27.2.1相似三角形的判定—基本事实及其应用 教学课件(共23张PPT) 人教版数学九年级下册

(共23张PPT)
27.2.1 相似三角形的判定
——基本事实及其应用
学习目标
掌握相似三角形的定义和性质，明确定义是第一种判定方法；
掌握基本事实，并能够迁移到三角形中，得到对应结论；
利用基本事实证明平行于三角形一边的直线截取的两个三角形相似；
4. 探究经历“试验、猜想、证明”的过程，感受几何命题的合理性，并通过证明确认命题正确，培养学生发现问题、解决问题的能力.
重点
基本事实
难点
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
我们已经学过了相似图形、相似多边形的定义，你能得到相似三角形的定义吗？
复习回顾
相似图形：形状相同的图形
相似图形
相似五边形
相似多边形：边数相同，角分别相等，并且边也成比例的两个多边形
相似三角形：对应角分别相等，并且边也成比例的两个三角形
类比
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
1.下图中，你能利用定义判定每组中的两个三角形相似吗？
(1)
(2)
8cm
4cm
8cm
4cm
6cm
4cm
12cm
8cm
做一做
解：图(1)中，三组对应角分别是 ，并且对应边的比都是2
45°、45°、90°
图(2)中，三组对应角分别是 ，并且对应边的比都是
.所以每组中的两个三角形是相似的.
30°、60°、90°
分析：分析三角板各角的度数，并测量各边，再依据定义判断.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
2.如图，已知直线BC平行DE，△ABC与△ADE相似吗？
探究新知
创设情境
A
B
C
D
E
4
4
4
4
3
6
解：∵直线BC平行DE
∴∠ABC=∠ADE,
∠ACB=∠AED,
∠A=∠A,
又∵AB=4, AC=4, BC=3,
AD=4+4=8, AE=4+4=8, DE=6,
所以，根据相似三角形的定义可得， △ABC与△ADE相似
注意：相似用符号“∽”表示，如△ABC与△ADE相似记为： △ABC ∽ △ADE
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
A
B
C
A'
B'
C'
符号语言：
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC∽△A'B'C'．
∵∠A=∠A'
∠B=∠B'
∠C=∠C'
定义：对应角分别相等，且边也成比例的两个三角形相似.
归纳
当边的比值等于1时，相似三角形是全等三角形.
即相似不一定全等，但全等一定相似
相似
全等
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
除了根据定义判定两个三角形相似，还有其他方法吗？
探究新知
创设情境
C
A
B
D
E
F
思考
类比三角形全等的判定方法来研究相似三角形的判定
研究相似三角形的判定之前，先来学习基本定理
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
探究
A
B
C
D
E
F
ED=2cm，
FE=5cm
AB=2cm，
BC=5cm
（1）解：经过测量，可得
（2）解：仍然相等
如图，任意两条直线 ， ，与三条平行线 ， ， 分别相交， 在 上截得的两条线段AB，BC；在 上截得的两条线段DE，EF，
(1)测量各线段的长度， 与 相等吗？
(2)任意平移 的位置， 与 还相等吗？
A
B
C
D
E
F
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
探究
根据比例性质与等式的性质，可以得到
A
B
C
D
E
F
符号语言：
∵l3∥l4∥l5
应用新知
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课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
形成结论
A
B
C
D
E
F
符号语言：
∵l3∥l4∥l5
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
总结：对应线段分为三组，可得，最长线段：AC、DF；
上边的线段： AB、DE；下边的线段：BC、EF；
共三组
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课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
∵l3∥l4∥l5
根据等比性质，上述比例也可以写成：
基本事实延伸
A
B
C
D
E
F
技巧总结：在基本事实中，只要有一个比例式成立，剩余的比例式都 成立.对应线段的位置可以是某个分式的分子分母，也可以分别是两个分式的分母或分子
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课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
A
B
C
E
D
基本事实应用
右图中，当直线 与 相交时，
基本事实还成立吗？涂色的两个
三角形相似吗？
分析：成立.对应边仍然成比例,即
由基本事实，可得 ，由两直线平行，同位角相等，以及∠A是公共角.
如果能够说明CF、BE的比值也等于 ，即可说明三角形相似.
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布置作业
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创设情境
证明
如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC相似吗？说明理由．
分析：△ADE与△ABC相似．
借助基本事实来证明，
依据三角形相似的定义来说明相似．
A
B
C
D
E
应用新知
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课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
证明
过点E作EF∥AB，交BC于点F．
A
B
C
D
E
F
证明：在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A．
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．
注意：在相似比中，对应边的位置要正确
∵DE ∥ BC，
∴
又∵EF∥AB，
∴ ，
又∵四边形DEFB是平行四边形，∴BF=DE
∴ ．
∴△ADE∽△ABC（相似三角形的定义）
应用新知
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课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
上述证明过程的辅助线，还有其他做法吗？
A
B
C
D
E
反思
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
H
还有一种辅助线的做法
A
B
C
D
E
(基本事实)
两直线平行，
同位角相等
∠A＝∠A．
∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C．
添加辅助线
再次借助基本事实
A
B
C
D
E
H
△ADE∽△ABC
证明逻辑顺序：
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
归纳
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
如图：∵DE∥BC
A
B
C
D
E
∴△ADE∽△ABC
目前证明三角形相似的方法有：
定义法、平行线法
通过右边图形证明三角形相似的方法，也称为平行线法
探究新知
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课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
例1
如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1 cm，AE=4 cm，BC=5 cm，求DE的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴
又AD=EC，DB=1 cm，AE=4 cm，
∴
∴AD=2．又
BC=5 cm，
∴ ,
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1．如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列式子错误的是（ ）．
D.
A.
B.
C.
D
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应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，
连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形（ ）．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
C
总结：图形的相似具有传递性
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
3．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，
且AG=2，GD=1，DF=5，则 ．
C
E
B
A
F
D
G
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
判定相似三角形的方法汇总
基本事实
平行线法
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
证明方法：添加辅助线，两次利用基本事实　　
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
探究过程：观察加试验　　　
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
定义法（三条边，三个角都要满足条件）
平行线法（三角形中出现平行线即可）
布置作业
教科书习题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见