湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高二上学期12月阶段考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高二上学期12月阶段考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 726.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-29 16:06:03 | ||
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文档简介
长沙市明德中学2023年高二年级12月阶段考试
数学试题
时量：120分钟 总分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．4 B． C． D．2
3．已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人第4天与第5天共走的里程数为（ ）
A．24 B．36 C．42 D．60
5．已知数列中，且，则为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，点，直线与抛物线交于点（在第一象限内），与其准线交于点，若，则点到轴距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）
A．的单调递增区间是，
B．是的极小值点
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．是的极小值点
10．党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论正确的是（ ）
A． B．满意度计分的众数为80分
C．满意度计分的分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76.5
11．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．该正方体的外接球体积为
B．底面半径为，高为的圆锥体能够被整体放入该正方体
C．三棱锥的体积为定值
D．当与重合时，异面直线与所成的角为
12．有一种被称为汉诺塔的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号、、），在杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）．游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于、、任一杆上．记个金盘从杆移动到杆需要的最少移动次数为，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等差数列 D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知为等比数列，公比，，且，，成等差数列，则通项公式__________．
14．已知圆，直线，直线被圆截得的弦长为__________．
15．已知数列的前项和为，若，且，则数列的前2024项和为__________．
16．已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，，，平面平面，．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
（1）求函数在区间上的最大值和最小值．
（2）已知函数，．求的单调区间．
20．（本小题满分12分）
已知的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知函数的图象经过坐标原点，且，数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和；
（3）令，若（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
22．（本小题满分12分）
已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点，在上，且，证明：直线过定点．
长沙市明德中学2023下学期高二年级12月阶段测试
数学参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．B 8．C 9．ABC 10．ACD
11．BC 12．ACD
13． 14． 15． 16．
17．【详解】（1）由题设，，则的公比，所以．
（2）由（1）知：．
所以．
18．【详解】（1），，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，．
（2）
以为坐标原点，，，分别为，，的正方向，建立空间直角坐标系，
则各点坐标如下：，，，，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，取，，
则，可得，
令，可得，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值．
19．（1）【详能】求导得．令，则，．
由于和都在区间内，所以可列表如下：
+ 0 0 +
递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗
又，，将它们与极值比较可得，
该函数在上的最大值为，最小值为．
（2）解：因为，
所以．
设，则，
设．可得．
可得在上单调递增，且，所以当时，，单调递减．
当时，，单调递增．所以，即，
若，则，所以，在上单调递增；
若，则当时，，单调递减．
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
20．【详解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以；
（2）由是角的平分线，则，
所以，
又，所以，即，
所以，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，即面积的最小值是．
21．【详解】（1）的图象过原点，则，．．
当时，，
又适合，数的通项公式为．
（2）由得：，，①
．②
②-①得：，．
（3），故．
要使恒成立，即要恒成立，
即要恒成立．下面分为奇数、为偶数讨论：
①当为奇数时，即恒成立．又的数小值为1，．
②当为偶数时，即恒成立．又的最大值为，．
综上，，
又为非零整数，时，使得对任意，都有成立．
22．【详解】（1）设椭圆的方程为，
由题意得解得
椭圆的标准方程为．
（2）证明：设点，，
，，
整理可得①，
当直线的斜率存在时，设，
联立得．
由得，
则，．
，
，
代入①式化简可得，
即，或，
则直线方程为或，
直线过定点或，又和点重合，故舍去．
当直线的斜率不存在时，则，，
此时，即，
又，解得或2（舍去）．
此时直线的方程为，过点．
综上所述，直线过定点．
数学试题
时量：120分钟 总分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．4 B． C． D．2
3．已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人第4天与第5天共走的里程数为（ ）
A．24 B．36 C．42 D．60
5．已知数列中，且，则为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，点，直线与抛物线交于点（在第一象限内），与其准线交于点，若，则点到轴距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）
A．的单调递增区间是，
B．是的极小值点
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．是的极小值点
10．党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论正确的是（ ）
A． B．满意度计分的众数为80分
C．满意度计分的分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76.5
11．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．该正方体的外接球体积为
B．底面半径为，高为的圆锥体能够被整体放入该正方体
C．三棱锥的体积为定值
D．当与重合时，异面直线与所成的角为
12．有一种被称为汉诺塔的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号、、），在杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）．游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于、、任一杆上．记个金盘从杆移动到杆需要的最少移动次数为，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等差数列 D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知为等比数列，公比，，且，，成等差数列，则通项公式__________．
14．已知圆，直线，直线被圆截得的弦长为__________．
15．已知数列的前项和为，若，且，则数列的前2024项和为__________．
16．已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，，，平面平面，．
（1）求证：；
（2）若，求二面角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
（1）求函数在区间上的最大值和最小值．
（2）已知函数，．求的单调区间．
20．（本小题满分12分）
已知的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知函数的图象经过坐标原点，且，数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和；
（3）令，若（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
22．（本小题满分12分）
已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点，在上，且，证明：直线过定点．
长沙市明德中学2023下学期高二年级12月阶段测试
数学参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．B 8．C 9．ABC 10．ACD
11．BC 12．ACD
13． 14． 15． 16．
17．【详解】（1）由题设，，则的公比，所以．
（2）由（1）知：．
所以．
18．【详解】（1），，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，．
（2）
以为坐标原点，，，分别为，，的正方向，建立空间直角坐标系，
则各点坐标如下：，，，，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，取，，
则，可得，
令，可得，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值．
19．（1）【详能】求导得．令，则，．
由于和都在区间内，所以可列表如下：
+ 0 0 +
递增↗ 极大值 递减↘ 极小值 递增↗
又，，将它们与极值比较可得，
该函数在上的最大值为，最小值为．
（2）解：因为，
所以．
设，则，
设．可得．
可得在上单调递增，且，所以当时，，单调递减．
当时，，单调递增．所以，即，
若，则，所以，在上单调递增；
若，则当时，，单调递减．
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
20．【详解】（1）由已知，得，
在中，由正弦定理得，即．
再由余弦定理得．
又，所以；
（2）由是角的平分线，则，
所以，
又，所以，即，
所以，解得，即，
当且仅当时等号成立，所以，即面积的最小值是．
21．【详解】（1）的图象过原点，则，．．
当时，，
又适合，数的通项公式为．
（2）由得：，，①
．②
②-①得：，．
（3），故．
要使恒成立，即要恒成立，
即要恒成立．下面分为奇数、为偶数讨论：
①当为奇数时，即恒成立．又的数小值为1，．
②当为偶数时，即恒成立．又的最大值为，．
综上，，
又为非零整数，时，使得对任意，都有成立．
22．【详解】（1）设椭圆的方程为，
由题意得解得
椭圆的标准方程为．
（2）证明：设点，，
，，
整理可得①，
当直线的斜率存在时，设，
联立得．
由得，
则，．
，
，
代入①式化简可得，
即，或，
则直线方程为或，
直线过定点或，又和点重合，故舍去．
当直线的斜率不存在时，则，，
此时，即，
又，解得或2（舍去）．
此时直线的方程为，过点．
综上所述，直线过定点．
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