10.1.3 古典概型 教学设计

高中数学人教A版必修第二册 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
教学内容
古典概型的概念及应用
（二）教学目标
1.通过古典概型的学习，进一步理解随机事件和样本点的关系、事件和样本空间的关系、概率的意义，掌握研究概率模型的一般性思路
2.通过实例体会古典概型的抽象过程，理解古典概型的两个特征，掌握古典概型的计算公式
3.掌握通过放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样模型两种古典概型问题
（三）教学重点与难点
教学重点：理解古典概型的两个特征，掌握古典概型的计算公式
教学难点：判断一个实验是否为古典概型，分清古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数
（四）教学过程设计
一、引入新课
①观察抛掷一枚质地均匀的硬币的实验.②观察抛掷一枚质地均匀的骰子的实验.
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．对随机事件发生可能性大小的度量 （数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示，
想一想：有哪些办法得到正面向上的概率？
答：可以利用列举法求概率；通过大量实验，用频率估计概率.
做一做:分组完成抛掷硬币、骰子实验，统计硬币正反面朝上数量情况，说一说用模拟实验的方法好不好？为什么？
答：通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计．但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值
二、课堂探究
问题１抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验中．它们的共同特征有哪些？
思考1：它们的样本空间和样本点个数与概率分别是怎样的？
思考2：对比某人在操场投篮实验，有什么异同点？
答：实验一中样本点有2个，即“正面朝上”“反面朝上”并且它们都是互斥的，它们发生的概率都是，实验二中样本点有6个，即正面向上为“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，并且它们都是互斥的，它们发生的概率都是.
投篮实验中，样本空间的样本点个数也是有限的，但每个样本点发生的可能性是不相同的
可以发现，它们具有如下共同特征：
（１）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（２）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型， 简称古典概型
追问：①一个圆内随机的投一个点，假设点落在圆内任何一个位置都是等可能的，这个实验是不是古典概型呢？
答：不是，不满足样本点有限性
②一项射击实验中，这一实验的结果只有有限个，命中的环数和不命中，这是古典概型吗？
答：满足有限性，但不满足等可能性
追问：你能举一些生活中古典概型的列子吗？
问题2：考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
（１）一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学
生，事件A＝“抽到男生”；
（２）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B ＝ “恰好一次正面朝上”．
思考1：对于问题（1），是古典概型吗？事件A发生的概率是多大？
答：班级中共有４0名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小．
因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A＝ “抽到男生”包含18个样本点．因此，事件A发生的可能性大小为
思考2：对于问题（2），是古典概型吗？事件B发生的概率是多大？
答：用1表示硬币 “正面朝上”，用0表示硬币 “反面朝上”，则试验的样本空间
＝｛（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0）， （0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）｝， 共有８个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小．因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量．因为B＝｛（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）｝，所以事件B发生的可能性大小为．
即P(B)==
一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝ ＝．
其中，n(A)和n（）分别表示事件A 和样本空间包含的样本点个数
三、知识应用
例1　单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω＝｛A，B，C，D｝．考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型．设M＝“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n（M）＝1．所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
例2　抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：
A＝“两个点数之和是5”；
B＝“两个点数相等”；
C＝“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果．用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组（m，n）表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间
Ω＝｛（m，n）|m，n∈｛1，2，3，4，5，6｝｝，
其中共有36个样本点．
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
（2）因为A＝｛（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）｝，所以n（A）＝4，从而
P（A）＝．
因为B＝｛（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）｝，所以n（B）＝6，从而
P（B）＝．
因为
C＝｛（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）｝，
所以n（C）＝15，从而
P（C）＝．
思考：在上面的问题中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
答：如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是１点和２点，有可能第一枚骰子的结果是１点，也有可能第二枚骰子的结果是１点．这样，（1，2）和 （2，1）的结果将无法区别
当不给两枚骰子标记号时， ={（m，n）| m，n ∈{1,2,3,4,5,6}，且m≤n }，n（）=21，事件A＝ “两个点数之和是５”的结果变为A=｛（1，4），（2，3）｝
这时，P（A）=.
追问：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
答：可以发现，３６个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，（１，１）和 （１，２）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此P（A）=是错误的
总结:求解古典概型问题的一般思路：
（１）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号 （字母、数字、数组等）表
示试验的可能结果 （借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
（２）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（３）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
例3　袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
（1）A＝“第一次摸到红球”；
（2）B＝“第二次摸到红球”；
（3）AB＝“两次都摸到红球”．
解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，用表10.1－2表示．
表10.1－2
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ×
（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），即
A＝｛（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，1），（2，3），（2，4），（2，5）｝，
所以
P（A）=
（2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），即
B＝｛（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），
（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）｝，
所以
P（B）=
（3）事件AB包含2个可能结果，即AB＝｛（1，2），（2，1）｝，所以
P（AB）=
想一想：如果同时摸出２个球，那么事件AB的概率是多少？
答：若同时摸出2个，则这2个球没有顺序，可以认为是将原题目中样本空间的20个样本点两两合并，得到包含10个样本点的样本空间，这10个样本点仍然是等可能的
，既可以认为是依次摸出2个球，也可以认为是同时摸出2个球，没有差异.
例4　从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人．
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间．
（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．
解：设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组（x1，x2）表示样本点．
（1）根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1＝｛（B1，B1），（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，B2），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G1），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1），（G2，G2）｝．
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2＝｛（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1）｝．
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
Ω3＝｛（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2）｝．
（2）设事件A＝“抽到两名男生”，则
对于有放回简单随机抽样，
A＝｛（B1，B1），（B1，B2），（B2，B1），（B2，B2）｝．
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此
P（A）＝＝0.25．
对于不放回简单随机抽样，
A＝｛（B1，B2），（B2，B1）｝．
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此
P（A）＝＝．
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A＝，因此P（A）＝0．
四、课堂练习
1．下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P（A）＝．
其中所正确说法的序号是（ ）
A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④
答案：D
2．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________
答案：
解析：基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，而两数都是奇数的有(1,3)，(1,5)，(3,5)．故所求概率P＝．
3．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．
求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．
解：(1)记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3个，则P(A)＝＝；
(2)记丁被选中为事件B，由(1)同理可得P(B)＝，又因丁没被选中为丁被选中的对立事件，设为，则P()＝1－P(B)＝1－＝．
4.先后抛掷两枚大小相同的骰子
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解：基本事件的总数共36种．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝＝．
(2)记“出现两个4点”为事件B，则事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝．
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝＝．
五、归纳总结
1.古典概型的特征：（1）有限性，（2）等可能性；
2.古典概型的概率公式：如果样本空间所含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为
．
3.运用古典概型解决实际问题的步骤：
（1）根据问题情境判断是否为古典概型；
（2）用列举法写出试验所对应的样本空间；
（3）利用古典概型的概率公式计算概率.