宜兴中学 泰兴中学 泰州中学2023-2024学年秋学期联合质量检测
数学学科答案
考试时间：120分钟
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，则的子集个数为（）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，进而确定正确答案.
【详解】依题意，，共个元素，
所以子集个数为.
故选：D
2. 已知函数，则的值为（）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，即可根据自变量的范围代入求值.
【详解】，,
故，
故选：C.
3. 下表是某次测量中两个变量的一组数据,若将表示为关于的函数,则最可能的函数模型是
2 3 4 5 6 7 8 9
0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99
A. 一次函数模型 B. 二次函数模型 C. 指数函数模型 D. 对数函数模型
【答案】D
【解析】
【详解】对于，由于均匀增加，而值不是均匀递增，不是一次函数模型；对于，由于该函数是单调递增，不是二次函数模型；对于，过不是指数函数模型，故选D.
4. 不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项.
【详解】不等式在R上恒成立，即一元二次方程在R上无实数解
，解得：，
易见B选项是充要条件，不成立；
A选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，A正确；
C选项中，不可推导出，C错误；
D选项中，不可推导，D错误，
故选：A.
5. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对平方，得到的值，然后对化简求值即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
故选：A.
6. 函数的图象大致形状是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的三角函数值确定正确答案.
【详解】的定义域是，
，
所以偶函数，图象关于轴对称，由此排除BD选项.
由于，
所以，由此排除A选项.所以C选项正确.
故选：C
7. 设，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数、对数函数的性质判断的范围.
【详解】因为在上为增函数，且，所以，
得，即，
因为在上为增函数，且，所以，
得，即，
因为在上单调递增，则，
故.
故选：A
8. 设函数，若恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】当时，在上单调递增，，
当时，令得或．
（1）若，即时，在上无零点，此时，
∴在[1,+∞)上有两个零点，符合题意；
（2）若，即时，在( ∞,1)上有1个零点，
∴在上只有1个零点，
①若，则，
∴，解得，
②若，则，
∴在上无零点，不符合题意；
③若，则，
∴在上无零点，不符合题意；
综上a的取值范围是．选B．
点睛：
解答本题的关键是对实数a进行分类讨论，根据a的不同取值先判断函数在( ∞,1)上的零点个数，在此基础上再判断函数在上的零点个数，看是否满足有两个零点即可．
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项号，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的有（）
A. 已知角的终边经过点，则函数的值等于
B. 幂函数的图象始终经过点和
C. “且”是“”的充分不必要条件
D. 若函数，则有
【答案】BCD
【解析】
分析】根据三角函数定义，求出判断A；根据幂函数性质判断B；根据充分条件必要条件定义判断C；利用分析法证明D.
【详解】对于A：角的终边经过点，所以，
，所以，故A错误；
对于B：幂函数始终经过点和，故B正确；
对于C：“且”可以推出“”，反过来，当“”时，
例时，不能推出“且”，所以“且”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：对任意，要证明不等式，
只需证明，
即，即
即，即，
故只需证明，此不等式显然成立，故D正确.
故选：BCD.
10. 下列函数中最大值为1的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式及其成立的条件“①正”，“②定”，“③相等”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A，，
当且仅当，即或取等号，
所以在或取最小值为1，无最大值，故A不符合题意；
对于B，，
则
，
当且仅当，即取等号，
所以的最大值为1，故B符合题意；
对于C，，则，
当且仅当即取等号，但，
所以的值域为，故C不符合题意；
对于D，，
则，
当且仅当，即取等号，
所以的最大值为1，故D符合题意.
故选：BD
11. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.
【详解】点的初始位置，锐角，
设时刻两点重合，则，即，
此时点，
即，，
当时，，故A正确；
当时，，即，故C正确；
当时，，即，故D正确；
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误，
故选：ACD.
12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】确定函数单调递增，计算，得到A正确，变换得到B正确，计算，C错误，变换，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：在上单调递增，
，，故函数有唯一零点，正确；
对选项B：，即，，
即，正确；
对选项C：，，错误；
对选项D：，，
，正确；
故选：ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知某扇形的周长为9，圆心角为，则该扇形的面积是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
先设扇形的弧长为，半径为，结合题意有，再利用扇形的面积是求解即可.
【详解】设半径为，则弧长，周长，解得，
所以面积为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关扇形的面积问题，熟练掌握弧长公式和扇形面积公式是正确解题的关键.
14. 若，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】，
由得，
所以.
故答案为：
15. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先求得是周期为4的周期函数，再利用函数为奇函数，将转化为，进而利用时，即可求得的值.
【详解】由题意可得，所以是周期为4的周期函数，
则.
因为，所以，所以，
因为是奇函数，所以.
故答案为：.
16. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】对原不等式变形为，构造函数，然后利用单调性求解.
【详解】（），
（）可化为（），
即（），即（），
令，因为在上单调递增，
所以在上单调递增，且有，
则，解得，
故答案为：.
【点睛】本题主要根据函数特征，构造函数，利用函数的单调性解不等式.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）设，求.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用指数运算及三角函数诱导公式计算即得.
（2）先利用指数式与对数式互化关系，再利用对数运算求解即得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
由，得，则，
所以.
18. 设全集，集合.
（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）已知集合，若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）图中阴影部分表示，根据交集、补集定义计算可得；
（2）依题意分与两种情况讨论，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
或
【小问2详解】
当时，，即时，满足题意
当时，即时
又
综上：
19. 已知角满足.
（1）若，求的值；
（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定，根据，结合角度范围解得答案.
（2）确定，，，变换，计算得到答案.
【小问1详解】
，即，又，
故，，
又，故，.
【小问2详解】
角的终边与角的终边关于轴对称，则，
，，
故.
20. 据 一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为.
（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；
（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值.
【答案】（1）
（2）发车时间间隔为10分钟时，每辆列车的日均营业总额最大，最大值为22080元.
【解析】
【分析】（1）由题意设当时的函数表达式，由时满载求得比例系数，进而求得当时表达式，写为分段函数形式，即得答案；
（2）由题意可得，采用换元并结合二次函数性质可解.
【小问1详解】
当时，设，
由的满载可知，得，
此时，
所以时，，
当时，，
综上，
小问2详解】
化简得
令，则
当，即时，
答；发车时间间隔为10分钟时，每辆列车的日均营业总额最大，最大值为22080元.
21. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）设，若函数与的图象有2个不同的公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数，利用偶函数的定义求出的值.
（2）由（1）求出的解析式，把问题转化为方程有两个不等实根，换元利用一元二次方程实根分布求解即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，由函数为偶函数，
则，即，
整理得，显然不恒为0，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
由函数与图象有2个不同的公共点，得方程有两个不同的实数根，
即方程有两个不等实根，设，得，
又在上单调递增，令，因此方程有两个不等正根，
而，因此，解得，
所以的取值范围为.
22. 已知函数.
（1）利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；
（2）已知，其中是大于1的实数，当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当，判断与的大小，并注明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理即得.
（2）换元并求出新元的范围，转化为二次函数在闭区间上的最小值求解即可.
（3）作差，借助不等式性质判断符号即可得解.
【小问1详解】
，
由，得，则，即，
即在上是增函数.
【小问2详解】
依题意，，令，
则，由，得，
由（1）知，在上单调递增，则，
当时，在上单调递增，，即，因此，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，因此，
所以实数的取值范围是.
【小问3详解】
依题意，
而（当且仅当时取等号），则，即，
又，即有，由，得，即，
因此，
所以.
【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.
1宜兴中学 泰兴中学 泰州中学2023-2024学年秋学期联合质量检测
数学学科试卷
考试时间：120分钟
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，则的子集个数为（）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2. 已知函数，则的值为（）
A. 4 B. C. D.
3. 下表是某次测量中两个变量的一组数据,若将表示为关于的函数,则最可能的函数模型是
2 3 4 5 6 7 8 9
0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99
A. 一次函数模型 B. 二次函数模型 C. 指数函数模型 D. 对数函数模型
4. 不等式在上恒成立一个必要不充分条件是（）
A. B.
C. D.
5. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
6. 函数的图象大致形状是（）
A. B.
C. D.
7. 设，则（）
A. B.
C. D.
8. 设函数，若恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项号，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的有（）
A. 已知角的终边经过点，则函数的值等于
B. 幂函数的图象始终经过点和
C. “且”是“”的充分不必要条件
D. 若函数，则有
10. 下列函数中最大值为1的有（）
A. B.
C. D.
11. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（）
A. B.
C. D.
12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知某扇形的周长为9，圆心角为，则该扇形的面积是_____________．
14. 若，则的值为__________.
15. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则__________.
16. 不等式解集为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）设，求.
18. 设全集，集合.
（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）已知集合，若，求取值范围.
19. 已知角满足.
（1）若，求的值；
（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
20. 据 一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为.
（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；
（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值.
21. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）设，若函数与的图象有2个不同的公共点，求实数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；
（2）已知，其中是大于1的实数，当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当，判断与大小，并注明你的结论.
1
