陕西省榆林市五校联考2023-2024学年高二上学期12月月考试题+数学 (原卷版+解析版)

榆林市高二年级五校第一次调研考试
数 学
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前, 考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时, 请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后, 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色中性笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 命题范围: 人教 A 版选择性必修第一册, 选择性必修第二册第四章第 1 节 第 2 节。
一、选择题: 本题共 8 小题,每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知数列 满足 , 则 （ ）
A. -1
B.
C. 2
D. 3
2. 若 , 则直线 不经过的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知 是坐标原点, 是抛物线 的焦点, 是抛物线 上一点, 则 的面积为（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4. 已知 为等差数列 的前 项和, 若 , 则 （ ）
A. 64
B. 32
C. 28
D. 22
5. 一条渐近线方程为 , 且经过点 的双曲线的标准方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知等差数列 的项数为 , 其中奇数项之和为 140 , 偶数项之和为 120 , 则 （ ）
A.6
B.7
C.12
13
的右顶点和上顶点，若原点O到直线AB 的距离是椭圆 的短轴长的 , 则椭圆 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且 , 则 （ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。
9. 已知直线 与直线 平行, 且 与 间的距离为 , 则 的方程可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图, 在四棱锥 中, 底面 是平行四边形, , 若 , 则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 某市为了改善城市中心环境, 计划将市区某工厂向城市外围迁移, 需要拆除工厂内一个高塔, 施工单位在某平台 的北偏东 方向 处设立观测点 , 在平台 的正西方向 处设立观测点 , 已知经过 三点的圆为圆 , 规定圆 及其内部区域为安全预警区.以 为坐标原点, 的正东方向为 轴正方向, 建立如图所示的平面直角坐标系. 经观测发现, 在平台 的正南方向 的 处, 有一辆小汽车沿北偏西 方向行驶, 则（ ）
A. 观测点 之间的距离是
B. 圆 的方程为
C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为
D. 小汽车会进人安全预警区
12. 经过抛物线 的焦点 的直线 交 于 两点, 为坐标原点, 设 , 的最小值是 4 , 则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若点 是线段 的中点, 则直线 的方程为
D. 若 , 则直线 的倾斜角为 或
三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分。
13. 椭圆 的四个顶点所围成的四边形的面积是________
14. 若圆 与圆 相切, 则实数 __________
15. 已知数列 的前 项和为 , 则数列 的通项公式为_________
16. 已知点 是离心率为 的双曲线 上的三点, 直线 的斜率分别是 , 点 分别是线段 的中点, 为坐标原点, 直线 的斜率分别是 , 若 , 则 __________
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分)已知 的圆心为 , 且 过点 .
(1) 求 的标准方程;
(2) 若直线 与 相切于点 , 求直线 的方程.
18. (本小题满分 12 分)如图, 在直四棱柱 中, 是棱 的中点, . 请用向量法解决下列问题.
(1) 求证: ;
(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
19. (本小题满分 12 分)已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合.
(1)求抛物线 的标准方程;
(2) 若过双曲线 的右顶点且斜率为 2 的直线 与抛物线 交于 两点,求线段 的长度.
20. (本小题满分 12 分)已知各项都为正数的数列 的前 项和为 , 且满足 .
(1) 求数列 的通项公式;
(2) 若 , 求数列 的前 项和 .
21. (本小题满分 12 分)如图,已知 与 都是边长为 2 的正三角形, 平面 平面 平面 .
(1) 求点 到平面 的距离;
(2) 求平面 与平面 的夹角的余弦值.
22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 的离心率为 , 上、下顶点分别为 , 右顶点为 , 且 的面积为 6 .
(1) 求 的方程;
(2) 若点 为 上异于顶点的一点, 直线 与 交于点 , 直线 交 轴于点 , 试判断直线 是否过定点 若是, 则求出该定点坐标; 若不是, 请说明理由.
榆林市高二年级五校第一次调研考试
数学参考答案、提示及评分细则
1. B 由 , 可推得 , 所以数列 是以 3 为周期的一个周期数列, 所以 . 故选 B.
2. A 由 知 , 所以由 得 , 又 , 所以直线的斜率 , 在 轴上的截距 , 所以直线经过二、三、四象限, 不经过第一象限. 故选 A.
3. B 因为 是 上一点, 所以 , 解得 , 又 是抛物线 的焦点, 所以 , 所以 的面积为 . 故选 .
4. C 设 的公差为 , 由题意得 解得 所以 . 故选 C.
5. A 由题意设双曲线的方程为 , 将点 代人双曲线方程得 36 , 所以双曲线的方程为 , 即 . 故选 A.
6. A 项数为 的 中奇数项共有 项, 其和为 140 ; 项数为 的 中偶数项共有 项, 其和为 , 所以 , 解得 . 故选 A.
7. D 由题意知 , 所以直线 的方程为 , 即 , 原点 到直线 的距离 , 整理得 , 所以椭圆 的离心率 . 故选 D.
8. D 因为数列 都是等差数列, 所以 , 又 , 所以 , 因此 , 在 中, 令 , 得 , 所以 . 故选 D.
9. 设所求直线的方程为 , 由题意可得 , 解得 或 -2 . 故所求直线的方程为 或 . 故选 AD.
10. ABC , 故 A 正确; , 故 B 正确; , 故 C 正确; , 故 D 错误. 故选 ABC.
11. 由题意, 得 , 所以 , 即观测点 之间的距离是 , 故 错误; 设圆 的方程为 , 因为圆 经过 三点, 所以 所以圆 的方程为 , 故 B 正确; 小汽车行驶路线所在直线的斜率为 -1 , 又点 的坐标是 , 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为 , 故 正确; 圆 化成标准方程为 , 圆心为 , 半径 , 圆心 到直线 的距离 , 所以直线 与圆 相交, 即小汽车会进人安全预警区, 故 D 正确. 故选 BCD.
12. 当直线 与 轴垂直时, 取得最小值,所以 , 所以 , 所以抛物线 的方程为 , 由题意可知直线 的斜率不为 0 , 可设直线 的方程为 , 联立 得 , 所以 错误; , 所以 , 所以 , B 正确; 因为点 是线段 的中点, 所以 , 即 , 所以直线 的方程为 , C 正确; , 所以 , 即 , 所以 , 因为 , 所以 , 即 , 解得 舍去), 又 , 故 , 所以 , 所以直线 的斜率为 , 直线 的倾斜角为 错误. 故选 BC.
13. 40
由椭圆方程, 得椭圆的四个顶点分别为 , 故这四个顶点围成的四边形的面积 .
14. -11 或 -31
圆 的标准方程为 , 圆心 , 半径 , 圆 的标准方程为 , 圆心 , 半径 . 当圆 与圆 外切时, , 即 , 解得 ; 当圆 与圆 内切时, , 即 , 解得 . 所以圆 与圆 相切时, 或 .
15.
当 时, , 当 时, , 不满足上式,所以
16. 3
因为双曲线 的离心率为 , 所以 , 不妨设 , 因为点 在 上, 所以 两式相减,得 , 因为点 是 的中点, 所以 , , 所以 , 即 , 所以 , 同理 , 因为 , 所以 .
17. 解: (1) 由于 的圆心为 , 故可设 的方程为 . 1 分
由于 过点 , 所以 , 得 . 3 分
所以 的标准方程为 . 4 分
(2) 由于直线 与 相切于点 , 所以直线 与直线 垂直, 并且 过点 . 6 分
直线 的斜率为 , 所以 的斜率为 , 8 分
所以直线 的方程为 , 整理得 .
18. (1) 证明: 由直棱柱的性质可知 ,
因为 , 所以 两两互相垂直, 故以点 为坐标原点, 分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设 , 则 . 2 分
因为 是棱 的中点, 所以 , 所以 ,
所以 . 3 分
所以 , 即 . 5 分
(2)
解: 由(1) 可知 . 6 分
设向量 是平面 的法向量, 则 即 令 ,得 .
设直线 与平面 所成的角为 , 则 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. 解: (1) 双曲线 中, ,
所以 , 解得 ,
所以双曲线 的右焦点为 .
所以可设抛物线 的标准方程为 , 其焦点为 ,
所以 , 即 , 4 分
所以抛物线 的标准方程为 . 6 分
(2) 由 , 得双曲线 的右顶点为 , 因为直线 过点 且斜率为 2 , 所以直线 的方程为 , 8 分 , 10 分
所以 . 12 分
20. 解: (1) 因为 , 所以 时, ,由两式相减, 得 ,
即 , 2 分
又数列 的各项都为正数, 所以 . 3 分
当 时, , 解得 (舍) 或 ,所以数列 是首项为 3 , 公差为 3 的等差数列. 4 分
所以 . 5 分
(2) 由 (1), 得 ,
设 的前 项和为 ,又 ,
所以 ,
所以 . 7 分
当 时, ; 当 时, ,
所以当 时, ; 9 分
当 时, .
综上所述, 12 分
21. 解: 取 的中点 , 连接 ,
由于 和 都是等边三角形, 所以 .
又平面 平面 , 平面 平面 平面 , 所以 平面 . 2 分
以 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 .
由于 , 所以 分
(1) .
设 是平面 的法向量, 由 得 令 , 则 , . 6 分
因为 , 所以 ,
即点 到平面 的距离为 .
(2) ,
设 是平面 的法向量, 由 得
令 , 则 .
由 (1) 可知 是平面 的法向量.
设平面 与平面 的夹角为 , 则 ,
因此平面 与平面 的夹角的余弦值是 .
22. 解: (1) 由题意知
解得 , 3 分
所以 的方程为 .
(2) 显然直线 的斜率存在, 设直线 的斜率为 , 则直线 的方程为 ,
又直线 的方程为 , 由 , 解得 ,
即 .
由 得 , 解得 或 ,
当 时, , 即 ,
所以直线 的斜率 ,
所以直线 的方程为 , 令 , 得 , 即 .
所以直线 的斜率 ,
所以直线 的方程为 ,
即 , 所以直线 过定点 .