重庆市名校联盟2024届高三上学期数学期中试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式即：，则：
所以=，又 则
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把不等式解出来，得到A集合，在利用交集的运算即可求解.
2．（2022高一上·海州期中）设a>0，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，，当且仅当a=2时取等号，
所以的最小值为5.
故答案为：D.
【分析】 根据题意，化简 ，再结合基本不等式求解，即可得答案.
3．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】利用及诱导公式进行计算即可求解.
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：则所以，则为奇函数，
所以：的图像关于原点对称，排除A、B选项，又当时，
故时，，排除C选项.
故答案为：D.
【分析】函数图象问题，利用奇偶性，确定函数的对称性，从而排除A、B选项，再结合自变量在特定的范围内，确定函数的正负，从而得出答案.
5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：
以圆O圆心为原点，建立坐标系，根据正六边形的边长为2，圆的半径为1，则
所以：，则 ，故当时，有最小值2
故答案为：D.
【分析】结合圆及正六边形的性质，建立坐标系，通过向量的坐标运算，表示出的函数式子，即可求解。
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若，且△ABC的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解三角形
【解析】【解答】由正弦定理得：，得，
因为：，则，即①，又由三角形的面积公式得：
②，由题意得③
由②③得：，代入①得：，在 △ABC 中由余弦定理得：
故答案为：D.
【分析】根据正弦定理对：进行化简得：，在又三角形的面积公式及正弦定理对化简得：，在带入，得最后根据余弦定理即可求得.
7．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当，，令，则在单调递减，在(-1，0]
单调递增，有在R为增函数，所以根据复合函数的单调性知道在单调递减，在(-1，0]单调递增，的一个极小值为：，，则，当时，由对勾函数的单调性知：在上单调递减，在[2，）上
单调递增，的一个极小值为，画出 的图像如下图
所示：，函数有四个不同的零点即 与直线有四个
交点，由图像知：（1，e]，且，时
即：，由韦达定理得：，
；当时，化简得：，又由韦达定理得：，
则，.设，（1，e]，对
（1，e]时恒成立，则在（1，e]上单调递增，故，即，则（5，3+e]
故答案为：A
【分析】把函数的4个零点转化为直线与函数图像的4个交点，通过复合函数和对勾函数的单调性判断出函数的单调性从而画出函数图象，即可求出a的取值范围，在通过x大于零或小于零，建立方程，由韦达定理表示出，，在构造新的函数，通过导函数确定单调性，即可求出范围，从而求解.
8．已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．在区间上有3个零点
B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度
C．的值域为
D．的最小正周期为，最小值为
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的正切公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：A选项：根据 得：，
令得：，即：解得：，则
在内有两个零点即或者，故A错误；
B选项：函数的图像向右平移个单位长度得：
由题意知：，故B选项错误；
C选项：
=
=
=，令
，对h（t）求导得：因为令
，得，得：或者，故在上单调递增，
在上单调递减，又所以：
的值域为：，故C选项错误.
对于D：=
=，则周期，
最小值为：，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】对于A选项由题意得出的解析式，然后利用辅助角公式对进行化简，令=0，解出x即可；对于B选项先把函数的图像向右平移个单位长度得进行化简后与比较即可；对于C选项由题意得出的解析分析然后利用立方和公式、辅助角公式、二倍角公式进行化简，在换元利用导函数判定出新函数的单调性，即可求解；对于D选项跟C选项一样利用公式化简后，利用周期公式即可求解
9．（2020高一下·山东开学考）在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据平面向量基本定理，
A ， ，则 ，方程组无解，A不能；
B， ，则 ，B能.
C， ，则 ，
因为 ，所以方程组无解，C不能.
D， ，则 ，
因为 ，所以方程组无解，D不能.
故答案为：B.
【分析】利用平面向量的基本定理对选项逐一判断即可得出答案。
二、多选题
10．（2021·常德模拟）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数 ，在 上单调递增，∴ ，A不符合题意；
函数 ，在 上单调递减， ，函数 ，在 上单调递增， ，
，B符合题意；
函数 单调递减， ，C符合题意；
，D不符合题意，
故答案为：BC．
【分析】 利用指数函数和对数函数的性质，构造函数y=x0.8，y=0.6x，y=log0.8x，可以直接解出．
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为钝角三角形
【答案】B,C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A选项由正弦定理：得：①，
又，把①带入并化简得：，即，
因为：所以则2A=2B或，即A=B或
所以为等腰三角形或者直角三角形，故A选项错误；
对于B选项：在中由余弦定理得：，代入数值得：
，化简得：，解方程得：或（舍去）
故BC只有唯一解，所以满足条件的三角形有且只有一个，故B选项正确；
因为不是直角三角形，且根据，得：
则：=，化简得：
所以：，故C选项正确；
对于C选项：根据向量的几何运算有：
即：，且所以，所以B为锐角，而A、C无法确定，所以D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】A选项运用正弦定理进行化简即可得出答案，B选项运用余弦定理然后解一元二次方程即可，C选项利用三角形内角和为的隐含条件，然后再利用正切的和差公式进行化简即可得出答案；D选项利用向量的几何运算即可求解.
12．设函数，数列满足，则（ ）
A．当时，
B．若为常数数列，则或2
C．若为递减数列，则
D．当时，
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【解答】解：对于A选项：当则，由题意得：，
因为，所以，即，
，…；故A正确
对于B选项：因为数列为常数列，所以，（1）当
时，，此时无解，（2）当时，，解得或者，故B选项正确.
对于C选项：若数列为递减数列，则，（1）当时，，恒成立，（2）当时，时，
解得：，或者，综合（1）、（2）得或者，故C选项错误；
对于D选项：当时，由，又对：变形得：
即：所以：
故： =
=，故D选项正确.
故答案为：ABD.，
【分析】根据分段函数的性质及数列的递推关系得出：，在有不等式的性质得到：得出A选项，根据常数列的定义和性质可快速判定B选项，根据递减数列的概念解不等式即可得出C选项正确，D选项考虑运用列项及不等式的放缩法进行判定即可.
三、填空题
13．复数（其中i为虚数单位），则= .
【答案】
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：根据复数运算法则得：
故，由模长计算公式得： =
故答案为：.
【分析】首先根据复数运算法则化简，在根据共轭复数的关系，最后根据模长公式计算即可.
14． ．
【答案】1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：1.
【分析】利用对数的加减法公式、换底公式进行计算即可
15．已知数列满足，则数列的前10项和为 .
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为 ，所以当n为正奇数时：，
令前10项的奇数和为=；
当n为正偶数时：
令前10项的偶数和为==
，故前10项的和为：
故答案为：.
【分析】利用数列分组求和的方法，把数列的前10项分为奇数项和偶数项进行求和，在求奇数项的和时利用列式相消法即可，求偶数项的和时利用对数的和差公式进行计算即可
16．已知函数有两个极值点，，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对函数：，求导得：，又
函数：有 两个极值点，，且 ；则
有两个不相等的实数根，显然时不符合题意，当对进行参数分离得：
，令，则，当，时，当或者时
，故在上单调递增，在和上单调递减，又
由题意得：，即；又当x=0时，则都大于0，因为
所以可令，且即，化简得：，所以，
令，则，令，，则当
时，在上单调递减，故
所以在上单调递减，所以，即，又2a=，且
在上单调递减，则，即且，综上所述：
故答案为：.
【分析】首次根据函数有两个极值点，知道有两个不相等的实数根，在利用分离参数的方法表示出，即与有两个交点，利用导函数判定的单调性，可求出，然后再利用2a=及，构造新的函数求出，在比较大小即可求解.
四、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）解：根据正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
（2）解：由（1）知，又，
由余弦定理得，
即，
∵，
∴，即，
当且仅当时取等号.
∴.
∴的最大值为.
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到，带入已知等式即可求解.
（2）由（1）知A=，在利用三角形的面积公式，求出bc的最大值即可，在利用余弦定理及重要不等式可求出答案.
18．函数的一段图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在的值域.
【答案】（1）解：观察图象，得，函数的周期，解得，即，
由，得，即，而，则，
所以函数的解析式是.
（2）解：由（1）得，
则
，当时，，
有，于是，
所以所求值域为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【分析】（1）根据函数图象求出振幅A，周期T，然后利用公式，解出，再在图像上找一点坐标带入函数解析式即可求解；
（2）根据函数平移的规则左加右减，得出，即可求出 的解析式，然后结合三角函数图象即可求出答案.
19．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并加以证明；
（2），不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题知，定义域为，
，
则是奇函数
（2）解：由，
因为在定义域上单调递增，且，
所以在定义域内单调递减，
在定义域内单调递增，
即在内单调递增，
若，不等式成立，
即，
又为奇函数，即，
可得，
则等价于恒成立，
即对于恒成立，
当时，，即，符合；
当，，此时只需，，
可得；
当，若，即时，
此时，，可得；
若，即时，
此时，，可得；
若，即时，
时，，时，，
时，，
所以若时，，，
可得；
若时，，，可得；
若时，，
解得，
因为，，故符合.
综上，的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用判定奇函数的规则：1、定义域关于零点对称，2、，即可判定出函数的奇偶性；
（2）首先利用分离常数的方法判定函数在定义域上单调递增，然后利用函数的奇偶性对不等式： 变为：，然后利用函数的单调性求解即可.
20．（2023高三上·台山月考）“英才计划”最早开始于年，由中国科协、教育部共同组织实施，到年已经培养了多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
（1）若化学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，，且，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】（1）解：由题意可知的可能取值有、、、，
，，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以；
（2）解：他们在每轮答题中取得胜利的概率为：
，
由，，，得，
则，因此，
令，，
于是当时，，
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值，
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即，解得，
而，则，
所以理论上至少要进行轮答题．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先求出随机变量取相应值的概率，列出分布列，结合期望公式可得答案；
（2）先计算出甲乙在每轮答题中获胜的概率，并求出的最大值，设甲乙小组在轮答题中取得胜利的次数为，则， 利用期望公式解不等式 由可得答案.
21．设数列的前项之积为，满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项之和为，证明：.
【答案】（1）解：因为数列的前项之积为，满足，
所以当时，，解得．
当时，，
化为，
变形为，
又，所以，即且，
则数列是以为首项，为公比的等比数列
所以．
（2）解：由（1）可得：，解得，
当时，．
，
需要证明，
即证明，
设，，
则，
设，，，
则函数在上单调递增，
所以，
即，
所以．
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用当时，对等式： 进行化简，然后结合 利用构造等比数列的方法求出，进而可求出：(2)由（1）知道，可求出，在由，解出，在利用不等式放缩的思想得到：，方便我们求出数列的前项之和为 ，即可求解.
22．已知函数，.
（1）若，证明：当时，；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）证明：当时，，
当时，要证，
即等价于证明恒成立和恒成立；
设：，，
对求导得：，
当时，，，
所以，所以在区间上单调递增，
所以，所以恒成立；
设：，，
对求导得：，
当时，，所以得：恒成立，
所以恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，所以，恒成立；
综上所述：若，当时，得证.
（2）解：当时，成立，即等价于恒成立，
令，，
因为，
所以在区间上为偶函数，
只需研究在区间上恒成立；
从而有两种情况：
①当时，，等价于恒成立；
（i）：当时，由（1）知当时，，
所以，
令，，求导得，而，则，
所以，所以在区间上单调递增，
又，，则使，
所以，即，不符合题意.
（ii）当时，，
令，，求导得：
，
又
，
因为，所以，，，
由（1）知：时，，所以恒成立，
所以，所以在区间上单调递增，
又，所以恒成立，即恒成立，
所以当时满足题意；
②当时，等价于恒成立；
即在时，恒成立，
令，，即时恒成立，等价于恒成立，
因为当趋向于时，趋向，所以时，不存在最小值，
所以不符合题意.
综上所述：的取值范围为.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1） 证明：当时，； 通过构造函数，和，然后通过导函数，判断出两个函数的单调性，求出极小值即可求解；（2）结合（1）作法，通过构造函数：，，来证明不等式，又因为函数 ，x都有奇偶性，则判断为偶函数，减小证明时x的取值范围，接下来分两种情况进行分类讨论，再利用求导判断的单调性进行证明即可.
1 / 1重庆市名校联盟2024届高三上学期数学期中试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高一上·海州期中）设a>0，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．5
3．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，外接圆半径为R，若，且△ABC的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．在区间上有3个零点
B．要得到的图象，可将函数图象上的所有点向右平移个单位长度
C．的值域为
D．的最小正周期为，最小值为
9．（2020高一下·山东开学考）在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
二、多选题
10．（2021·常德模拟）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为钝角三角形
12．设函数，数列满足，则（ ）
A．当时，
B．若为常数数列，则或2
C．若为递减数列，则
D．当时，
三、填空题
13．复数（其中i为虚数单位），则= .
14． ．
15．已知数列满足，则数列的前10项和为 .
16．已知函数有两个极值点，，且，则的取值范围为 ．
四、解答题
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若，求面积的最大值.
18．函数的一段图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在的值域.
19．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并加以证明；
（2），不等式成立，求实数的取值范围.
20．（2023高三上·台山月考）“英才计划”最早开始于年，由中国科协、教育部共同组织实施，到年已经培养了多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
（1）若化学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，，且，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
21．设数列的前项之积为，满足.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项之和为，证明：.
22．已知函数，.
（1）若，证明：当时，；
（2）当时，，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式即：，则：
所以=，又 则
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把不等式解出来，得到A集合，在利用交集的运算即可求解.
2．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】，，当且仅当a=2时取等号，
所以的最小值为5.
故答案为：D.
【分析】 根据题意，化简 ，再结合基本不等式求解，即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】利用及诱导公式进行计算即可求解.
4．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：则所以，则为奇函数，
所以：的图像关于原点对称，排除A、B选项，又当时，
故时，，排除C选项.
故答案为：D.
【分析】函数图象问题，利用奇偶性，确定函数的对称性，从而排除A、B选项，再结合自变量在特定的范围内，确定函数的正负，从而得出答案.
5．【答案】D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：
以圆O圆心为原点，建立坐标系，根据正六边形的边长为2，圆的半径为1，则
所以：，则 ，故当时，有最小值2
故答案为：D.
【分析】结合圆及正六边形的性质，建立坐标系，通过向量的坐标运算，表示出的函数式子，即可求解。
6．【答案】D
【知识点】解三角形
【解析】【解答】由正弦定理得：，得，
因为：，则，即①，又由三角形的面积公式得：
②，由题意得③
由②③得：，代入①得：，在 △ABC 中由余弦定理得：
故答案为：D.
【分析】根据正弦定理对：进行化简得：，在又三角形的面积公式及正弦定理对化简得：，在带入，得最后根据余弦定理即可求得.
7．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当，，令，则在单调递减，在(-1，0]
单调递增，有在R为增函数，所以根据复合函数的单调性知道在单调递减，在(-1，0]单调递增，的一个极小值为：，，则，当时，由对勾函数的单调性知：在上单调递减，在[2，）上
单调递增，的一个极小值为，画出 的图像如下图
所示：，函数有四个不同的零点即 与直线有四个
交点，由图像知：（1，e]，且，时
即：，由韦达定理得：，
；当时，化简得：，又由韦达定理得：，
则，.设，（1，e]，对
（1，e]时恒成立，则在（1，e]上单调递增，故，即，则（5，3+e]
故答案为：A
【分析】把函数的4个零点转化为直线与函数图像的4个交点，通过复合函数和对勾函数的单调性判断出函数的单调性从而画出函数图象，即可求出a的取值范围，在通过x大于零或小于零，建立方程，由韦达定理表示出，，在构造新的函数，通过导函数确定单调性，即可求出范围，从而求解.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的正切公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：A选项：根据 得：，
令得：，即：解得：，则
在内有两个零点即或者，故A错误；
B选项：函数的图像向右平移个单位长度得：
由题意知：，故B选项错误；
C选项：
=
=
=，令
，对h（t）求导得：因为令
，得，得：或者，故在上单调递增，
在上单调递减，又所以：
的值域为：，故C选项错误.
对于D：=
=，则周期，
最小值为：，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】对于A选项由题意得出的解析式，然后利用辅助角公式对进行化简，令=0，解出x即可；对于B选项先把函数的图像向右平移个单位长度得进行化简后与比较即可；对于C选项由题意得出的解析分析然后利用立方和公式、辅助角公式、二倍角公式进行化简，在换元利用导函数判定出新函数的单调性，即可求解；对于D选项跟C选项一样利用公式化简后，利用周期公式即可求解
9．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据平面向量基本定理，
A ， ，则 ，方程组无解，A不能；
B， ，则 ，B能.
C， ，则 ，
因为 ，所以方程组无解，C不能.
D， ，则 ，
因为 ，所以方程组无解，D不能.
故答案为：B.
【分析】利用平面向量的基本定理对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数 ，在 上单调递增，∴ ，A不符合题意；
函数 ，在 上单调递减， ，函数 ，在 上单调递增， ，
，B符合题意；
函数 单调递减， ，C符合题意；
，D不符合题意，
故答案为：BC．
【分析】 利用指数函数和对数函数的性质，构造函数y=x0.8，y=0.6x，y=log0.8x，可以直接解出．
11．【答案】B,C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A选项由正弦定理：得：①，
又，把①带入并化简得：，即，
因为：所以则2A=2B或，即A=B或
所以为等腰三角形或者直角三角形，故A选项错误；
对于B选项：在中由余弦定理得：，代入数值得：
，化简得：，解方程得：或（舍去）
故BC只有唯一解，所以满足条件的三角形有且只有一个，故B选项正确；
因为不是直角三角形，且根据，得：
则：=，化简得：
所以：，故C选项正确；
对于C选项：根据向量的几何运算有：
即：，且所以，所以B为锐角，而A、C无法确定，所以D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】A选项运用正弦定理进行化简即可得出答案，B选项运用余弦定理然后解一元二次方程即可，C选项利用三角形内角和为的隐含条件，然后再利用正切的和差公式进行化简即可得出答案；D选项利用向量的几何运算即可求解.
12．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【解答】解：对于A选项：当则，由题意得：，
因为，所以，即，
，…；故A正确
对于B选项：因为数列为常数列，所以，（1）当
时，，此时无解，（2）当时，，解得或者，故B选项正确.
对于C选项：若数列为递减数列，则，（1）当时，，恒成立，（2）当时，时，
解得：，或者，综合（1）、（2）得或者，故C选项错误；
对于D选项：当时，由，又对：变形得：
即：所以：
故： =
=，故D选项正确.
故答案为：ABD.，
【分析】根据分段函数的性质及数列的递推关系得出：，在有不等式的性质得到：得出A选项，根据常数列的定义和性质可快速判定B选项，根据递减数列的概念解不等式即可得出C选项正确，D选项考虑运用列项及不等式的放缩法进行判定即可.
13．【答案】
【知识点】复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：根据复数运算法则得：
故，由模长计算公式得： =
故答案为：.
【分析】首先根据复数运算法则化简，在根据共轭复数的关系，最后根据模长公式计算即可.
14．【答案】1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：1.
【分析】利用对数的加减法公式、换底公式进行计算即可
15．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为 ，所以当n为正奇数时：，
令前10项的奇数和为=；
当n为正偶数时：
令前10项的偶数和为==
，故前10项的和为：
故答案为：.
【分析】利用数列分组求和的方法，把数列的前10项分为奇数项和偶数项进行求和，在求奇数项的和时利用列式相消法即可，求偶数项的和时利用对数的和差公式进行计算即可
16．【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对函数：，求导得：，又
函数：有 两个极值点，，且 ；则
有两个不相等的实数根，显然时不符合题意，当对进行参数分离得：
，令，则，当，时，当或者时
，故在上单调递增，在和上单调递减，又
由题意得：，即；又当x=0时，则都大于0，因为
所以可令，且即，化简得：，所以，
令，则，令，，则当
时，在上单调递减，故
所以在上单调递减，所以，即，又2a=，且
在上单调递减，则，即且，综上所述：
故答案为：.
【分析】首次根据函数有两个极值点，知道有两个不相等的实数根，在利用分离参数的方法表示出，即与有两个交点，利用导函数判定的单调性，可求出，然后再利用2a=及，构造新的函数求出，在比较大小即可求解.
17．【答案】（1）解：根据正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
（2）解：由（1）知，又，
由余弦定理得，
即，
∵，
∴，即，
当且仅当时取等号.
∴.
∴的最大值为.
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到，带入已知等式即可求解.
（2）由（1）知A=，在利用三角形的面积公式，求出bc的最大值即可，在利用余弦定理及重要不等式可求出答案.
18．【答案】（1）解：观察图象，得，函数的周期，解得，即，
由，得，即，而，则，
所以函数的解析式是.
（2）解：由（1）得，
则
，当时，，
有，于是，
所以所求值域为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【分析】（1）根据函数图象求出振幅A，周期T，然后利用公式，解出，再在图像上找一点坐标带入函数解析式即可求解；
（2）根据函数平移的规则左加右减，得出，即可求出 的解析式，然后结合三角函数图象即可求出答案.
19．【答案】（1）解：由题知，定义域为，
，
则是奇函数
（2）解：由，
因为在定义域上单调递增，且，
所以在定义域内单调递减，
在定义域内单调递增，
即在内单调递增，
若，不等式成立，
即，
又为奇函数，即，
可得，
则等价于恒成立，
即对于恒成立，
当时，，即，符合；
当，，此时只需，，
可得；
当，若，即时，
此时，，可得；
若，即时，
此时，，可得；
若，即时，
时，，时，，
时，，
所以若时，，，
可得；
若时，，，可得；
若时，，
解得，
因为，，故符合.
综上，的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用判定奇函数的规则：1、定义域关于零点对称，2、，即可判定出函数的奇偶性；
（2）首先利用分离常数的方法判定函数在定义域上单调递增，然后利用函数的奇偶性对不等式： 变为：，然后利用函数的单调性求解即可.
20．【答案】（1）解：由题意可知的可能取值有、、、，
，，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以；
（2）解：他们在每轮答题中取得胜利的概率为：
，
由，，，得，
则，因此，
令，，
于是当时，，
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值，
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即，解得，
而，则，
所以理论上至少要进行轮答题．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先求出随机变量取相应值的概率，列出分布列，结合期望公式可得答案；
（2）先计算出甲乙在每轮答题中获胜的概率，并求出的最大值，设甲乙小组在轮答题中取得胜利的次数为，则， 利用期望公式解不等式 由可得答案.
21．【答案】（1）解：因为数列的前项之积为，满足，
所以当时，，解得．
当时，，
化为，
变形为，
又，所以，即且，
则数列是以为首项，为公比的等比数列
所以．
（2）解：由（1）可得：，解得，
当时，．
，
需要证明，
即证明，
设，，
则，
设，，，
则函数在上单调递增，
所以，
即，
所以．
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用当时，对等式： 进行化简，然后结合 利用构造等比数列的方法求出，进而可求出：(2)由（1）知道，可求出，在由，解出，在利用不等式放缩的思想得到：，方便我们求出数列的前项之和为 ，即可求解.
22．【答案】（1）证明：当时，，
当时，要证，
即等价于证明恒成立和恒成立；
设：，，
对求导得：，
当时，，，
所以，所以在区间上单调递增，
所以，所以恒成立；
设：，，
对求导得：，
当时，，所以得：恒成立，
所以恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，所以，恒成立；
综上所述：若，当时，得证.
（2）解：当时，成立，即等价于恒成立，
令，，
因为，
所以在区间上为偶函数，
只需研究在区间上恒成立；
从而有两种情况：
①当时，，等价于恒成立；
（i）：当时，由（1）知当时，，
所以，
令，，求导得，而，则，
所以，所以在区间上单调递增，
又，，则使，
所以，即，不符合题意.
（ii）当时，，
令，，求导得：
，
又
，
因为，所以，，，
由（1）知：时，，所以恒成立，
所以，所以在区间上单调递增，
又，所以恒成立，即恒成立，
所以当时满足题意；
②当时，等价于恒成立；
即在时，恒成立，
令，，即时恒成立，等价于恒成立，
因为当趋向于时，趋向，所以时，不存在最小值，
所以不符合题意.
综上所述：的取值范围为.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1） 证明：当时，； 通过构造函数，和，然后通过导函数，判断出两个函数的单调性，求出极小值即可求解；（2）结合（1）作法，通过构造函数：，，来证明不等式，又因为函数 ，x都有奇偶性，则判断为偶函数，减小证明时x的取值范围，接下来分两种情况进行分类讨论，再利用求导判断的单调性进行证明即可.
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