北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（A）
一、单选题
1．（2023高二上·丰台期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由，得，故斜率为，因，所以倾斜角．
故答案为：D．
【分析】先由直线的方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出直线的倾斜角.
2．（2023高二上·丰台期中）已知圆，则圆心与半径分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据圆的标准方程 得圆心C，半径为r=2
故答案：D
【分析】根据圆的标准方程：圆心C，半径为r，即可得出答案。
3．（2023高二上·丰台期中）如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据空间向量的运算法则的：，又由平行六面体的性质得：
故：
故答案：C
【分析】根据空间向量的运算法则即可求解
4．（2023高二上·丰台期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【解答】因为直线经过点 ，根据点斜式可设直线l的方程为：（），
化简得：，又因为直线l与直线垂直 ，则解得：
把k=-2代入直线l的方程得：即
故答案：B
【分析】根据两直线垂直，则两条直线的斜率之积为-1.可以算出直线l的斜率，在结合点斜式求解即可.
5．（2023高二上·丰台期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列选项中能使成立的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】 直线的方向向量为，平面的法向量为 ，若 ，则，又向量平行得：
经观察A、B、C、D选项，只有B选项：，故B选项符合题意.
故答案为：B
【分析】 根据直线的方向向量为，平面的法向量为 ，若 ，则，又向量平行得：即可求解.
6．（2023高二上·丰台期中）已知直线，，若，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】当a=0时：直线即：，直线：即：，此时，不符合题意；
当时，直线的斜率为：，直线：的斜率为：，当时：
=解得：a=-1或a=2，把a=-1或a=2带入直线、的原方程满足要求，故a=-1或a=2
故答案为：C.
【分析】排除a=0的特殊情况后，根据时=，解出a，然后检验 即可求解.
7．（2023高二上·丰台期中）若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】依题意得，圆是以原点O为圆心，半径为2的圆方程；直线过定点(0，3)，如下图所示，
如图，连接OC，
设AB的中点为C，由垂径定理得：，
∴在Rt中：
，
由距离公式得圆心（0，0）到直线l的距离d=，
解得：.
故答案：D.
【分析】根据已知圆的方程可以得出半径跟圆心，在根据垂径定理得出圆心到直线l的距离，然后在利用距离公式求解即可.
8．（2023高二上·丰台期中）已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】将圆C的一般方程 化为标准方程得：，又因为圆C 关于直线对称， 则圆心在直线l 上，
把圆心C（），代入直线l的方程得：解得：或者，把m=3代入圆的标准方程有：符合题意，把m=-1代入得：，显然不符合题意舍去，故m=3
故答案：C
【分析】根据题意知道，圆C关于直线l对称，则圆心必在直线l上，由把圆的标准一般方程化为标准方程，得到圆心坐标，再代入直线l的方程即可，关键本题要记住圆的一般程中是要有条件的，所以需要检验.
9．（2023高二上·丰台期中）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；简单组合体的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图：设矩形BCDE的中心为O，由正八面体的性质有：HI、KG、AF两两垂直，故以O为原点，HI为x轴，KG为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
因为正八面体的边长为2，OC=，
则B（1，-1，0）A，F，D（-1，1，0），由中点坐标公式得：
故，
所以， 直线和夹角的余弦值为
故答案选：D
【分析】异面直线所成的角，有两种解决方案，一是通过平移把异面直线平移到同一平面内在运用余弦定理进行解决，二通过空间向量的坐标运算及几何运算解决：，通过观察本题无法简单地将异面直线平移到同一平面内，故考虑建立空间直角坐标系运用空间向量进行解决.
10．（2023高二上·丰台期中）已知圆与圆，过动点分别作圆，圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】 圆 ，圆 ，则圆的圆心（0，0），半径，则圆的圆心（4，2），半径， 因为，（，分别为切点）为圆，圆的切线，则由勾股定理得： ，，又所以：即：
把M、A、B的坐标带入两点间的距离公式得：化简得：，表示点M在直线：上，则 表示直线上的点与点（3，-2）之间的距离， 则的最小值为 点（3，-2）
到直线：的距离，由点到直线的距离公式有：.
故答案：A
【分析】通过已知条件，建立方程，把点M的轨迹方程求出来，然后利用点到直线的距离公式求解即可.
二、填空题
11．（2023高二上·丰台期中）已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为 .
【答案】
【知识点】直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】由直线的截距式，结合直线l的斜率k=2，y轴截距b=-1，可得直线l的方程为：.
故答案：
【分析】把已知的斜率及y轴截距带入直线的截距式方程即可.
12．（2023高二上·丰台期中）已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则 .
【答案】
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，，为空间两两垂直的单位向量，且， ，所以可得：，则.
故答案：-3
【分析】建立空间直角坐标系，在根据与单位方向向量的关系，得出的坐标，再由空间向量坐标运算即可求解。
13．（2023高二上·丰台期中）已知，，三点共线，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】根据向量三点共线定理得：且带入坐标得：解得：
故答案为：
【分析】根据向量三点共线定理得：且，然后带入坐标运算即可求解.
14．（2023高二上·丰台期中）已知圆上存在两个点到点的距离均为，则实数的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】设到点的距离为 的点的坐标为M（x，y）则由两点间距离公式有：，化简得：
，即点M的轨迹为：圆心为（-1，1），半径为的圆A，又把圆 化为标准方程有：，即圆C的圆心为：（n，-n），半径为， 圆上存在两个点到点的距离均为 ，则圆A与圆C相交.由两圆相交的条件有：，即，又由两点间的距离公式有：，解得：，或者，
故答案为：1（答案不唯一，只要在范围内取值即可）
【分析】根据求出到 点的距离为的点轨迹方程，，再结合两圆相交的条件即可求解.
15．（2023高二上·丰台期中）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点.给出下列四个结论：
①若点在线段上运动，则总有；
②若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值；
③若点在线段上运动，则直线与平面所成角为定值；
④若点满足，则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为.
其中所有正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系：
则
对于 ① 因为 在线段上运动 ，故可设点P的坐标为：且（x=1-y），
=，所以 ，故①正确；
对于② ：因为由正方体的性质有：
且平面，平面，则，根据平行平面的直线到平面的距离不变，则点P到平面的
距离为定值，又又等体积法得：，且三角形BDC的面积值不变，所以三棱锥体积为定值，故②正确；
对于③ ：
点在线段上运动 ，则，设点P为（1，y，z）则，故可解得：y=1-z
所以：p（1，1-z，z），由正方体的性质知：为面的法向量：为非定值，则 直线与平面所成角为定值错误，
对于 ④ 因为 ，所以点D在线段上运动，在上取一点使得
连接，由正方体的性质得：，且，故四点共面，即过点三点的截面为
截面. ，则，，所以截面的面积为
故当
时，S有最小值：，当时S有最大值， 则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为. 故④
正确.
故答案：①②④
【分析】本题的立体图形为正方体，故可以通过建立空间直角坐标系通过判定通过平行平面的直线到平面的距离不变，则点P到平面的距离为定值，又又等体积法得：，且三角形BDC的面积值不变，所以三棱锥体积为定值；在做出截面然后利用向量法进行计算判断④
三、问答题
16．（2023高二上·丰台期中）已知圆.
（1）求经过点的圆的切线方程；
（2）求直线被圆截得的弦长.
【答案】（1）当切线斜率不存在时，其方程为，
圆心到直线的距离为，
则此时直线与圆相切，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
即，
则圆心到切线的距离，解得，
所以此时切线的方程为.
综上：切线的方程为或.
（2）由题可知圆的圆心为，半径为.
设圆心到直线的距离为，则.
所以直线被圆所截得的弦长为：.
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）求圆的切线方程时，考虑斜率存在，和斜率不存在两种情况：当斜率不存在时，x=3经验算满足题意，当斜率存在时，结合切线经过点 ，运用点斜式写出切线方程，在利用圆心到切线的距离等于半径，即可求解；
（2）运用点到直线的距离公式求出圆心到 直线 的距离，然后利用垂径定理和勾股定理进行求解即可.
17．（2023高二上·丰台期中）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）因为直三棱柱，所以平面，
因为平面，所以.
因为，所以，因为是的中点，所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）因为直三棱柱，所以平面，
平面，所以，，因为，
所以，，两两垂直，以为原点，，，为轴、 轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，.
所以，，，
设平面的一个法向量为．
所以，即，
令，则，.
所以．
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）证明 ：平面 ，则需要在平面内找两条相交直线与垂直，根据 直三棱柱 的性质可得：平面，得出，又，且D为的中点根据等腰三角形三线合一可得：，从而证得：平面；
（2）结合直三棱柱 的性质可以通过建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算来解决直线与平面所成的角.
18．（2023高二上·丰台期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点.
条件①：；
条件②：平面平面.
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：
（1）求证：；
（2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）选①：.
证明：在平行四边形中，，
因为，，
所以在△中，.
所以，
所以.
又，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为，
所以.
选②：平面平面.
证明：因为平面平面，平面平面，，平面.
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）由（2）知，BA，BD，BP两两垂直，以为原点，，， 为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则，. 所以．
因为点在线段上，设，
所以，
故点到平面的距离为，得.
所以
所以，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)证明 ，可以通过证明得到，选条件①： ，结合
； 由余弦定理得：，通过勾股定理逆定理可得：，又 ，证得：从而证明；选择条件 ② ： 平面平面.
且 证得：从而证明.
（2）由（1）知PB、BA、BC两两垂直，故可以建立空间直角坐标系，写出各点坐标，因为点在线段上，所以设然后运用点到平面的向量计算式得：
点到平面的距离为，得.从而求出点M的坐标，在利用空间
两点间的距离等于两点组成向量的模长即可求解.
19．（2023高二上·丰台期中）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且半径为.
（1）若圆心也在直线上，求圆的方程；
（2）已知点，若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】（1）设圆心，由题意得，
解得，所以圆心，
因为圆的半径为1，
所以圆的方程为：.
（2）由题意，如图所示：
设，由已知，圆心，，
得，
整理得，
所以点既在圆上又在直线上，
即：圆和直线有公共点，
所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，
所以，
所以，
所以的取值范围为：，
所以圆心的横坐标的取值范围为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）因为圆的圆心在直线，圆心也在直线上，故联立两直线的方程求出交点坐标即为圆心坐标，然后把圆心坐标和1代入圆的标准方
中即可求解.
（2）设点M（x，y）由 ，结合两点间的距离公式得： 即，又因为点M 又在圆C上，则直线与圆C相交，然后利用圆心到直线的距离小于等于半径即可求解.
20．（2023高二上·丰台期中）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直，
以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
所以，.
则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取得，
因为平面，所以为平面的一个法向量，，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值．
（3）线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下：
设，
因为，
所以，
由（2）知平面的一个法向量为，
因为平面，
所以，解得，
所以线段上存在点，点为中点，满足平面.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）要平面 ，则需要在平面内找两条相交直线与AC垂直即可，因为底面ABCD为正方形，所以，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，从而证明；
（2）由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直
故可以通过建立空间直角坐标系然后写出各点坐标，在运用空间向量的坐标运算解决二面角问题即可.
（3）因为点P在线段上，可设，然后因为与平面的一个法向量垂直，解出方程即可求解.
21．（2023高二上·丰台期中）在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”.
（1）已知，，求；
（2）已知直线.
（i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值；
（ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值.
【答案】（1）
（2）（i）直线与轴的交点，与轴的交点，设直线上任意一点，.
当点在线段的延长线上时，；
当点在线段的延长线上时，；
当点在线段上时，，，
则.
因为，，
所以.
综上，当点与点重合时，坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为.
（ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示.
过作直线的垂线，垂足为，则，
所以.
当取最小值时，取得最小值.
过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为，
当且仅当与重合时，取到最小值.
易知，
所以的最小值为，
即的最小值为.
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）根据定义 ，把点A，点B坐标带入计算即可.
（2） （i） 因为点Q在直线 上，故可设Q设点O与点Q的折现距离为d，即
则设直线l的图像与x，y轴的交为M，N，再结合图像及去绝对值符号可知接下来分Q在线段MN的延长线上，线段NM的延长线上以及在线段MN之间三种情况讨论即可求解.
（ii） 由（i）知，设点是圆C上任意一点，是直线l上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为然后数形结合即可求解.
1 / 1北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（A）
一、单选题
1．（2023高二上·丰台期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·丰台期中）已知圆，则圆心与半径分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023高二上·丰台期中）如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高二上·丰台期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二上·丰台期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列选项中能使成立的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．（2023高二上·丰台期中）已知直线，，若，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2023高二上·丰台期中）若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
8．（2023高二上·丰台期中）已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A． B． C． D．或
9．（2023高二上·丰台期中）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二上·丰台期中）已知圆与圆，过动点分别作圆，圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023高二上·丰台期中）已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为 .
12．（2023高二上·丰台期中）已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则 .
13．（2023高二上·丰台期中）已知，，三点共线，则 .
14．（2023高二上·丰台期中）已知圆上存在两个点到点的距离均为，则实数的一个取值为 .
15．（2023高二上·丰台期中）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点.给出下列四个结论：
①若点在线段上运动，则总有；
②若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值；
③若点在线段上运动，则直线与平面所成角为定值；
④若点满足，则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为.
其中所有正确结论的序号为 .
三、问答题
16．（2023高二上·丰台期中）已知圆.
（1）求经过点的圆的切线方程；
（2）求直线被圆截得的弦长.
17．（2023高二上·丰台期中）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．（2023高二上·丰台期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点.
条件①：；
条件②：平面平面.
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：
（1）求证：；
（2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
19．（2023高二上·丰台期中）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且半径为.
（1）若圆心也在直线上，求圆的方程；
（2）已知点，若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
20．（2023高二上·丰台期中）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.
21．（2023高二上·丰台期中）在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”.
（1）已知，，求；
（2）已知直线.
（i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值；
（ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】由，得，故斜率为，因，所以倾斜角．
故答案为：D．
【分析】先由直线的方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出直线的倾斜角.
2．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】根据圆的标准方程 得圆心C，半径为r=2
故答案：D
【分析】根据圆的标准方程：圆心C，半径为r，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据空间向量的运算法则的：，又由平行六面体的性质得：
故：
故答案：C
【分析】根据空间向量的运算法则即可求解
4．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【解答】因为直线经过点 ，根据点斜式可设直线l的方程为：（），
化简得：，又因为直线l与直线垂直 ，则解得：
把k=-2代入直线l的方程得：即
故答案：B
【分析】根据两直线垂直，则两条直线的斜率之积为-1.可以算出直线l的斜率，在结合点斜式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】 直线的方向向量为，平面的法向量为 ，若 ，则，又向量平行得：
经观察A、B、C、D选项，只有B选项：，故B选项符合题意.
故答案为：B
【分析】 根据直线的方向向量为，平面的法向量为 ，若 ，则，又向量平行得：即可求解.
6．【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】当a=0时：直线即：，直线：即：，此时，不符合题意；
当时，直线的斜率为：，直线：的斜率为：，当时：
=解得：a=-1或a=2，把a=-1或a=2带入直线、的原方程满足要求，故a=-1或a=2
故答案为：C.
【分析】排除a=0的特殊情况后，根据时=，解出a，然后检验 即可求解.
7．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】依题意得，圆是以原点O为圆心，半径为2的圆方程；直线过定点(0，3)，如下图所示，
如图，连接OC，
设AB的中点为C，由垂径定理得：，
∴在Rt中：
，
由距离公式得圆心（0，0）到直线l的距离d=，
解得：.
故答案：D.
【分析】根据已知圆的方程可以得出半径跟圆心，在根据垂径定理得出圆心到直线l的距离，然后在利用距离公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】将圆C的一般方程 化为标准方程得：，又因为圆C 关于直线对称， 则圆心在直线l 上，
把圆心C（），代入直线l的方程得：解得：或者，把m=3代入圆的标准方程有：符合题意，把m=-1代入得：，显然不符合题意舍去，故m=3
故答案：C
【分析】根据题意知道，圆C关于直线l对称，则圆心必在直线l上，由把圆的标准一般方程化为标准方程，得到圆心坐标，再代入直线l的方程即可，关键本题要记住圆的一般程中是要有条件的，所以需要检验.
9．【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；简单组合体的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】如图：设矩形BCDE的中心为O，由正八面体的性质有：HI、KG、AF两两垂直，故以O为原点，HI为x轴，KG为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
因为正八面体的边长为2，OC=，
则B（1，-1，0）A，F，D（-1，1，0），由中点坐标公式得：
故，
所以， 直线和夹角的余弦值为
故答案选：D
【分析】异面直线所成的角，有两种解决方案，一是通过平移把异面直线平移到同一平面内在运用余弦定理进行解决，二通过空间向量的坐标运算及几何运算解决：，通过观察本题无法简单地将异面直线平移到同一平面内，故考虑建立空间直角坐标系运用空间向量进行解决.
10．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】 圆 ，圆 ，则圆的圆心（0，0），半径，则圆的圆心（4，2），半径， 因为，（，分别为切点）为圆，圆的切线，则由勾股定理得： ，，又所以：即：
把M、A、B的坐标带入两点间的距离公式得：化简得：，表示点M在直线：上，则 表示直线上的点与点（3，-2）之间的距离， 则的最小值为 点（3，-2）
到直线：的距离，由点到直线的距离公式有：.
故答案：A
【分析】通过已知条件，建立方程，把点M的轨迹方程求出来，然后利用点到直线的距离公式求解即可.
11．【答案】
【知识点】直线的斜率；直线的截距式方程
【解析】【解答】由直线的截距式，结合直线l的斜率k=2，y轴截距b=-1，可得直线l的方程为：.
故答案：
【分析】把已知的斜率及y轴截距带入直线的截距式方程即可.
12．【答案】
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，，为空间两两垂直的单位向量，且， ，所以可得：，则.
故答案：-3
【分析】建立空间直角坐标系，在根据与单位方向向量的关系，得出的坐标，再由空间向量坐标运算即可求解。
13．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】根据向量三点共线定理得：且带入坐标得：解得：
故答案为：
【分析】根据向量三点共线定理得：且，然后带入坐标运算即可求解.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】设到点的距离为 的点的坐标为M（x，y）则由两点间距离公式有：，化简得：
，即点M的轨迹为：圆心为（-1，1），半径为的圆A，又把圆 化为标准方程有：，即圆C的圆心为：（n，-n），半径为， 圆上存在两个点到点的距离均为 ，则圆A与圆C相交.由两圆相交的条件有：，即，又由两点间的距离公式有：，解得：，或者，
故答案为：1（答案不唯一，只要在范围内取值即可）
【分析】根据求出到 点的距离为的点轨迹方程，，再结合两圆相交的条件即可求解.
15．【答案】①②④
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图建立空间直角坐标系：
则
对于 ① 因为 在线段上运动 ，故可设点P的坐标为：且（x=1-y），
=，所以 ，故①正确；
对于② ：因为由正方体的性质有：
且平面，平面，则，根据平行平面的直线到平面的距离不变，则点P到平面的
距离为定值，又又等体积法得：，且三角形BDC的面积值不变，所以三棱锥体积为定值，故②正确；
对于③ ：
点在线段上运动 ，则，设点P为（1，y，z）则，故可解得：y=1-z
所以：p（1，1-z，z），由正方体的性质知：为面的法向量：为非定值，则 直线与平面所成角为定值错误，
对于 ④ 因为 ，所以点D在线段上运动，在上取一点使得
连接，由正方体的性质得：，且，故四点共面，即过点三点的截面为
截面. ，则，，所以截面的面积为
故当
时，S有最小值：，当时S有最大值， 则过点，，三点的正方体截面面积的取值范围为. 故④
正确.
故答案：①②④
【分析】本题的立体图形为正方体，故可以通过建立空间直角坐标系通过判定通过平行平面的直线到平面的距离不变，则点P到平面的距离为定值，又又等体积法得：，且三角形BDC的面积值不变，所以三棱锥体积为定值；在做出截面然后利用向量法进行计算判断④
16．【答案】（1）当切线斜率不存在时，其方程为，
圆心到直线的距离为，
则此时直线与圆相切，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
即，
则圆心到切线的距离，解得，
所以此时切线的方程为.
综上：切线的方程为或.
（2）由题可知圆的圆心为，半径为.
设圆心到直线的距离为，则.
所以直线被圆所截得的弦长为：.
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）求圆的切线方程时，考虑斜率存在，和斜率不存在两种情况：当斜率不存在时，x=3经验算满足题意，当斜率存在时，结合切线经过点 ，运用点斜式写出切线方程，在利用圆心到切线的距离等于半径，即可求解；
（2）运用点到直线的距离公式求出圆心到 直线 的距离，然后利用垂径定理和勾股定理进行求解即可.
17．【答案】（1）因为直三棱柱，所以平面，
因为平面，所以.
因为，所以，因为是的中点，所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）因为直三棱柱，所以平面，
平面，所以，，因为，
所以，，两两垂直，以为原点，，，为轴、 轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，.
所以，，，
设平面的一个法向量为．
所以，即，
令，则，.
所以．
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）证明 ：平面 ，则需要在平面内找两条相交直线与垂直，根据 直三棱柱 的性质可得：平面，得出，又，且D为的中点根据等腰三角形三线合一可得：，从而证得：平面；
（2）结合直三棱柱 的性质可以通过建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算来解决直线与平面所成的角.
18．【答案】（1）选①：.
证明：在平行四边形中，，
因为，，
所以在△中，.
所以，
所以.
又，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为，
所以.
选②：平面平面.
证明：因为平面平面，平面平面，，平面.
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）由（2）知，BA，BD，BP两两垂直，以为原点，，， 为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则，. 所以．
因为点在线段上，设，
所以，
故点到平面的距离为，得.
所以
所以，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)证明 ，可以通过证明得到，选条件①： ，结合
； 由余弦定理得：，通过勾股定理逆定理可得：，又 ，证得：从而证明；选择条件 ② ： 平面平面.
且 证得：从而证明.
（2）由（1）知PB、BA、BC两两垂直，故可以建立空间直角坐标系，写出各点坐标，因为点在线段上，所以设然后运用点到平面的向量计算式得：
点到平面的距离为，得.从而求出点M的坐标，在利用空间
两点间的距离等于两点组成向量的模长即可求解.
19．【答案】（1）设圆心，由题意得，
解得，所以圆心，
因为圆的半径为1，
所以圆的方程为：.
（2）由题意，如图所示：
设，由已知，圆心，，
得，
整理得，
所以点既在圆上又在直线上，
即：圆和直线有公共点，
所以圆心到直线的距离不大于圆的半径，
所以，
所以，
所以的取值范围为：，
所以圆心的横坐标的取值范围为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）因为圆的圆心在直线，圆心也在直线上，故联立两直线的方程求出交点坐标即为圆心坐标，然后把圆心坐标和1代入圆的标准方
中即可求解.
（2）设点M（x，y）由 ，结合两点间的距离公式得： 即，又因为点M 又在圆C上，则直线与圆C相交，然后利用圆心到直线的距离小于等于半径即可求解.
20．【答案】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直，
以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
所以，.
则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取得，
因为平面，所以为平面的一个法向量，，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值．
（3）线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下：
设，
因为，
所以，
由（2）知平面的一个法向量为，
因为平面，
所以，解得，
所以线段上存在点，点为中点，满足平面.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）要平面 ，则需要在平面内找两条相交直线与AC垂直即可，因为底面ABCD为正方形，所以，又平面平面，平面平面，，平面，所以平面，从而证明；
（2）由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直
故可以通过建立空间直角坐标系然后写出各点坐标，在运用空间向量的坐标运算解决二面角问题即可.
（3）因为点P在线段上，可设，然后因为与平面的一个法向量垂直，解出方程即可求解.
21．【答案】（1）
（2）（i）直线与轴的交点，与轴的交点，设直线上任意一点，.
当点在线段的延长线上时，；
当点在线段的延长线上时，；
当点在线段上时，，，
则.
因为，，
所以.
综上，当点与点重合时，坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为.
（ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示.
过作直线的垂线，垂足为，则，
所以.
当取最小值时，取得最小值.
过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为，
当且仅当与重合时，取到最小值.
易知，
所以的最小值为，
即的最小值为.
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）根据定义 ，把点A，点B坐标带入计算即可.
（2） （i） 因为点Q在直线 上，故可设Q设点O与点Q的折现距离为d，即
则设直线l的图像与x，y轴的交为M，N，再结合图像及去绝对值符号可知接下来分Q在线段MN的延长线上，线段NM的延长线上以及在线段MN之间三种情况讨论即可求解.
（ii） 由（i）知，设点是圆C上任意一点，是直线l上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为然后数形结合即可求解.
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