初中数学湘教版七年级下册2.2.3运用乘法公式进行计算 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·丹东期末）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020七下·槐荫期末）下列式子运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a6×a3＝a3
C．（a－b）2＝a2－b2 D．a2+a2＝a4
3．（2020七下·龙岗期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=9，ab=12，则阴影部分的面积为（ ）
A．25 B．22.5 C．13 D．6.5
4．（2020七下·宜兴期中）若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．由x的取值而定
5．（2020七上·丹东期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019七上·顺德期末）整式的乘法计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019七下·吴江期末）计算: 的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019七下·江阴期中）3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
9．（2020七下·秦淮期末）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2019七下·句容期中）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2020七下·达县期末）已知 ，则代数式 的值为 ．
12．（2020七下·深圳期中）已知 ，且 ，则代数式 的值为 ．
13．（2020七下·天府新期中）已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，进而可知 的最小值是4．依此方法，代数式 的最小值是 ．
14．（2019七下·简阳期中）2（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）+ = ．
三、解答题
15．（2020七下·鼎城期中）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
16．（2019七下·南县期中）利用乘法公式计算：5002-499×501．
17．（2019八上·长春月考）简便计算：
（1）982
（2）20202﹣4040×2019+20192
18．（2019七下·中牟期末）小明同学在学习整式时发现，如果合理地使用乘法公式可以简化运算，于是在解此道计算题时他是这样做的（如下）：
第一步
第二步
小华看到小明的做法后，对他说：“你做错了，在第一步运用公式时出现了错误，你好好检查一下.”小明认真仔细检查后，自己发现了一处错误圈画了出来，并进行了纠正（如下）：
小华看到小明的改错后说：“你还有错没有改出来.”
（1）你认为小华说的对吗？ （填“对”或“不对”）；
（2）如果小华说的对，那么小明还有哪些错误没有找出来，请你帮助小明把第一步中的其它错误圈画出来并改正，然后写出此题的正确解题过程.
19．（2020七下·高新期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如 ， ···，因此 都是奇巧数.
（1） 是奇巧数吗？为什么？
（2）奇巧数是 的倍数吗？为什么？
20．（2020七下·高新期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=－1，这个数i叫做虚数单位.那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如计算：（2+i）+（3-4i）=5－3i.
（1）填空：i3= ，i4=" "；
（2）计算：① ；② ；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+y）+3i=（1－x）－yi，（x，y为实数），求x，y的值.
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi的形式
21．（2020七下·江阴月考）（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 .（用含a，b的等式表示）
（2）（应用）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 .
②计算：20192﹣2020×2018.
（3）（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A、由于两个括号中含x项的符号相反，故能使用平方差公式，A正确；
B、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，B错误；
C、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，C错误；
D、由于两个括号中含x、y项的符号都相同，故不能使用平方差公式，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式 ,通过观察公式可知，括号中相同的两个字母系数的符号应该相反才能运用平方差公式，据此判断即可.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A. ，故原选项符合题意；
B.a6×a3＝a9，故原选项不符合题意；
C. ，故原选项不符合题意；
D.a2+a2＝2a2故原选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=9
∴（a+b）2=81，a2+2ab+b2=81
∵ab=12
∴a2+b2=81-2ab=81-2×12=81-24=57
∴阴影部分的面积=S正方形-S小白三角形
=a2-ab+b2
=×57-×12
=28.5-6
=22.5
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合完全平方公式计算得到a2+b2的值，根据题意，利用作差法解出阴影部分的面积即可。
4．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解： M＝（x－3）（x－4）=
N＝（x－1）（x－6）=
即：
【分析】根据多项式乘多项式法则，计算出M、N。再进行作差比较.
5．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】A.大长方形的面积为： ，空白处小长方形的面积为： ，所以阴影部分的面积为 ，故正确；
B.阴影部分可分为一个长为 ，宽为 的长方形和长为6、宽为4的长方形，则他们的面积为： ，故正确；
C. 阴影部分可分为一个长为 ，宽为4的长方形和边长为 的正方形，则他们的面积为： ，故正确；
D. 不能表示图中的阴影部分的面积，错误；
故答案为：D.
【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算．
6．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，符合题意
故答案为：D.
【分析】A、利用平方差公式计算,然后判断即可.
B、利用完全平方公式进行计算，然后判断即可.
C、利用单项式乘以单项式法则进行计算，然后判断即可.
D、利用多项式乘以多项式法则进行计算，然后判断即可.
7．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解:原式= = 。
故答案为：A。
【分析】根据完全平方公式及平方差公式分别去括号，再合并同类项即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】原式=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=264-1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，
而64=16×4，
∴原式的个位数为6．
故答案为：B．
【分析】先将3转化为22-1，然后重复使用平方差公式计算，得出最简结果，再判断结果的个位数．
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
10．【答案】C
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]
＝ [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝ ×[1+4+1]
＝3，
故答案为：C．
【分析】把已知的式子化成 [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解．
11．【答案】－9
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】由 得 ，∴
【分析】先将变形为，再运用完全平方公式：，求代数式的值即可．
12．【答案】2020
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴ =0
∴
∴ =0
∴ = =2020．
【分析】把已知的等式进行变形，再根据非负性得到 =0,代入所求即可求解．
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
【分析】把代数式 配方成a（x＋b）2＋c的形式，即可求解．
14．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】2（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）+ =4×（1- ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）+
=4×（1- ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）+
=4×（1- ）（1+ ）（1+ ）+
=4×（1- ）（1+ ）+
=4×（1- ）+
=4- +
=4.
故答案为：4.
【分析】运用平方差公式进行求解即可.
15．【答案】（1）解： ，
，
；
（2）解： ，
，
，
（3）解： ，
，
，
；
（4）解：
，
，
．
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）首先计算积的乘方和同底数幂乘法，然后合并同类项即可；（2）原式变形出公因式 后，逆用乘法分配即可简便计算；（3）先利用平方差、和完全平方公式计算，然后合并同类项即可；（4）将原式变为平方差公式形式，首先利用平方差计算，然后利用完全平方式进行计算即可．
16．【答案】解：原式=5002-（500+1）（500-1）=5002-5002+1=1．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】首先根据499=（500-1），501=（500+1），对原式进行变形，5002-（500-1）（500+1），然后运用平方差公式进行乘法运算，最后再进行加减法计算即可．
17．【答案】（1）解： 982＝（100﹣2）2
＝1002﹣2×100×2+22
＝10000﹣400+4
＝9604；
（2）解：20202﹣4040×2019+20192
＝20202﹣2×2020×2019+20192
＝（2020﹣2019）2
＝12
＝1．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）由982＝（100﹣2）2，根据完全平方公式展开即可；（2）﹣4040×2019＝﹣2×2020×2019，将原式变形后，根据完全平方公式计算即可．
18．【答案】（1）对
（2）解：如图，
正确解题过程：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)分析题意，根据平方差公式与完全平方公式的运用及去括号法则，即可判断小华说的对错；
(2)根据完全平方公式化简 ，然后利用平方差公式化简 ，合并同类项即可解答.
19．【答案】（1）解：36是奇巧数，理由： ；
50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50
（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，
则 ，奇巧数是 的倍数.
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据定义是两个现需偶数的平方差判断即可.（2）将 进行运算、化简，便可发现是4的倍数.
20．【答案】（1）-i；1
（2）解：①（2+i）（2-i）=4-i2=5
②（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i；
∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；
原式=i.
（3）∵（x+y）+3i=(1-x)-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；
（4）
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵i2=-1，∴i3=i2 i=-1 i=-i，
i4=i2 i2=-1 （-1）=1
【分析】（1）由于i3=i2 i，i4=i2 i2，将 i2=－1代入计算即可；
（2）①利用平方差公式计算可得（2+i）（2-i）=4-i2 ，然后代入计算即可；
② 利用完全平方公式计算可得（2+i）2=i2+4i+4 ，然后代入计算即可；
（3）由（x+y）+3i=(1-x)-yi，可得x+y=1-x，3=-y， 据此解出x、y的值即可；
（4）利用平方差公式及分式的基本性质进形解答即得.
21．【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）3；解：20192﹣2020×2018 ＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1） ＝20192﹣（20192﹣1） ＝20192﹣20192+1 ＝1
（3）解：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝5050
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.
（2）应用：①由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n） （2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3.
【分析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
应用：①利用平方差公式得出（2m+n） （2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；②可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；
拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值.
1 / 1初中数学湘教版七年级下册2.2.3运用乘法公式进行计算 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·丹东期末）下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A、由于两个括号中含x项的符号相反，故能使用平方差公式，A正确；
B、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，B错误；
C、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，C错误；
D、由于两个括号中含x、y项的符号都相同，故不能使用平方差公式，D错误；
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式 ,通过观察公式可知，括号中相同的两个字母系数的符号应该相反才能运用平方差公式，据此判断即可.
2．（2020七下·槐荫期末）下列式子运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a6×a3＝a3
C．（a－b）2＝a2－b2 D．a2+a2＝a4
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A. ，故原选项符合题意；
B.a6×a3＝a9，故原选项不符合题意；
C. ，故原选项不符合题意；
D.a2+a2＝2a2故原选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
3．（2020七下·龙岗期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=9，ab=12，则阴影部分的面积为（ ）
A．25 B．22.5 C．13 D．6.5
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=9
∴（a+b）2=81，a2+2ab+b2=81
∵ab=12
∴a2+b2=81-2ab=81-2×12=81-24=57
∴阴影部分的面积=S正方形-S小白三角形
=a2-ab+b2
=×57-×12
=28.5-6
=22.5
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合完全平方公式计算得到a2+b2的值，根据题意，利用作差法解出阴影部分的面积即可。
4．（2020七下·宜兴期中）若M＝（x－3）（x－4），N＝（x－1）（x－6），则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．由x的取值而定
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解： M＝（x－3）（x－4）=
N＝（x－1）（x－6）=
即：
【分析】根据多项式乘多项式法则，计算出M、N。再进行作差比较.
5．（2020七上·丹东期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】A.大长方形的面积为： ，空白处小长方形的面积为： ，所以阴影部分的面积为 ，故正确；
B.阴影部分可分为一个长为 ，宽为 的长方形和长为6、宽为4的长方形，则他们的面积为： ，故正确；
C. 阴影部分可分为一个长为 ，宽为4的长方形和边长为 的正方形，则他们的面积为： ，故正确；
D. 不能表示图中的阴影部分的面积，错误；
故答案为：D.
【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算．
6．（2019七上·顺德期末）整式的乘法计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，符合题意
故答案为：D.
【分析】A、利用平方差公式计算,然后判断即可.
B、利用完全平方公式进行计算，然后判断即可.
C、利用单项式乘以单项式法则进行计算，然后判断即可.
D、利用多项式乘以多项式法则进行计算，然后判断即可.
7．（2019七下·吴江期末）计算: 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解:原式= = 。
故答案为：A。
【分析】根据完全平方公式及平方差公式分别去括号，再合并同类项即可得出答案。
8．（2019七下·江阴期中）3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】原式=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=264-1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，
而64=16×4，
∴原式的个位数为6．
故答案为：B．
【分析】先将3转化为22-1，然后重复使用平方差公式计算，得出最简结果，再判断结果的个位数．
9．（2020七下·秦淮期末）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
10．（2019七下·句容期中）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]
＝ [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝ ×[1+4+1]
＝3，
故答案为：C．
【分析】把已知的式子化成 [（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解．
二、填空题
11．（2020七下·达县期末）已知 ，则代数式 的值为 ．
【答案】－9
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】由 得 ，∴
【分析】先将变形为，再运用完全平方公式：，求代数式的值即可．
12．（2020七下·深圳期中）已知 ，且 ，则代数式 的值为 ．
【答案】2020
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴ =0
∴
∴ =0
∴ = =2020．
【分析】把已知的等式进行变形，再根据非负性得到 =0,代入所求即可求解．
13．（2020七下·天府新期中）已知代数式 可以利用完全平方公式变形为 ，进而可知 的最小值是4．依此方法，代数式 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
【分析】把代数式 配方成a（x＋b）2＋c的形式，即可求解．
14．（2019七下·简阳期中）2（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）+ = ．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】2（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）+ =4×（1- ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）+
=4×（1- ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）+
=4×（1- ）（1+ ）（1+ ）+
=4×（1- ）（1+ ）+
=4×（1- ）+
=4- +
=4.
故答案为：4.
【分析】运用平方差公式进行求解即可.
三、解答题
15．（2020七下·鼎城期中）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）解： ，
，
；
（2）解： ，
，
，
（3）解： ，
，
，
；
（4）解：
，
，
．
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）首先计算积的乘方和同底数幂乘法，然后合并同类项即可；（2）原式变形出公因式 后，逆用乘法分配即可简便计算；（3）先利用平方差、和完全平方公式计算，然后合并同类项即可；（4）将原式变为平方差公式形式，首先利用平方差计算，然后利用完全平方式进行计算即可．
16．（2019七下·南县期中）利用乘法公式计算：5002-499×501．
【答案】解：原式=5002-（500+1）（500-1）=5002-5002+1=1．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】首先根据499=（500-1），501=（500+1），对原式进行变形，5002-（500-1）（500+1），然后运用平方差公式进行乘法运算，最后再进行加减法计算即可．
17．（2019八上·长春月考）简便计算：
（1）982
（2）20202﹣4040×2019+20192
【答案】（1）解： 982＝（100﹣2）2
＝1002﹣2×100×2+22
＝10000﹣400+4
＝9604；
（2）解：20202﹣4040×2019+20192
＝20202﹣2×2020×2019+20192
＝（2020﹣2019）2
＝12
＝1．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）由982＝（100﹣2）2，根据完全平方公式展开即可；（2）﹣4040×2019＝﹣2×2020×2019，将原式变形后，根据完全平方公式计算即可．
18．（2019七下·中牟期末）小明同学在学习整式时发现，如果合理地使用乘法公式可以简化运算，于是在解此道计算题时他是这样做的（如下）：
第一步
第二步
小华看到小明的做法后，对他说：“你做错了，在第一步运用公式时出现了错误，你好好检查一下.”小明认真仔细检查后，自己发现了一处错误圈画了出来，并进行了纠正（如下）：
小华看到小明的改错后说：“你还有错没有改出来.”
（1）你认为小华说的对吗？ （填“对”或“不对”）；
（2）如果小华说的对，那么小明还有哪些错误没有找出来，请你帮助小明把第一步中的其它错误圈画出来并改正，然后写出此题的正确解题过程.
【答案】（1）对
（2）解：如图，
正确解题过程：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)分析题意，根据平方差公式与完全平方公式的运用及去括号法则，即可判断小华说的对错；
(2)根据完全平方公式化简 ，然后利用平方差公式化简 ，合并同类项即可解答.
19．（2020七下·高新期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如 ， ···，因此 都是奇巧数.
（1） 是奇巧数吗？为什么？
（2）奇巧数是 的倍数吗？为什么？
【答案】（1）解：36是奇巧数，理由： ；
50不是奇巧数，理由：找不到连续的两个偶数平方差为50
（2）解：设两个连续的偶数为n+2、n，
则 ，奇巧数是 的倍数.
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据定义是两个现需偶数的平方差判断即可.（2）将 进行运算、化简，便可发现是4的倍数.
20．（2020七下·高新期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=－1，这个数i叫做虚数单位.那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如计算：（2+i）+（3-4i）=5－3i.
（1）填空：i3= ，i4=" "；
（2）计算：① ；② ；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+y）+3i=（1－x）－yi，（x，y为实数），求x，y的值.
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将 化简成a+bi的形式
【答案】（1）-i；1
（2）解：①（2+i）（2-i）=4-i2=5
②（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i；
∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；
原式=i.
（3）∵（x+y）+3i=(1-x)-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；
（4）
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵i2=-1，∴i3=i2 i=-1 i=-i，
i4=i2 i2=-1 （-1）=1
【分析】（1）由于i3=i2 i，i4=i2 i2，将 i2=－1代入计算即可；
（2）①利用平方差公式计算可得（2+i）（2-i）=4-i2 ，然后代入计算即可；
② 利用完全平方公式计算可得（2+i）2=i2+4i+4 ，然后代入计算即可；
（3）由（x+y）+3i=(1-x)-yi，可得x+y=1-x，3=-y， 据此解出x、y的值即可；
（4）利用平方差公式及分式的基本性质进形解答即得.
21．（2020七下·江阴月考）（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 .（用含a，b的等式表示）
（2）（应用）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为 .
②计算：20192﹣2020×2018.
（3）（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12.
【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）3；解：20192﹣2020×2018 ＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1） ＝20192﹣（20192﹣1） ＝20192﹣20192+1 ＝1
（3）解：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝5050
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.
（2）应用：①由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n） （2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3.
【分析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
应用：①利用平方差公式得出（2m+n） （2m+n）＝4m2﹣n2，代入求值即可；②可将2020×2018写成（2019+1）×（2019﹣1），再利用平法差公式求值；
拓展：利用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值.
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