10.1.3古典概型 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
随机事件与概率
古典概型
高中数学人教A版 必修第二册
情境引入
①观察抛掷一枚质地均匀的硬币的实验.
②观察抛掷一枚质地均匀的骰子的实验.
有哪些办法得到正面向上的概率？
可以利用列举法求概率；通过大量实验，用频率估计概率.
分组完成抛掷硬币、骰子实验，统计硬币正反面朝上数量情况，说一说用模拟实验的方法好不好？为什么？
答：通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计．但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值
课堂探究
抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验中．它们的共同特征有哪些？
实验一中样本点有2个，即“正面朝上”“反面朝上”并且它们都是互斥的，它们发生的概率都是.
实验二中样本点有6个，即正面向上为“1点”“2点”“3点”“4点”
“5点”“6点”，并且它们都是互斥的，它们发生的概率都是.
可以发现，它们具有如下共同特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
课堂探究
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型， 简称古典概型
追问：你能举一些生活中古典概型的列子吗？
①一个圆内随机的投一个点，假设点落在圆内任何一个位置都是等可能的，这个实验是不是古典概型呢？
不是，不满足样本点有限性
②一项射击实验中，这一实验的结果只有有限个，命中的环数和不命中，这是古典概型吗？
不是，满足有限性，但不满足等可能性
课堂探究
考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
（1）一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到男生”；
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B ＝ “恰好一次正面朝上”．
需要考虑两个问题，它们是古典概型吗？事件A发生的概率是多大？
这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A＝ “抽到男生”包含18个样本点．因此，事件A发生的可能性大小为
班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
40名学生
18名男生
课堂探究
考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B ＝ “恰好一次正面朝上”．
需要考虑两个问题，它们是古典概型吗？事件B发生的概率是多大？
用1表示硬币 “正面朝上”，用0表示硬币 “反面朝上”，则试验的样本空间,＝｛（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0）， （0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）｝， 共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．
因为B＝｛（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）｝，所以事件B发生的可能性大小为．
正
正
反
正
反
正
反
第一次
第二次
第三次
反
正
反
正
反
正
反
第一次
第二次
第三次
课堂探究
一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝ ＝．
其中，n(A)和n（）分别表示事件A 和样本空间包含的样本点个数.
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
应用举例
单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω＝｛A，B，C，D｝．考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型．
设M＝“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n（M）＝1．所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
应用举例
抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组（m，n）表示这个试验的一个样本点．因此该试验的样本空间
Ω＝｛（m，n）|m，n∈｛1，2，3，4，5，6｝｝，
其中共有36个样本点．
骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．
应用举例
抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．
（2）求下列事件的概率：
A＝“两个点数之和是5”；B＝“两个点数相等”；
C＝“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．
（2）因为A＝｛（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）｝，B＝｛（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）｝，C＝｛（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）｝
所以n（A）＝4，n（B）＝6，n（C）＝15，
从而P（A）＝P（B）＝P（C）＝．
应用举例
抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．（2）求下列事件的概率：A＝“两个点数之和是5”；
在上面的问题中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
当不给两枚骰子标记号时， ={（m，n）| m，n ∈{1,2,3,4,5,6}，且m≤n }，n（）=21，事件A＝ “两个点数之和是5”的结果变为A=｛（1，4），（2，3）｝
这时，P（A）=.
答：可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，（１，１）和 （１，2）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此P（A）=是错误的
追问：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
应用举例
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号 （字母、数字、数组等）表
示试验的可能结果 （借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
总结:求解古典概型问题的一般思路：
应用举例
　袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
A＝“第一次摸到红球”；B＝“第二次摸到红球”；AB＝“两次都摸到红球”．
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ×
将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果
应用举例
　袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
A＝“第一次摸到红球”；B＝“第二次摸到红球”；AB＝“两次都摸到红球”．
解（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），
即A＝｛（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5）｝，所以P（A）=
应用举例
　袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
A＝“第一次摸到红球”；B＝“第二次摸到红球”；AB＝“两次都摸到红球”．
解（2）第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列），
即B＝｛（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）｝，所以P（B）=
应用举例
　袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
A＝“第一次摸到红球”；B＝“第二次摸到红球”；AB＝“两次都摸到红球”．
解（3）事件AB包含2个可能结果，即AB＝｛（1，2），（2，1）｝，所以
P（AB）=
答：若同时摸出2个，则这2个球没有顺序，可以认为是将原题目中样本空间的20个样本点两两合并，得到包含10个样本点的样本空间，这10个样本点仍然是等可能的，既可以认为是依次摸出2个球，也可以认为是同时摸出2个球，没有差异.
如果同时摸出2个球，那么事件AB的概率是多少？
应用举例
从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人．
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间．
解：设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组（x1，x2）表示样本点．
（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1＝｛（B1，B1），（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，B2），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G1），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1），（G2，G2）｝．
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2＝｛（B1，B2），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B1），（B2，G1），（B2，G2），（G1，B1），（G1，B2），（G1，G2），（G2，B1），（G2，B2），（G2，G1）｝．
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
Ω3＝｛（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2）｝．
应用举例
从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人．
（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．
解： （2）设事件A＝“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，
A＝｛（B1，B1），（B1，B2），（B2，B1），（B2，B2）｝．
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此，P（A）＝＝0.25．
对于不放回简单随机抽样，A＝｛（B1，B2），（B2，B1）｝．
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此，P（A）＝＝．
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A＝，因此P（A）＝0．
课堂练习
1．下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率
P（A）＝．
其中所正确说法的序号是（ ）
A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④
D
课堂练习
2．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________
解析：基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，而两数都是奇数的有(1,3)，(1,5)，(3,5)．
故所求概率P＝．
课堂练习
3．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．
解：(1)记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3个，
则P(A)＝＝；
(2)记丁被选中为事件B，由(1)同理可得P(B)＝，又因丁没被选中为丁被选中的对立事件，设为，则P()＝1－P(B)＝1－＝．
课堂练习
解：基本事件的总数共36种．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝＝．
(2)记“出现两个4点”为事件B，则事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝．
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝＝．
4.先后抛掷两枚大小相同的骰子，求下列事件的概率，
(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
归纳总结
1.古典概型的特征：（1）有限性，（2）等可能性；
2.古典概型的概率公式：如果样本空间所含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，则事件A发生的概率为
．
3.运用古典概型解决实际问题的步骤：
（1）根据问题情境判断是否为古典概型；
（2）用列举法写出试验所对应的样本空间；
（3）利用古典概型的概率公式计算概率.
再 见