吉林省长春市重点学校2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．2
4．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．直线圆相交于，两点，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．设，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.选对得5分，少选得2分，多选或错选得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位
C．数据的方差为，则数据的方差为
D．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
10．已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．图象C关于中心对称
C．函数在区间内是增函数
D．函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到
11．在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的面积的最大值为
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，存在点，使得平面
12．已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（ ）
A． B．是偶函数
C．关于中心对称 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.
13．的展开式中含项的系数为 .
14．已知数列的前n项和为，则= .
15．已知双曲线的左 右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 .
16．如图，圆柱的底面半径和母线长均为3，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面的一个动点，且，则四面体的外接球的体积为 .
四、解答题：17题10分，18-22题每题12分，共70分.
17．已知数列的前项的和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（2020高二下·商丘期末）在 中，内角 . . 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若点 满足 ，且 ，求 的取值范围．
19．已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E，F分别为QA，BC的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
20．甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲和乙共进行了局比赛，求随机变量的分布列及数学期望．
21．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．
22．已知函数，其中a为实数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合 ，解得：故A集合为：
，则，则中元素有：
故答案为：B.
【分析】根据，解得然后得集合A，然后在根据交集的运算即可求解.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：令，则
即：解得：
则
故答案为：D.
【分析】令，然后运用复数的运算规则对进行计算，然后对应实部和虚部列方程组，进行求解即可.
3．【答案】C
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：对两边平方得：
化简得：①，又，代入①得：
故答案为：C.
【分析】运用向量的数量积进行运算即可。
4．【答案】B
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：设 椭圆 的焦点坐标为（c，0）又 抛物线 的焦点坐标为（）因为椭圆C与抛物线的焦点重合，则，将圆 化为标准方程得：
，则圆的半径r=4，又椭圆的长轴2a=r，则a=2，
故椭圆的标准方程为：
故答案为：B.
【分析】抛物的焦点为（），可得出椭圆的焦点，从而得到，将圆的一般方程化为标准方程得r=4，即可得到椭圆的长轴，可得a=2，算出b，即可得椭圆的标准方程.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解： 函数 则，在区间上单调递减
对恒成立，即对恒成立，令，则：。又，所以当时，
当时，，故在[1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增.又
所以在上的最大值为17，对恒成立，则只需：即可.
故答案为：C.
【分析】利用导函数小于零时函数单调递减，对求导，得到，又在区间上单调递减对恒成立，然后运用分离参数得到：，在利用导函数判定增减性，找出的值域即可求解.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：充分条件证明：当k=-1时，直线l： y=-x+1，则圆心到直线的距离，
又圆的半径r=1，又垂径定理及勾股定理得：，则，
充分条件得证；必要条件：当，由垂径定理及勾股定理得：，又根据点到直线的距离解得：，
故必要条件不成立.
故答案为：A.
【分析】利用点到直线的距离公式、垂径定理、勾股定理进行分别证明充分条件和必要条件。
7．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：对等式 进行化简得：即，又由辅助角公式得：
，则，又
故，解得：，
故答案为：B.
【分析】先对题目中的已知等式进行化简得到：，然后灵活运用“1”、二倍角公式及辅助角公式进行化简得到：，在根据已知条件算出
的范围，然后即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： ，故，即：
，又 ， ，由重要不等式得：当且仅当时取“=”又 ，解得：
当且仅当：时可以取等号.
故答案为：C.
【分析】根据题目已知条件：变形得，然后灵活运用乘法为“1”的方法及重要不等式在最值求解应用.
9．【答案】A,C,D
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的频率分布估计总体分布；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A选项：因为所以这组数据1，5，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数是第八个数：16.则A选项正确；对于B选项：由线性回归方程知道：当解释变量x每增加1个单位，相应变量减少个单位，故B选项错误；对于C选项：根据方差公式：
和平均数公式：，知道每个数扩大3倍，再加1，则平均数扩大3倍再加1，方差则扩大9倍，故C选项正确；对于D选项：由
，得：平均数为2，所以这组样本数据的总和为：，故D选项正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】根据百分位数的定义即可判定A选项，在根据线性回归方程判定B选项，由方差及平均数公式判定CD选项即可.
10．【答案】C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：
，则当即：时，有最大值为，故A选项错误；令解得：，则的对称中心为：，故B选项错误；令解得：，故K=0时可得函数的一个增区间为：，故C选项正确；
函数的图像上，横坐标伸长到原来的2得：再向左平移可得：，故D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】根据已知条件根据三角函数恒等变幻公式得到：，当即可求得函数的最大值；通过令可求得函数的对称中心，令求函数的单调增区间，在通过函数图象的伸缩平移变幻得到D选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于选项： 点满足 ，则当时，，即点P在上运动，则当点P与点重合时，的面积有最大值，因为在 直三棱柱中满足 则，此时，的面积有最大值，故A选项正确；对于B选项：则当时，，点P在上运动，则 三棱锥的体积，在直三棱柱 中 底面为等腰直角三角形 可得到平面BPC的距离为定值：，又，则点P到直线BC的距离恒为定值：1，，所以：，即三棱锥的体积的为定值
故B选项正确；对于C选项：当时，因为则：，设BC中点
为M，的中点为N，故点P在MN上运动，当点P与点M重合时，，且
，平面，故平面，又因为平面，所以，又当点P与点N重合时，平面，即平面，则
故C选项错误；
对于D选项：因为 在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形 ，故直线两两垂直，故以所在直线为x轴、以所在直线为y轴、以所在直线为z轴建立空间直角坐标系：
设的中点为H，的中点为G，当时，，则点P在
线段HG上运动，则，则
，设平面的一个法向量
则，令，解得：，故，
当时，与平行，则存在 点使得平面，故D选项正确.
故答案为：A B D.
【分析】对于A B选项，利用空间向量的加法及 直三棱柱 的性质及线面平行等几何方法进行判定即可，对于C、D选项则借助空间向量的坐标运算进行计算解决即可.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：令x=y=0，则因为 数对任意实数都有
所以：解得：或故A选项错误；当时，令，由得：即，此时为偶函数，当时，令得解得：，此时既是奇函数又是偶函数，故B选项正确；令，则化简可得：，所以关于中心对称；故C选项正确；由C选项知：关于中心对称可得：，又由B选项知：为偶函数，，即函数的周期，又令，则
，故，从而，故D选项正确；
故答案为：BCD.，
【分析】对于A选项进行赋值计算即可，对于B选项利用赋值的方法得到：得到为偶函数，则考虑常数函数的特殊情况即可；对于C选项利用得到即可得到函数的对称中心，对于D选项利用偶函数的性质得到函数的周期为2，然后进行化简计算即可求解.
13．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由二项式展开式通项公式得：，化简得：， 令，解得：，则含的系数为：
故答案为：.
【分析】l利用二项式定理，写出其展开通项：，然后在利用赋值法令解出r，再带入系数项即可求解.
14．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为：①，所以：②， ①-②得：，又因为时，则，化简得：，
所以：当时，是以为首项，2为公比等比数列。由得：。故时，
，又当n=1时，不满足题意。故：；
故答案为：：
【分析】：根据，结合，递推出：，然后得到，在化简，最后检验当n=1时，即可.
15．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 设双曲线：的焦距为，假设点P在第一象限，根据题意作出图像如下：
由题意得：，且，所以四边形为平行四边形，又 与垂直，则平行四边形为菱形，由此可得：，又在中：，所以：，
故：，在中由余弦定理得：即：
解得：，又根据双曲线的定义得：即：
，变形得：，所以双曲线的离心率为：
故答案为：.
【分析】：根据已知条件判定出四边形为菱形，从而得到：，在根据在直角三角形中
对的直角边等于斜边的一半，从而算出，在根据余弦定理解出，在根据双曲线的定义找到a、c的关系即可求出双曲线的离心率.
16．【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；球面上的勾股定理
【解析】【解答】解：因为是底面圆的直径，且为圆上一点
所以，
因为，且是中线，
所以，
所以是等腰直角三角形，
因为底面圆半径为，
所以，
又因为底面圆，
所以，且，
所以，
又因为，，
所以，
所以，
所以，
又因为，且点是中点，
所以点为中点，是中位线，
所以，所以
在中，
，
同理，，，，
所以，
所以点为四面体的外接球的球心，
所以
故答案为：.
【分析】首先题意得到是等腰直角三角形，再由线面垂直，得到，在各直角三角形中，利用勾股定理，得到，从而得到点为四面体的外接球的球心，最后根据球的体积公式求出值.
17．【答案】（1）解：当时，，当时，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.
（2）解：，…①
…②
①-②得
，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）依据：当n=1时，从而解得：，再根据：，递推出
，从而得出：，再根据等比数列的通项公式进行求解即可，且检验n=1时的情况.
（2）由（1）知：，从而求出，所以：，再利用错位相减法进行求和即可.
18．【答案】（1）解：
根据正弦定理得
又
（2）解：在 中，根据余弦定理得
即
又
又
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理整理求出 ，即可求得角 的大小；（2）利用余弦定理及常用不等式求解即可
19．【答案】（1）解：设是线段的中点，连接，过作，垂足为，
因为四边形为等腰梯形，，，
所以，，
因为是的中点，可得，
则，即四边形为平行四边形，
可得，所以，
又因为四边形是边长为2的菱形，且，
则是边长为2的等边三角形，可得，
则，可得，
因为平面平面，
所以平面，
且平面，所以平面平面.
（2）解：以为原点、分别为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，则，可得，
则点到平面的距离为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据证明平面QPDA平面ABCD，则需在平面ABCD中一条直线垂直平面QPDA（把面面垂直转化为线面垂直），结合F为BC的中点，故考虑取线段AD的中点，连结OF，证明OF垂直平面QPDA，又根据四边形ABCD为等腰梯形，过点D做DMBC，通过证明得到：从而证明，再通过等边三角形及勾股定理证得：，所以：即可得证：
.
（2）由（1）知：OQ、OD、OF两两垂直，故以OF、OD、OQ分为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标及然后求出平面QFD的法向量，然后利用点到直线的距离公式：进行求解即可.
20．【答案】（1）解：由题意知，比赛三局且甲获胜的概率，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为．
（2）解：随机变量的取值为3，4，5，
则，，
，
所以随机变量的分布列为
3 4 5
所以．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；概率分布列
【解析】【分析】（1）根据题意知道甲获胜有三种情况：三局全胜、四局胜三局、五局胜三局，（五局胜三局的情况要注意前四局甲只能胜两局，第五局甲必须输），然后分别求出相应的概率，然后再由分类计数原理求解即可；
（2）根据题意知道：随机变量X的取值为3、4、5；然后求出相应的概率：，然后列出分布列，由数学期望公式：
进行求解即可.
21．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，且点在椭圆上
所以，，即，解得，，
所以，椭圆的方程是.
（2）解：设直线与轴的交点为，直线，与椭圆交点为，，
联立，，得，
∴，，
∴，即，
∵，∴，
∴，
令，
设，则，当且仅当，即，等号成立，
∴，
∴面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率公式：，把点带入椭圆标准方程得：，以及椭圆中有：建立方程组，解方程组即可求解；
（2）因为，所以直线l的斜率一定存在且不为0，故可设出直线与x轴交点的坐标D（n，0）
在写出直线l方程：，故可联立直线与椭圆的方程消去x得：
由韦达定理及中点坐标公式得出点H的坐标，再结合，得到m与n的关系，通过将三角形POQ分割为两个三角形即三角形POD和三角形QOD得到三角形POQ的面积表达式：，在把表达出来，通过换元法及1重要不等式求出最小值，然后开方既得三角形POQ的面积最大值.
22．【答案】（1）解：当时，，，
，又，
∴曲线在点处的切线方程为．
（2）解：①当时，，则，故，
令，则，
令，则在上恒成立，
∴在上单调递减，
∴当时，，∴，
∴在上单调递增，，∴．
②当时，，则，故．
由①知当时，，
在上单调递增，当时，，
∴，∴在上单调递增，
∴，∴．
综合①②得：.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）把a=2带入即可得函数的解析式，并得到的函数值，然后再对函数求导，根据导函数的几何意义可得点处切线的斜率，然后再由点斜式即可写出函数在处的切线方程；（2）根据题意分：和两种情况进行分类讨论，由
，①当时可变形为：，构造新函数：，然后对求导，利用导函数判定出在上单调递增，找出在（0，1）上的最大值，②当时，可变形为：，并结合①知道在上单调递增，找到在上的最小值，最后综合①②即可求解.
1 / 1吉林省长春市重点学校2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合 ，解得：故A集合为：
，则，则中元素有：
故答案为：B.
【分析】根据，解得然后得集合A，然后在根据交集的运算即可求解.
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：令，则
即：解得：
则
故答案为：D.
【分析】令，然后运用复数的运算规则对进行计算，然后对应实部和虚部列方程组，进行求解即可.
3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：对两边平方得：
化简得：①，又，代入①得：
故答案为：C.
【分析】运用向量的数量积进行运算即可。
4．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：设 椭圆 的焦点坐标为（c，0）又 抛物线 的焦点坐标为（）因为椭圆C与抛物线的焦点重合，则，将圆 化为标准方程得：
，则圆的半径r=4，又椭圆的长轴2a=r，则a=2，
故椭圆的标准方程为：
故答案为：B.
【分析】抛物的焦点为（），可得出椭圆的焦点，从而得到，将圆的一般方程化为标准方程得r=4，即可得到椭圆的长轴，可得a=2，算出b，即可得椭圆的标准方程.
5．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解： 函数 则，在区间上单调递减
对恒成立，即对恒成立，令，则：。又，所以当时，
当时，，故在[1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增.又
所以在上的最大值为17，对恒成立，则只需：即可.
故答案为：C.
【分析】利用导函数小于零时函数单调递减，对求导，得到，又在区间上单调递减对恒成立，然后运用分离参数得到：，在利用导函数判定增减性，找出的值域即可求解.
6．直线圆相交于，两点，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：充分条件证明：当k=-1时，直线l： y=-x+1，则圆心到直线的距离，
又圆的半径r=1，又垂径定理及勾股定理得：，则，
充分条件得证；必要条件：当，由垂径定理及勾股定理得：，又根据点到直线的距离解得：，
故必要条件不成立.
故答案为：A.
【分析】利用点到直线的距离公式、垂径定理、勾股定理进行分别证明充分条件和必要条件。
7．设，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：对等式 进行化简得：即，又由辅助角公式得：
，则，又
故，解得：，
故答案为：B.
【分析】先对题目中的已知等式进行化简得到：，然后灵活运用“1”、二倍角公式及辅助角公式进行化简得到：，在根据已知条件算出
的范围，然后即可求出答案.
8．已知，，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： ，故，即：
，又 ， ，由重要不等式得：当且仅当时取“=”又 ，解得：
当且仅当：时可以取等号.
故答案为：C.
【分析】根据题目已知条件：变形得，然后灵活运用乘法为“1”的方法及重要不等式在最值求解应用.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.选对得5分，少选得2分，多选或错选得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位
C．数据的方差为，则数据的方差为
D．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
【答案】A,C,D
【知识点】简单随机抽样；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的频率分布估计总体分布；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A选项：因为所以这组数据1，5，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数是第八个数：16.则A选项正确；对于B选项：由线性回归方程知道：当解释变量x每增加1个单位，相应变量减少个单位，故B选项错误；对于C选项：根据方差公式：
和平均数公式：，知道每个数扩大3倍，再加1，则平均数扩大3倍再加1，方差则扩大9倍，故C选项正确；对于D选项：由
，得：平均数为2，所以这组样本数据的总和为：，故D选项正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】根据百分位数的定义即可判定A选项，在根据线性回归方程判定B选项，由方差及平均数公式判定CD选项即可.
10．已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．图象C关于中心对称
C．函数在区间内是增函数
D．函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到
【答案】C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：
，则当即：时，有最大值为，故A选项错误；令解得：，则的对称中心为：，故B选项错误；令解得：，故K=0时可得函数的一个增区间为：，故C选项正确；
函数的图像上，横坐标伸长到原来的2得：再向左平移可得：，故D选项正确.
故答案为：CD.
【分析】根据已知条件根据三角函数恒等变幻公式得到：，当即可求得函数的最大值；通过令可求得函数的对称中心，令求函数的单调增区间，在通过函数图象的伸缩平移变幻得到D选项.
11．在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的面积的最大值为
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，存在点，使得平面
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于选项： 点满足 ，则当时，，即点P在上运动，则当点P与点重合时，的面积有最大值，因为在 直三棱柱中满足 则，此时，的面积有最大值，故A选项正确；对于B选项：则当时，，点P在上运动，则 三棱锥的体积，在直三棱柱 中 底面为等腰直角三角形 可得到平面BPC的距离为定值：，又，则点P到直线BC的距离恒为定值：1，，所以：，即三棱锥的体积的为定值
故B选项正确；对于C选项：当时，因为则：，设BC中点
为M，的中点为N，故点P在MN上运动，当点P与点M重合时，，且
，平面，故平面，又因为平面，所以，又当点P与点N重合时，平面，即平面，则
故C选项错误；
对于D选项：因为 在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形 ，故直线两两垂直，故以所在直线为x轴、以所在直线为y轴、以所在直线为z轴建立空间直角坐标系：
设的中点为H，的中点为G，当时，，则点P在
线段HG上运动，则，则
，设平面的一个法向量
则，令，解得：，故，
当时，与平行，则存在 点使得平面，故D选项正确.
故答案为：A B D.
【分析】对于A B选项，利用空间向量的加法及 直三棱柱 的性质及线面平行等几何方法进行判定即可，对于C、D选项则借助空间向量的坐标运算进行计算解决即可.
12．已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（ ）
A． B．是偶函数
C．关于中心对称 D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：令x=y=0，则因为 数对任意实数都有
所以：解得：或故A选项错误；当时，令，由得：即，此时为偶函数，当时，令得解得：，此时既是奇函数又是偶函数，故B选项正确；令，则化简可得：，所以关于中心对称；故C选项正确；由C选项知：关于中心对称可得：，又由B选项知：为偶函数，，即函数的周期，又令，则
，故，从而，故D选项正确；
故答案为：BCD.，
【分析】对于A选项进行赋值计算即可，对于B选项利用赋值的方法得到：得到为偶函数，则考虑常数函数的特殊情况即可；对于C选项利用得到即可得到函数的对称中心，对于D选项利用偶函数的性质得到函数的周期为2，然后进行化简计算即可求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.
13．的展开式中含项的系数为 .
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由二项式展开式通项公式得：，化简得：， 令，解得：，则含的系数为：
故答案为：.
【分析】l利用二项式定理，写出其展开通项：，然后在利用赋值法令解出r，再带入系数项即可求解.
14．已知数列的前n项和为，则= .
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为：①，所以：②， ①-②得：，又因为时，则，化简得：，
所以：当时，是以为首项，2为公比等比数列。由得：。故时，
，又当n=1时，不满足题意。故：；
故答案为：：
【分析】：根据，结合，递推出：，然后得到，在化简，最后检验当n=1时，即可.
15．已知双曲线的左 右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解： 设双曲线：的焦距为，假设点P在第一象限，根据题意作出图像如下：
由题意得：，且，所以四边形为平行四边形，又 与垂直，则平行四边形为菱形，由此可得：，又在中：，所以：，
故：，在中由余弦定理得：即：
解得：，又根据双曲线的定义得：即：
，变形得：，所以双曲线的离心率为：
故答案为：.
【分析】：根据已知条件判定出四边形为菱形，从而得到：，在根据在直角三角形中
对的直角边等于斜边的一半，从而算出，在根据余弦定理解出，在根据双曲线的定义找到a、c的关系即可求出双曲线的离心率.
16．如图，圆柱的底面半径和母线长均为3，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面的一个动点，且，则四面体的外接球的体积为 .
【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；球面上的勾股定理
【解析】【解答】解：因为是底面圆的直径，且为圆上一点
所以，
因为，且是中线，
所以，
所以是等腰直角三角形，
因为底面圆半径为，
所以，
又因为底面圆，
所以，且，
所以，
又因为，，
所以，
所以，
所以，
又因为，且点是中点，
所以点为中点，是中位线，
所以，所以
在中，
，
同理，，，，
所以，
所以点为四面体的外接球的球心，
所以
故答案为：.
【分析】首先题意得到是等腰直角三角形，再由线面垂直，得到，在各直角三角形中，利用勾股定理，得到，从而得到点为四面体的外接球的球心，最后根据球的体积公式求出值.
四、解答题：17题10分，18-22题每题12分，共70分.
17．已知数列的前项的和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：当时，，当时，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.
（2）解：，…①
…②
①-②得
，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）依据：当n=1时，从而解得：，再根据：，递推出
，从而得出：，再根据等比数列的通项公式进行求解即可，且检验n=1时的情况.
（2）由（1）知：，从而求出，所以：，再利用错位相减法进行求和即可.
18．（2020高二下·商丘期末）在 中，内角 . . 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若点 满足 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：
根据正弦定理得
又
（2）解：在 中，根据余弦定理得
即
又
又
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理整理求出 ，即可求得角 的大小；（2）利用余弦定理及常用不等式求解即可
19．已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E，F分别为QA，BC的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）解：设是线段的中点，连接，过作，垂足为，
因为四边形为等腰梯形，，，
所以，，
因为是的中点，可得，
则，即四边形为平行四边形，
可得，所以，
又因为四边形是边长为2的菱形，且，
则是边长为2的等边三角形，可得，
则，可得，
因为平面平面，
所以平面，
且平面，所以平面平面.
（2）解：以为原点、分别为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，则，可得，
则点到平面的距离为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据证明平面QPDA平面ABCD，则需在平面ABCD中一条直线垂直平面QPDA（把面面垂直转化为线面垂直），结合F为BC的中点，故考虑取线段AD的中点，连结OF，证明OF垂直平面QPDA，又根据四边形ABCD为等腰梯形，过点D做DMBC，通过证明得到：从而证明，再通过等边三角形及勾股定理证得：，所以：即可得证：
.
（2）由（1）知：OQ、OD、OF两两垂直，故以OF、OD、OQ分为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标及然后求出平面QFD的法向量，然后利用点到直线的距离公式：进行求解即可.
20．甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设比赛结束时甲和乙共进行了局比赛，求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：由题意知，比赛三局且甲获胜的概率，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为．
（2）解：随机变量的取值为3，4，5，
则，，
，
所以随机变量的分布列为
3 4 5
所以．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；概率分布列
【解析】【分析】（1）根据题意知道甲获胜有三种情况：三局全胜、四局胜三局、五局胜三局，（五局胜三局的情况要注意前四局甲只能胜两局，第五局甲必须输），然后分别求出相应的概率，然后再由分类计数原理求解即可；
（2）根据题意知道：随机变量X的取值为3、4、5；然后求出相应的概率：，然后列出分布列，由数学期望公式：
进行求解即可.
21．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．
【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，且点在椭圆上
所以，，即，解得，，
所以，椭圆的方程是.
（2）解：设直线与轴的交点为，直线，与椭圆交点为，，
联立，，得，
∴，，
∴，即，
∵，∴，
∴，
令，
设，则，当且仅当，即，等号成立，
∴，
∴面积的最大值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率公式：，把点带入椭圆标准方程得：，以及椭圆中有：建立方程组，解方程组即可求解；
（2）因为，所以直线l的斜率一定存在且不为0，故可设出直线与x轴交点的坐标D（n，0）
在写出直线l方程：，故可联立直线与椭圆的方程消去x得：
由韦达定理及中点坐标公式得出点H的坐标，再结合，得到m与n的关系，通过将三角形POQ分割为两个三角形即三角形POD和三角形QOD得到三角形POQ的面积表达式：，在把表达出来，通过换元法及1重要不等式求出最小值，然后开方既得三角形POQ的面积最大值.
22．已知函数，其中a为实数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明.
【答案】（1）解：当时，，，
，又，
∴曲线在点处的切线方程为．
（2）解：①当时，，则，故，
令，则，
令，则在上恒成立，
∴在上单调递减，
∴当时，，∴，
∴在上单调递增，，∴．
②当时，，则，故．
由①知当时，，
在上单调递增，当时，，
∴，∴在上单调递增，
∴，∴．
综合①②得：.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）把a=2带入即可得函数的解析式，并得到的函数值，然后再对函数求导，根据导函数的几何意义可得点处切线的斜率，然后再由点斜式即可写出函数在处的切线方程；（2）根据题意分：和两种情况进行分类讨论，由
，①当时可变形为：，构造新函数：，然后对求导，利用导函数判定出在上单调递增，找出在（0，1）上的最大值，②当时，可变形为：，并结合①知道在上单调递增，找到在上的最小值，最后综合①②即可求解.
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