人教A版（2019）高中数学必修第二册10.3频率与概率-【新教材】2020-2021学年同步讲义
一、例题分析
1．用随机模拟方法求函数 与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
【答案】解：如图，阴影部分是函数y= 的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤：
⑴利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x1=RAND，y1=RAND；
⑵统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y< 的点(x，y)的个数)；
⑶计算频率 ，即为点落在阴影部分的概率的近似值；
⑷直线x=1，y=1和x，y轴围成的正方形面积是1，由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为 =S.
则S≈ ，即阴影部分面积的近似值为 .
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】根据随机模拟的步骤，求出相应的面积，即可得出结论。
2．一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．
【答案】解： 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1，2，3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121 222330
231022 001003 213322 030032 100211 022210
231330 321202 031210 232111 210010 212020
230331 112000 102330 200313 303321 012033
321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003，030032，210010，112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为 ＝0.16.
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】利用随机模拟方法，估计概率，即可得出答案。
二、小题演练
3．（2020高二上·河北月考）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
【答案】A
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共 次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 .
故答案为：A
【分析】根据20组随机数，计算出至少击中3次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率.
4．（2020高二下·赣县月考）已知P是△ABC所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则 = ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P= = ．
故选B．
【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．从而S△PBC= S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
5．（2019高二下·吉林期末）一只袋内装有m个白球， 个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】模拟方法估计概率；概率的应用
【解析】【解答】当 时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，
前2个拿出白球，有 种取法，再任意拿出1个黑球即可，有 种取法，
而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，
此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即 ，
．
故答案为：D．
【分析】当 时，前2个拿出白球的取法有 种，再任意拿出1个黑球即可，有 种取法，在这3次拿球中可以认为按顺序排列，由此能求出结果．
6．（2019高二下·赤峰月考）从区间[0，1]内随机抽取2n个数 ， ，… ， ，.. ， 构成n个数对( ， )，…，( ， )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】由题意，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12．而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1- π 12，
∴ =1- ，
∴π ．
故答案为：D．
【分析】求出平面区域的面积，即可用随机模拟的方法得到圆周率的近似值.
7．（2019高二上·黑龙江期末）如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为 ．
【答案】0.38
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 ，
即S＝0.38，
故答案为：0.38．
【分析】利用模拟方法估计概率，由几何槪型的概率公式列式，即可估计红心阴影部分的面积.
8．设y＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分 .先产生两组(每组N个)区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1，2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1，2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分 的近似值为 ．
【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积；几何概型
【解析】【解答】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知： 是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积，又因为产生的随机数对在如图所示的正方形内，
正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为 ×1＝ ，即 ＝ 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合随机模拟的方法，再结合定积分求面积的方法，进而得出积分 的近似值 。
1 / 1人教A版（2019）高中数学必修第二册10.3频率与概率-【新教材】2020-2021学年同步讲义
一、例题分析
1．用随机模拟方法求函数 与x轴和直线x=1围成的图形的面积.
2．一份测试题包括6道选择题，每题只有一个选项是正确的．如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率．
二、小题演练
3．（2020高二上·河北月考）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
4．（2020高二下·赣县月考）已知P是△ABC所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019高二下·吉林期末）一只袋内装有m个白球， 个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于 的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高二下·赤峰月考）从区间[0，1]内随机抽取2n个数 ， ，… ， ，.. ， 构成n个数对( ， )，…，( ， )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高二上·黑龙江期末）如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为 ．
8．设y＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分 .先产生两组(每组N个)区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1，2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1，2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分 的近似值为 ．
答案解析部分
1．【答案】解：如图，阴影部分是函数y= 的图象与x轴和直线x=1围成的图形.设阴影部分的面积为S.
随机模拟的步骤：
⑴利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x1=RAND，y1=RAND；
⑵统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件y< 的点(x，y)的个数)；
⑶计算频率 ，即为点落在阴影部分的概率的近似值；
⑷直线x=1，y=1和x，y轴围成的正方形面积是1，由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为 =S.
则S≈ ，即阴影部分面积的近似值为 .
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】根据随机模拟的步骤，求出相应的面积，即可得出结论。
2．【答案】解： 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题．利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数．我们用0表示猜的选项正确，1，2，3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组．例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121 222330
231022 001003 213322 030032 100211 022210
231330 321202 031210 232111 210010 212020
230331 112000 102330 200313 303321 012033
321230
就相当于做了25次试验，在每组数中，如果恰有3个或3个以上的数是0，则表示至少答对3道题，它们分别是001003，030032，210010，112000，即共有4组数，我们得到该同学6道选择题至少答对3道题的概率近似为 ＝0.16.
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【分析】利用随机模拟方法，估计概率，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】在20组数据中，至少击中3次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共 次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 .
故答案为：A
【分析】根据20组随机数，计算出至少击中3次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率.
4．【答案】B
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则 = ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．
∴S△PBC= S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P= = ．
故选B．
【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的 ．从而S△PBC= S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
5．【答案】D
【知识点】模拟方法估计概率；概率的应用
【解析】【解答】当 时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，
前2个拿出白球，有 种取法，再任意拿出1个黑球即可，有 种取法，
而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，
此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即 ，
．
故答案为：D．
【分析】当 时，前2个拿出白球的取法有 种，再任意拿出1个黑球即可，有 种取法，在这3次拿球中可以认为按顺序排列，由此能求出结果．
6．【答案】D
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】由题意，从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12．而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1- π 12，
∴ =1- ，
∴π ．
故答案为：D．
【分析】求出平面区域的面积，即可用随机模拟的方法得到圆周率的近似值.
7．【答案】0.38
【知识点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】正方形的面积S＝1，设阴影部分的面积为S，
∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，
∴由几何槪型的概率公式进行估计得 ，
即S＝0.38，
故答案为：0.38．
【分析】利用模拟方法估计概率，由几何槪型的概率公式列式，即可估计红心阴影部分的面积.
8．【答案】
【知识点】利用定积分求封闭图形的面积；几何概型
【解析】【解答】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知： 是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积，又因为产生的随机数对在如图所示的正方形内，
正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为 ×1＝ ，即 ＝ 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合随机模拟的方法，再结合定积分求面积的方法，进而得出积分 的近似值 。
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