3.6.1切线及其性质
学习目标
1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.了解切线的概念,掌握切线的性质并能用来证明与计算，
3.体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性和数学结论的正确性,在学习活动中获得成功的体验.
学习策略
1.本节课通过“观察——猜想——合作交流——概括、归纳”的途径，运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的内在联系，
2.渗透了数形结合、分类、类比、化归等数学思想，有助于培养学生思维的严谨性和深刻性．
3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验
学习过程
一.复习回顾：
1.点与圆有几种位置关系？怎么判断点与圆的位置关系？
2.下图是太阳升起的图片，这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种
二.新课学习：
问题一 直线与圆的位置关系
如图（1）：直线与圆有_ ___个公共点，如图（2）：直线与圆有_ ___个公共点，如图（3）：直线与圆有 个公共点，
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相离；
当直线与圆有唯一的公共点时，我们称直线与圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点；
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相离.
例1若直线l与⊙O有公共点，则直线l与⊙O的位置关系是_______.
问题二 用d与r判定直线与圆位置关系
如图：如果把圆心O与直线的距离用d表示，圆的半径为r，你能比较直线与圆不同位置关系时，d与r的大小吗？
直线与圆相交_______，
直线与圆相切_______，
直线与圆相离_______，
例2.如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，AD⊥BC于点D，判断以点D为圆心，下列r为半径的⊙D与AB的位置关系．
（1）r＝3cm；
（2）r＝4.5cm；
（3）r＝6cm．
问题三 切线的性质定理
如图：CD是⊙O的切线，A是切点，AB是直径，直线AB与CD有怎样的位置关系？
【点拨】通过折叠探求关系
圆的切线_______________半径.
例3如图，△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，⊙O与BC相切于D点，连接AD，求证：AD平分∠BAC．
三.尝试应用：
1. 若直线和圆相交，圆的半径为r,且直线到圆心的距离为５，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
2. 已知⊙O的直径为12cm．
（1）若圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O 的位置关系为________；
（2）若圆心O到直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O 的位置关系为________；
3. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
四.达标测试
一、选择题
1. 已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2. 已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，那么（ ）
A．0＜OP＜5 B．OP=5 C．OP＞5 D．OP≥5
3. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
二、填空题
4. 如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=3，则线段BC的长度等于 ．
5.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是 ．
6.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= ．
三、解答题
7．以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r的取值是多少？
8. ．如图，AB为⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，OD与AB相交于点C．求证：BD=CD．
9. 如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，求∠BAC的度数．
10．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若AD=2，EC=，∠BAC=60°，求⊙O的半径．
3.6直线和圆的位置关系达标测试答案（第1课时）
一、选择题
1．【解析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
2．【解析】由⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，可得当P与切点重合时，OP=5，当P与切点不重合时，OP＞5，继而求得答案．
【解答】解：∵⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，P是l上的任一点，
∴当P与切点重合时，OP=5，
当P与切点不重合时，OP＞5，
∴OP≥5．
故选D．
【点评】此题考查了切线的性质．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用，注意垂线段最短．
3．【解析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=50°，
∴∠COD=180°﹣90°﹣50°=40°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∵∠A+∠OCA=∠COD=40°，
∴∠A=20°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．
二、填空题
4．【解析】如图，连接DO，首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°，又AC=3BC，O为AB的中点，由此可以得到∠C=30°，接着利用30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接DO，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
而AB是⊙O的一条直径，AC=3BC，
∴AB=2BC=OC=2OD，
∴∠C=30°，
∴OD=CD，
∵CD=3，
∴BC=OD=，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
5.【解析】连接OC，即可得出∠OCA=∠A=25°，再根据切线的性质即可得出∠OCD=90°，进而得出∠ACD=115°，由三角形内角和定理即可算出∠D的度数，此题得解．
【解答】解：连接OC，如图所示．
∵OA=OC，∠A=25°，
∴∠OCA=∠A=25°．
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=25°+90°=115°，
∴∠D=180°﹣∠A﹣∠ACD=180°﹣25°﹣115°=40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据切线的性质以及等腰三角形的性质找出∠ACD的度数是解题的关键．
6．【解析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE=90°，
∵∠COB=2∠CDB=40°，
∴∠E=90°﹣∠COB=50°．
故答案为：50°．
【点评】此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
三、解答题
7．【解析】由以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，可得⊙P与x轴相切或⊙P过原点，然后分别解析求解即可求得答案．
【解答】解：∵以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，
∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2），
当⊙P与x轴相切时，r=2；
当⊙P过原点时，r=OP==．
∴r应满足：r=2或．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
8. 【解析】连结OB，根据切线的性质得OB⊥BD，则∠1+∠2=90°，由OD⊥OA得∠AOC=90°，则∠A+∠4=90°，利用∠1=∠A得到∠2=∠4，再根据对顶角相等得∠3=∠4，所以∠2=∠3，然后根据等腰三角形的判定得到DB=BC．
【解答】解：连结OB，如图，
∵BD切⊙O于点B，
∴OB⊥BD，
∴∠1+∠2=90°，
∵OD⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠A+∠4=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠4，
而∠3=∠4，
∴∠2=∠3，
∴DB=BC．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
9．【解析】首先连接OA，由AC是⊙O的切线，可得OA⊥AC，又由OA=OB，∠B=70°，根据等边对等角的性质，可求得∠OAB的度数，继而求得∠BAC的度数．
【解答】解：连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
即∠OAC=90°，
∵OA=OB，∠B=70°，
∴∠OAB=∠B=70°，
∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=20°．
【点评】此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10. 【解析】（1）连接OE，根据切线的性质就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE=∠CAE而得出结论；
（2）连接BE，由AE平分∠BAC就可以得出∠BAE=∠CAE=30°，就可以求出AE=2，在Rt△ABE中由勾股定理可以求出AB的值，从而求出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∴OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE．
∵PQ切⊙O于E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA=∠EAC，
∴∠OAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC．
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAE=∠EAC=30°．
∴AB=2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE=90°，
∴AE=2CE．
∵CE=，
∴AE=2．
设BE=x，则AB=2x，由勾股定理，得
x2+12=4x2，
解得：x=2．
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了角平分线的判定及性质的运用，切线的性质的运用，30度角的直角三角形的性质的运用，平行线的判定及性质的运用，解答时合理运用切线的性质是关键．(共20张PPT)
第三章 圆
第1课时 切线及其性质
6 直线与圆的位置关系
学习目标
1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.了解切线的概念,掌握切线的性质并能用来证明与计算，
3.体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性和数学结论的正确性,在学习活动中获得成功的体验.
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
1.点与圆有几种位置关系？怎么判断点与圆的位置关系？
点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外.
点在圆内d＜r；点在圆上d＝r；点在圆外d＞r.
2.下图是太阳升起的图片，这反映出直线和圆的位置关系有哪几种
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1 直线与圆的位置关系
（1）有两个公共点直线与圆相离；
（2）有唯一的公共点直线与圆相切，
这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点；
切点
切线
（3）没有公共点直线与圆相离.
讲授新知
例1 若直线l与⊙O有公共点，则直线l与⊙O的位置关系是____________.
相交或相切
讲授新知
知识点2 用d与r判定直线与圆位置关系
直线与圆相交d＜r，
直线与圆相切d=r，
直线与圆相离d＞r，
范例应用
例2.如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，AD⊥BC于点D，判断以点D为圆心，
下列r为半径的⊙D与AB的位置关系．
（1）r＝3cm；
（2）r＝4.5cm；
（3）r＝6cm．
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵等边△ABC的边长为6cm，AD是高，
∴AD＝ABsin60°＝9cm，∠BAD＝30°，
∴DE＝4.5cm，
故当（1）r＝3cm时，⊙D与AB相离，
（2）r＝4.5cm时，⊙D与AB相切；
（3）r＝6cm时，⊙D与AB相交．
E
讲授新知
知识点3 切线的性质定理
如图：CD是⊙O的切线，A是切点，AB是直径，
直线AB与CD有怎样的位置关系？
圆的切线垂直于过切点的半径.
范例应用
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，⊙O与BC相切于D点，连接AD，求证：AD平分∠BAC．
证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠OAD，即AD平分∠BAC．
当堂训练
叁
当堂训练
1.已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可
以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2.已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
A
D
当堂训练
3.已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的
距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是_____________．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为
半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为____________．
相离
r或2＜r≤2
当堂训练
5.如图，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD
平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．求证：DE⊥AF；
证明：如图，连接OD，
∵DE与⊙O相切于点D，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°，
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠BAF，∴∠OAD＝∠DAF，
∴∠ODA＝∠DAF，
∴OD∥AF，
∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，
∴DE⊥AF．
课堂小结
肆
课堂小结
壹
1.直线与圆的三种位置关系
2.直线与圆的位置关系与d和r的关系
3.切线的性质
课后作业
课后习题 第 1,2题。
谢
谢
