黑龙江省哈尔滨德强学校2023-2024学年高三上册数学开学考试试卷

黑龙江省哈尔滨德强学校2023-2024学年高三上册数学开学考试试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题：的否定是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知全集，则（　　）
A． B．
C． D．
3．若，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知正项等比数列，若，则（　　）
A．16 B．32 C．48 D．64
5．“”是“函数为偶函数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知函数，则下列结论正确的为（　　）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．的最小值为
D．在区间上单调递增
10．（2023·柯桥模拟）已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则（　　）
A．当时， B．当时，
C． D．
11．（2023高二下·浙江期中）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则当时，函数一定有（　　）
A．三个不同零点 B．在上单调递增
C．有极大值，且极大值为 D．一条切线为
12．（2023·温州模拟）已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（　　）
A．函数的图象关于中心对称
B．函数的极大值有可能小于零
C．对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率
D．若三点共线，则.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数　 　．
14．设　 　．
15．已知定义域为的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则　 　．
16．已知函数，若曲线的一条切线为直线，则的最小值为　 　．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．已知函数．
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为．
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围．
18．已知函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的．
（1）若的最小正周期为，求图象的对称轴方程，与轴距离最近的对称轴的方程；
（2）若图象相邻两个对称中心之间的距离大于且，求在上的值域．
19．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围．
20．已知数列的前项和为，数列的前项积为，且满足．
（1）求证：为等差数列；
（2）记，求数列的前2023项的和．
21．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为．
（1）当时，求；
（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有．根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计．为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值．
22．（2023·武汉模拟）已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解： 的否定是： .
故答案为：D.
【分析】根据命题的否定概念判断写出即可.
2．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】现求出，再求出补集即可.
3．【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、，根据函数性质判断正确，故选项正确；
B、，函数性质判断错误，故选项错误；
C、，根据函数的性质判断错误，故选项错误；
D、，根据函数的性质判断错误，故选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据对数函数和指数函数的性质逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
又∵正项等比数列，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B .
【分析】根据等比数列的性质和已知条件列式求解．
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：
，
当 时，，
当k=2m+1时，
，
是偶函数，
当k=2m时，
，
是偶函数，
是偶函数，
是函数数，
，
化简得，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的转换的性质并且结合充分条件和必要条件的概念求证即可.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：A.
【分析】根据正弦值等于余角的余弦值变形，再根据二倍角公式变形求解即可.
7．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：设，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性判断a、b、c的大小.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
设， ，
可知0x> 1时，t'(x)> 0，t(x)单调递增，
∴t(x) ≥ t(1) = e.
令f(t)=t-alnt +e2(t≥ e)，
，
当0则f(t)≥f(e)=e-a+e2≥0，
则a≤e+e2，故0当a > e时，则f(t)在(e，a)上单调递减；
在(a，+∞)上单调递增，则f(t)min =f(a) =a -alna +e2≥0，
设g(a)=a-alna +e2(a > e)，则g'(a)=-lna <0，
则g(a)在(e，+∞)单调递减，又g(e2) = e2 - e2 1ne2+e2= 0，
所以g(a) ≥g(e2)，则e 综上所述，a的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】 根据题意设， 构造函数令f(t)=t-alnt +e (t≥ e)，根据导数求出函数的最小值，确定取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A： ，的最小正周期为不是，选项错误.
B：的图象关于对称，f (π-x) =sin (-x) +cos (π-x) =sinx+cosx=f (x) ，故f (x) 的图象关于 对称 ，选项正确．
C：当cosx0，对于f (x) =sinx+cosx，故当sinx最小且cosx=0时的最小值为，选项正确．
D：cosx在上小于等于0， ， 在区间上不单调．
故答案为：BC.
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
10．【答案】B,D
【知识点】圆內接多边形的性质与判定
【解析】【解答】依题意，如图，设
在中，所以选项C错误；
当n=4时，，选项A错误；
当n=6时，，选项B正确；，选项D正确。
故答案选：B，D
【分析】利用已知条件结合正n边形与内切圆的位置关系，从而得出R和r与n的关系式，进而由二倍角公式和同角三角函数基本关系式得出R+r与n的关系式，再结合n的值代入法得出R和r的值，从而找出正确的选项。
11．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对于A，由得：，即或，
而，有，解得或，A不符合题意；
对于B，，
当时，，，于是，且当时，则在上递增，B符合题意；
对于C，由B知，当时，单调递增，
当时，单调递减，因此当时，取得极大值，C符合题意；
对于D，显然函数过原点，，而，因此图象在原点处的切线方程为，
因为直线过原点，因此直线不是图象在原点处的切线，
令，，，即函数在上单调递增，
当时，，即，于是函数在上的图象总在直线的下方，
所以直线不可能为图象的切线，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】由f(x)=0得，然后可求出f(x)的零点，从而可判断A；，根据，求出的范围，从而得出，然后可判断B；根据选项B求出的导数f'(x)，可得出时，；时，从而得出当时，取得极大值，从而可判断C；可根据导数判断y=x不是f(x)图象在原点的切线，令，，，从而得出g(x)>0，即得出，然后即可判断D.
12．【答案】A,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】设
因为
所以为奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于点中心对称，故A选项正确；
令，解得，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
由单调性可知，故B选项错误；
，
因为，所以，
又，
所以
所以，故C选项错误；
同上，可得，，
当三点共线时，则有，，
整理得
因为，所以，即
又，所以，
整理得
因为，所以，即，
所以，故D选项正确.
故答案为：AD
【分析】由奇偶性和图象平移可判断A；利用导数求出极大值点，再由单调性与比较可判断B；利用导数求出，然后作差比较，，即可判断C；根据，，化简即可判断D.
13．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解： 一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数 ： ，
故答案为：.
【分析】根据题意要求直接写出幂函数．
14．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴
解得：，
．
故答案为： .
【分析】根据正切变形求出，代入 代入求出即可．
15．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵定义域为的偶函数，
∴，
，
则，
∴f(x)是以2为周期的周期函数，
∴方程实数解的个数，
即的交点个数，
也是偶函数，两个函数的交点关于y轴对称，
分析x>0情况即可，
当n=1时，
此时有2个交点，即，
此时有4个交点，即，
此时有6个交点，即，
依次类推，，
，
故答案为： .
【分析】求证f(x)是以2为周期的周期函数，实数解得个数是的交点个数，求出即可.
16．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点，
则 ，
∵，
∴，
∵直线l的斜率为4，得
，
解得②，
∵点在函数上，
∴③，
由①③可得④，
把②代入④得，
⑤
由②⑤得，
令，
则，
当t=2时，，
∴当时， 的最小值为 ．
故答案为： .
【分析】根据题意，设切点，将切点分别代入函数、切线方程，分别表示出ｍ、ｎ，构造函数化简求值，从而求得其最小值．
17．【答案】（1）解：由题可知，，
选择①②：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
当，即时，，
所以函数的最小值为．
选择①③：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
当，即时，．
所以函数的最小值为．
选择②③：因为，所以．
又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．
（2）解：选择①②：
因为，，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
所以，所以，所以．
选择①③：
因为，，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
又时，或，
所以，所以，所以．
【知识点】三角函数的化简求值；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1)、 函数f(x)化简变形，选择①②，求出函数f(x)，求出最小值；选择①③，求出函数f(x)，求出函数的最小值； 选择②③，求出函数f(x)，求出函数的最大值。
(2)、选择①②： ， ，，所以， 结合三角函数得到性质与函数零点的概念求出即可.
18．【答案】（1）解：由，得，所以，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为，
取，得，取，得，
因为，所以与轴距离最近的对称轴方程为．
（2）解：设的最小正周期为，因为图象相邻两个对称中心之间的距离大于，
所以，即，由，，解得．
又且，所以．
所以．
因为，所以，
所以，即在上的值域为．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】 (1)、由，得， 求出函数表达式，求出对称轴方程，再求出 与轴距离最近的对称轴方程 .
(2)、设的最小正周期为，因为图象相邻两个对称中心之间的距离大于， 求出函数表达式，结合函数性质求出值域.
19．【答案】（1）解：当时，，
则，
则，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）解：，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则 在上恒成立，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)、当时， 代入函数求出表达式，求出导数，求出切点坐标，再求出切线方程.
(2)、因为在上单调递增， 导数大于等于0，变换函数求出取值范围.
20．【答案】（1）解：因为，
当时，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
当时，．
所以，即，
所以，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）解：所以，则，
因为，
故．
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【分析】 (1)、因为，当时 求出a，式子变形求出 ，证得等差数列.
(2)表示出，表示出，求出即可.
21．【答案】（1）解：由已知，
所以
；
（2）解：由已知，所以，
若，则，即，
即.
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，
解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250；
综上，，估计信号发射次数的最小值为1250.
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】 (1)、 根据二项式分布公式计算即可.
(2)根据二项式分布求出数学期望和方差 ，再根据题意求出“”，最后利用切比雪夫不等式求出.
22．【答案】（1）解：由且，可得.
设，则，
令，解得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
函数的图象如下：
又趋向于0时趋向，趋向于时趋向0；
要使图象与直线有两个交点，则，A的取值范围是.
（2）解：因为，由（1）得，则，
设，则，即，
由有最小值，即有最小值.
设 ，
记，
由于，若，则，可得单调递增，
此时，即单调递增，
此时在没有最小值，不符合题意.
若，时，，则在单调递减，
时，，则在单调递增.
又，，且趋向于时趋向，故且唯一，使得.
此时时，，即，此时在上单调递减；
时，，即， 在上单调递增.
所以时，有最小值，
而，即，整理得
此时，由题意知.
设
设.
设，故递增，.
此时递增，有，
令且，则，即在上递增，故，
此时，故在递增，而知，的唯一解是.
故的唯一解是，即.
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）画出函数 的图象，再画直线，要使图象与直线有两个交点，则，的取值范围是；
（2） 由有最小值，即有最小值，设 ，利用导函数研究其单调性，根据零点关系式，消掉字母，确定，从而求得.
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题：的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】四种命题间的逆否关系
【解析】【解答】解： 的否定是： .
故答案为：D.
【分析】根据命题的否定概念判断写出即可.
2．已知全集，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】现求出，再求出补集即可.
3．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、，根据函数性质判断正确，故选项正确；
B、，函数性质判断错误，故选项错误；
C、，根据函数的性质判断错误，故选项错误；
D、，根据函数的性质判断错误，故选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据对数函数和指数函数的性质逐项判断即可.
4．已知正项等比数列，若，则（　　）
A．16 B．32 C．48 D．64
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
又∵正项等比数列，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B .
【分析】根据等比数列的性质和已知条件列式求解．
5．“”是“函数为偶函数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：
，
当 时，，
当k=2m+1时，
，
是偶函数，
当k=2m时，
，
是偶函数，
是偶函数，
是函数数，
，
化简得，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的转换的性质并且结合充分条件和必要条件的概念求证即可.
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：A.
【分析】根据正弦值等于余角的余弦值变形，再根据二倍角公式变形求解即可.
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：设，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性判断a、b、c的大小.
8．若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
设， ，
可知0x> 1时，t'(x)> 0，t(x)单调递增，
∴t(x) ≥ t(1) = e.
令f(t)=t-alnt +e2(t≥ e)，
，
当0则f(t)≥f(e)=e-a+e2≥0，
则a≤e+e2，故0当a > e时，则f(t)在(e，a)上单调递减；
在(a，+∞)上单调递增，则f(t)min =f(a) =a -alna +e2≥0，
设g(a)=a-alna +e2(a > e)，则g'(a)=-lna <0，
则g(a)在(e，+∞)单调递减，又g(e2) = e2 - e2 1ne2+e2= 0，
所以g(a) ≥g(e2)，则e 综上所述，a的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】 根据题意设， 构造函数令f(t)=t-alnt +e (t≥ e)，根据导数求出函数的最小值，确定取值范围.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知函数，则下列结论正确的为（　　）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．的最小值为
D．在区间上单调递增
【答案】B,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A： ，的最小正周期为不是，选项错误.
B：的图象关于对称，f (π-x) =sin (-x) +cos (π-x) =sinx+cosx=f (x) ，故f (x) 的图象关于 对称 ，选项正确．
C：当cosx0，对于f (x) =sinx+cosx，故当sinx最小且cosx=0时的最小值为，选项正确．
D：cosx在上小于等于0， ， 在区间上不单调．
故答案为：BC.
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
10．（2023·柯桥模拟）已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则（　　）
A．当时， B．当时，
C． D．
【答案】B,D
【知识点】圆內接多边形的性质与判定
【解析】【解答】依题意，如图，设
在中，所以选项C错误；
当n=4时，，选项A错误；
当n=6时，，选项B正确；，选项D正确。
故答案选：B，D
【分析】利用已知条件结合正n边形与内切圆的位置关系，从而得出R和r与n的关系式，进而由二倍角公式和同角三角函数基本关系式得出R+r与n的关系式，再结合n的值代入法得出R和r的值，从而找出正确的选项。
11．（2023高二下·浙江期中）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则当时，函数一定有（　　）
A．三个不同零点 B．在上单调递增
C．有极大值，且极大值为 D．一条切线为
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对于A，由得：，即或，
而，有，解得或，A不符合题意；
对于B，，
当时，，，于是，且当时，则在上递增，B符合题意；
对于C，由B知，当时，单调递增，
当时，单调递减，因此当时，取得极大值，C符合题意；
对于D，显然函数过原点，，而，因此图象在原点处的切线方程为，
因为直线过原点，因此直线不是图象在原点处的切线，
令，，，即函数在上单调递增，
当时，，即，于是函数在上的图象总在直线的下方，
所以直线不可能为图象的切线，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】由f(x)=0得，然后可求出f(x)的零点，从而可判断A；，根据，求出的范围，从而得出，然后可判断B；根据选项B求出的导数f'(x)，可得出时，；时，从而得出当时，取得极大值，从而可判断C；可根据导数判断y=x不是f(x)图象在原点的切线，令，，，从而得出g(x)>0，即得出，然后即可判断D.
12．（2023·温州模拟）已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（　　）
A．函数的图象关于中心对称
B．函数的极大值有可能小于零
C．对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率
D．若三点共线，则.
【答案】A,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】设
因为
所以为奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于点中心对称，故A选项正确；
令，解得，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
由单调性可知，故B选项错误；
，
因为，所以，
又，
所以
所以，故C选项错误；
同上，可得，，
当三点共线时，则有，，
整理得
因为，所以，即
又，所以，
整理得
因为，所以，即，
所以，故D选项正确.
故答案为：AD
【分析】由奇偶性和图象平移可判断A；利用导数求出极大值点，再由单调性与比较可判断B；利用导数求出，然后作差比较，，即可判断C；根据，，化简即可判断D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数　 　．
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解： 一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数 ： ，
故答案为：.
【分析】根据题意要求直接写出幂函数．
14．设　 　．
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴
解得：，
．
故答案为： .
【分析】根据正切变形求出，代入 代入求出即可．
15．已知定义域为的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则　 　．
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵定义域为的偶函数，
∴，
，
则，
∴f(x)是以2为周期的周期函数，
∴方程实数解的个数，
即的交点个数，
也是偶函数，两个函数的交点关于y轴对称，
分析x>0情况即可，
当n=1时，
此时有2个交点，即，
此时有4个交点，即，
此时有6个交点，即，
依次类推，，
，
故答案为： .
【分析】求证f(x)是以2为周期的周期函数，实数解得个数是的交点个数，求出即可.
16．已知函数，若曲线的一条切线为直线，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点，
则 ，
∵，
∴，
∵直线l的斜率为4，得
，
解得②，
∵点在函数上，
∴③，
由①③可得④，
把②代入④得，
⑤
由②⑤得，
令，
则，
当t=2时，，
∴当时， 的最小值为 ．
故答案为： .
【分析】根据题意，设切点，将切点分别代入函数、切线方程，分别表示出ｍ、ｎ，构造函数化简求值，从而求得其最小值．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．已知函数．
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为．
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题可知，，
选择①②：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
当，即时，，
所以函数的最小值为．
选择①③：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
当，即时，．
所以函数的最小值为．
选择②③：因为，所以．
又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．
（2）解：选择①②：
因为，，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
所以，所以，所以．
选择①③：
因为，，所以，
又因为在区间（）上有且仅有1个零点，
又时，或，
所以，所以，所以．
【知识点】三角函数的化简求值；函数零点存在定理
【解析】【分析】 (1)、 函数f(x)化简变形，选择①②，求出函数f(x)，求出最小值；选择①③，求出函数f(x)，求出函数的最小值； 选择②③，求出函数f(x)，求出函数的最大值。
(2)、选择①②： ， ，，所以， 结合三角函数得到性质与函数零点的概念求出即可.
18．已知函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到的．
（1）若的最小正周期为，求图象的对称轴方程，与轴距离最近的对称轴的方程；
（2）若图象相邻两个对称中心之间的距离大于且，求在上的值域．
【答案】（1）解：由，得，所以，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为，
取，得，取，得，
因为，所以与轴距离最近的对称轴方程为．
（2）解：设的最小正周期为，因为图象相邻两个对称中心之间的距离大于，
所以，即，由，，解得．
又且，所以．
所以．
因为，所以，
所以，即在上的值域为．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】 (1)、由，得， 求出函数表达式，求出对称轴方程，再求出 与轴距离最近的对称轴方程 .
(2)、设的最小正周期为，因为图象相邻两个对称中心之间的距离大于， 求出函数表达式，结合函数性质求出值域.
19．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
则，
则，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）解：，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则 在上恒成立，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 (1)、当时， 代入函数求出表达式，求出导数，求出切点坐标，再求出切线方程.
(2)、因为在上单调递增， 导数大于等于0，变换函数求出取值范围.
20．已知数列的前项和为，数列的前项积为，且满足．
（1）求证：为等差数列；
（2）记，求数列的前2023项的和．
【答案】（1）解：因为，
当时，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
当时，．
所以，即，
所以，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）解：所以，则，
因为，
故．
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【分析】 (1)、因为，当时 求出a，式子变形求出 ，证得等差数列.
(2)表示出，表示出，求出即可.
21．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号“1”的次数为．
（1）当时，求；
（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有．根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计．为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值．
【答案】（1）解：由已知，
所以
；
（2）解：由已知，所以，
若，则，即，
即.
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，
解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250；
综上，，估计信号发射次数的最小值为1250.
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】 (1)、 根据二项式分布公式计算即可.
(2)根据二项式分布求出数学期望和方差 ，再根据题意求出“”，最后利用切比雪夫不等式求出.
22．（2023·武汉模拟）已知关于的方程有两个不相等的正实根和，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）设为常数，当变化时，若有最小值，求常数的值.
【答案】（1）解：由且，可得.
设，则，
令，解得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
函数的图象如下：
又趋向于0时趋向，趋向于时趋向0；
要使图象与直线有两个交点，则，A的取值范围是.
（2）解：因为，由（1）得，则，
设，则，即，
由有最小值，即有最小值.
设 ，
记，
由于，若，则，可得单调递增，
此时，即单调递增，
此时在没有最小值，不符合题意.
若，时，，则在单调递减，
时，，则在单调递增.
又，，且趋向于时趋向，故且唯一，使得.
此时时，，即，此时在上单调递减；
时，，即， 在上单调递增.
所以时，有最小值，
而，即，整理得
此时，由题意知.
设
设.
设，故递增，.
此时递增，有，
令且，则，即在上递增，故，
此时，故在递增，而知，的唯一解是.
故的唯一解是，即.
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）画出函数 的图象，再画直线，要使图象与直线有两个交点，则，的取值范围是；
（2） 由有最小值，即有最小值，设 ，利用导函数研究其单调性，根据零点关系式，消掉字母，确定，从而求得.
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