黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二上学期10月期中数学试题
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．-19 B．-20 C．20 D．19
2．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·山西期中）已知椭圆，则椭圆的长轴长为（ ）
A．1 B． C． D．
4．若圆关于直线对称，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间三点，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于直线，下列说法正确的有（ ）
A．过点 B．斜率为
C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1
10．（2021高二上·浦城期中）已知圆心为 的圆 与点 ，则（ ）
A．圆 的半径为2
B．点 在圆 外
C．点 与圆 上任一点距离的最大值为
D．点 与圆 上任一点距离的最小值为
11．（2021高二上·运城月考）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C．点P的纵坐标为
D．内切圆的面积为
12．（2022高二上·山西期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A．若的中点为M，则四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是
三、填空题
13．若直线与直线平行，则实数的值为 .
14．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 .
15．已知圆与圆只有一条公切线，则 .
16．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率 ．
四、解答题
17．已知直线经过点．
（1）求直线的一般式方程；
（2）若直线与直线垂直，且在轴上的截距为2，求直线的方程．
18．已知椭圆，点．
（1）若椭圆的左焦点为，上顶点为，求点到直线的距离；
（2）若点是椭圆的弦的中点，求直线的方程．
19．如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，M是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．已知圆经过，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
21．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱上一点（不含端点）．
（1）当为何值时，；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（2022高二上·鞍山月考）已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左 右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由向量 ，可得，
则.
故选：D.
【分析】根据题意，结合空间向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】确定直线位置的几何要素
【解析】【解答】由直线，可得直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为.
故选：C.
【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合方向向量的定义，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆得：，所以，解得，所以长轴长，
故答案为：A.
【分析】将椭圆方程化成标准方程，求出a的值，进而可得椭圆的长轴长.
4．【答案】C
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆，可得圆心为，
根据题意，可得直线过圆心，可得，所以.
故选：C.
【分析】根据题意，求得圆心坐标，结合题意得到直线过圆心，代入直线方程，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】异面直线；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由 空间三点，
可得与，可得，
则，
又因为，所以.
故选：C.
【分析】根据向量向量数量积和向量的夹角公式，准确运算，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】空间直线的向量参数方程；异面直线；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，可得直线l的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则.
故选：A.
【分析】根据题意，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由曲线表示圆在轴上方的部分，如图所示，
当直线与圆相切时，可得，解得，
因为曲线表示上半圆，要使得直线与曲线有两个公共点，则，
又因为当点在直线上时，可得，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【分析】根据已知条件及圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，可得，由，则，
又由点M在椭圆上，可得，即，所以.
故选：B.
【分析】根据题意，求得，代入椭圆的方程，结合离心率的定义，即可求解.
9．【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的一般式方程
【解析】【解答】由直线，
A中，点点不在直线上，所以A不正确；
B中，由直线的方程，可得直线的斜率为，所以B正确；
C中，由直线的斜率，可得直线的倾斜角为60°，所以C正确；
D中，由直线方程，可得直线在轴上的截距为，所以D错误.
故选：BC
【分析】根据直线方程，结合选项，以及直线的斜率和倾斜角的定义，逐项判定，即可求解.
10．【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】依题意，圆 ： ，则圆心 ，半径 ，A不正确；
因点 ，则 ，点 在圆 外，B符合题意；
因点 在圆 外，在圆 上任取点P，则 ，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C符合题意；
在圆 上任取点M，则 ，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C符合题意.
故答案为：BCD
【分析】圆的方程配方求得半径可判断A；由 可判断B；求出圆上的点到定点A的距离的最值可判断C、D。
11．【答案】A,D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】对A，根据椭圆定义可得，则①，
在中，由余弦定理②，
由①②可得，所以的面积为，A符合题意；
对B，设，则，，
，
则当时，取得最大值为5，B不符合题意；
对C，由A，的面积为，则，解得，C不符合题意；
对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，
所以，即，解得，
所以内切圆的面积为，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据椭圆定义结合完全平方和公式，得出①，在中，由余弦定理得出②，由①②可得的值，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积的值；设，再利用点M是椭圆上一动点， 再结合代入法得出，，再利用数量积的坐标表示得出
，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出的最大值；由三角形的面积为结合三角形的面积公式，进而求出点P的纵坐标；设三角形内切圆的半径为，再利用三角形的面积为，再利用三角形的面积公式得出r的值，再结合圆的面积公式得出三角形内切圆的面积，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】连接，
因为底面，面，所以，
又，面，面，，
所以面，又面，所以，
所以面MCB为直角三角形，
所以，又
由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，
又面BCD，面DCM均为直角三角形，
所以四面体是鳖臑，所以A符合题意；
以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，
则，
故，，.
故与所成角的余弦值
，B符合题意；
对于C：因 ，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，
又，，
，又面，面，，
所以面，
即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，
所以动点S的轨迹是圆，所以C符合题意；
对于D：设平面的法向量为，
由可取，
设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，
故，又因为平面，
所以，解得，，
又，
由几何体的对称性知，
所以截面周长为，D不符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】根据“鳖臑”的定义可判断A；以D为坐标原点，分别以为正半轴建系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可判断B、C、D.
13．【答案】
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】由直线与直线平行，
可得，且，解得.
则实数的值为.
【分析】根据题意，结合直线的位置关系，列出方程，即可求解.
14．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间点、线、面的位置；空间直线的向量参数方程
【解析】【解答】 直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，可得，解得，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，得到直线方向向量和平面的法向量共线，列出方程，求得的值，即可求解.
15．【答案】16
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】 由圆与圆，
可得圆心，半径为，
因为圆与圆只有一条公切线，
所以两圆相内切，可得，即，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，得到两圆相内切，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示，由椭圆的定义可得
设的面积为，的面积为，因为 ，
所以，可得，即，
设直线，联立方程组，
可得，
又，即，
化简得，
所以.
故答案为：.
【分析】由椭圆的定义可得根据 ，得到，设直线，联立方程组，得到，代入化简得到，结合离心率的定义，即可求解.
17．【答案】（1）∵直线的斜率为，
∴直线的方程为，
∴直线的一般式方程为．
（2）∵直线与直线垂直，由（1）知：直线的斜率为2，
∴直线存在斜率，设直线的方程为，且，即，
∴直线的方程为，即．
【知识点】两条直线垂直的判定；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据直线的斜率公式，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，设直线的方程为，求得，即可求解.
18．【答案】（1）解：
如上图，∵椭圆方程为，点，
∴椭圆的左焦点是，上顶点，
则直线在轴、轴截距为和，
∴直线的截距式方程为，可化为，
∴点到直线的距离．
（2）解：
如上图，设，则，
两式相减得：，
∴直线的斜率…………①，
又∵点是椭圆的弦的中点，
∴，，
∴代入①式得：，
∴直线的方程为，即．
【知识点】直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，得到直线的方程，结合点到直线的距离公式，即可求解；
（2）设，得到，两式相减，化简得到的斜率，结合点是椭圆的弦的中点，求得，结合直线的点斜式，即可求解.
19．【答案】（1）证明：∵面，面，
∴，
又，
∴平面.
（2）取的中点为N，则两两垂直，
∴以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系如图，
则，
设面的法向量为，
则
令，则，．
又面，∴面的法向量，
∴，
又二面角的平面角为锐角，∴余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据题意，结合线面垂直的判定，即可证得平面；
（2）取的中点为N，以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
20．【答案】（1）由题知中点为，，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，
则直线与垂直，且的中点在直线上，
则，解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【分析】（1）根据题意，求得的垂直平分线方程为，联立方程组，求得圆心为，进而求得圆的方程；
（2）设关于的对称点为，联立方程组，求得，再由反射光线过圆心，求得，进而求得圆的方程.
21．【答案】（1）解：由题意，∵四边形为矩形，∴，
∵直线平面，平面，
∴，，即两两垂直，
∴以点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图，
∵，，，
∴，
∴，，
设，因点为棱上一点（不含端点），故，
则，可得，
∴，
∵，∴，即，
解得：或（舍去），
∴，又因点为棱上一点（不含端点），
∴．
（2）解：设平面的法向量，则，，
∴，即
令，解得：，，则，，
∵，∴，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间点、线、面的位置；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，设，且，得到，求得，结合，求得的值，即可求解；
（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求求解.
22．【答案】（1）解：由题意得，解得：，
椭圆的方程是：.
（2）解：设，
联立消去得：
由题意可知：点，
所以
令，则，所以，
，易知在单调递增，
所以当，此时，所以直线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意得，求解可得a，c，进而得b，即可得椭圆的标准方程；
（2）设， 然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理定理表示出两点纵坐标的关系，再将 的面积表示出来，最后根据函数的单调性求出 面积的最大值 ，可得直线的方程.
1 / 1黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二上学期10月期中数学试题
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．-19 B．-20 C．20 D．19
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由向量 ，可得，
则.
故选：D.
【分析】根据题意，结合空间向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
2．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】确定直线位置的几何要素
【解析】【解答】由直线，可得直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为.
故选：C.
【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合方向向量的定义，即可求解.
3．（2022高二上·山西期中）已知椭圆，则椭圆的长轴长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆得：，所以，解得，所以长轴长，
故答案为：A.
【分析】将椭圆方程化成标准方程，求出a的值，进而可得椭圆的长轴长.
4．若圆关于直线对称，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由圆，可得圆心为，
根据题意，可得直线过圆心，可得，所以.
故选：C.
【分析】根据题意，求得圆心坐标，结合题意得到直线过圆心，代入直线方程，即可求解.
5．已知空间三点，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由 空间三点，
可得与，可得，
则，
又因为，所以.
故选：C.
【分析】根据向量向量数量积和向量的夹角公式，准确运算，即可求解.
6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间直线的向量参数方程；异面直线；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】由题意，可得直线l的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则.
故选：A.
【分析】根据题意，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
7．已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由曲线表示圆在轴上方的部分，如图所示，
当直线与圆相切时，可得，解得，
因为曲线表示上半圆，要使得直线与曲线有两个公共点，则，
又因为当点在直线上时，可得，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【分析】根据已知条件及圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式，即可求解.
8．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，直线AF与E相交的另一点为M，点M在x轴的射影为点N，O为坐标原点，若，则E的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，可得，由，则，
又由点M在椭圆上，可得，即，所以.
故选：B.
【分析】根据题意，求得，代入椭圆的方程，结合离心率的定义，即可求解.
二、多选题
9．关于直线，下列说法正确的有（ ）
A．过点 B．斜率为
C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1
【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的一般式方程
【解析】【解答】由直线，
A中，点点不在直线上，所以A不正确；
B中，由直线的方程，可得直线的斜率为，所以B正确；
C中，由直线的斜率，可得直线的倾斜角为60°，所以C正确；
D中，由直线方程，可得直线在轴上的截距为，所以D错误.
故选：BC
【分析】根据直线方程，结合选项，以及直线的斜率和倾斜角的定义，逐项判定，即可求解.
10．（2021高二上·浦城期中）已知圆心为 的圆 与点 ，则（ ）
A．圆 的半径为2
B．点 在圆 外
C．点 与圆 上任一点距离的最大值为
D．点 与圆 上任一点距离的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】依题意，圆 ： ，则圆心 ，半径 ，A不正确；
因点 ，则 ，点 在圆 外，B符合题意；
因点 在圆 外，在圆 上任取点P，则 ，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C符合题意；
在圆 上任取点M，则 ，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C符合题意.
故答案为：BCD
【分析】圆的方程配方求得半径可判断A；由 可判断B；求出圆上的点到定点A的距离的最值可判断C、D。
11．（2021高二上·运城月考）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C．点P的纵坐标为
D．内切圆的面积为
【答案】A,D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】对A，根据椭圆定义可得，则①，
在中，由余弦定理②，
由①②可得，所以的面积为，A符合题意；
对B，设，则，，
，
则当时，取得最大值为5，B不符合题意；
对C，由A，的面积为，则，解得，C不符合题意；
对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，
所以，即，解得，
所以内切圆的面积为，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据椭圆定义结合完全平方和公式，得出①，在中，由余弦定理得出②，由①②可得的值，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积的值；设，再利用点M是椭圆上一动点， 再结合代入法得出，，再利用数量积的坐标表示得出
，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出的最大值；由三角形的面积为结合三角形的面积公式，进而求出点P的纵坐标；设三角形内切圆的半径为，再利用三角形的面积为，再利用三角形的面积公式得出r的值，再结合圆的面积公式得出三角形内切圆的面积，从而找出说法正确的选项。
12．（2022高二上·山西期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且分别为的中点，则（ ）
A．若的中点为M，则四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点S是平面内的动点，若，则动点S的轨迹是圆
D．过点E，F，G的平面与四棱锥表面交线的周长是
【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】连接，
因为底面，面，所以，
又，面，面，，
所以面，又面，所以，
所以面MCB为直角三角形，
所以，又
由勾股定理知，所以面MBD为直角三角形，
又面BCD，面DCM均为直角三角形，
所以四面体是鳖臑，所以A符合题意；
以D为坐标原点，分别以为正半轴建系如图，
则，
故，，.
故与所成角的余弦值
，B符合题意；
对于C：因 ，，所以的轨迹是以为焦点的椭球面，
又，，
，又面，面，，
所以面，
即面垂直于椭球的长轴，故面截椭球的截面为圆，
所以动点S的轨迹是圆，所以C符合题意；
对于D：设平面的法向量为，
由可取，
设过点E，F，G的平面与交于，与交于，设，
故，又因为平面，
所以，解得，，
又，
由几何体的对称性知，
所以截面周长为，D不符合题意，
故答案为：ABC.
【分析】根据“鳖臑”的定义可判断A；以D为坐标原点，分别以为正半轴建系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可判断B、C、D.
三、填空题
13．若直线与直线平行，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】由直线与直线平行，
可得，且，解得.
则实数的值为.
【分析】根据题意，结合直线的位置关系，列出方程，即可求解.
14．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 .
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间点、线、面的位置；空间直线的向量参数方程
【解析】【解答】 直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，可得，解得，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，得到直线方向向量和平面的法向量共线，列出方程，求得的值，即可求解.
15．已知圆与圆只有一条公切线，则 .
【答案】16
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】 由圆与圆，
可得圆心，半径为，
因为圆与圆只有一条公切线，
所以两圆相内切，可得，即，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，得到两圆相内切，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解.
16．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】如图所示，由椭圆的定义可得
设的面积为，的面积为，因为 ，
所以，可得，即，
设直线，联立方程组，
可得，
又，即，
化简得，
所以.
故答案为：.
【分析】由椭圆的定义可得根据 ，得到，设直线，联立方程组，得到，代入化简得到，结合离心率的定义，即可求解.
四、解答题
17．已知直线经过点．
（1）求直线的一般式方程；
（2）若直线与直线垂直，且在轴上的截距为2，求直线的方程．
【答案】（1）∵直线的斜率为，
∴直线的方程为，
∴直线的一般式方程为．
（2）∵直线与直线垂直，由（1）知：直线的斜率为2，
∴直线存在斜率，设直线的方程为，且，即，
∴直线的方程为，即．
【知识点】两条直线垂直的判定；用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据直线的斜率公式，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，设直线的方程为，求得，即可求解.
18．已知椭圆，点．
（1）若椭圆的左焦点为，上顶点为，求点到直线的距离；
（2）若点是椭圆的弦的中点，求直线的方程．
【答案】（1）解：
如上图，∵椭圆方程为，点，
∴椭圆的左焦点是，上顶点，
则直线在轴、轴截距为和，
∴直线的截距式方程为，可化为，
∴点到直线的距离．
（2）解：
如上图，设，则，
两式相减得：，
∴直线的斜率…………①，
又∵点是椭圆的弦的中点，
∴，，
∴代入①式得：，
∴直线的方程为，即．
【知识点】直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，得到直线的方程，结合点到直线的距离公式，即可求解；
（2）设，得到，两式相减，化简得到的斜率，结合点是椭圆的弦的中点，求得，结合直线的点斜式，即可求解.
19．如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，M是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：∵面，面，
∴，
又，
∴平面.
（2）取的中点为N，则两两垂直，
∴以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系如图，
则，
设面的法向量为，
则
令，则，．
又面，∴面的法向量，
∴，
又二面角的平面角为锐角，∴余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据题意，结合线面垂直的判定，即可证得平面；
（2）取的中点为N，以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
20．已知圆经过，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
【答案】（1）由题知中点为，，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，
则直线与垂直，且的中点在直线上，
则，解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【分析】（1）根据题意，求得的垂直平分线方程为，联立方程组，求得圆心为，进而求得圆的方程；
（2）设关于的对称点为，联立方程组，求得，再由反射光线过圆心，求得，进而求得圆的方程.
21．在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱上一点（不含端点）．
（1）当为何值时，；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）解：由题意，∵四边形为矩形，∴，
∵直线平面，平面，
∴，，即两两垂直，
∴以点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图，
∵，，，
∴，
∴，，
设，因点为棱上一点（不含端点），故，
则，可得，
∴，
∵，∴，即，
解得：或（舍去），
∴，又因点为棱上一点（不含端点），
∴．
（2）解：设平面的法向量，则，，
∴，即
令，解得：，，则，，
∵，∴，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间点、线、面的位置；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，设，且，得到，求得，结合，求得的值，即可求解；
（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求求解.
22．（2022高二上·鞍山月考）已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左 右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.
【答案】（1）解：由题意得，解得：，
椭圆的方程是：.
（2）解：设，
联立消去得：
由题意可知：点，
所以
令，则，所以，
，易知在单调递增，
所以当，此时，所以直线的方程为：.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意得，求解可得a，c，进而得b，即可得椭圆的标准方程；
（2）设， 然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理定理表示出两点纵坐标的关系，再将 的面积表示出来，最后根据函数的单调性求出 面积的最大值 ，可得直线的方程.
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