初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.6 应用一元二次方程
一、单选题
1．（2020八下·奉化期末）某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2
2．（2020八下·长兴期末）我国古代数学家研究过一元二次方程(正根)的几何解法，以方程x2+5x-14=0，即x(x+5)=14为例说明。《方图注》中记载的方法是：构造图(如左下图)中大正方形的面积是(x+x+5)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+5 ，因此x=2。则在下面构图中，能正确说明方程x2-3x-10=0的构图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019九上·哈尔滨月考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛，比赛组织者应邀请参赛队的个数是( )．
A．7 B．8 C．14 D．28
4．（2020七下·江津月考）制作一个表面积为30 cm2的无盖正方体纸盒，则这个正方体纸盒的棱长是（ ）
A． cm B． cm C． cm D．± cm
二、填空题
5．（2020·通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
6．（2020·南通） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为 .
7．（2020八下·合肥月考）新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路（一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米2．则横向的甬路宽为 米．
三、解答题
8．（2020七下·石泉期末）小明想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360cm2的长方形纸片。使它的长宽之比为4：3，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想。他能裁得出来吗？(通过计算说明)
四、综合题
9．（2020八下·瑞安期末）某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元.经市场调查发现，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋.当售价为每袋18元时，日均销售量为100袋.设口罩每袋的售价为x元，日均销售量为y袋.
（1）用含x的代数式表示y；
（2）物价部门规定，该款口罩的每袋售价不得高于22元.当每袋售价定为多少元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元？
10．（2020八下·嘉兴期末）某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： .
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： .
（2）请写出一种完整的解答过程
11．（2020八下·海港期中）某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:
（1）若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元
（2）若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元
（3）要使商场平均每天盈利1600元,可能吗 请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：依题意，得：x（x﹣1）＝1260.
故答案为：C.
【分析】根据全班一共送了1260张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
2．【答案】D
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ x2-3x-10=0
∴x（x-3）=10.
∴大正方形的面积为：(x+x-3)2;
大正方形的面积等于四个矩形的面积再加上中间的小正方形的面积。
∴(x+x-3)2=4×10+32
解之：x=5.
故答案为：D.
【分析】将方程转化为x（x-3）=10，可得到大正方形的面积为(x+x-3)2;再根据大正方形的面积等于四个矩形的面积再加上中间的小正方形的面积；由此建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到矩形的长和宽，观察各选项中的图形，可得答案。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设比赛组织者应邀请x队参赛，
根据题意得： ，
解得： ， （舍去），
∴比赛组织者应邀请8个队参赛．
故答案为：B．
【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，共有 场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的棱长是x，则5x2=30.
解得：x=
故答案为：A.
【分析】可以设正方体的棱长是x，则可用x表示出正方体的表面积，即可求得正方体的棱长.
5．【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
6．【答案】x（x﹣12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
7．【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，根据题意得：
（20﹣2×2x）（12﹣3x）=144
整理得：x2﹣9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．
∵当x=8时，12﹣3x=﹣12，∴x=8不合题意，舍去，∴x=1，∴3x=3．
故答案为3．
【分析】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，由剩余部分的面积为144米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
8．【答案】解：设长方形纸片的长为4xcm，则宽为3xcm，依题意得
4x·3x=360，即x2=30，
∴x=
∴长方形纸片的长为4 cm。
∵正方形纸片的面积为400cm ，
∴边长为 =20(cm)
∵4 >20，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长
故不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，根据题意列出方程，求出方程的解，即可求出长方形的长，再根据正方形的面积，求出正方形的边长，得出长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，即可求解.
9．【答案】（1）解：设口罩每袋的售价为x元，日均销售量为y袋，
由题意得y＝100 5（x 18）＝ 5x＋190，
即y＝ 5x＋190；
（2）解：设每袋售价定为x元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元，
根据题意可得：（x 12）（ 5x＋190）＝720，
解得：x1＝20，x2＝30，
∵该款口罩的每袋售价不得高于22元，
∴x＝30舍去，
∴x＝20，
答：每袋售价定为20元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设口罩每袋的售价为x元，日均销售量为y袋，由题意可得出y与x的关系式；（2）根据“总利润＝每袋利润×日均销售量”列方程求解可得出答案.
10．【答案】（1）（1100-x-750）(30+ ×10)=12000；（y-750）(30+ )=12000；
（2）解：选择小明所列方程：
（1100-x-750）(30+ ×10)=12000
（350-x）(30+ )=12000
（-x+50）（x-150）=0
解得x=50或x=150
则定价为1100-50=1050元或1100-150=950元
答：每件皮衣定价为1050元或950元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则售价为1100-x，每件的利润为1100-x-750，则销售量为30+ ×10，由题意可列方程（1100-x-750）(30+ ×10)=12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则每件利润为y-750，每天销售量为30+ ，由题意可列方程（y-750）(30+ )=12000；
故答案为：（1100-x-750）(30+ ×10)=12000；（y-750）(30+ )=12000；
【分析】（1）小明：设每件皮衣降价x元，则售价为1100-x，每件的利润为1100-x-750，则销售量为30+ ×10，然后根据每天获利=每件利润×销售量列方程即可；小红：设每件皮衣定价为y元，则每件利润为y-750，每天销售量为30+ ，然后根据每天获利=每件利润×销售量列方程即可；（2）选择小明或小红所列方程并求解即可.
11．【答案】（1）解： ×(40-4)=1008(元).
答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.
（2）解：设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得x1=10，x2=20，
∵要尽量减少库存，
∴x=20.
答：每件衬衫应降价20元.
（3）解：不可能.理由如下：
令(40-x)(20+2x)=1600，
整理得x2-30x+400=0，
∵Δ=900-4×400<0，
∴商场平均每天不可能盈利1600元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.6 应用一元二次方程
一、单选题
1．（2020八下·奉化期末）某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：依题意，得：x（x﹣1）＝1260.
故答案为：C.
【分析】根据全班一共送了1260张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
2．（2020八下·长兴期末）我国古代数学家研究过一元二次方程(正根)的几何解法，以方程x2+5x-14=0，即x(x+5)=14为例说明。《方图注》中记载的方法是：构造图(如左下图)中大正方形的面积是(x+x+5)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+5 ，因此x=2。则在下面构图中，能正确说明方程x2-3x-10=0的构图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ x2-3x-10=0
∴x（x-3）=10.
∴大正方形的面积为：(x+x-3)2;
大正方形的面积等于四个矩形的面积再加上中间的小正方形的面积。
∴(x+x-3)2=4×10+32
解之：x=5.
故答案为：D.
【分析】将方程转化为x（x-3）=10，可得到大正方形的面积为(x+x-3)2;再根据大正方形的面积等于四个矩形的面积再加上中间的小正方形的面积；由此建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到矩形的长和宽，观察各选项中的图形，可得答案。
3．（2019九上·哈尔滨月考）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛，比赛组织者应邀请参赛队的个数是( )．
A．7 B．8 C．14 D．28
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设比赛组织者应邀请x队参赛，
根据题意得： ，
解得： ， （舍去），
∴比赛组织者应邀请8个队参赛．
故答案为：B．
【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，共有 场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
4．（2020七下·江津月考）制作一个表面积为30 cm2的无盖正方体纸盒，则这个正方体纸盒的棱长是（ ）
A． cm B． cm C． cm D．± cm
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的棱长是x，则5x2=30.
解得：x=
故答案为：A.
【分析】可以设正方体的棱长是x，则可用x表示出正方体的表面积，即可求得正方体的棱长.
二、填空题
5．（2020·通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
6．（2020·南通） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为 .
【答案】x（x﹣12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
7．（2020八下·合肥月考）新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路（一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米2．则横向的甬路宽为 米．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，根据题意得：
（20﹣2×2x）（12﹣3x）=144
整理得：x2﹣9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．
∵当x=8时，12﹣3x=﹣12，∴x=8不合题意，舍去，∴x=1，∴3x=3．
故答案为3．
【分析】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，由剩余部分的面积为144米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
三、解答题
8．（2020七下·石泉期末）小明想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360cm2的长方形纸片。使它的长宽之比为4：3，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想。他能裁得出来吗？(通过计算说明)
【答案】解：设长方形纸片的长为4xcm，则宽为3xcm，依题意得
4x·3x=360，即x2=30，
∴x=
∴长方形纸片的长为4 cm。
∵正方形纸片的面积为400cm ，
∴边长为 =20(cm)
∵4 >20，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长
故不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】 设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，根据题意列出方程，求出方程的解，即可求出长方形的长，再根据正方形的面积，求出正方形的边长，得出长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，即可求解.
四、综合题
9．（2020八下·瑞安期末）某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元.经市场调查发现，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋.当售价为每袋18元时，日均销售量为100袋.设口罩每袋的售价为x元，日均销售量为y袋.
（1）用含x的代数式表示y；
（2）物价部门规定，该款口罩的每袋售价不得高于22元.当每袋售价定为多少元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元？
【答案】（1）解：设口罩每袋的售价为x元，日均销售量为y袋，
由题意得y＝100 5（x 18）＝ 5x＋190，
即y＝ 5x＋190；
（2）解：设每袋售价定为x元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元，
根据题意可得：（x 12）（ 5x＋190）＝720，
解得：x1＝20，x2＝30，
∵该款口罩的每袋售价不得高于22元，
∴x＝30舍去，
∴x＝20，
答：每袋售价定为20元时，商店销售该款口罩所得的日均毛利润为720元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设口罩每袋的售价为x元，日均销售量为y袋，由题意可得出y与x的关系式；（2）根据“总利润＝每袋利润×日均销售量”列方程求解可得出答案.
10．（2020八下·嘉兴期末）某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： .
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： .
（2）请写出一种完整的解答过程
【答案】（1）（1100-x-750）(30+ ×10)=12000；（y-750）(30+ )=12000；
（2）解：选择小明所列方程：
（1100-x-750）(30+ ×10)=12000
（350-x）(30+ )=12000
（-x+50）（x-150）=0
解得x=50或x=150
则定价为1100-50=1050元或1100-150=950元
答：每件皮衣定价为1050元或950元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则售价为1100-x，每件的利润为1100-x-750，则销售量为30+ ×10，由题意可列方程（1100-x-750）(30+ ×10)=12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则每件利润为y-750，每天销售量为30+ ，由题意可列方程（y-750）(30+ )=12000；
故答案为：（1100-x-750）(30+ ×10)=12000；（y-750）(30+ )=12000；
【分析】（1）小明：设每件皮衣降价x元，则售价为1100-x，每件的利润为1100-x-750，则销售量为30+ ×10，然后根据每天获利=每件利润×销售量列方程即可；小红：设每件皮衣定价为y元，则每件利润为y-750，每天销售量为30+ ，然后根据每天获利=每件利润×销售量列方程即可；（2）选择小明或小红所列方程并求解即可.
11．（2020八下·海港期中）某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:
（1）若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元
（2）若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元
（3）要使商场平均每天盈利1600元,可能吗 请说明理由.
【答案】（1）解： ×(40-4)=1008(元).
答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.
（2）解：设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得x1=10，x2=20，
∵要尽量减少库存，
∴x=20.
答：每件衬衫应降价20元.
（3）解：不可能.理由如下：
令(40-x)(20+2x)=1600，
整理得x2-30x+400=0，
∵Δ=900-4×400<0，
∴商场平均每天不可能盈利1600元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．
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