2023-2024学年山东省烟台市招远市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年山东省烟台市招远市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
3．（3分）王师傅想做一个三角形框架，他有两根长度分别为10cm和12cm的木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么，他可以把木条分为两节的是（　　）
A．10cm的木条 B．12cm的木条
C．两根都可以 D．两根都不行
4．（3分）如图，用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形对应角相等”这一性质，其中运用判定全等的方法是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
5．（3分）下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝60°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．60°
7．（3分）底边长为8，底边上的高为3的等腰三角形的腰长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．5或6
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠CBD＝42°，则∠ADB的度数为（　　）
A．58° B．96° C．106° D．116°
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点P是△ABC内一点，连接PB、PC，若∠1＝∠2，则∠BPC的度数是（　　）
A．95° B．100° C．105° D．115°
10．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝12cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（　　）
A．cm B．3cm C．cm D．5cm
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是　 　．
12．（3分）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 　 　，使得△ABC≌△DEF．
13．（3分）一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为　 　．
14．（3分）如图，已知BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，若AC＝9，AE＝2，则线段DC的长为 　 　．
15．（3分）在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交直线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数为 　 　．
16．（3分）“多米诺骨牌效应”告诉我们：一个最小的力量能够引起的或许只是察觉不到的渐变，但是它所引发的却可能是天翻地覆的变化，依次推倒的能量一个比一个大，如图是设计者开始摆放的大小相同的骨牌，骨牌之间等距平行摆放，长、宽、高如图所示（单位：cm）若要求第一张骨牌倒下接触到第二张骨牌高的处（由下向上，距离上端较近）时，两张骨牌之间的距离是 　 　cm．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17．（6分）利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．
18．（6分）小明踢足球时，不慎将一块三角形玻璃打碎成三块，如图所示，请你选择图①、图②、图③一个图形作为依据，利用尺规作图，画出与该三角形玻璃全等的三角形，便于帮助小明去配玻璃．（做出选择，保留作图痕迹，不要求写作法）
19．（8分）如图，在8x8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为2．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线I对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点B、C的距离相等，则网格中满足条件的点P共有 　 　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QA+QB的值最小，并直接写出此时QA+QB的最小值的平方 　 　．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为∠BAC的平分线上一点，连接OB、OC．
（1）试说明：∠AOB＝∠AOC；
（2）若OA＝OC，∠BAC＝36°，求∠OCB的度数．
21．（8分）如图，长为12cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C向上竖直拉升8cm到点D，则橡皮筋被拉长了多少厘米？
22．（8分）如图，小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝12，AB＝20．
（1）试说明：CE＝CF；
（2）试着求出线段CE的长．
24．（9分）课本原题呈现（如图1）：
“如图1，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠B与∠D相等吗？”
小明的思考过程如下：
在△ABC和△ADE中，
因为AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，①
所以OABC≌OADE，②
所以∠B＝∠D，③
（1）请直接写出每一步的理由：
①　 　；
②　 　；
③　 　．
（2）若将原题中的条件“∠BAC＝∠DAE”改变为“AB⊥AD，AC⊥AE”，原结论还成立吗？请说明理由．
（3）拓展：如图2，AD＝AC，∠1＝∠2＝28°，∠D＝∠C，点E在线段BC上，试求∠AED的度数．
25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，试问：动点P的运动时间为多少时，△ABP为直角三角形．
2023-2024学年山东省烟台市招远市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
【分析】由三角形有两个内角的和是100°，可得出这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，结合三角形的分类，可得出这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，即不能确定．
【解答】解：∵三角形有两个内角的和是100°，
∴这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，
∴这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，
∴这个三角形不能确定．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的分类，牢记“三角形按角分类可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是解题的关键．
3．（3分）王师傅想做一个三角形框架，他有两根长度分别为10cm和12cm的木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么，他可以把木条分为两节的是（　　）
A．10cm的木条 B．12cm的木条
C．两根都可以 D．两根都不行
【分析】三角形两边之和大于第三边．依此即可求解．
【解答】解：∵三角形的任意两边之和大于第三边，10cm＜12cm，
∴两根长度分别为10cm和12cm的细木条做一个三角形的框架，可以把12cm的细木条分为两截．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．
4．（3分）如图，用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形对应角相等”这一性质，其中运用判定全等的方法是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【分析】由作图可得OA＝OB＝MC＝MD，AB＝CD，根据全等三角形的判定可得答案．
【解答】解：由作图可知，OA＝OB＝MC＝MD，AB＝CD，
∴△AOB≌△CMD（SSS）．
故选：C．
【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、基本尺规作图的方法是解答本题的关键．
5．（3分）下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，
∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意；
B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意；
C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意；
D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝60°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【分析】由全等三角形的性质推出∠A′CB′＝∠ACB＝60°，而∠ACB＝60°，∠ACB′＝100°，求出∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝40°，即可得到∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝20°．
【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′CB′＝∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝60°，∠ACB′＝100°，
∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝40°，
∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝60°﹣40°＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由△ACB≌△A′CB′，得到∠A′CB′＝∠ACB＝60°．
7．（3分）底边长为8，底边上的高为3的等腰三角形的腰长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．5或6
【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CD＝BC＝4cm，由勾股定理求出AD即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵BC＝8，
∴BD＝4，
又AD＝3，
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理得出AD是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠CBD＝42°，则∠ADB的度数为（　　）
A．58° B．96° C．106° D．116°
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠DBC＝42°，
∴∠ABC＝∠C＝42°+∠A，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠A+42°+∠A+42°＝180°，
∴∠A＝32°，
∴∠C＝42°+32°＝74°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝42°+74°＝116°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点P是△ABC内一点，连接PB、PC，若∠1＝∠2，则∠BPC的度数是（　　）
A．95° B．100° C．105° D．115°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠1+∠PBC＝75°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠PBC＝75°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠2+∠PBC）＝180°﹣75°＝105°，
故选：C．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答．
10．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝12cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（　　）
A．cm B．3cm C．cm D．5cm
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【解答】解：∵AC＝5cm，BC＝12cm，
∴AB＝＝13cm，
∵AE＝AC＝5cm（折叠的性质），
∴BE＝8cm，
设CD＝x，则在Rt△DEB中，82+x2＝（12﹣x）2，
∴x＝cm．
故选：A．
【点评】本题考查了折叠的性质、一元二次方程的运用以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是　底边的中垂线　．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的中垂线．
故答案为：底边的中垂线．
【点评】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
12．（3分）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 　AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF或AD＝BE（只需添加一个即可）　，使得△ABC≌△DEF．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A＝∠EDF，∠ABC＝∠E，故添加AB＝DE、BC＝EF或AC＝DF根据ASA、AAS即可解题．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠E，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
同理，BC＝EF或AC＝DF也可证△ABC≌△DEF．
故答案为AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF或AD＝BE（只需添加一个即可）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．（3分）一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为　150cm2　．
【分析】先设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，再由其周长为60cm求出x的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．
∵其周长为60cm，
∴3x+4x+5x＝60，解得x＝5，
∴三角形的三边长分别是15，20，25．
∵152+202＝252，
∴此三角形是直角三角形，
∴S＝×15×20＝150（cm2）．
故答案为：150cm2．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
14．（3分）如图，已知BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，若AC＝9，AE＝2，则线段DC的长为 　7　．
【分析】利用AAS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】解：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD＝AE＝2，
∵AC＝9，
∴DC＝AC﹣AD＝7，
故答案为：7．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
15．（3分）在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交直线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数为 　25°或115°　．
【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC＝AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：如图，点D即为所求；
在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
由作图可知：AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝80°﹣55°＝25°；
由作图可知：AC＝AD'，
∴∠ACD'＝∠AD'C，
∵∠ACD'+∠AD'C＝∠BAC＝70°，
∴∠AD'C＝35°，
∴∠BCD'＝180°﹣∠ABC﹣∠AD'C＝180°﹣30°﹣35°＝115°．
综上所述：∠BCD的度数是25°或115°．
故答案为：25°或115°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
16．（3分）“多米诺骨牌效应”告诉我们：一个最小的力量能够引起的或许只是察觉不到的渐变，但是它所引发的却可能是天翻地覆的变化，依次推倒的能量一个比一个大，如图是设计者开始摆放的大小相同的骨牌，骨牌之间等距平行摆放，长、宽、高如图所示（单位：cm）若要求第一张骨牌倒下接触到第二张骨牌高的处（由下向上，距离上端较近）时，两张骨牌之间的距离是 　4　cm．
【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由题意得：AD＝AB＝EC＝5cm，BC＝CE，
∴BC＝3cm，
由勾股定理得：AC＝＝＝4（cm），
∴两张骨牌之间的距离是4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17．（6分）利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．
【分析】根据轴对称轴图形的定义，画出图形即可．
【解答】解：如图所示：
，
此图形可以代表一个电灯泡．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质解题的关键．
18．（6分）小明踢足球时，不慎将一块三角形玻璃打碎成三块，如图所示，请你选择图①、图②、图③一个图形作为依据，利用尺规作图，画出与该三角形玻璃全等的三角形，便于帮助小明去配玻璃．（做出选择，保留作图痕迹，不要求写作法）
【分析】延长AE，BF交于点C，△ABC即为所求．
【解答】解：选择图③作为作图依据，△ABC就是所求做的三角形，全等的理由是ASA．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判断等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）如图，在8x8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为2．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线I对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）若有一格点P到点B、C的距离相等，则网格中满足条件的点P共有 　4　个；
（3）在直线l上找一点Q，使QA+QB的值最小，并直接写出此时QA+QB的最小值的平方 　34　．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中作出△ABC关于直线I对称的△A1B1C1；
（2）根据网格作BC的垂直平分线交四个格点，即可得满足条件的点P共有 4个；
（3）连接A1B交直线l于点Q，可得QA+QB的值最小，利用勾股定理即可求出QA+QB的最小值的平方．
【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求；
（2）点B、C的距离相等的点P共有4个，
故答案为：4；
（3）点Q就是所要求作的点；
∵QA+QB＝QA1+QB＝A1B，
∴QA+QB的最小值的平方为A1B2＝32+52＝34，
故答案为：34．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，线段垂直平分线的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O为∠BAC的平分线上一点，连接OB、OC．
（1）试说明：∠AOB＝∠AOC；
（2）若OA＝OC，∠BAC＝36°，求∠OCB的度数．
【分析】（1）由OA平分∠BAC可知∠BAO＝∠CAO，由SAS即可证明△BAO≌△CAO，根据全等三角形的性质得出结论；
（2）由（1）推出∠OAC＝∠OCA＝∠BAO＝∠OBA＝18°，根据等腰三角形的性质求出∠ACB＝72°，根据角的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵OA平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC，
在△BAO和△CAO中，
，
∴△BAO≌△CAO（SAS），
∴∠AOB＝∠AOC；
（2）由（1）得∠BAO＝∠CAO＝∠BAC，OB＝OC，
∵OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∵∠BAC＝36°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BAO＝∠OBA＝18°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝＝72°，
∴∠OCB＝∠ACB﹣∠OCA＝72°﹣18°＝54°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）如图，长为12cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C向上竖直拉升8cm到点D，则橡皮筋被拉长了多少厘米？
【分析】由题意得AB＝12cm，CD＝8cm，∠DCA＝∠DCB＝90°，再求出AC＝BC＝6cm，然后由勾股定理分别求出AD、BD的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：AB＝12cm，CD＝8cm，∠DCA＝∠DCB＝90°，
∵点C为AB的中点，
∴AC＝BC＝AB＝6cm，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝10（cm），
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝＝10（cm），
∴AD+BD﹣AB＝10+10﹣12＝8（cm），
答：橡皮筋被拉长了8厘米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22．（8分）如图，小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
【分析】由两次折叠知，点A在EF的中垂线上，所以AE＝AF．
【解答】答：同意．
证明：如图，设AD与EF交于点G．
∵∠BAD＝∠CAD．
又∵∠AGE＝∠DGE，∠AGE+∠DGE＝180°，
∴∠AGE＝∠AGF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF，
即△AEF为等腰三角形．
【点评】本题考查了折叠的性质，理解折叠过程中出现的相等的线段与相等的角是关键．
23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝12，AB＝20．
（1）试说明：CE＝CF；
（2）试着求出线段CE的长．
【分析】（1）证∠CFA＝∠CEF，即可得出结论；
（2）过点F作FG⊥AB于点G．证△ACF≌△AGF（AAS），得AC＝AG＝12，CF＝GF，则BG＝AB﹣AG＝8，进而由勾股定理得BC＝16，设CE＝CF＝x，则GF＝x，BF＝BC﹣CF＝16﹣x，然后在Rt△BFG中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CFA＝∠CEF，
∴CE＝CF；
（2）解：如图，过点F作FG⊥AB于点G．
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠GAF，
在△ACF和△AGF中，
，
∴△ACF≌△AGF（AAS），
∴AC＝AG＝12，CF＝GF，
∴BG＝AB﹣AG＝20﹣12＝8，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝16，
设CE＝CF＝x，则GF＝x，BF＝BC﹣CF＝16﹣x，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BF2＝BG2+FG2，
即（16﹣x）2＝82+x2，
解得：x＝6，
答：线段CE的长为6．
【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及角平分线定义等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．（9分）课本原题呈现（如图1）：
“如图1，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠B与∠D相等吗？”
小明的思考过程如下：
在△ABC和△ADE中，
因为AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，①
所以OABC≌OADE，②
所以∠B＝∠D，③
（1）请直接写出每一步的理由：
①　已知　；
②　SAS　；
③　全等三角形对应角相等　．
（2）若将原题中的条件“∠BAC＝∠DAE”改变为“AB⊥AD，AC⊥AE”，原结论还成立吗？请说明理由．
（3）拓展：如图2，AD＝AC，∠1＝∠2＝28°，∠D＝∠C，点E在线段BC上，试求∠AED的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）①已知；②SAS；③全等三角形对应角相等；
故答案为：①已知；②SAS；③全等三角形对应角相等；
（2）原结论还成立，
理由：∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠D；
（3）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴AB＝AE．∠B＝∠AED，
∵∠1＝28°，
∴∠B＝＝76°，
∴∠AED＝76°，
即∠AED的度数为76°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，试问：动点P的运动时间为多少时，△ABP为直角三角形．
【分析】当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝132﹣52＝12，
∴BC＝12（cm），
由题意知BP＝2t cm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝12cm，即2t＝12，t＝6；
②当∠BAP为直角时，BP＝2t cm，CP＝（2t﹣12）cm，AC＝5cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝52+（2t﹣12）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：132+[52+（2t﹣12）2]＝（2t）2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝6或t＝．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的分类讨论思想，能够正确地分类是解决本题的关键．