吉林省四校联考2023-2024学年高一上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．已知全集为U，，则其图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2021高一上·河池月考）下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
①“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
②“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
③ 有实数根
④若集合 ，则 是 的充分不必要条件
A．1 B．3 C．2 D．0
4．下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．（其中）
C．的最小值为2
D．的最小值为2（其中）
5．若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（ ）
A．14 B．30 C．32 D．42
6．已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
7．定义：设A是非空实数集，若，使得，都有，则称a是A的最大（小）值.若B是一个不含零的非空实数集，且是B的最大值，则（ ）
A．当时，是集合的最小值
B．当时，是集合的最大值
C．当时，是集合的最小值
D．当时，是集合的最大值
8．一元二次等式的解集为，则最小值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．3
二、多选题
9．（2022高一上·云南月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列选项正确的有（ ）
A．已知全集，，，则实数p的值为3
B．若，则
C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是
D．若，，且，则
11．关下列结论中正确的是（ ）
A．若，则p是q的充分条件
B．已知x，y是实数，则“为无理数”是“x，y均为无理数”的充分条件
C．“”的否定是“”
D．“”的否定是“”
12．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由题图（1）和题图（2）面积相等得
B．由可得
C．由可得
D．由可得
三、填空题
13．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ．
14．若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值： ．
15．已知命题：，满足，且，不等式恒成立，命题：，则是的 条件.
16．（2021高一上·浙江期中）设全集 ，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是 .
四、解答题
17．已知全集，集合，，求
（1）
（2）.
五、应用题
18． 2018年9月，习近平总书记在东北三省考察并明确提出“新时代东北振兴，是全面振兴、全方位振兴”.吉林省有着丰富的资源，其中“世界人参看中国，中国人参看吉林”.吉林是中国人参的核心产区，有着1500多年的野山参采挖史和和450多年的人参人工栽培史.而抚松县万良镇是全球最大的人参交易集散地，这里也被称为“中国人参之乡”.在落实党中央决策部署，持续解放思想、深化经济改革，以新气象新担当新作为推进东北全面振兴的过程中抚松县万良镇的居民走在了经济致富的前沿，现有一微型企业生产制作人参产品每月的成本t（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：（单位：元），x为每月生产产品的套数.
（1）该企业每月产量x套为何值时，平均每套的成本最低，每套的最低成本为多少？
（2）若每月生产x套产品，每套售价为：（单位：元），假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？
六、解答题
19．设命题：，：．
（1）若，判断是的充分条件还是必要条件；
（2）若是 ▲ ，求的取值集合．
从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20．（2019高一上·湖南月考）集合 ， ， .
（1）若 ， ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
21．阅读材料：
（1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.
在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸
（2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质．
解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
22．设函数.
（1）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（2）命题：，，使成立.若为真命题，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】子集与交集、并集运算的转换；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：全集为U，，
所以是的子集，
则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答.
2．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：为实数，
对于A选项，若或，或显然无意义.故A错误；
对于B选项，若，则.故B错误；
对于C选项，因为，
所以各项同时乘以得.故C正确；
对于D选项，因为，
所以，所以，
所以，即.
因为根据题意不知道的符号，
所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于①， 时满足 但不满足 ，∴“ ”不是“ ”的充分条件，
时满足 ，但不满足 ，∴ 不是“ ”的充分条件，
即“ ”不是“ ”的必要条件，
∴“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，∴①对；
对于②，正三角形可以推出该三角形为等腰三角形，
但等腰三角形不一定能推出该三角形为正三角形，
∴“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，
∴②错，
对于③，若 有实根，则 ，反之也成立，
故③正确.
对于④，∵ ，∴ ，但 时，∵ ，∴x不一定属于A，
∴ 时， 是 的充分不必要条件，∴④对.
故答案为：B.
【分析】由不等式的简单性质结合充分和必要条件的定义，即可判断出①正确；由三角形的形状结合充分和必要条件的定义，即可判断出②错误；由一元二次方程根的情况即可得出a的取值范围，由此判断出③正确；根据题意由集合之间的关系，结合充分和必要条件的定义即可判断出④正确，由此即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A选项，当时，，当时，等号成立；
当时，，当时，等号成立；
所以或，故A错误；
对于B选项，因为，所以，
所以，
当，即时，等号成立，故B正确；
对于C选项，因为，
所以，
令，则有，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
所以，故C错误；
对于D选项，因为，所以，
令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
即，故错误.
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论，利用基本不等式求解即可判断A；由，利用基本不等式求解即可判断B；由对勾函数的性质求解即可判断C，D.
5．【答案】A
【知识点】集合中元素的个数问题；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为集合U有71个元素，且各有14，28个元素，
设，中有个元素，则，
所以中的元素个数为，
因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，
即为，
由于，所以，
故当时，有最小值14.
故答案为：A.
【分析】根据集合中的元素以及集合的交并补运算的性质即可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：不等式的解集为，
可得，且方程两根为-1和，
所以，所以，，
所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由\，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为8，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确．
故答案为：C.
【分析】根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B、C、D选项.
7．【答案】D
【知识点】集合的含义；元素与集合的关系
【解析】【解答】解：当时，是集合B中最小的正数，但B中还有负数的存在，
所以既不是集合中最大，也不是最小；
当时，集合B中的任意元素，从而，
所以，是集合最大值.
故答案为：D.
【分析】对进行讨论，根据集合的新定义问题，依据题目进行判定即可.
8．【答案】A
【知识点】一元二次不等式的实际应用；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为一元二次等式的解集为，
所以且，移项可得，
则，
令，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以最小值为1.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得且，则，故，令，再分离常数结合基本不等式即可得解.
9．【答案】B,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】因为所以故，
又，所以
A，C不符合题意，B，D符合题意，
故答案为：BD
【分析】结合作差比较法，求得，再由，得到，即可求解.
10．【答案】A,D
【知识点】集合的分类；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】解：对于A，，
因为，所以，
即方程的根为，
所以，故A正确；
对于B，由，得，
因此，解得，则，故B错误；
对于C，依题意，当时，由，得，此时集合A中只有一个元素，
当时，集合A中最多只有一个元素，
即一元二次方程最多一个实根，
于是，解得，
所以实数的范围是或，故C错误；
对于D，因为，所以当时，，解得，
当时，，解得，
综上，，D正确.
故答案为：AD.
【分析】求出集合A，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出a，b判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A选项，若，则p是q的充分条件，故A正确，
对于B选项，令，则，故“xy为无理数” 不是“x，y均为无理数”的充分条件，故B错误，
对于C选项，“”的否定是“”，故C正确，
对于D选项，“”的否定是“”，故D错误，
故答案为：AC.
【分析】由充分条件，全称命题的否定，特称命题的否定对选项逐一判断，
12．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，由题图（1），（2）面积相等得，
所以，故A错误．
对于B，因为，所以，所以，
设题图（3）中内接正方形的边长为t，
根据三角形相似可得，解得，所以．
因为，所以，整理可得，故B正确．
对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，
因为，所以，整理得，故C正确．
对于D，因为，所以，整理得，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中AD，AE，AF 的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案．
13．【答案】20
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解： 仅会乒乓球、羽毛球教师人数为，仅会乒乓球、篮球教师人数为，仅会羽毛球、篮球教师人数为，
，
，
故答案为：20.
【分析】根据题意，画出韦恩图，列出等式求解即可.
14．【答案】0（答案不唯一）
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：因为集合恰有8个整数元素，
则,解得,
即当时，集合的整数元素为.
此时集合恰有8个整数元素.
故整数可以取0,1,2,3.
故答案为：0 （答案不唯一）.
【分析】求出满足题意时的取值范围，再由为整数即可得出的值，从而得出结论，答案不唯一.
15．【答案】充分不必要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：不等式恒成立，即，
因为，且，得，
所以，
当且仅当即，等号成立，
所以，解得，
可得命题：，命题，
因为真包含于，所以命题是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
【分析】利用基本不等式得的最小值，再由不等式恒成立求出的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.
16．【答案】
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第 位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为 ，第25位的子集为 ，
第24位的子集为 ，第23位的子集为
故答案为：
【分析】由已知条件结合集合与元素之间的关系，即可得出子集的个数从而得出答案。
17．【答案】（1）解：或，
或，
（2）解：
或．
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】 (1) 先求出，再根据集合的并集定义进行计算即可．
(2) 先求出，再根据集合的补集定义进行计算即可．
18．【答案】（1）解：设平均每套所需的成本费用为元，
则有，
当且仅当，即时取等号，
所以该企业每月产量套时，平均每套的成本最低，每套的最低成本为元；
（2）解：设月利润为元，
则有，
解得（舍去）或，
所以该企业每月至少生产件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元.
【知识点】函数的表示方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可列出平均每套所需的成本费关于的表达式，再利用基本不等式即可得解；
（2）由题意知月利润，解一元二次不等式即可.
19．【答案】（1）解：记集合，
．
当时，，由于，
是的充分条件．
（2）解：选①；
若是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，则．
，
①当时，，不成立；
②当时，，由，得．
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】(2)解：若选①；若是的充分不必要条件，则．
，
①当时，，不成立；
②当时，，由，得．
若选②；若是 的 必要不充分条件可得，
，
①当时，，不成立；
②当时，，由，得．
【分析】（1）根据集合的包含关系判断即可；
（2）选①条件，则题意等价于是的充分不必要条件，可得，对m进行分类讨论，根据集合包含关系求解可得；若选② 条件，由 是 的 必要不充分条件 可得，再对对m进行分类讨论，根据集合包含关系求解可得；
补充的解析已写在右边框内.
20．【答案】（1）解： ， ，
因为 ，所以 和 至少有一个在 中，
又因为 ，所以 且 ，
将 代入 ，整理得 ，得 或 .
当 时， 满足题意；
当 时， 也满足题意.
综上， 或
（2）解： 且 ，分以下四种情况讨论：
①当 时， ，解得 或 ；
②当 时，则 ，无解；
③当 时，则 ，无解；
④当 时，则 ，无解.
综上所述，实数 的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）求出集合 、 ，根据条件 ， 可得出 且 ，由此可求得实数 的值；（2）分 、 、 、 四种情况讨论，分别求得实数 的值或取值范围，综合可得出结果.
21．【答案】（1）解：依题意，得，，
要证“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，即证成立，
即证成立，整理得，即证，
，显然成立，不等式成立，即“氯化钠加的越多，溶液越咸”.
（2）解：因为a，b，c是三角形的三边，则，
由材料（1）知，，
同理，，由材料（2）得：
，，所以原不等式成立．
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）假定，，再根据作差法证明即可；
（2）结合（1）与三角形三边性质可得，同理可得，再根据，，则有证明即可.
22．【答案】（1）解：原式可化为对实数，恒成立，
即对实数，恒成立，
因为恒成立，
则只需满足对实数，恒成立，
因为，，故即可，
所以
则，
解得；
（2）解：由题意知：
在的最小值大于等于在上的最小值即可，
，当且仅当，即时，取等号，
所以在上的最小值为3，
若即，则，则，易得，
若即，则，则矛盾，
，即，则，易得.
综上可得：.
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】（1）可将问题转化为对实数时恒成立，即对实数恒成立，从而得到，求解不等式即可；
（2）由题意知：在的最小值大于等于在上的最小值即可，分，三种情况讨论，即可得出答案.
1 / 1吉林省四校联考2023-2024学年高一上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．已知全集为U，，则其图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】子集与交集、并集运算的转换；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：全集为U，，
所以是的子集，
则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答.
2．对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：为实数，
对于A选项，若或，或显然无意义.故A错误；
对于B选项，若，则.故B错误；
对于C选项，因为，
所以各项同时乘以得.故C正确；
对于D选项，因为，
所以，所以，
所以，即.
因为根据题意不知道的符号，
所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断.
3．（2021高一上·河池月考）下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
①“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
②“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
③ 有实数根
④若集合 ，则 是 的充分不必要条件
A．1 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于①， 时满足 但不满足 ，∴“ ”不是“ ”的充分条件，
时满足 ，但不满足 ，∴ 不是“ ”的充分条件，
即“ ”不是“ ”的必要条件，
∴“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，∴①对；
对于②，正三角形可以推出该三角形为等腰三角形，
但等腰三角形不一定能推出该三角形为正三角形，
∴“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，
∴②错，
对于③，若 有实根，则 ，反之也成立，
故③正确.
对于④，∵ ，∴ ，但 时，∵ ，∴x不一定属于A，
∴ 时， 是 的充分不必要条件，∴④对.
故答案为：B.
【分析】由不等式的简单性质结合充分和必要条件的定义，即可判断出①正确；由三角形的形状结合充分和必要条件的定义，即可判断出②错误；由一元二次方程根的情况即可得出a的取值范围，由此判断出③正确；根据题意由集合之间的关系，结合充分和必要条件的定义即可判断出④正确，由此即可得出答案。
4．下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．（其中）
C．的最小值为2
D．的最小值为2（其中）
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A选项，当时，，当时，等号成立；
当时，，当时，等号成立；
所以或，故A错误；
对于B选项，因为，所以，
所以，
当，即时，等号成立，故B正确；
对于C选项，因为，
所以，
令，则有，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
所以，故C错误；
对于D选项，因为，所以，
令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，
即，故错误.
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论，利用基本不等式求解即可判断A；由，利用基本不等式求解即可判断B；由对勾函数的性质求解即可判断C，D.
5．若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（ ）
A．14 B．30 C．32 D．42
【答案】A
【知识点】集合中元素的个数问题；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为集合U有71个元素，且各有14，28个元素，
设，中有个元素，则，
所以中的元素个数为，
因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，
即为，
由于，所以，
故当时，有最小值14.
故答案为：A.
【分析】根据集合中的元素以及集合的交并补运算的性质即可求解.
6．已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：不等式的解集为，
可得，且方程两根为-1和，
所以，所以，，
所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由\，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为8，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确．
故答案为：C.
【分析】根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B、C、D选项.
7．定义：设A是非空实数集，若，使得，都有，则称a是A的最大（小）值.若B是一个不含零的非空实数集，且是B的最大值，则（ ）
A．当时，是集合的最小值
B．当时，是集合的最大值
C．当时，是集合的最小值
D．当时，是集合的最大值
【答案】D
【知识点】集合的含义；元素与集合的关系
【解析】【解答】解：当时，是集合B中最小的正数，但B中还有负数的存在，
所以既不是集合中最大，也不是最小；
当时，集合B中的任意元素，从而，
所以，是集合最大值.
故答案为：D.
【分析】对进行讨论，根据集合的新定义问题，依据题目进行判定即可.
8．一元二次等式的解集为，则最小值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次不等式的实际应用；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为一元二次等式的解集为，
所以且，移项可得，
则，
令，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以最小值为1.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得且，则，故，令，再分离常数结合基本不等式即可得解.
二、多选题
9．（2022高一上·云南月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】因为所以故，
又，所以
A，C不符合题意，B，D符合题意，
故答案为：BD
【分析】结合作差比较法，求得，再由，得到，即可求解.
10．下列选项正确的有（ ）
A．已知全集，，，则实数p的值为3
B．若，则
C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是
D．若，，且，则
【答案】A,D
【知识点】集合的分类；集合间关系的判断；集合相等
【解析】【解答】解：对于A，，
因为，所以，
即方程的根为，
所以，故A正确；
对于B，由，得，
因此，解得，则，故B错误；
对于C，依题意，当时，由，得，此时集合A中只有一个元素，
当时，集合A中最多只有一个元素，
即一元二次方程最多一个实根，
于是，解得，
所以实数的范围是或，故C错误；
对于D，因为，所以当时，，解得，
当时，，解得，
综上，，D正确.
故答案为：AD.
【分析】求出集合A，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出a，b判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D.
11．关下列结论中正确的是（ ）
A．若，则p是q的充分条件
B．已知x，y是实数，则“为无理数”是“x，y均为无理数”的充分条件
C．“”的否定是“”
D．“”的否定是“”
【答案】A,C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A选项，若，则p是q的充分条件，故A正确，
对于B选项，令，则，故“xy为无理数” 不是“x，y均为无理数”的充分条件，故B错误，
对于C选项，“”的否定是“”，故C正确，
对于D选项，“”的否定是“”，故D错误，
故答案为：AC.
【分析】由充分条件，全称命题的否定，特称命题的否定对选项逐一判断，
12．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由题图（1）和题图（2）面积相等得
B．由可得
C．由可得
D．由可得
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：对于A，由题图（1），（2）面积相等得，
所以，故A错误．
对于B，因为，所以，所以，
设题图（3）中内接正方形的边长为t，
根据三角形相似可得，解得，所以．
因为，所以，整理可得，故B正确．
对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，
因为，所以，整理得，故C正确．
对于D，因为，所以，整理得，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中AD，AE，AF 的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案．
三、填空题
13．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ．
【答案】20
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解： 仅会乒乓球、羽毛球教师人数为，仅会乒乓球、篮球教师人数为，仅会羽毛球、篮球教师人数为，
，
，
故答案为：20.
【分析】根据题意，画出韦恩图，列出等式求解即可.
14．若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【知识点】元素与集合的关系；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：因为集合恰有8个整数元素，
则,解得,
即当时，集合的整数元素为.
此时集合恰有8个整数元素.
故整数可以取0,1,2,3.
故答案为：0 （答案不唯一）.
【分析】求出满足题意时的取值范围，再由为整数即可得出的值，从而得出结论，答案不唯一.
15．已知命题：，满足，且，不等式恒成立，命题：，则是的 条件.
【答案】充分不必要
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：不等式恒成立，即，
因为，且，得，
所以，
当且仅当即，等号成立，
所以，解得，
可得命题：，命题，
因为真包含于，所以命题是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
【分析】利用基本不等式得的最小值，再由不等式恒成立求出的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.
16．（2021高一上·浙江期中）设全集 ，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是 .
【答案】
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第 位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为 ，第25位的子集为 ，
第24位的子集为 ，第23位的子集为
故答案为：
【分析】由已知条件结合集合与元素之间的关系，即可得出子集的个数从而得出答案。
四、解答题
17．已知全集，集合，，求
（1）
（2）.
【答案】（1）解：或，
或，
（2）解：
或．
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】 (1) 先求出，再根据集合的并集定义进行计算即可．
(2) 先求出，再根据集合的补集定义进行计算即可．
五、应用题
18． 2018年9月，习近平总书记在东北三省考察并明确提出“新时代东北振兴，是全面振兴、全方位振兴”.吉林省有着丰富的资源，其中“世界人参看中国，中国人参看吉林”.吉林是中国人参的核心产区，有着1500多年的野山参采挖史和和450多年的人参人工栽培史.而抚松县万良镇是全球最大的人参交易集散地，这里也被称为“中国人参之乡”.在落实党中央决策部署，持续解放思想、深化经济改革，以新气象新担当新作为推进东北全面振兴的过程中抚松县万良镇的居民走在了经济致富的前沿，现有一微型企业生产制作人参产品每月的成本t（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）：20万元；②生产所需材料成本：（单位：元），x为每月生产产品的套数.
（1）该企业每月产量x套为何值时，平均每套的成本最低，每套的最低成本为多少？
（2）若每月生产x套产品，每套售价为：（单位：元），假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？
【答案】（1）解：设平均每套所需的成本费用为元，
则有，
当且仅当，即时取等号，
所以该企业每月产量套时，平均每套的成本最低，每套的最低成本为元；
（2）解：设月利润为元，
则有，
解得（舍去）或，
所以该企业每月至少生产件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元.
【知识点】函数的表示方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可列出平均每套所需的成本费关于的表达式，再利用基本不等式即可得解；
（2）由题意知月利润，解一元二次不等式即可.
六、解答题
19．设命题：，：．
（1）若，判断是的充分条件还是必要条件；
（2）若是 ▲ ，求的取值集合．
从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：记集合，
．
当时，，由于，
是的充分条件．
（2）解：选①；
若是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，则．
，
①当时，，不成立；
②当时，，由，得．
【知识点】集合间关系的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】(2)解：若选①；若是的充分不必要条件，则．
，
①当时，，不成立；
②当时，，由，得．
若选②；若是 的 必要不充分条件可得，
，
①当时，，不成立；
②当时，，由，得．
【分析】（1）根据集合的包含关系判断即可；
（2）选①条件，则题意等价于是的充分不必要条件，可得，对m进行分类讨论，根据集合包含关系求解可得；若选② 条件，由 是 的 必要不充分条件 可得，再对对m进行分类讨论，根据集合包含关系求解可得；
补充的解析已写在右边框内.
20．（2019高一上·湖南月考）集合 ， ， .
（1）若 ， ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： ， ，
因为 ，所以 和 至少有一个在 中，
又因为 ，所以 且 ，
将 代入 ，整理得 ，得 或 .
当 时， 满足题意；
当 时， 也满足题意.
综上， 或
（2）解： 且 ，分以下四种情况讨论：
①当 时， ，解得 或 ；
②当 时，则 ，无解；
③当 时，则 ，无解；
④当 时，则 ，无解.
综上所述，实数 的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）求出集合 、 ，根据条件 ， 可得出 且 ，由此可求得实数 的值；（2）分 、 、 、 四种情况讨论，分别求得实数 的值或取值范围，综合可得出结果.
21．阅读材料：
（1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.
在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸
（2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质．
解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
【答案】（1）解：依题意，得，，
要证“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，即证成立，
即证成立，整理得，即证，
，显然成立，不等式成立，即“氯化钠加的越多，溶液越咸”.
（2）解：因为a，b，c是三角形的三边，则，
由材料（1）知，，
同理，，由材料（2）得：
，，所以原不等式成立．
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）假定，，再根据作差法证明即可；
（2）结合（1）与三角形三边性质可得，同理可得，再根据，，则有证明即可.
22．设函数.
（1）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（2）命题：，，使成立.若为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：原式可化为对实数，恒成立，
即对实数，恒成立，
因为恒成立，
则只需满足对实数，恒成立，
因为，，故即可，
所以
则，
解得；
（2）解：由题意知：
在的最小值大于等于在上的最小值即可，
，当且仅当，即时，取等号，
所以在上的最小值为3，
若即，则，则，易得，
若即，则，则矛盾，
，即，则，易得.
综上可得：.
【知识点】函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】（1）可将问题转化为对实数时恒成立，即对实数恒成立，从而得到，求解不等式即可；
（2）由题意知：在的最小值大于等于在上的最小值即可，分，三种情况讨论，即可得出答案.
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