态曲线的对称性可求得结果.
5．（2020高二下·唐山期中）已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 等于（ ）
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由于随机变量 服从正态分布 ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】根据正态密度曲线的对称性得出 ，由此可计算出结果.
6．（2020高二下·吉林期中）已知 ，且 ，则 等于（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由 可知，正态曲线关于 对称，由 ，可知 ，则 ，
故答案为：A．
【分析】利用正态分布的图象特征结合正态分布求概率公式，再利用已知条件，从而求出概率 的值。
7．（2020高二下·广州期末）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题可知， ，
由于 ，所以， ，
因此， ，
故答案为：B.
【分析】先计算出 ，由正态密度曲线的对称性得出 ，于是得出 可得出答案．
8．（2020高二下·重庆期末）在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ，若 在 内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ）
A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】 ,
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正态分布的图象特征，从而求出该生成绩不高于80的概率。
9．（2020高二下·项城期末）某班有60名学生，一次考试后数学成绩 ，若 ，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为数学成绩 ，
所以由 可得： ，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为： ，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为： （人）
故答案为：A
【分析】由 计算出 ，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解．
10．（2020高二下·开鲁期末）某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布 ，则分数位于区间 分的考生人数近似为（ ）
（已知若 ，则 ， ， ）
A．1140 B．1075 C．2280 D．2150
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意得 ，
因此 ，
所以 ，
即分数位于区间 分的考生人数近似为 ，
故答案为：C.
【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果.
11．（2020高二下·郑州期末）某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布 ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）
（参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， .）
A．17 B．23 C．34 D．46
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题得
所以 ，
所以 ，
所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.
故答案为B.
【分析】先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数.
12．（2020高二下·洛阳期末）设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则函数 没有极值点的概率是（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】 ，因为函数 没有极值点，
所以 ，解得 或 .
因为 服从正态分布 ，所以 的分布关于 对称，
所以 .
故函数 没有极值点的概率为 .
故答案为：C
【分析】首先利用导数求出 的范围，再利用正态分布的对称性即可得到答案.
二、多选题
13．（2020·济南模拟）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩 服从正态分布 ，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（ ）．
附：随机变量 服从正态分布 ，则 ， ，
A．该市学生数学成绩的期望为100
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.8
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】数学成绩 服从正态分布 ，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，A符合题意B不符合题意；
及格率为 ，C符合题意；
不及格概率为 ，优秀概率 ，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据正态分布定义得到A符合题意B不符合题意，及格率为 ，C符合题意，不及格概率为 ，优秀概率 ，D不符合题意，得到答案.
14．（2020高二下·东莞期末）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布 和 ，则下列选项正确的是（ ）
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 .
A．若红玫瑰日销售量范围在 的概率是 ，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在 的概率约为0.3413
【答案】A,B,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】对于A： ，正确；
对于B C：利用 越小越集中， 小于 ，B符合题意，C不正确；
对于D： ，正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用正态分布的知识点， 代表平均数，图像关于 对称， 代表标准差， 越小图像越集中，选出正确答案.
三、填空题
15．（2020高二下·通辽期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 ．
【答案】0.2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】 ,所以 。
【分析】利用已知条件结合正态分布的图象特征和求概率的方法，从而求出的值。
16．（2020高二下·广州期末）已知随机变量 ～ ,且 ,则 .
【答案】0.4
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为随机变量 ～ ，所以正态分布曲线关于 对称，
因此有 , .
【分析】随机变量 ～ ,根据正态分布曲线的特征，可以知道曲线关于 对称，所以通过 ，可以求出 ，根据对称性可以求出 的值.
17．（2020·淄博模拟）设随机变量 ，若实数a满足 ，则a的值是
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为随机变量 ，所以正态曲线关于 对称，
又 ，所以 ，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据正态曲线的对称性列式可解得.
18．（2020高二下·莲湖期末）在某市高二的联考中，这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在 之外的人数，则 ，X的数学期望 ．
附：若随机变量Z服从正态分布 ，则 ， ，取 ， ．
【答案】0.7329；0.456
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由题意，数学成绩 服从正态分布 ，则 ， ，
， ，则 ，
从而数学成绩在 之外的概率为 ，故 ，
因此 ，
所以， 的数学期望为 ．
故答案为：0.7329,0.456
【分析】根据题意得出 ， ，可计算出 ，可知 ，进而可计算出 的值，并利用二项分布的期望公式可计算得出 的值.
四、解答题
19．（2020高二下·齐齐哈尔期末）2020年4月，受新型冠状病毒疫情的影响，某校初三年级500名学生参加了市里组织的线上联考，这500名学生的数学成绩（满分120分）的频率分布直方图如图所示（用样本的频率作为概率）.
（1）由频率分布直方图，可以认为学生成绩z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ2分别取考生的平均成绩 （同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和考生成绩的方差S2，请估计该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数（结果四舍五入取整数）.
（2）现从该市参加线上联考的学生中随机抽取20名，设其中有k名学生的数学成绩在[100，120]内的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…20），则当P（X＝k）最大时，求k的值.
附：①s2＝28.2， ；②若z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜z＜μ+3σ）≈0.9973.
【答案】（1）解：
，
所以z～ ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数约为79人，
（2）解：由频率分布直方图可知学生成绩在[100，120]内的频率为 ，
所以 ～ ，则 ，
故 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以当 时，P（X＝k）取得最大值.
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【分析】（1）计算 ，根据正态分布的概率公式和对称性得出 ，再计算人数即可；（2）计算成绩在[100，120]内的频率，根据二项分布的概率公式计算 ，令 ，得出概率的增减性，从而得出 的值.
20．（2020高二下·驻马店期末）甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位： ）均服从正态分布 ，在出厂检测处，直接将质量在 之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.
（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；
（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为 ，则“质量误差” .按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是 ， 、 （正品零件中没有“质量误差”大于 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：
质量误差
甲厂频数 10 30 30 5 10 5 10
乙厂频数 25 30 25 5 10 5 0
（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为 （元），求 的分布列及数学期望 ；
（ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.
附：若随机变量 .则 ； ， ， .
【答案】（1）解：由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在 之内的概率为 ，
则这 件质量全都在 之内（即没有废品）的概率为 ；
则这 件零件中至少有 件是废品的概率为 .
（2）解：（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂
生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为 ；
则 的可能取值为 元，有：
； ；
； ；
； ，
得到 的分布列如下：
150 140 130 125 115 100
则数学期望为：
（元）.
（ⅱ）设乙厂生产的 件该零件规格的正品零件中有 件“优等”品，则有 件“一级”品，
由已知有 ，解得： ，则 取 或 .
故所求的概率为： .
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）求得没有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定 所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；（ⅱ）利用 构造不等式可确定 可能的取值，利用二项分布概率公式可求得结果
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