吉林省通化市辉南县第六中学2023-2024学年高一上学期数学10月半月考试卷
一、选择题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式转化为，解得，故集合，，所以.
故答案为：D.
【分析】先解一元二次不等式求得集合A，再根据集合的并集运算求解即可.
2．定义差集且，已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以，根据差集的定义可知：.
故答案为：B.
【分析】先根据集合的交集运算求，再根据差集的定义求解即可.
3．函数定义在上，则函数图象与直线的交点个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：函数的定义域为，根据函数的概念，在定义域内任取一个，都有唯一确定的函数值与之对应，故函数的图象与直线的交点个数是1个.
故答案为：B.
【分析】根据函数的概念直接判断即可.
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：由题意可知，解得，且，故函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义以及抽象函数求定义域，列不等式组求解即可.
5．任意，使得不等式恒成立则实数m取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：令，任意的，不等式恒成立，转化为，因为，，所以，故.
故答案为：B.
【分析】问题转化为，根据二次函数的性质求函数在的最小值即可求得实数的取值范围.
6．若关于x的方程的两个根为，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为关于的方程的两个根为，，所以由韦达定理可得，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，利用韦达定理可得代入，再根据基本不等式求最小值即可.
7．已知为偶函数，且在上为增函数，，满足不等式的x取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，且在上为单调递增，，所以函数在上为单调递减，，则不等式等价于或，解得或，故不等式的的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知函数在区间上单调递减，且，不等式等价于或求解即可.
8．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，且在上为单调递减，，所以函数在上为单调递增，，原不等式等价于，此时解集为，或，此时解集为，故不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】根据函数奇偶性和单调性可得函数在区间单调递增且，转化为异号求解即可.
二、多项选择题
9．对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有两个解
C．函数在单调递减
D．函数有最大值为0，无最小值
【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，即，解得，则，画出函数的图象，如图所示：
由图可知函数的定义域关于原点对称，图象关于轴对称，则函数为偶函数，故A正确；
图象与轴有两个交点，则方程有两个解，故B正确；
函数在区间单调递增，故C错误；
当时，函数有最大值，最大值为0，无最小值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意求得函数的解析式，画出函数图象，数形结合逐项判断即可.
10．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】B,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元次方程根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为关于的不等式的解集为，所以，是方程的两个根，由韦达定理可知，解得，将代入可得，解得，故A错误，B正确；
因为的解集为，所以当时，，故C错误；不等式等价于，即，解得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据已知条件可得，是方程的根，即可判断A；由韦达定理推出的关系，代入B，D中解不等式即可判断BD；根据不等式的解集即可判断C.
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．的最小值为2
C．使不等式成立的一个充分不必要条件是或
D．存在a，使得不等式成立
【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，故A正确；
B、函数的定义域为，因为，所以，当且仅当，即，不存在，故取不到最小值2，故B错误；
C、不等式，则，解得或，而集合是集合的真子集，故不等式成立的一个充分不必要条件是或，故C正确；
D、当时，成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据不等式的性质即可判断A；利用基本不等式判断B；先解不等式，再根据集合间的关系即可判断C；取特殊值即可判断D.
12．设，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A,C,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：由，解得或，则集合，
因为，所以，
当时，，满足；
当时，集合，由，则或，解得或，
综上可知：实数的取值为.
故答案为：ACD.
【分析】先解一元二次方程求得集合A，再由推出，分和两种情况讨论即可求得实数a的值.
三、填空题
13．已知集合，，且，则实数a的值是 .
【答案】-1或-3
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以或，
当时，解得，
若，集合，，符合题意；
若，集合不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或，
若，，，符合题意；
若，，，不符合题意，
综上可知：实数的值为或.
故答案为：-1或-3.
【分析】根据题意可知或，求得a的值，再逐个验证是否满足题意即可.
14．命题“，”的否定是 .
【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，则命题，的否定为，.
故答案为：，.
【分析】根据含一个量词命题的否定的概念直接写出命题的否定即可.
15．已知关于x的不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，解得或，
当时，原不等式化为，解得，不符合题意，舍去；
当时，原不等式化为，解集为空集，满足要求，
当时，要使不等式解集为空集，则，且
解得，所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分类讨论和两种情况，分别计算，求出实数a的取值范围.
16．函数的单调递减区间为 .
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：函数，由，故函数的定义域为，令，在上单调递减，在上单调递增，而在为增函数，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再令，求其单调区间，再根据复合函数的单调性求其单调递减区间即可.
四、解答题
17．已知集合，，，实数集R为全集.
（1）求，
（2）如果，求a的取值范围.
【答案】（1）解：由题得，；
（2）解：因为得，
当时，，所以，符合题意，
当时且，
所以，
综上，
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算直接求解即可；
（2）由，可得，再分和，列不等式求解即可.
18．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数.
（2）解：函数在上单调递增.
，且，
则，
，
，，，
，
即所以函数在上单调递增.
（3）解：由于为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增.
所以的最大值为，
的最小值为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再验证是否满足即可；
（2）根据函数单调性的定义直接证明，再作出判断即可；
（3）根据函数的奇偶性以及单调性直接计算即可.
19．已知函数为偶函数，当时，(a为常数.
（1）当时，求的解析式：
（2）设函数在上的最大值为，求的表达式；
（3）对于（2）中的，试求满足的所有实数m的取值集合.
【答案】（1）解：设，则，
所以；
又因为为偶函数，所以，
所以当时，.
（2）解：当时，，对称轴，
①当，即时，
；
②当，即时，
；
综上所述，.
（3）解：由上一问知，
当时，为常函数；
当时，为一次函数且为增函数；
因为，所以有或，
解得或，
即m的取值集合为.
另解①当，有，所以，
则或
解得或，取并集得；
②当，有，
所以，
则或，
解得或(舍负)；
综上所述，m的取值售合为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）设，则，代入解析式，再根据函数为偶函数即可求得时的解析式；
（2）由（1）可知时，函数，分和两种情况讨论求函数的最大值，再用分段函数表示即可；
（3）由（2）可知，根据题意可得或，解不等式即可求得实数m的取值集合；
另解：分和两种情况，分别求出的取值范围，再根据题意列方程，求解m的取值集合.
1 / 1吉林省通化市辉南县第六中学2023-2024学年高一上学期数学10月半月考试卷
一、选择题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．定义差集且，已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数定义在上，则函数图象与直线的交点个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
5．任意，使得不等式恒成立则实数m取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程的两个根为，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知为偶函数，且在上为增函数，，满足不等式的x取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有两个解
C．函数在单调递减
D．函数有最大值为0，无最小值
10．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则
B．的最小值为2
C．使不等式成立的一个充分不必要条件是或
D．存在a，使得不等式成立
12．设，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B． C． D．0
三、填空题
13．已知集合，，且，则实数a的值是 .
14．命题“，”的否定是 .
15．已知关于x的不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是 .
16．函数的单调递减区间为 .
四、解答题
17．已知集合，，，实数集R为全集.
（1）求，
（2）如果，求a的取值范围.
18．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）求函数在上的最大值和最小值.
19．已知函数为偶函数，当时，(a为常数.
（1）当时，求的解析式：
（2）设函数在上的最大值为，求的表达式；
（3）对于（2）中的，试求满足的所有实数m的取值集合.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式转化为，解得，故集合，，所以.
故答案为：D.
【分析】先解一元二次不等式求得集合A，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以，根据差集的定义可知：.
故答案为：B.
【分析】先根据集合的交集运算求，再根据差集的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：函数的定义域为，根据函数的概念，在定义域内任取一个，都有唯一确定的函数值与之对应，故函数的图象与直线的交点个数是1个.
故答案为：B.
【分析】根据函数的概念直接判断即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：由题意可知，解得，且，故函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义以及抽象函数求定义域，列不等式组求解即可.
5．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：令，任意的，不等式恒成立，转化为，因为，，所以，故.
故答案为：B.
【分析】问题转化为，根据二次函数的性质求函数在的最小值即可求得实数的取值范围.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为关于的方程的两个根为，，所以由韦达定理可得，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，利用韦达定理可得代入，再根据基本不等式求最小值即可.
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，且在上为单调递增，，所以函数在上为单调递减，，则不等式等价于或，解得或，故不等式的的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知函数在区间上单调递减，且，不等式等价于或求解即可.
8．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，且在上为单调递减，，所以函数在上为单调递增，，原不等式等价于，此时解集为，或，此时解集为，故不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】根据函数奇偶性和单调性可得函数在区间单调递增且，转化为异号求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，即，解得，则，画出函数的图象，如图所示：
由图可知函数的定义域关于原点对称，图象关于轴对称，则函数为偶函数，故A正确；
图象与轴有两个交点，则方程有两个解，故B正确；
函数在区间单调递增，故C错误；
当时，函数有最大值，最大值为0，无最小值，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意求得函数的解析式，画出函数图象，数形结合逐项判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元次方程根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为关于的不等式的解集为，所以，是方程的两个根，由韦达定理可知，解得，将代入可得，解得，故A错误，B正确；
因为的解集为，所以当时，，故C错误；不等式等价于，即，解得，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据已知条件可得，是方程的根，即可判断A；由韦达定理推出的关系，代入B，D中解不等式即可判断BD；根据不等式的解集即可判断C.
11．【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，故A正确；
B、函数的定义域为，因为，所以，当且仅当，即，不存在，故取不到最小值2，故B错误；
C、不等式，则，解得或，而集合是集合的真子集，故不等式成立的一个充分不必要条件是或，故C正确；
D、当时，成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据不等式的性质即可判断A；利用基本不等式判断B；先解不等式，再根据集合间的关系即可判断C；取特殊值即可判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：由，解得或，则集合，
因为，所以，
当时，，满足；
当时，集合，由，则或，解得或，
综上可知：实数的取值为.
故答案为：ACD.
【分析】先解一元二次方程求得集合A，再由推出，分和两种情况讨论即可求得实数a的值.
13．【答案】-1或-3
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以或，
当时，解得，
若，集合，，符合题意；
若，集合不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或，
若，，，符合题意；
若，，，不符合题意，
综上可知：实数的值为或.
故答案为：-1或-3.
【分析】根据题意可知或，求得a的值，再逐个验证是否满足题意即可.
14．【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，则命题，的否定为，.
故答案为：，.
【分析】根据含一个量词命题的否定的概念直接写出命题的否定即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，解得或，
当时，原不等式化为，解得，不符合题意，舍去；
当时，原不等式化为，解集为空集，满足要求，
当时，要使不等式解集为空集，则，且
解得，所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分类讨论和两种情况，分别计算，求出实数a的取值范围.
16．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：函数，由，故函数的定义域为，令，在上单调递减，在上单调递增，而在为增函数，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再令，求其单调区间，再根据复合函数的单调性求其单调递减区间即可.
17．【答案】（1）解：由题得，；
（2）解：因为得，
当时，，所以，符合题意，
当时且，
所以，
综上，
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算直接求解即可；
（2）由，可得，再分和，列不等式求解即可.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数.
（2）解：函数在上单调递增.
，且，
则，
，
，，，
，
即所以函数在上单调递增.
（3）解：由于为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增.
所以的最大值为，
的最小值为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再验证是否满足即可；
（2）根据函数单调性的定义直接证明，再作出判断即可；
（3）根据函数的奇偶性以及单调性直接计算即可.
19．【答案】（1）解：设，则，
所以；
又因为为偶函数，所以，
所以当时，.
（2）解：当时，，对称轴，
①当，即时，
；
②当，即时，
；
综上所述，.
（3）解：由上一问知，
当时，为常函数；
当时，为一次函数且为增函数；
因为，所以有或，
解得或，
即m的取值集合为.
另解①当，有，所以，
则或
解得或，取并集得；
②当，有，
所以，
则或，
解得或(舍负)；
综上所述，m的取值售合为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）设，则，代入解析式，再根据函数为偶函数即可求得时的解析式；
（2）由（1）可知时，函数，分和两种情况讨论求函数的最大值，再用分段函数表示即可；
（3）由（2）可知，根据题意可得或，解不等式即可求得实数m的取值集合；
另解：分和两种情况，分别求出的取值范围，再根据题意列方程，求解m的取值集合.
1 / 1
