【核心素养目标】冀教版七年级数学上册5.4 一元一次方程的应用 第5课时 课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
第五章　一元一次方程
5．4　 一元一次方程的应用　第5课时
1．会列一元一次方程解几何问题，体会用图形的性质及其几何量之间的关系列方程的方法．
2．经历列一元一次方程解决几何问题的过程，体会几何与代数之间的关系以及数形结合的思想方法．
◎重点：列一元一次方程解决几何问题．
◎难点：由几何图形的性质及几何量之间的关系寻找等量关系．
　　1．长为a，宽为b的长方形的周长为　2（a＋b）　，面积为　ab　．
2（a＋b）
ab
2．如果两个角的和等于　90°　，那么这两个角互余；如果两个角的和等于　180°　，那么这两个角互补．
·导学建议·
因为本课时要用到一些几何图形的性质，因此，在学习新课前复习一些有关的知识显得尤为必要．
90°
180°
阅读课本“例5”及其后面的内容，体会如何列一元一次方程解几何问题．
1．由路程＝速度×时间，当运动时间为t（s）时，AP＝　2t　，AQ＝AD－DQ＝　6－t　，所以当AQ＝AP时，可得　6－t ＝2t　，解得t＝　2　；当AQ＋AP等于长方形周长的时，可得　6－t＋2t＝×2×（6＋12）　，解得t＝　3　．
2t
6－t
6
－t ＝2t
2
6－t＋2t＝×2×（6＋12）
3
列一元一次方程解几何问题
2．因为AB＝12 cm，DA＝6 cm，所以，当点P按2 cm/s的速度从点A运动到点B时，点Q按1 cm/s的速度从点D恰好运动到点　A　．再运动t（s）时，AQ＝　t　，CP＝BC－PB＝　6－2t　，所以当AQ＝CP时，有　t＝（6－2t）　，解得t＝　1．5　．
A
t
6－
2t
t＝（6－2t）
1.5
对于“例5”，应引导学生体会：对几何图形上的动点问题，渗透运动变化思想，动点使得几何图形上的线段成为变量，将这些变化的量用代数式表示出来，即可得到方程．
归纳总结：在几何图形中，常根据几何图形中　几何量　之间的等量关系列方程，用代数式表示几何图形中　线段的长或角的度数等　是解题的关键．
几何量
线段的长
或角的度数等
·导学建议·
　如图，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝6 cm，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以3 cm/s的速度沿AB、BC向点C运动，点Q以1 cm/s的速度沿BC向点C运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设P、Q运动的时间是t s．当点P与点Q重合时t的值是（　C　）
C
A． B．4 C．5 D．6
·导学建议·
列方程解几何问题，关键是从图形中得到数量关系，用代数式表示后列出方程．预习导学部分建议教师用15分钟左右的时间完成．
列一元一次方程解动点问题
1．如图，两人沿着边长为80 米的正方形，按A B C D A…的方向行走．甲从A点以每分钟60米的速度，同时乙从B点以每分钟100米的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形（　B　）
A．DA边上
B．AB边上
C．BC边上
D．CD边上
B
　你能求出乙第一次追上甲所行走的路程是多少吗？
解：设乙第一次追上甲时，所用的时间为x分钟．
依题意得100x＝60x＋3×80，解得x＝6（分钟）．
所以乙第一次追上甲时所行走的路程为6×100＝600 米．
2．动点A从原点出发向数轴的负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴的正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度之比是1∶4（速度单位：单位长度/秒）．
（1）分别求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；
（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴的负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
解：（1）设动点A的速度为x个单位长度/秒，则动点B的速度为4x个单位长度/秒．
根据题意得3x＋12x＝15，解得x＝1．
故A点运动的速度是1个单位长度/秒，B点运动的速度是4个单位长度/秒．
点A表示的数是－3，点B表示的数是12，A、B两点运动3秒时的位置如下图．
（2）由（1）可得动点A的速度为1个单位长度/秒，动点B的速度为4个单位长度/秒．
设经过y s，原点恰好处在两动点的正中间．
根据题意得 3＋y＝12－4y，解得y＝（s）．
答：经过 s，原点恰好处在两个动点的正中间．
　如图，线段AB上有两点C、D，AB＝30 cm，AC＝10 cm，BD＝5 cm，点P从点A出发以每秒1 cm的速度，沿A→C→D→B→D运动，点Q从点B出发，沿B→D→C→A→C运动，P、Q两点分别运动到终点D、C后停止运动，当Q点到达D点时，PA＝PC，设点P运动的时间为t s．
（2）是否存在某一时间，使PQ＝18 cm？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为PA＝PC，所以PC＝3PA，
因为PA＋PC＝AC＝10 cm，所以PA＋3PA＝10 cm，所以PA＝2.5 cm．
因为点P的运动速度是每秒1 cm，所以它的运动时间是2．5÷1＝2．5（秒），所以点Q的运动速度是5÷2.5＝2（cm/s）．
（1）求点Q的运动速度．
（2）因为点P从点A出发以每秒1 cm的速度，沿A→C→D→B→D运动，P点运动到终点D后停止运动，AB＝30 cm，BD＝5 cm，
所以点P运动30秒到达点B，点P的运动时间是35秒．
因为点Q从点B出发，运动速度是每秒2 cm，沿B→D→C→A→C运动，Q点运动到终点C后停止运动，AB＝30 cm，AC＝10 cm，
所以点Q运动15秒到达点A，点Q的运动时间是20秒．
因为P、Q两点在线段AB上相遇的时间是30÷（1＋2）＝10（秒），所以当PQ＝18 cm时，分五种情况进行讨论．
①当0≤t≤10时，（1＋2）t＝30－18，解得t＝4（秒）；
②当10＜t≤15时，（1＋2）t＝30＋18，解得t＝16（不合题意舍去）；
③当15＜t≤20时，2t＋18＋（30－t）＝60，解得t＝12（秒）（不合题意舍去）；
④当20＜t≤30时，t－10＝18，解得t＝28（秒）；
⑤当30＜t≤35时，t－30＋18＋10＝30，解得t＝32（秒）．
答：存在某一时间t，能够使PQ＝18 cm，此时t的值为4秒或28秒或32秒．
列一元一次方程解角度问题
3．若一个角的补角与它余角的2倍之差是平角的，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x度，则其余角为（90－x）度，其补角为（180－x）度，则有
180－x－2（90－x）＝×180，解得x＝45，
即这个角的度数为45°．
4．在三角形ABC中，∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B．求∠A、∠B、∠C的度数．
解：设∠B＝x°，则∠A＝30°＋x°，∠C＝4x°．则有
30＋x＋x＋4x＝180，解得x＝25，
所以30＋x＝55，4x＝100．
答：∠A＝55°，∠B＝25°，∠C＝100°．
【方法归纳交流】在解决三角形内角的有关问题时，常根据　三角形的内角和等于180°　列方程求解．
三角形的内角和等于180°
　钟面上显示的时间是12时整，时针和分针在同一条直线上，再过几分钟钟面上再次出现时针和分针在同一条直线的现象？此时它们的旋转角分别是多少？
解：设再过x分钟钟面上再次出现时针和分针在同一条直线上．
由题意得°x－°x＝180°，解得x＝，
所以，时针旋转角＝×°＝°，
分针旋转角＝×°＝°．
答：再过分钟钟面上再次出现时针和分针在同一条直线的现象，此时时针与分针的旋转角分别°和°．
列一元一次方程解面积问题
5．如图，阴影部分的面积占大正方形的，占小正方形的，如果大正方形的面积比小正方形的面积多6平方厘米，那么大正方形的面积是多少平方厘米？
根据题意得（x＋6）＝x，
去分母得3x＋18＝5x，
解：设小正方形的面积为x平方厘米，则大正方形的面积为（x＋6）平方厘米．
解得x＝9，
可得x＋6＝9＋6＝15（平方厘米）．
答：大正方形的面积为15平方厘米．
根据几何图形中的数量关系列方程，关键是寻找图形中包含的等量关系，将该等量关系用含有未知数的代数式表示出来，即得到方程．合作探究部分建议用20分钟左右的时间完成，备选问题根据学情选用．
·导学建议·
一、作业目标
1．进一步理解一元一次方程的定义、等式的性质，具备熟练解一元一次方程的技能．
2．建立方程模型，解决实际问题，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．
《一元一次方程》实践作业
二、作业内容
1已知下列方程：①x－2＝，②0．2x＝1，＝x－3，④x－y＝6，⑤x＝0，其中一元一次方程有（　A　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2关于x的方程3x－8＝x的解为x＝　4　．
A
4
3小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1－，他翻阅了答案发现这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　1　．
1
4解方程：
（1）3（y＋1）＝2y－1；
（2）＝－1．
解：（1）3（y＋1）＝2y－1，
去括号，得3y＋3＝2y－1，
移项，得3y－2y＝－1－3，
合并同类项，得y＝－4．
（2）去分母，得5（3x－1）＝2（4x＋2）－10，
去括号，得15x－5＝8x＋4－10，
移项，得15x－8x＝4－10＋5，
合并同类项，得7x＝－1，
系数化成1，得x＝－．
5方程（a＋2）x2＋5xm－3－2＝3是一元一次方程，则a和m的值分别为（　B　）
A．2和4 B．－2和4
C．2和－4 D．－2和－4
6若x＝1是方程2ax－3bx＝10的解，则3b－2a的值为　－10　．
B
－10
7用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”　5　个．
5
8某校七年级准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张25元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说，40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；
方案二：若打9折，有6人可以免票．
（2）二班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的．你知道二班有多少人吗？
解：（1）方案一：25×0．8×50＝1000（元），
方案二：25×0．9×（50－6）＝990（元）．
∵1000（元）＞990（元），
∴一班班长选择方案二．
（1）若一班有50名学生，则班长该选择哪个方案？
（2）设二班有x人，
根据题意得25×0.8x＝25×0.9（x－6），
解得x＝54．
答：二班有54人．
9我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b＋a，则称该方程为“和解方程“．
例如：方程2x＝－4的解为x＝－2，而－2＝－4＋2，则方程2x＝－4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（2）已知关于x的一元一次方程－2x＝ab＋b是“和解方程“，并且它的解是x＝b，求a＋b的值．
解：（1）解方程3x＝a，得x＝．
∵关于x的一元一次方程3x＝a是“和解方程”，
∴＝3＋a，解得a＝－．
（1）已知关于x的一元一次方程3x＝a是“和解方程”，则a的值为 ；
（2）∵方程－2x＝ab＋b的解是x＝b，
∴－2b＝ab＋b．
∵方程－2x＝ab＋b是“和解方程”，
∴b＝ab＋b－2，
即b＝－2b－2，解得b＝－，
∴a＝－3，
∴a＋b＝－3－＝－．