广东省深圳市名校2023-2024学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的特点，直接写点的坐标.
2．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：由向量，可得，故.
故答案为：D.
【分析】根据向量线性运算得坐标表示，直接写答案即可.
3．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由，可得，所以直线的倾斜角为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件先求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系可得直线的倾斜角.
4．在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解： 在长方体中， 因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据长方体的特征以及向量的线性运算化简即可.
5．若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，由于直线的倾斜角的取值范围为， 若直线的斜率大于1 ，得，，故.
故答案为：B.
【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系即可确定倾斜角的取值范围.
6．在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图所示：
过点作，过作，垂足分别为，连接，易得平面，则，又因为，，所以平面，故，又因为，所以，所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】利用空间几何体求出向量的投影向量即可.
7．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（ ）
A．3或 B．3 C．或 D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；直线的倾斜角；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，由题意可得，即，解得，因为，所以，故，即直线的倾斜角为锐角，且直线的斜率为3.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，设直线的倾斜角为，由求得，利用倾斜角和斜率的关系即可求得直线的斜率.
8．在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
易得，则，记，所以，故点到直线的距离为.
故答案为：C.
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求到直线的距离即可.
二、多选题
9．已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】直线的斜率；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为
A、对应的斜率为，故A正确；
B、对应得斜率为，故B错误；
C、对应得斜率为，故C正确；
D、对应得斜率为，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系判断即可.
10．已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以与向量不能构成一个基底，故A不符合题意；
B、假设存在，使得，即，无解，即不存在，所以假设不成立，即，不共面，故B符合题意；
C、假设存在，使得即，无解，故不存在，所以假设错误，所以与不共面，故C符合题意；
D、因为，所以与共面，故D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据空间向量的基本定理判断向量是否共面即可求解.
11．如图，在圆台中，分别为圆的直径，，圆台的体积为为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．的坐标为
B．
C．平面的一个法向量为
D．到平面的距离为
【答案】A,B,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：A、因为 圆台的体积为，所以，解得，则的坐标为，故A正确；
B、连接，设在底面的射影点为，连接，如图所示：
易得，则，，所以，故B正确；
C、设平面的一个法向量为，因为，所以，则，令，则 ，故C错误；
D、由A选项可知，则 到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据圆台的体积为即可求得，判断A正确；由点位置可求得，即可判断B正确；设平面的一个法向量为，利用法向量的定义可知平面的一个法向量为，即可判断C错误；由点到平面距离的向量公式可得到平面的距离为，即可判断D正确.
12．在正四面体中，分别是的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．异面直线与所成的角为
【答案】B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题可得正四面体如图所示：
，故A错误，B正确；
设的中点为，连接，，所以平面，即，故，又因为为等边三角形，为的中点，所以，，则，因为，所以，故C正确；
D、取的中点为，连接，，故为异面直线与所成的角或其补角，，所以是以为直角的等腰直角三角形，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由图根据向量的线性运算以及向量数量积的运算律可求得的值，从而判断A，B；根据向量的夹角公式可求的值，结合夹角取值范围判断范围，即可判断C；根据平移法作出异面直线与所成的角，解三角形求得该角大小，判断D即可.
三、填空题
13．已知分别是平面的法向量，且，则 .
【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以，解得.
故答案为：-3.
【分析】根据平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，利用向量平行的坐标表示即可求得的值.
14．已知点，点在轴上，为直角三角形，请写出的一个坐标： ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】斜率的计算公式；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：设点的坐标为，易得，则，
当A为直角时，，解得，则；
当B为直角时，，解得，则；
当C为直角时，化简得，无解.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据题意设点的坐标为，分别求出，再对直角进行分类讨论并利用直线垂直的斜率关系可求得的一个坐标.
15．在空间直角坐标系中，向量，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量，所以，，则，当且仅当，时等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件先求向量的模，再根据向量数量积公式求解即可.
16．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，G为的外心，D为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
设，则，因为平面，所以为直角三角形，则为的中点，，设，则，，，所以，当时，；当时，，综上，又因为，所以.
故答案为：.
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，设，求得分和求其取值范围，从而得到的取值范围.
四、解答题
17．已知直线经过两点，经过两点．
（1）若，求的值；
（2）若的倾斜角互余，求的值．
【答案】（1）解：，
因为，
所以，得，
经检验，符合题意，
所以；
（2）解：因为的倾斜角互余，
设的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
所以，得．
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）根据，可得，利用斜率公式计算即可，最后检验即可；
（2）设的倾斜角为，因为的倾斜角互余，则直线的倾斜角为，结合斜率公式求解即可.
18．在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为．
（1）求的坐标；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：设点的坐标为，
由，可得，
因为四边形是平行四边形，可得，
所以，解得，即点的坐标为.
（2）解：由题意得，则，
所以，可得，
故四边形的面积为．
【知识点】空间中的点的坐标；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）设点的坐标为，根据，列方程组求解即可；
（2）根据题意求得以及，利用向量的夹角公式求得，再根据同角三角函数基本关系求得，代入面积公式即可得四边形的面积.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且．
（1）证明：．
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）解：四边形为正方形，．
底面平面．
又平面平面．
平面．
（2）解：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
由（1）知平面，则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，得，
，
由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据已知条件推出平面，从而证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得的坐标，由（1）知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，根据求其法向量，最后利用向量法求得二面角的余弦值.
20．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
（1）设，，，用，，表示；
（2）若求．
【答案】（1）解：连接，．．
因为为的中点，，所以，，
所以；
（2）解：因为，
所以
因为平面，平面，平面，平面，
所以，，．
又，
所以，
即．
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）连接，，根据向量的线性运算表示；
（2）由（1）知，再表示，最后根据数量积运算求解即可.
21．如图，在正方体中，分别是的中点
（1）证明：平面.
（2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由.
【答案】（1）证明：以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
由中点坐标公式可得，
则，，，
，
，
，，
即，，
又，平面，
平面.
（2）解：假设存在，使平面，设，
则，
由（1）知，是平面的一个法向量，
则，
解得，
故存在，满足，使平面.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示结合线面垂直判定定理证明即可；
（2）假设存在，使平面，设，根据向量法判断线面是否平行即可.
22．如图，为圆柱底面圆周上三个不同的点，分别为半圆柱的三条母线，且是的中点，分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若是上的动点（含弧的端点），求与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明：因为分别为半圆柱的三条母线，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面平面，
所以平面.
（2）解：记的中点为，点在平面内的投影记为，连接.
因为是半圆的中点，所以.
易知平面两两相互垂直，且.
以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.
点在平面内的单位圆上，其坐标不妨记为，则，.
设平面的法向量为，
则即令，得.
设与平面所成的角为，
则
，
当且仅当时，与平面所成角的正弦值取得最大值，且最大值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过证明从而证明 平面；
（2）记的中点为，点在平面内的投影记为，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量求 与平面所成角的正弦值.
1 / 1广东省深圳市名校2023-2024学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
3．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．在长方体中，（ ）
A． B． C． D．
5．若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（ ）
A．3或 B．3 C．或 D．
8．在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、多选题
9．已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是空间的一个基底，则可以与向量构成空间的一个基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在圆台中，分别为圆的直径，，圆台的体积为为内侧上更靠近的三等分点，以为坐标原点，下底面垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．的坐标为
B．
C．平面的一个法向量为
D．到平面的距离为
12．在正四面体中，分别是的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．异面直线与所成的角为
三、填空题
13．已知分别是平面的法向量，且，则 .
14．已知点，点在轴上，为直角三角形，请写出的一个坐标： ．
15．在空间直角坐标系中，向量，则的最大值为 ．
16．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，，G为的外心，D为直线上的一动点，设直线与所成的角为，则的取值范围为 ．
四、解答题
17．已知直线经过两点，经过两点．
（1）若，求的值；
（2）若的倾斜角互余，求的值．
18．在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为．
（1）求的坐标；
（2）求四边形的面积．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且．
（1）证明：．
（2）若，求二面角的余弦值．
20．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
（1）设，，，用，，表示；
（2）若求．
21．如图，在正方体中，分别是的中点
（1）证明：平面.
（2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在.请说明理由.
22．如图，为圆柱底面圆周上三个不同的点，分别为半圆柱的三条母线，且是的中点，分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若是上的动点（含弧的端点），求与平面所成角的正弦值的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的特点，直接写点的坐标.
2．【答案】D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：由向量，可得，故.
故答案为：D.
【分析】根据向量线性运算得坐标表示，直接写答案即可.
3．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由，可得，所以直线的倾斜角为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件先求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系可得直线的倾斜角.
4．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解： 在长方体中， 因为，所以.
故答案为：A.
【分析】根据长方体的特征以及向量的线性运算化简即可.
5．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，由于直线的倾斜角的取值范围为， 若直线的斜率大于1 ，得，，故.
故答案为：B.
【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系即可确定倾斜角的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：如图所示：
过点作，过作，垂足分别为，连接，易得平面，则，又因为，，所以平面，故，又因为，所以，所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：D.
【分析】利用空间几何体求出向量的投影向量即可.
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；直线的倾斜角；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，由题意可得，即，解得，因为，所以，故，即直线的倾斜角为锐角，且直线的斜率为3.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，设直线的倾斜角为，由求得，利用倾斜角和斜率的关系即可求得直线的斜率.
8．【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
易得，则，记，所以，故点到直线的距离为.
故答案为：C.
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求到直线的距离即可.
9．【答案】A,C
【知识点】直线的斜率；直线的方向向量
【解析】【解答】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为
A、对应的斜率为，故A正确；
B、对应得斜率为，故B错误；
C、对应得斜率为，故C正确；
D、对应得斜率为，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以与向量不能构成一个基底，故A不符合题意；
B、假设存在，使得，即，无解，即不存在，所以假设不成立，即，不共面，故B符合题意；
C、假设存在，使得即，无解，故不存在，所以假设错误，所以与不共面，故C符合题意；
D、因为，所以与共面，故D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据空间向量的基本定理判断向量是否共面即可求解.
11．【答案】A,B,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：A、因为 圆台的体积为，所以，解得，则的坐标为，故A正确；
B、连接，设在底面的射影点为，连接，如图所示：
易得，则，，所以，故B正确；
C、设平面的一个法向量为，因为，所以，则，令，则 ，故C错误；
D、由A选项可知，则 到平面的距离为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据圆台的体积为即可求得，判断A正确；由点位置可求得，即可判断B正确；设平面的一个法向量为，利用法向量的定义可知平面的一个法向量为，即可判断C错误；由点到平面距离的向量公式可得到平面的距离为，即可判断D正确.
12．【答案】B,C
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题可得正四面体如图所示：
，故A错误，B正确；
设的中点为，连接，，所以平面，即，故，又因为为等边三角形，为的中点，所以，，则，因为，所以，故C正确；
D、取的中点为，连接，，故为异面直线与所成的角或其补角，，所以是以为直角的等腰直角三角形，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由图根据向量的线性运算以及向量数量积的运算律可求得的值，从而判断A，B；根据向量的夹角公式可求的值，结合夹角取值范围判断范围，即可判断C；根据平移法作出异面直线与所成的角，解三角形求得该角大小，判断D即可.
13．【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以，解得.
故答案为：-3.
【分析】根据平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，利用向量平行的坐标表示即可求得的值.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】斜率的计算公式；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：设点的坐标为，易得，则，
当A为直角时，，解得，则；
当B为直角时，，解得，则；
当C为直角时，化简得，无解.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据题意设点的坐标为，分别求出，再对直角进行分类讨论并利用直线垂直的斜率关系可求得的一个坐标.
15．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为向量，所以，，则，当且仅当，时等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件先求向量的模，再根据向量数量积公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系：
设，则，因为平面，所以为直角三角形，则为的中点，，设，则，，，所以，当时，；当时，，综上，又因为，所以.
故答案为：.
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，设，求得分和求其取值范围，从而得到的取值范围.
17．【答案】（1）解：，
因为，
所以，得，
经检验，符合题意，
所以；
（2）解：因为的倾斜角互余，
设的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
所以，得．
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）根据，可得，利用斜率公式计算即可，最后检验即可；
（2）设的倾斜角为，因为的倾斜角互余，则直线的倾斜角为，结合斜率公式求解即可.
18．【答案】（1）解：设点的坐标为，
由，可得，
因为四边形是平行四边形，可得，
所以，解得，即点的坐标为.
（2）解：由题意得，则，
所以，可得，
故四边形的面积为．
【知识点】空间中的点的坐标；空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）设点的坐标为，根据，列方程组求解即可；
（2）根据题意求得以及，利用向量的夹角公式求得，再根据同角三角函数基本关系求得，代入面积公式即可得四边形的面积.
19．【答案】（1）解：四边形为正方形，．
底面平面．
又平面平面．
平面．
（2）解：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
由（1）知平面，则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，得，
，
由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据已知条件推出平面，从而证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得的坐标，由（1）知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，根据求其法向量，最后利用向量法求得二面角的余弦值.
20．【答案】（1）解：连接，．．
因为为的中点，，所以，，
所以；
（2）解：因为，
所以
因为平面，平面，平面，平面，
所以，，．
又，
所以，
即．
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）连接，，根据向量的线性运算表示；
（2）由（1）知，再表示，最后根据数量积运算求解即可.
21．【答案】（1）证明：以D为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
由中点坐标公式可得，
则，，，
，
，
，，
即，，
又，平面，
平面.
（2）解：假设存在，使平面，设，
则，
由（1）知，是平面的一个法向量，
则，
解得，
故存在，满足，使平面.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示结合线面垂直判定定理证明即可；
（2）假设存在，使平面，设，根据向量法判断线面是否平行即可.
22．【答案】（1）证明：因为分别为半圆柱的三条母线，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面平面，
所以平面.
（2）解：记的中点为，点在平面内的投影记为，连接.
因为是半圆的中点，所以.
易知平面两两相互垂直，且.
以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.
点在平面内的单位圆上，其坐标不妨记为，则，.
设平面的法向量为，
则即令，得.
设与平面所成的角为，
则
，
当且仅当时，与平面所成角的正弦值取得最大值，且最大值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过证明从而证明 平面；
（2）记的中点为，点在平面内的投影记为，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量求 与平面所成角的正弦值.
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