四川省乐山市犍为县2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

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犍为县2025届2023-2024学年上期12月月考
高二数学
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 下列说法错误的是（ ）　　
A. 棱柱的侧面都是平行四边形
B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形
D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥
2. 已知向量空间 , 若共面, 则实数等于（ ）
A.2 B. C. 2 或 D. 2 或 0
3. 已知直线 与圆交于两点, 且, 则实数的值为 ( )
A. B.
C. D. 1
4. 已知条件 , 条件表示焦点在轴上的椭圆, 则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
5. 设双曲线 的方程为, 若的一条渐近线的斜率为, 则的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
6. 球 的表面积为为球面上不同的三个点,为的外接圆, 且满足, 则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
7. “迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为 ，外层底面直径为 ，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知抛物线 的焦点为, 点在上, 且, 若点的坐标为, 且, 则抛物线的方程为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约 2 个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约 6 个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 点斜式 可以表示任何直线
B. 过 两点的直线方程为
C. 直线 与直线相互垂直
D. 直线 在轴上的截距为
11. 已知 为两条不同的直线,为两个不同的平面，命题“若________, 则”是真命题，则横线上可以是下列选项中的（ ）
A. , 且
B. , 且
C.
D. , 且
12. 已知抛物线 的焦点到准线的距离为 2, 则（ ）
A. 过点 恰有 2 条直线与抛物线有且只有一个公共点
B. 若 为上的动点, 则的最小值为 5
C. 直线 与抛物线相交所得弦长为 8
D. 抛物线 与圆交于两点, 则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若直线 始终平分圆的周长, 则__________.
14. 已知直线 过点且斜率为 1, 若圆上恰有 3 个点到的距离为 1, 则的值为__________.
15.如图, 棱长为 1 的正方体 中, 点为的中点, 则下列说法正确的是____________.
① 与为异面直线
② 与平面所成角的正切值为
③ 过 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等
④ 线段 在底面的射影长为
16.已知实数 满足, 则的最大值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分） 直线 与椭圆交于两点.
(1) 求实数 的取值范围;
(2) 若线段 中点在直线上, 求的值.
18.（本题满分12分） 已知圆 过点, 且圆心在直线上.
(1) 若从点 发出的光线经过直线反射, 反射光线恰好平分圆的圆周, 求反射光线所在的直线方程.
(2) 若 在直线上运动,, 求的最小值.
19. （本题满分12分）如图, 在长方体 中, 点分别在棱上, 且,. 证明:
(1) 当 时,;
(2) 点 在平面内.
20. （本题满分12分） 椭圆 的长轴长等于圆的直径, 且的离心率等于. 直线和是过点且互相垂直的两条直线,交于两点,交于两点.
(1) 求 的标准方程;
(2) 当四边形 的面积为时, 求直线的斜率.
21. （本题满分12分）如图, 四棱锥 的底面为正方形,底面, 设平面与平面的交线为.
(1) 证明: ;
(2) 已知 为直线上的点, 求与平面所成角的正弦值的最大值.
22. （本题满分12分）
如图, 已知点 为抛物线的焦点, 点在抛物线上, 且.
(1) 求抛物线 的方程;
(2) 已知点 , 延长交抛物线于点, 证明:为的平分线.
参考答案及解析
1. 【答案】B
【解析】由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A正确；
所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则B错误；
用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C正确；
由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D正确．
故选B．
2. 【答案】A
【解析】若 共面,则,
所以 , 解得.故选：A
3. 【答案】B
【解析】圆 的圆心, 半径,
由 , 可得圆心到直线的距离为,
则 , 解之得或（舍）.
故选：B
4. 【答案】A
【解析】条件 表示焦点在轴上的椭圆, 所以需要满足,
因为 是的真子集, 故是的充分不必要条件.
故选：A
5. 【答案】A
【解析】由题意 ,.
故选：A．
6. 【答案】C
【解析】球的半径 ,的半径为, 则, 得, 如图所示:
设 , 则,
在 中, 由正弦定理, 解得,
所以 ,
所以 的面积为.
故选：C．
7. 【答案】C
【解析】如图, 该模型内层圆柱底面直径为 , 且其底面圆周在一个直径为的球面上,
可知内层圆柱的高 ,
同理, 该模型外层圆柱底面直径为 , 且其底面圆周在一个直径为的球面上,
可知外层圆柱的高 ,
此模型的体积为 .
故选：C
8. 【答案】A
【解析】设 为, 则,
又由 ,,
,,,
由 , 联立方程组, 消去, 可得,
, 故,
又由 ,
, 即, 解得或,
的方程为或.
故选：A.
9. 【答案】AC
【解析】由已知可得 , 则,
当椭圆焦点在 轴上时, 椭圆方程为,
当椭圆焦点在 轴上时, 椭圆方程为, 即.
故选：AC.
10. 【答案】CD
【解析】对于 A 选项, 点斜式 不表示与轴垂直的直线, A 错;
对于 B 选项, 过 两点且斜率不为零的直线方程为, B 错;
对于 C 选项, 直线 的斜率为, 直线的斜率为, 所以,, 故直线与直线相互垂直, C 对;
对于 D 选项, 直线 在轴上的截距为, D 对.
故选：CD.
11. 【答案】BD
【解析】由 且, 可得, 而垂直同一个平面的两条直线相互平行, 则, 故 A 错误；
由于 , 所以, 又因为, 则, 故 B 正确;
若 , 则与平行或异面, 故 C 错误;
设 , 在平面内作直线,
如图, 又因为 , 则, 又, 所以, 因为, 所以, 从而有, 故 D 正确.
故选：BD
12. 【答案】CD
【解析】因为抛物线 的焦点到准线的距离为 2, 所以,
从而抛物线 的方程是. 过点可以作 2 条直线与抛物线相切, 而直线与抛物线相交, 只有 1 个交点, 从而过点恰有 3 条直线与抛物线有且只有一个公共点, 故 A 不正确;
抛物线 的准线方程是, 设到准线的距离为, 则, 过作准线的垂线, 垂足为,
则由抛物线的定义知 , 所以, 所以的最小值为 4, 故 B 不正确;
抛物线的焦点为 , 直线过焦点,
不妨设直线 与抛物线的两个交点分别是,
则 , 又得, 则, 所以, 故 C 正确;
抛物线 与圆交于两点, 则关于轴对称,
设 , 则, 解得, 所以, 故 D 正确.
故选：CD
13. 【答案】
【解析】圆 的圆心,
因为直线 始终平分圆的周长,
所以直线 过圆心,
所以 , 解得.
故答案为: .
14. 【答案】
【解析】由于直线 过点且斜率为 1, 则直线,
圆上恰有 3 个点到的距离为 1,
圆心到直线的距离等于半径减去 1,
圆心到直线的距离为, 解得.
故答案为: .
15. 【答案】①②③
【解析】由图可知: 与为异面直线,①正确；
因为平面 平面, 所以与平面所成角即与平面所成角, 连接, 显然,是与平面所成角.在直角三角形中:②正确；
过 三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面截正方体所得两部分的体积关系, 由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，③正确；
取 中点, 连接,且底面,底面,
的长为线段在底面的射影长, 在直角三角形中:,,④错.
故选：①②③.
16. 【答案】1
【解析】由“ ”和“”代入方程仍成立, 所以曲线关于轴和轴对称, 故只需考虑的情形,
此时方程为 , 即, 所以的轨迹如下图,
, 表示点和连线的斜率,
由图可知, 当 曲线第四象限部分半圆 (圆心为, 半径为相切时, 斜率最大
设 :, 则, 解得或(舍去),
所以 的最大值为 1.
故答案为：1.
17. 【解析】(1) 将直线方程 代入椭圆的方程,
消 得:, 由题意知:, 解得;
(2) 设 , 由 (1) 知:,
又 在直线上, 得,
设 为的中点, 则点坐标为,
又因为 在直线上,
所以 , 解得.
18. 【解析】 (1) 设点 关于直线的对称点,
解得, 所以,
由于圆 过点, 因为圆心在直线上,
垂直平分线的方程为, 由, 解得, 所以圆心,
则反射光线 必经过点和点,
由点斜式得 为, 整理得;
(2) 设点 , 则, 则,
所以 ,
故当 时,的最小值为 19.
19. 【解析】(1) 因为长方体 , 所以平面,,
因为长方体 , 所以四边形为正方形,
因为 ,平面, 因此平面,
因为 平面, 所以;
(2) 在 上取点使得, 连,
因为 ,,, 所以,
所以四边形 为平行四边形,,
因为 , 所以四点共面, 所以四边形为平行四边形,
,
, 所以四点共面,
因此 在平面内.
20. 【解析】(1) 由题意得 ,,
,,,
椭圆的标准方程为;
(2) 直线 , 则直线,
由 , 得恒成立,
设 , 则,,
,
圆心到直线的距离,
又 ,,
,,
由 , 解得或, 由, 得.
21. 【解析】(1) 四边形为正方形,, 又平面,平面,
平面, 又平面, 平面平面,
;
(2) 以 为坐标原点,为轴可建立如图所示空间直角坐标系,
则 ,
由 (1) 知: , 则可设,
,
设平面 的法向量,
则 , 令, 则,,
设直线 与平面所成角为,
,
当 时,;
当 时,(当且仅当, 即时取等号);
当 时,;
综上所述: 直线 与平面所成角的正弦值的最大值为.
22. 【解析】(1) 由抛物线定义可得 , 解得,
抛物线的方程为;
(2) 点在抛物线上,
, 解得,
由抛物线的对称性, 不妨设 ,
由 ,
直线的方程为,
由 得, 解得或,,
又 ,
,
,
为的平分线.
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