沪科版九上数学23.1锐角的三角函数课时作业（2）
一、选择题
1．在 中， ， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC= ，AB= ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB= =（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·灌南模拟）如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
7．等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ）
A． B．7sin55° C．cos55° D．tan55°
二、填空题
9．在以O为坐标原点的直角平面内有一点A(2,4)，如果AO与x轴正半轴的夹角为a，那么a的余弦值为 .
10．（2018九上·定安期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cos A= ．
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是 .
12．在 中， ， ， ，那么 .
13．已知△ABC中，∠C=90°，a= ，∠B=30°,则c= .
14．如图，方格纸中有三个格点A，B，C，则sin∠ABC= .
15．如图，在长和宽分别是8和7矩形内，放置了如图中5个大小相同的正方形，则正方形的边长是 .
三、解答题
16．等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值.
17．已知：如图，在Rt 中，∠ACB=90°，点D是斜边AB上的一点，且CD=AC=3，AB=4，求cosB，sin∠ADC及cos ∠DCA的值．
18．如图，△ABC中，AB＝BC．
（1）用直尺和圆规作△ABC的中线BD；（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，BD＝4，求 的值.
19．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC= ，求CB′的长．
20．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E， ，AB＝3，
（1）求AD的值；
（2）直接写出 的值
21．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且OA＞OB
（1）求cos∠ABC的值。
（2）若E为 轴上的点，且 ，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ = ，
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，由cosB=即可求出结论.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=，
∴sinA= ．
故选B．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据在直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理，得BC= ，
∴cosB= .
故答案为：C
【分析】在R△ABC中，利用股股定理求出BC=，由cosB=即可求出结论.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴sinB= = ，
故答案为：A．
【分析】 在Rt△ABC中 ，利用勾股定理求出AB的长，由sinB= 即可求出结论.
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴cosA=
故答案为：A．
【分析】根据同角的余角相等可得∠A=∠DCB，从而可得cosA=cos∠DCB，利用一个锐角的余弦=逐一判断即可.
6．【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB= =5，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A= = ．
故答案为：A．
【分析】首先根据勾股定理得出AB的长，再根据同角的余角相等，由∠B+∠BCD=90°，∠B+∠A=90°，得出∠BCD=∠A．根据等角的同名三角函数值想等即可由cos∠BCD=cos∠A=AC ∶AB得出答案。
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，
AB=AC=13cm．
∴底角的余弦= ．
故答案为：C．
【分析】如图，作AD⊥BC于D点，利用等腰三角形的性质可得CD=5cm，AB=AC，从而可得AB=AC=13cm，由cosC=即可求出结论.
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由∠A=90°﹣35°=55°，
由正弦函数的定义，得
sin55°= ，
BC=ABsin55°=7sin55°，
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形两锐角互余可得∠A=55°，由sin55°= ，即可求出BC的值.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意可得
所以
故答案为：
【分析】根据两点间的距离公式可求出OA的长，由余弦函数的定义即可求出结论.
10．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
由勾股定理得，AC＝ ，
∴cosA= = = .
故答案为： .
【分析】利用三角函数的定义进行计算即可，由勾股定理先求出AC的长，再利用∠A的余弦函数进行计算。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，
∴AC= ，
∴cosA= ．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，利用余弦函数定义可得cosA=，据此求出结论即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ， ，
AB= = =5，
∴cosA= = ，
故答案为：
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，利用余弦函数定义可得cosA=，据此求出结论即可.
13．【答案】10
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由cosB= ,得c= =10.
答案：10
【分析】利用余弦三角函数的定义可得cosB= ，据此求出结论即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，
∵S△ABC=20﹣ ×2×5﹣ ×2×4﹣ ×1×4=9，
S△ABC= ×BC×AD=9，
∴ ×2 AD=9，
解得：AD= ，
故sin∠ABC= = = ．
故答案为： ．
【分析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，利用割补法先求出△ABC的面积，再根据S△ABC= ×BC×AD，即可求出AD的长，利用sin∠ABC= 即可求出结论.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ，
在Rt△ACB、Rt△A′DF、Rt△OHK中，
GK=GJ+JK=2xsinθ+xcosθ，
KH=2xcosθ，
∴GH=GK+KH=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=8，①
同理得出EF=ED+DJ+JF=3xcosθ+xsinθ=7，②
解得xsinθ=1，xcosθ=2；
两边平方相加得x2=5，
所以正方形的边长x= ．
故答案为： ．
【分析】设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值分别求出出矩形的长和宽，即GH=GK+KH=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=8①EF=ED+DJ+JF=3xcosθ+xsinθ=7②，联立①②解得xsinθ=1，xcosθ=2，从而可得（xsinθ）2=1③，（xcosθ）2=4④，③+④可求出x2=5，解出x的值即可.
16．【答案】解：过顶点作底边的高线，则垂足平分底边，
①当6为腰时，底边为4，
∴底角的余弦为： ，
②当6为底边时，腰为5，
∴底角的余弦为： ，
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过顶点作底边的高线，则垂足平分底边 ，分两种情况讨论， ①当6为腰时，底边为4，②当6为底边时，腰为5，分别利用余弦的定义求值即可.
17．【答案】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，AB=4，
∴BC= ，
∴cosB=sinA= ；
∵CD=AC，
∴∠ADC=∠A，
∴sin∠ADC=sinA= ；
过点C作CE⊥AD于E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
又CD=AC，CE⊥AD，
∴CE为∠ACD的平分线，即∠ACE= ∠DCA，
∴cos ∠DCA=cos∠ACE=sinA= ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC=， 从而可得cosB=sinA==，利用等边对等角可得∠ADC=∠A， 从而可得sin∠ADC=sinA= ，过点C作CE⊥AD于E， 可得 ∠ACE+∠A=90° ，根据等腰三角形的性质可得∠ACE= ∠DCA，根据等角锐角三角函数的关系可得cos ∠DCA=cos∠ACE=sinA ，从而求出结论.
18．【答案】（1）解：过点B作AC的垂线交AC与点D，BD即是BC边的中线；
（2）解：∵AB=BC，∴∠A=∠C，
∴ .
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图过点B作AC的垂直平分线交AC与点D，连接BD即得；
（2）利用线段垂直平分线的性质可得AB=BC=6，，AD=CD，从而可得∠A=∠C， 利用勾股定理求出AD=CD的长，由cos=即可求出结论.
19．【答案】（1）解：四边形ACC′A′是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：AA'=CC'，且AA'∥CC'
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
∵AA'∥CC'，
∴∠AA'C=∠A'CB'，
∵CD平分∠ACB'，
∴∠ACA'=∠A'CB'，
∴∠ACA'=∠AA'C，
∴AA'=AC，
∴平行四边形ACC′A′是菱形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，
∴cos∠BAC= ，
∴AC=10，
∴BC=
由平移的性质可得：BC=B'C'=6，
由（1）得四边形ACC′A′是菱形，
∴AC=CC'=10，
∴CB'=CC'﹣B'C'=10﹣6=4．
【知识点】菱形的判定与性质；平移的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1） 四边形ACC′A′是菱形 ，理由：根据平移的性质，可得AA'=CC'，且AA'∥CC' ，从而可得四边形ACC′A′是平行四边形，∠AA'C=∠A'CB'， 根据角平分线的定义及等量代换可得∠ACA'=∠AA'C， 利用等角对等边可得AA'=AC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求证；
（2）在Rt△ABC中，可得cos∠BAC= ，从而求出AC=10，利用勾股定理求出BC=6， 由平移的性质可得BC=B'C'=6， 结合（1）结论可得AC=CC'=10， 由 CB'=CC'﹣B'C'即可求出结论.
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，DE⊥AC于点E，
∴AD=BC，CD=AB=3，∠BAD=∠ADC=∠AED=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
∵cos∠ADE= ，
∴cos∠BAC= ，即 ，解得：AC=5，
∴在Rt△ADC中，AD= ；
（2）解：∵DE⊥AC于点E，
∴S△ADC= AC·DE= AD·DC，即 DE=6，解得DE= ，
∴在Rt△DEC中，EC= ，
∴S△DEC= DE·EC= .
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质及垂直定义可得AD=BC，CD=AB=3，∠BAD=∠ADC=∠AED=90°，
根据同角的余角相等可得∠BAC=∠ADE，从而可得cos∠ADE=cos∠BAC= ，据此求出AC=5，在Rt△ADC中利用勾股定理即可求出AD的长；
（2） 利用三角形的面积公式可得S△ADC= AC·DE= AD·DC，从而求出DE= ，在Rt△DEC中
利用勾股定理求出EC的长，利用S△DEC= DE·EC即可求出结论.
21．【答案】（1）解：解一元二次方程 得 ，
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3，
在 ，
∴ ，
∴cos∠ABC= ；
（2）解：设E（x，0），由题意得
解得
∴E（ ，0）或（- ，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4）
设经过D、E两点的直线的解析式为
若图象过点（ ，0），（6，4）
则 ，解得
此时函数解析式为
若图象过点（- ，0），（6，4）
则 ，解得
此时函数解析式为
在△AOE与△DAO中，
，
又∵∠AOE=∠OAD=90°
∴△AOE∽△DAO。
【知识点】一元二次方程的根；坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）求出方程的根，可得OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB=5，由cos∠ABC=即可求出结论；
（2）设E（x，0），根据三角形的面积公式可得，解出x的值，即得点E（ ，0）或（- ，0），根据平行四边形的性质可求出D的坐标是（6，4），利用待定系数法求出直线DE的解析式 或 ，根据两组对边成比例且交角相等即可求证△AOE∽△DAO.
1 / 1沪科版九上数学23.1锐角的三角函数课时作业（2）
一、选择题
1．在 中， ， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ = ，
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABC中，由cosB=即可求出结论.
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=，
∴sinA= ．
故选B．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据在直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC= ，AB= ，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理，得BC= ，
∴cosB= .
故答案为：C
【分析】在R△ABC中，利用股股定理求出BC=，由cosB=即可求出结论.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB= =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴sinB= = ，
故答案为：A．
【分析】 在Rt△ABC中 ，利用勾股定理求出AB的长，由sinB= 即可求出结论.
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴cosA=
故答案为：A．
【分析】根据同角的余角相等可得∠A=∠DCB，从而可得cosA=cos∠DCB，利用一个锐角的余弦=逐一判断即可.
6．（2018·灌南模拟）如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB= =5，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A= = ．
故答案为：A．
【分析】首先根据勾股定理得出AB的长，再根据同角的余角相等，由∠B+∠BCD=90°，∠B+∠A=90°，得出∠BCD=∠A．根据等角的同名三角函数值想等即可由cos∠BCD=cos∠A=AC ∶AB得出答案。
7．等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，
AB=AC=13cm．
∴底角的余弦= ．
故答案为：C．
【分析】如图，作AD⊥BC于D点，利用等腰三角形的性质可得CD=5cm，AB=AC，从而可得AB=AC=13cm，由cosC=即可求出结论.
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ）
A． B．7sin55° C．cos55° D．tan55°
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由∠A=90°﹣35°=55°，
由正弦函数的定义，得
sin55°= ，
BC=ABsin55°=7sin55°，
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形两锐角互余可得∠A=55°，由sin55°= ，即可求出BC的值.
二、填空题
9．在以O为坐标原点的直角平面内有一点A(2,4)，如果AO与x轴正半轴的夹角为a，那么a的余弦值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意可得
所以
故答案为：
【分析】根据两点间的距离公式可求出OA的长，由余弦函数的定义即可求出结论.
10．（2018九上·定安期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cos A= ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，
∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
由勾股定理得，AC＝ ，
∴cosA= = = .
故答案为： .
【分析】利用三角函数的定义进行计算即可，由勾股定理先求出AC的长，再利用∠A的余弦函数进行计算。
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，
∴AC= ，
∴cosA= ．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，利用余弦函数定义可得cosA=，据此求出结论即可.
12．在 中， ， ， ，那么 .
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ， ，
AB= = =5，
∴cosA= = ，
故答案为：
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，利用余弦函数定义可得cosA=，据此求出结论即可.
13．已知△ABC中，∠C=90°，a= ，∠B=30°,则c= .
【答案】10
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由cosB= ,得c= =10.
答案：10
【分析】利用余弦三角函数的定义可得cosB= ，据此求出结论即可.
14．如图，方格纸中有三个格点A，B，C，则sin∠ABC= .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，
∵S△ABC=20﹣ ×2×5﹣ ×2×4﹣ ×1×4=9，
S△ABC= ×BC×AD=9，
∴ ×2 AD=9，
解得：AD= ，
故sin∠ABC= = = ．
故答案为： ．
【分析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，利用割补法先求出△ABC的面积，再根据S△ABC= ×BC×AD，即可求出AD的长，利用sin∠ABC= 即可求出结论.
15．如图，在长和宽分别是8和7矩形内，放置了如图中5个大小相同的正方形，则正方形的边长是 .
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ，
在Rt△ACB、Rt△A′DF、Rt△OHK中，
GK=GJ+JK=2xsinθ+xcosθ，
KH=2xcosθ，
∴GH=GK+KH=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=8，①
同理得出EF=ED+DJ+JF=3xcosθ+xsinθ=7，②
解得xsinθ=1，xcosθ=2；
两边平方相加得x2=5，
所以正方形的边长x= ．
故答案为： ．
【分析】设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值分别求出出矩形的长和宽，即GH=GK+KH=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=8①EF=ED+DJ+JF=3xcosθ+xsinθ=7②，联立①②解得xsinθ=1，xcosθ=2，从而可得（xsinθ）2=1③，（xcosθ）2=4④，③+④可求出x2=5，解出x的值即可.
三、解答题
16．等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值.
【答案】解：过顶点作底边的高线，则垂足平分底边，
①当6为腰时，底边为4，
∴底角的余弦为： ，
②当6为底边时，腰为5，
∴底角的余弦为： ，
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过顶点作底边的高线，则垂足平分底边 ，分两种情况讨论， ①当6为腰时，底边为4，②当6为底边时，腰为5，分别利用余弦的定义求值即可.
17．已知：如图，在Rt 中，∠ACB=90°，点D是斜边AB上的一点，且CD=AC=3，AB=4，求cosB，sin∠ADC及cos ∠DCA的值．
【答案】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，AB=4，
∴BC= ，
∴cosB=sinA= ；
∵CD=AC，
∴∠ADC=∠A，
∴sin∠ADC=sinA= ；
过点C作CE⊥AD于E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
又CD=AC，CE⊥AD，
∴CE为∠ACD的平分线，即∠ACE= ∠DCA，
∴cos ∠DCA=cos∠ACE=sinA= ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC=， 从而可得cosB=sinA==，利用等边对等角可得∠ADC=∠A， 从而可得sin∠ADC=sinA= ，过点C作CE⊥AD于E， 可得 ∠ACE+∠A=90° ，根据等腰三角形的性质可得∠ACE= ∠DCA，根据等角锐角三角函数的关系可得cos ∠DCA=cos∠ACE=sinA ，从而求出结论.
18．如图，△ABC中，AB＝BC．
（1）用直尺和圆规作△ABC的中线BD；（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，BD＝4，求 的值.
【答案】（1）解：过点B作AC的垂线交AC与点D，BD即是BC边的中线；
（2）解：∵AB=BC，∴∠A=∠C，
∴ .
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图过点B作AC的垂直平分线交AC与点D，连接BD即得；
（2）利用线段垂直平分线的性质可得AB=BC=6，，AD=CD，从而可得∠A=∠C， 利用勾股定理求出AD=CD的长，由cos=即可求出结论.
19．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC= ，求CB′的长．
【答案】（1）解：四边形ACC′A′是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：AA'=CC'，且AA'∥CC'
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
∵AA'∥CC'，
∴∠AA'C=∠A'CB'，
∵CD平分∠ACB'，
∴∠ACA'=∠A'CB'，
∴∠ACA'=∠AA'C，
∴AA'=AC，
∴平行四边形ACC′A′是菱形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，
∴cos∠BAC= ，
∴AC=10，
∴BC=
由平移的性质可得：BC=B'C'=6，
由（1）得四边形ACC′A′是菱形，
∴AC=CC'=10，
∴CB'=CC'﹣B'C'=10﹣6=4．
【知识点】菱形的判定与性质；平移的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1） 四边形ACC′A′是菱形 ，理由：根据平移的性质，可得AA'=CC'，且AA'∥CC' ，从而可得四边形ACC′A′是平行四边形，∠AA'C=∠A'CB'， 根据角平分线的定义及等量代换可得∠ACA'=∠AA'C， 利用等角对等边可得AA'=AC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求证；
（2）在Rt△ABC中，可得cos∠BAC= ，从而求出AC=10，利用勾股定理求出BC=6， 由平移的性质可得BC=B'C'=6， 结合（1）结论可得AC=CC'=10， 由 CB'=CC'﹣B'C'即可求出结论.
20．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E， ，AB＝3，
（1）求AD的值；
（2）直接写出 的值
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，DE⊥AC于点E，
∴AD=BC，CD=AB=3，∠BAD=∠ADC=∠AED=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
∵cos∠ADE= ，
∴cos∠BAC= ，即 ，解得：AC=5，
∴在Rt△ADC中，AD= ；
（2）解：∵DE⊥AC于点E，
∴S△ADC= AC·DE= AD·DC，即 DE=6，解得DE= ，
∴在Rt△DEC中，EC= ，
∴S△DEC= DE·EC= .
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质及垂直定义可得AD=BC，CD=AB=3，∠BAD=∠ADC=∠AED=90°，
根据同角的余角相等可得∠BAC=∠ADE，从而可得cos∠ADE=cos∠BAC= ，据此求出AC=5，在Rt△ADC中利用勾股定理即可求出AD的长；
（2） 利用三角形的面积公式可得S△ADC= AC·DE= AD·DC，从而求出DE= ，在Rt△DEC中
利用勾股定理求出EC的长，利用S△DEC= DE·EC即可求出结论.
21．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且OA＞OB
（1）求cos∠ABC的值。
（2）若E为 轴上的点，且 ，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由。
【答案】（1）解：解一元二次方程 得 ，
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3，
在 ，
∴ ，
∴cos∠ABC= ；
（2）解：设E（x，0），由题意得
解得
∴E（ ，0）或（- ，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4）
设经过D、E两点的直线的解析式为
若图象过点（ ，0），（6，4）
则 ，解得
此时函数解析式为
若图象过点（- ，0），（6，4）
则 ，解得
此时函数解析式为
在△AOE与△DAO中，
，
又∵∠AOE=∠OAD=90°
∴△AOE∽△DAO。
【知识点】一元二次方程的根；坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）求出方程的根，可得OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB=5，由cos∠ABC=即可求出结论；
（2）设E（x，0），根据三角形的面积公式可得，解出x的值，即得点E（ ，0）或（- ，0），根据平行四边形的性质可求出D的坐标是（6，4），利用待定系数法求出直线DE的解析式 或 ，根据两组对边成比例且交角相等即可求证△AOE∽△DAO.
1 / 1
