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八年级数学上期末复习大串讲+练专题（10）
专题十 轴对称 考点知识大串讲+练专题
知识点回顾
知识点1：轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
知识点2：作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.
知识点3：等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知识点4：最短路径问题
1. 垂直线段最短问题
动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。
2.将军饮马问题
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
①两定一动
②一定两动
③两定两动
3.造桥选址问题
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
高频考点：
【考点1】成轴对称的两个图形的性质
【例1-1】下列说法中:①成轴对称的2个图形全等；②2个全等的图形一定关于某条直线成轴对称；③如果点A、B关于直线l成轴对称，那么线段AB被直线l垂直平分；④如果线段AB与A′B′关于直线l成轴对称，那么AB=A′B′且AB∥A′B′；⑤如果线段AB与A′B′关于直线l成轴对称，那么AA′=BB′且AA′∥BB′；正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【例1-2】小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，这现在的实际时间为（ ）
A．12：01 B．10：21 C．15：10 D．10：51
【考点2】线段的垂直平分线
【例2-1】如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ）
A．小明说得对
B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B”
C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D．两人说得都不对
【例2-2】如图，△ABC中DE⊥AB，AD平分∠BCA，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线。
针对练习1
1．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长．
2．已知中，，，垂足为D．将沿所在直线翻折，使点A落在边所在直线上，记为．
(1)若，求的度数；
(2)若，请直接写出的度数为______°（用含n的代数式表示）．
3．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC=2，DE=1，则S△ACD= ．
（2）如图2，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 ．
4．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为．
(1)求的长；
(2)分别连接，，，若的周长为，求的长．
5．（1）利用网格画四边形任意两边的垂直平分线，设它们相交于点；
（2）点 （填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上；
（3）把顶点向左移动8格，以上结论 （填“成立”或“不成立”）；
（4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点．
【考点3】作轴对称图形
【例3-1】如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（3）求△ABC的面积．
【例3-2】如图，在9×9的正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（5，2），画出平面直角坐标系并写出点B的坐标；
（2）直线l经过点A且与y轴平行，写出点B、C关于直线l对称点B1、C1的坐标；
（3）直接写出BC上一点P（a，b）关于直线l对称点P1的坐标．
针对练习2
1．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
2．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．
3．已知点，点
(1)若M，N关于y轴对称，试求a，b的值
(2)若M，N关于x轴对称，试求的平方根．
【考点4】等腰三角形
【例4-1如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝44°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
【例4-2】探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
针对练习3
1．如图，在正六边形中，连接，，则的度数为 ．
2．如图，在中，为边上的中线，E为上一点，且，试求的度数．
3．已知是上一点
(1)用无刻度的直尺和圆规：过点作于点，延长交延长线于（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证是等腰三角形．
4．如图，在中，，．
(1)如图1，平分交于点，为上一点，连接交于点．
①若，求证：垂直平分；
②若，求证：．
(2)如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上．试判断线段和的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点．写出线段和的数量关系不要求写出过程)．
【考点5】等边三角形
【例5-1】如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
【例5-2】已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
针对练习4
1．如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．
(1)求证：；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
2．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，，
(1)请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
(2)连接，求证：是等边三角形．
3．已知：等边中，，于点，以为边，在下方作等边．
(1)请直接写出线段与的数量关系 ；
(2)若点在射线上，且在的外部，与的关系是否还存在，并说明理由；
(3)直接写出周长的最小值为______________ ．
4．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，交的延长线于点F，若，求的长．
5．如图①，在平面直角坐标系中，，且．
(1)求的长；
(2)如图②，点P从点A出发，沿射线方向运动，沿射线方向运动，在运动过程中：
①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当是直角三角形时，求t的值；
②在①的条件下，当是等腰三角形时，求点P的坐标
【考点6】最短路径问题
【例6-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【例6-2】如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 13 ．
针对练习5
1．如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．
2．如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（ ）
A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x
C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是边BC的中点，点E是边AB上一点，过点C作AB的平行线CF，交ED延长线于点F，若AB＝3，AC＝2，则四边形ACFE周长的最小值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
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专题十 轴对称 考点知识大串讲+练专题
知识点回顾
知识点1：轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
知识点2：作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.
知识点3：等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
知识点4：最短路径问题
1. 垂直线段最短问题
动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。
2.将军饮马问题
方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
①两定一动
②一定两动
③两定两动
3.造桥选址问题
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
高频考点：
【考点1】成轴对称的两个图形的性质
【例1-1】下列说法中:①成轴对称的2个图形全等；②2个全等的图形一定关于某条直线成轴对称；③如果点A、B关于直线l成轴对称，那么线段AB被直线l垂直平分；④如果线段AB与A′B′关于直线l成轴对称，那么AB=A′B′且AB∥A′B′；⑤如果线段AB与A′B′关于直线l成轴对称，那么AA′=BB′且AA′∥BB′；正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【分析】根据成轴对称的两个图形的性质判断：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
【解析】①成轴对称的2个图形全等，正确
②2个全等的图形一定关于某条直线成轴对称；错误。
③如果点A、B关于直线l成轴对称，那么线段AB被直线l垂直平分，正确
④如果线段AB与A′B′关于直线l成轴对称，那么AB=A′B′且AB∥A′B′，AB与A′B′不一定平行，故错误。
⑤如果线段AB与A′B′关于直线l成轴对称，那么AA′=BB′且AA′∥BB′；AA′与=BB′不一定相等，故错误。
所以选B
【例1-2】小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，这现在的实际时间为（ ）
A．12：01 B．10：21 C．15：10 D．10：51
【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是10：51．
故选：D．
【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反．
【考点2】线段的垂直平分线
【例2-1】如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ）
A．小明说得对
B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B”
C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D．两人说得都不对
【分析】根据选项结合已知得出△PAO≌△PBO，从而得到AO＝BO，即可求出最终结果；
【解答】解：可添条件为PO⊥AB才能说：直线l是AB的垂直平分线，
证明如下：
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA＝PB，PO＝PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴AO＝BO，
∴直线l是AB的垂直平分线，
故选：C．
【点评】本题主要考查垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．
【例2-2】如图，△ABC中DE⊥AB，AD平分∠BCA，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线。
证明：∵AD平分∠BCA，DE⊥AB， DE⊥AB
∴DE=CD
∴点D在CE的垂直平分线上，
在RT△AED与RT△ACD中
∵AD=AD，DE=DC
∴RT△AED≌RT△ACD
∴AE=AC
∴点A在CE的垂直平分线上
直线AD是CE的垂直平分线
针对练习1
1．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长．
【答案】的周长为．
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．根据是的垂直平分线，，可得，，再根据的周长为，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
又∵的周长为，
∴，
∴，
即的周长为．
2．已知中，，，垂足为D．将沿所在直线翻折，使点A落在边所在直线上，记为．
(1)若，求的度数；
(2)若，请直接写出的度数为______°（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
【分析】此题主要考查了三角形综合题，涉及直角三角形的性质，折叠的性质，掌握翻折的性质是解本题的关键；
（1）先得到，再根据折叠的性质得，根据三角形外角性质即可求解；
（2）与（1）的计算方法相同，注意分类讨论．
【详解】（1），，
，，
，
，
；
（2）如题图所示，当使得点落在线段上时，
∵
，
由翻折可知
．
当时，如图所示，使点落在的延长线上时．
∵
，
由翻折可知
，
故当时，；当时，．
3．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC=2，DE=1，则S△ACD= ．
（2）如图2，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 ．
【答案】（1）1；（2）12
【详解】解析 (1)如图，过D点作DH⊥AC于点H，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE=DH=1，∴S△ACD=×2×1=1．
(2)∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．
∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=12．
∴△ABD的周长是12．
答案 （1）1；（2）12
4．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为．
(1)求的长；
(2)分别连接，，，若的周长为，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，（1）由线段垂直平分线的性质推出，，由的周长为，得到，即可求出；（2）由线段垂直平分的性质得到，由的周长，，即可求出，得到．由线段垂直平分线的性质得到，，是解题的关键．
【详解】（1）解：垂直平分，
，
同理，得，
的周长为，
，
；
（2）如图，连接，，，
垂直平分，
．
同理，得，
的周长，，
，
．
5．（1）利用网格画四边形任意两边的垂直平分线，设它们相交于点；
（2）点 （填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上；
（3）把顶点向左移动8格，以上结论 （填“成立”或“不成立”）；
（4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点．
【答案】（1）见解析；（2）在；（3）不成立；（4）当四边形满足对角互补时，四边的垂直平分线交于一点
【分析】本题考查了垂直平分线的性质；
（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）由（1）作图的结果可知在另外两边的垂直平分线上；
（3）通过作图可知不在另外两边的垂直平分线上；
（4）根据垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如图所示，点在另外两条边的垂直平分线上；
故答案为：在；
（3）如图所示，
把顶点向左移动8格，以上结论不成立；
故答案为：不成立；
（4）观察图形可得点在的公共的斜边上，当四边的垂直平分线交于一点时，交点与四个顶点的距离相等，
所以，当四边形满足对角互补时，四边的垂直平分线交于一点．
【考点3】作轴对称图形
【例3-1】如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）连接CA1交DE于点Q，即可使QA+QC最小；
（3）根据割补法利用网格即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点Q即为所求；
（3）△ABC的面积＝（1+3）×3﹣1×3﹣1×2＝6﹣1.5﹣1＝3.5．
【例3-2】如图，在9×9的正方形网格中，△ABC三个顶点在格点上，每个小正方形的边长为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A的坐标为（2，1），点C的坐标为（5，2），画出平面直角坐标系并写出点B的坐标；
（2）直线l经过点A且与y轴平行，写出点B、C关于直线l对称点B1、C1的坐标；
（3）直接写出BC上一点P（a，b）关于直线l对称点P1的坐标．
【分析】（1）由点A的坐标为（2，1），可得点A向左平移2个单位长度，向下平移一个单位长度，即是坐标原点，建立平面直角坐标系，再写出点B的坐标即可；
（2）根据轴对称的性质得到点B1、C1的坐标；
（3）根据轴对称的性质得出点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，B（4，4）；
（2）如图所示，B1（0，4），C1（﹣1，2）；
（3）解：∵点P1为BC上一点P（a，b）关于直线l的对称点，
∴P1（4﹣a，b）．
针对练习2
1．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【答案】C
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51．
故选：C．
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
2．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．本题根据轴对称图形的概念即可找出符合题意的小方格，注意不要遗漏．
【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．
故答案为：．
3．已知点，点
(1)若M，N关于y轴对称，试求a，b的值
(2)若M，N关于x轴对称，试求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等．
（1）根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可进行解答；
（2）根据关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵M，N关于y轴对称，
∴，
解得：；
（2）解：∵M，N关于x轴对称，
∴，
解得：．
∴的平方根为．
【考点4】等腰三角形
【例4-1如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝44°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝44°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝44°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝44°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝44°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝（44°+180°）＝112°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣44°﹣112°＝24°．
故答案为：24°．
【例4-2】探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝45°+，于是得到结论；
（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x；
（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠B＝∠C＝y，
∵∠CDE＝x，
∴∠AED＝y+x，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝y+x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴y+∠BAD＝y+x+x，
∴∠BAD＝2∠CDE
针对练习3
1．如图，在正六边形中，连接，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的内角问题、三角形的内角和、等腰三角形的性质，根据正六边形的性质及多边形的内角和得，再根据等边对等角及三角形的内角和得，同理得，根据角的数量关系即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：∵是正六边形，
，
．
．
同理，．
∴．
故答案为：．
2．如图，在中，为边上的中线，E为上一点，且，试求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．由可得，由可得，从而得出，最后根据等腰三角形三线合一的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为边上的中线，
∴．
3．已知是上一点
(1)用无刻度的直尺和圆规：过点作于点，延长交延长线于（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证是等腰三角形．
【答案】(1)图见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查垂线的尺规作图及等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握垂线的尺规作图及等腰三角形的判定；
（1） 利用基本作图 （过 一点作已知直线的垂线） 作于点，与的延长线相交于点；
（2） 利用等腰三角形的性质得，再利用垂直得到，则根据等角的余角相等得，而，所以，于是可判定为等腰三角形 ．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：，
，
，
，
，，
，
而，
，
为等腰三角形 ．
4．如图，在中，，．
(1)如图1，平分交于点，为上一点，连接交于点．
①若，求证：垂直平分；
②若，求证：．
(2)如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上．试判断线段和的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点．写出线段和的数量关系不要求写出过程)．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）①由等腰三角形的性质可得出答案；
②过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，则可得出；
（2）延长、相交于点，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据等角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求解即可．
（3）过点作，交于，交的延长线于点．证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出．则可得出结论．
【详解】（1）①证明：，平分，
，，
即垂直平分；
②证明：过点作交的延长线于点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：．
理由如下：如图，延长、相交于点，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（3）解：．过点作，交于，交的延长线于点．
∵，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，即，
，，，
，．
又，
，
．
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【考点5】等边三角形
【例5-1】如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确．
④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确；
②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．
③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出OP＝OQ，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【例5-2】已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
针对练习4
1．如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．
(1)求证：；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形．理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识．
（1）根据三角形内角和定理得到，再根据，判定，即可得到．
（2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得，进而得出，可得是等边三角形．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）是等边三角形．理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
2．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，，
(1)请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
(2)连接，求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一条线段垂直平分线的方法进行作图即可；
（2）根据垂直平分线的性质，得出，根据等边对等角得出，求出，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求：
（2）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了基本作图，等边三角形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质．
3．已知：等边中，，于点，以为边，在下方作等边．
(1)请直接写出线段与的数量关系 ；
(2)若点在射线上，且在的外部，与的关系是否还存在，并说明理由；
(3)直接写出周长的最小值为______________ ．
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）由等边三角形的性质可得的大小，再证明，可得；
（2）同（1）的方法证明，从而可得结论；
（3）由为等边三角形，的周长为，当最小，则周长最小，结合为射线上动点，当时，最短，此时，重合，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵是等边的高， 是等边三角形，
∴，，，，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（2）存在，理由如下：
如图，
∵是等边的高， 是等边三角形，
∴，，，，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（3）∵为等边三角形，
∴的周长为，当最小，则周长最小，
∵为射线上动点，
∴当时，最短，此时，重合，
∵，，，
∴，
∴的周长最小值为．
【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，垂线段最短的含义，熟练掌握以上基础知识是解题关键．
4．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，交的延长线于点F，若，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，以及等边三角形的判定与性质，连接，根据邻补角互补性质得，因为的垂直平分线交于点D，所以，即是等边三角形，所以，即可作答．
【详解】解：连接，
因为，
所以，
因为的垂直平分线交于点D，交于点E，交的延长线于点F，
所以，
故是等边三角形，
所以，
即．
5．如图①，在平面直角坐标系中，，且．
(1)求的长；
(2)如图②，点P从点A出发，沿射线方向运动，沿射线方向运动，在运动过程中：
①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当是直角三角形时，求t的值；
②在①的条件下，当是等腰三角形时，求点P的坐标
【答案】(1)4
(2)①2或；②点P的坐标是或
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，进而求出的长；
（2）①分和两种情况，根据含角的直角三角形的性质计算即可；
②设点P的运动路程是a，分和两种情况，根据等腰三角形的性质列式计算．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）由题意得：，，，
①分两种情况：当时，如图：
，
，
即，
解得；
当时，如图：
同理可得，
即，
解得；
②设点P的运动路程是a，则，
，
，
当时，即点P在线段上时，
是等腰三角形，，
是等边三角形，
，
，
，
；
当时，即点P在点B右侧时，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，点P的坐标是或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、直角三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键
【考点6】最短路径问题
【例6-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，CP+PQ＝CP+PH，当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
【解答】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，BH＝BQ．
∴CP+PQ＝CP+PH，
∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝BC＝24＝12，
∴BQ＝12．
故选：C．
【例6-2】如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 13 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×6×AD＝30，解得AD＝10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝3+10＝13．
故答案为：13．
针对练习5
1．如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F，
则即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（ ）
A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x
C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝α，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形外角的性质即可得到∠OQP＝∠AQN＝β+x，进而得到α＝β+x+x＝β+2x，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝α，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∵∠AQN＝∠QNO+∠AOB＝β+x，
∴∠OQP＝∠AQN＝β+x，
∵∠NPQ＝∠OQP+∠AOB，
∴α＝β+x+x＝β+2x
∴α﹣β＝2x．
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是边BC的中点，点E是边AB上一点，过点C作AB的平行线CF，交ED延长线于点F，若AB＝3，AC＝2，则四边形ACFE周长的最小值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】通过证得△BDE≌△CDF得出BE＝CF，即可得出AE+CF＝AB，则四边形ACFE周长＝AC+CF+AE+EF＝AC+AB+EF＝5+EF，然后求得EF＝AC时，四边形ACFE周长最小，最小值为7．
【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠DCF．
又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF，
∴AE+CF＝AB，
∴四边形ACFE周长＝AC+CF+AE+EF＝AC+AB+EF＝2+3+EF＝5+EF，
∴EF取最小值时，四边形ACFE周长最小，
∵当EF⊥AB时，EF最小，
∴当EF⊥AB时，四边形ACFE周长最小，
∵∠A＝90°，CF∥AB，
∴EF＝AC＝2，
∴四边形ACFE周长最小值为：5+2＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线间的距离最短是解题的关键．
A
M
N
A
M
N
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专题十一 等腰三角形中的几何模型探究
模型一 手拉手模型
手拉手模型的定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。
当在解题过程中遇到类似于以下几个图形的题目时，一定要注意运用“手拉手”模型的解题方法，即证明三角形全等。
【常见模型类型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
典例剖析
【例1-1】综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边△ABC和△ADE，将△ADE绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”的同学们连接BE、CD，则BE与CD有何数量关系？∠ADC与∠AEB有何数量关系？请你探究后直接写出结论．
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接BD，他们认为，如果CD⊥AE，且AE＝3，CD＝4，就可以求出BD的长，请写出求解过程．
【类比探究】
（3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角△ABC和△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE；且点C恰好落在DE上，那么CD、CE和BC之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．
【例1-2】已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．
（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；
（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；
（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．
针对练习1
1 .如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．
(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
2 .两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______．
(2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，为等腰直角三角形，，，求证：．
3 【问题原型】如图1、图2，已知点C为线段AB上一点，分别以AC，CB为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB的度数为 ；
（2）【初步探究】如图2，若∠ACD＝∠BCE＝48°，连接FC，求∠AFC的度数；
（3）【简单应用】将图1中的等边△ACD绕点C顺时针旋转（如图3），连接AE，AB，BD，若∠ABD＝70°，则∠EAB的度数为 ．
模型二 平行等腰模型结构
题中有角平分线 、平行线条件，可以得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质进行解题。
【例2-1】已知：中，、的平分线相交于点．
①如下图，过点作交、于、，求证：；
②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长；
③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）．
【例2-2】如图，中，，，与的平分线相交于点，过点，并平行于，
(1)试求的周长．
(2)连接，求的值
针对练习2
1 .如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作．交于点．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长．
3 .如图1，在中，，的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F．
(1)写出图1中的等腰三角形；
(2)猜想图1中与、有怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图2，若中的平分线与三角形外平分线交于O，过O点作交于E，交于F．这时与、关系又如何？说明你的理由．
模型三 垂直等腰模型结构
题中有角平分线，垂直条件时，巧妙地把角平分线与三线合一联系起来，可以利用等腰三角形三线合一或者构造两个全等的直角三角形。从而解决问题。
【例3-1】中，，，点在射线上（不与，重合），连接，过点作，垂足为．
(1)如图1，点在线段上，若恰好平分，探究、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点在线段上，点是直线上的一点，且平分，探究、、之问的数量关系，并说明理由．
(3)若点在线段的延长线上，点是直线上的一点，且平分，请在图3中画出图形，判断（2）中的结论是否仍然成立？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出正确的结论．
【例3-2】中，，的高与角平分线交于点F．
(1)求证；
(2)求证：为等腰三角形
针对练习3
1 .已知，在中，，，为直线上一点．
(1)如图，在线段上，连接，过作于点，交于点，若平分，则求证：；
(2)当点在直线上移动时，连，过作的垂线，垂足为，连，直接写出的度数．
2 .如图，已知是等腰直角三角形，，是的平分线，，垂足为D．
(1)求证：；
(2)请你写出图中所有的等腰三角形．
3．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求长．
类型四 倍角三角形模型
在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。
法一：将2倍角作为等腰三角形的外角，可以构造两个等腰三角形。
法二：作大角的角平分线构造等腰三角形
【例4-1】如图，在中，，和分别为和的角平分线，若的周长为，，则的长为 _________ ．
【例4-2】定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接．
(1)若，求证：是“倍角三角形”；
(2)点P在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数．
针对练习4
1.综合与实践
问题初探
(1)如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．
求证：＋；
方法迁移
(2)如图2，是的角平分线，．求证：＋；
问题拓展
(3)如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系．
2 .如图1，在四边形中，E是上一点，，，．
(1)求证：．
(2)在图2中，为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写出证明过程．
八年级数学上期末复习大串讲+练专题
专题十一 等腰三角形中的几何模型探究
模型一 手拉手模型
手拉手模型的定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。
当在解题过程中遇到类似于以下几个图形的题目时，一定要注意运用“手拉手”模型的解题方法，即证明三角形全等。
【常见模型类型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
典例剖析
【例1-1】综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边△ABC和△ADE，将△ADE绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”的同学们连接BE、CD，则BE与CD有何数量关系？∠ADC与∠AEB有何数量关系？请你探究后直接写出结论．
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接BD，他们认为，如果CD⊥AE，且AE＝3，CD＝4，就可以求出BD的长，请写出求解过程．
【类比探究】
如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角△ABC和△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE；且点C恰好落在DE上，那么CD、CE和BC之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．
【分析】（1）通过SAS判定证明全等即可；
（2）由（1）可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可；
（3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可．
【解答】解：（1）BE＝CD，∠ADC＝∠AEB，理由如下：
∵△ABC与△ADE均为等边三角形∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
又∠BAE＝∠BAC+∠CAE∠CAD＝∠EAD+∠CAE∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（ SAS），
∴BE＝CD，∠ADC＝∠AEB；
（2）由（1）可知 BE＝CD，∠ADC＝∠AEB，
在等边△ADE中，由DC⊥AE可得∠ADC＝30°，
则∠AEB＝∠ADC＝30°，∠AED＝60°+30°＝90°，
在Rt△BDE中，BE＝CD＝4，DE＝AE＝3，
由勾股定理可得：，
（3）CD2+CE2＝BC2．理由如下：
连接BE，如图③，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（ SAS），
∴BE＝CD，∠ADC＝∠AEB＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴CD2+CE2＝BC2．
【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解．
【例1-2】已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．
（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；
（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；
（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得AD＝CE；
（2）过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得AD＝CE，由面积法可求BN＝BH，可证∠AFB＝∠EFB＝60°，由三角形内角和定理可求∠DAB＝∠ADB，可得AB＝DB，与题干矛盾，即可求解；
（3）在AF上截取MF＝BF，连接BM，由“SAS”可证△ABM≌△CBF，可得AM＝CF，可得结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）不存在，
理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，
∵△ABC，△DBE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，
∴×AD×BN＝×CE×BH，
∴BN＝BH，
又∵BF＝BF，
∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），
∴∠AFB＝∠EFB，
∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，
∴∠AFC＝∠ABC＝60°，
∴∠AFB＝∠EFB＝60°，
∴∠CFB＝∠DFB＝120°，
当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，
∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，
∴BF不会平分∠CBD；
（3）AF＝CF+BF，
理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，
∵∠AFB＝60°，MF＝FB，
∴△MFB是等边三角形，
∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，
∴∠ABM＝∠CBF，
在△ABM和△CBF中，
，
∴△ABM≌△CBF（SAS），
∴AM＝CF，
∵AF＝AM+MF，
∴AF＝CF+BF．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
针对练习1
1 .如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．
(1)求证：≌；
(2)求的度数；
(3)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证；
（2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案；
（3）作于点于点，证明，由，即可得到结论．
【详解】（1）证明：、是等边三角形，
，
，
即，
≌；
（2）解：≌，
，
，
；
（3）证明：如图，作于点于点，
，
，
，，
，
，
，
平分．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2 .两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______．
(2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，为等腰直角三角形，，，求证：．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)证明过见详解
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
（1）根据题意可得，再运用“边角边”即可判定，由此即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质可得，再运用“边角边”即可判定，由此即可求解；
（3）如图所述，以为边作等腰直角三角形，，，可证点三点共线，再根据等腰三角形，全等三角形的判定即可求证．
【详解】（1）解：已知与都是等腰三角形，，，且，
∴，即，
在与中，
，
∴，
故答案为：．
（2）解：，理由如下，
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴．
（3）解：如图所述，以为边作等腰直角三角形，，，
∴，
∵，
∴，
∴点三点共线，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
3 【问题原型】如图1、图2，已知点C为线段AB上一点，分别以AC，CB为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB的度数为 ；
（2）【初步探究】如图2，若∠ACD＝∠BCE＝48°，连接FC，求∠AFC的度数；
（3）【简单应用】将图1中的等边△ACD绕点C顺时针旋转（如图3），连接AE，AB，BD，若∠ABD＝70°，则∠EAB的度数为 ．
【分析】（1）证明△ACE≌△DCB（SAS）得到∠CAE＝∠CDB，由三角形外角的定义及性质得出∠CBD+∠CDB＝∠ACD＝60°，推出∠ABF+∠BAF＝60°，最后由三角形内角和定理计算即可；
（2）证明△ACE≌△DCB（SAS）得到∠CAE＝∠CDB，由三角形外角的定义及性质得出∠CBD+∠CDB＝∠ACD＝48°，推出∠ABF+∠BAF＝48°，由三角形内角和定理计算出∠AFB＝132°，作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，证明出CF平分∠AFB，由此即可得出，此题得解；
（3）证明△ACE≌△DCB（SAS）得到∠CAE＝∠CDB＝∠ADC+∠ADB＝60°+∠ADB，由三角形内角和定理得出∠ADB+∠DAB＝180°﹣∠ABD＝180°﹣70°＝110°，最后由∠ADB+∠DAB＝180°﹣∠ABD＝180°﹣70°＝110°进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠CBD+∠CDB＝∠ACD＝60°，
∴∠CBD+∠CAE＝60°，即∠ABF+∠BAF＝60°，
∵∠AFB+∠ABF+∠BAF＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣（∠ABF+∠BAF）＝120°，
故答案为：120°；
（2）∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠CBD+∠CDB＝∠ACD＝48°，
∴∠CBD+∠CAE＝48°，即∠ABF+∠BAF＝48°，
∵∠AFB+∠ABF+∠BAF＝180°，
∴∠AFB＝180°﹣（∠ABF+∠BAF）＝132°，
如图2，作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∵△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD，S△ACE＝S△DCB，
∵，，
∴CM＝CN，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴CF平分∠AFB，
∴；
（3）∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD﹣∠BCA＝∠BCE﹣∠BCA，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE＝∠CDB＝∠ADC+∠ADB＝60°+∠ADB，
∵∠ADB+∠DAB+∠ABD＝180°，∠ABD＝70°，
∴∠ADB+∠DAB＝180°﹣∠ABD＝180°﹣70°＝110°，
∵∠CAE+∠CAD+∠DAB+∠EAB＝360°，
∴60°+∠ADB+60°+∠DAB+∠EAB＝360°，
∴∠EAB＝130°，
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
模型二 平行等腰模型结构
题中有角平分线 、平行线条件，可以得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质进行解题。
【例2-1】已知：中，、的平分线相交于点．
①如下图，过点作交、于、，求证：；
②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长；
③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）．
【答案】①证明见解析；②；③
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，
①根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，，，根据等腰三角形的判定，即可得出与、间的关系；
②根据，和角平分线定义，可以证明出和，即可求的周长；
③证明出和是等腰三角形，利用几个等腰三角形的性质以及线段的和差关系，即可得出与、的关系；
进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
【详解】①证明：∵，
∴，，
∵、的平分线相交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
即；
②解：∵、的平分线相交于点，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长：，
即的周长为；
③解：．理由如下：
∵，
∴，，
∵，分别是与的角平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
即．
【例2-2】如图，中，，，与的平分线相交于点，过点，并平行于，
(1)试求的周长．
(2)连接，求的值
【答案】(1)20
(2)
【分析】（1）根据的周长为，结合，与的平分线相交于点，得，等量代换计算即可．
（2）过点O作，垂足分别为G，H，，根据角的平分线的性质得到，利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）∵与的平分线相交于点，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长为，
．
（2）过点O作，垂足分别为G，H，
∵与的平分线相交于点，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角的平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握等高两个三角形的面积之比等于对应底的比是解题的关键．
针对练习2
1 .如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作．交于点．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．
（1）先根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可知的度数．
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明．
熟练掌握“等腰三角形三线合一”的性质和平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）∵中，，是边上的中点,
，
．
，
，
；
（2）∵平分，
．
，
，
，
．
如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长．
【答案】的长为
【分析】过作于，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得的长，最后根据角平分线的性质即可求得的长．
【详解】解：过作于，
，平分，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
为角平分线，，，
，
．
【点睛】本题主要考查：（1）含度的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握相关性质是解题的关键．
3 .如图1，在中，，的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F．
(1)写出图1中的等腰三角形；
(2)猜想图1中与、有怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图2，若中的平分线与三角形外平分线交于O，过O点作交于E，交于F．这时与、关系又如何？说明你的理由．
【答案】(1)、
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质与平行线的性质证明、是等腰三角形即可；
（2）在（1）中有：，，即可得；
（3）利用角平分线的性质与平行线的性质证明、是等腰三角形，进而即可得到结论．
【详解】（1）平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
则等腰三角形有：、；
（2），理由如下：
在（1）中有：，，
，
，
故答案为：；
（3），
理由是：平分，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，利用图形找到角与边的关系是解题的关键．
模型三 垂直等腰模型结构
题中有角平分线，垂直条件时，巧妙地把角平分线与三线合一联系起来，可以利用等腰三角形三线合一或者构造两个全等的直角三角形。从而解决问题。
【例3-1】中，，，点在射线上（不与，重合），连接，过点作，垂足为．
(1)如图1，点在线段上，若恰好平分，探究、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点在线段上，点是直线上的一点，且平分，探究、、之问的数量关系，并说明理由．
(3)若点在线段的延长线上，点是直线上的一点，且平分，请在图3中画出图形，判断（2）中的结论是否仍然成立？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出正确的结论．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质等知识；
（1）延长，交于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）延长，交于点，由（1）可知，，由全等三角形的性质得出结论．
（3）同（1）可知，，得出，，则可得出结论．
正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）．
理由：延长，交于点，
平分，
，
又，，
，
，
，，
，
，，
，
，
；
（2），
理由：延长，交于点，
由（1）可知，，
，，
；
（3）如图，．
理由：同（1）可知，，
，，
．
【例3-2】中，，的高与角平分线交于点F．
(1)求证；
(2)求证：为等腰三角形
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的高、等腰三角形的判定：
（1）利用角的等量代换即可求证结论；
（2）根据角平分线的定义及等腰三角形的判定即可证结论；
熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】（1）证明：是的高，
，
，
，
，
．
（2）证明：由（1）得：，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形．
针对练习3
1 .已知，在中，，，为直线上一点．
(1)如图，在线段上，连接，过作于点，交于点，若平分，则求证：；
(2)当点在直线上移动时，连，过作的垂线，垂足为，连，直接写出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）在线段上截取，连接，由得平分，根据等腰直角三角形的性质以及角平分线的定义求出，，证明得到，即可得证；
（2）分三种情况：当为线段上一点时，过作的垂线，垂足为，交于；当为线段延长线上一点时，过作的垂线，垂足为，交于；当为线段延长线上一点时，过作的垂线，垂足为，交于；分别求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，在线段上截取，连接，
，
，
平分，
，
，，
，
，平分，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（2）解：分三种情况：
如图，当为线段上一点时，过作的垂线，垂足为，交于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，当为线段延长线上一点时，过作的垂线，垂足为，交于，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，当为线段延长线上一点时，过作的垂线，垂足为，交于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
2 .如图，已知是等腰直角三角形，，是的平分线，，垂足为D．
(1)求证：；
(2)请你写出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，运用了恒等变换的思想，
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案；
掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为．
3．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，运用了恒等变换的思想，
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案；
掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为．
类型四 倍角三角形模型
在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。
法一：将2倍角作为等腰三角形的外角，可以构造两个等腰三角形。
法二：作大角的角平分线构造等腰三角形
【例4-1】如图，在中，，和分别为和的角平分线，若的周长为，，则的长为 _________ ．
【答案】
【分析】如图（见解析），过点P作，交AC于点D，先根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得出，从而得出，再根据平行线的性质、三角形的外角性质得出，然后根据角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质得出，从而得出，最后联立求解即可得．
【详解】由题意得：
为的角平分线，
过点P作，交AC于点D
为的角平分线
在和中，
联立，解得
即的长为8
故答案为：8．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【例4-2】定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接．
(1)若，求证：是“倍角三角形”；
(2)点P在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)或或或
【分析】（1）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
（2）由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．
【详解】（1）证明：，
，
将沿边所在的直线翻折得到，
，，，
，
，
，
，
，
是“倍角三角形”；
（2）解：由①可得，
如图，
若是等腰三角形，则是“倍角三角形”，
或或或，
或或或，
或或或，
是等腰三角形，
或或或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，新定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解“倍角三角形”的定义并运用是解题的关键．
针对练习4
1.综合与实践
问题初探
(1)如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．
求证：＋；
方法迁移
(2)如图2，是的角平分线，．求证：＋；
问题拓展
(3)如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据折叠的性质可得，，证明，得出，，进而根据等腰三角形的性质得出，等量代换后即可得证；
（2）在上截取，证明，则，结合已知条件可得，得出，，进而即可得出结论；
（3）延长至，使得，连接，证明，得出，，设，根据三角形的外角的性质得出，进而可得，即可得出结论．
【详解】证明：是由沿着折叠得到的，
，，
在与中
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）在上截取
是的平分线，
，
在与中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）
如图所示，延长至，使得，连接，
∵是的外角的平分线，
∴
又∵
∴
∴，
设，
∵，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理与外角的中，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2 .如图1，在四边形中，E是上一点，，，．
(1)求证：．
(2)在图2中，为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写出证明过程．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要三角形内角和，外角的性质的运用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析是解题的关键．
（1）根据题意可得是等腰三角形，可得，根据题意可得，再根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）根据题意可证，再证明是等腰三角形，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，即是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，在上取，连接，
由（1）可知，，
在中，
，
∴，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，则，
∴，即是等腰三角形，
∴，
∵，
∴．
试卷第1页，共3页
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八年级数学上期末复习大串讲+练专题
专题十二 等腰三角形中的几何模型探究
模型五 三线合一辅助线模型
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，（2）等腰三角形没有底边上的中线时作底边上的高。利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件.当看见等腰三角形的时候，就应想到：边、角相等以及“三线合一”.
【例5-1】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【例5-2】如图，在中，，D是上一点，，E是上一点，，．
(1)求证：平分；
(2)求的度数．
针对练习5
1．如图1，在等腰直角中，，点是线段上不与点，重合的动点，连接并延长至点，使，过点作，垂足为点．
(1)当点，位于点的异侧时，问线段，，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
(2)当点，位于点的同侧时，若，，请在备用图中画出图形，并求的长．
2．如图所示，△ABC中，BA＝BC，点D为BC上一点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交AC于点F．
（1）若∠AFD＝160°，则∠A＝ °；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
3．如图，等腰中，，于点E，且，若，求的度数．
模型六 绝配角构等腰
绝配角的问题难度都较大，往往需要巧妙的构造等腰三角形。
两个角满足a+2β=180°，则a、β为绝配角
“绝配角”就是经过特殊“处理（转化）”的角度条件，使得条件埋藏的更深，包装更厚，因为角度本身的灵活性，使得条件更加扑朔迷离，不知道怎么应用。通常有邻补角的角平分线所形成的角度关系；三角形外角平分线相交所形成的角与三角形第三个角之间的关系；等腰三角形顶角与底角的关系等。
一组绝配角有公共边延长一边。
a、β在同一三角形中以a为顶角构造等腰三角形
出现2倍角时翻折构造等腰三角形
【例6-1】如图，在△ABC中，点D在BC边上，，垂足为点E，若，，，，求CD的长．
【例6-2】如图，在△ABC中，，，点D是AB的中点，点E在AC上，点L在BC上，，连接AL，若，，，求AL的长.
针对练习6
如图，在△ABC中，，垂足为D，CE平分交AB于点E，，，交AD的延长线于点M，求证：.
2 .阅读下面材料并完成相应学习任务：
利用轴对称研究边与角之间的数量关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则．
∵（依据1）
∴
∴．
这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小．
类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小．
如图2，在中，如果，那么可以将沿折叠，使点B与点C重合，则，
∴（依据2）
在中，（依据3）
∴，即．
归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系．
任务一：上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？
依据1：___________；
依据2：___________；
依据3：___________．
任务二：
（1）如图3，在中，若，请直接写出之间的等量关系___________；
（2）如图4，中，于点D，．求证：．
模型七 构造等腰三角形
作平行线构造等腰三角形
截长补短构造等腰三角形
利用中点构造等腰三角形
【例7-1】如图，等腰三角形和等腰三角形，，，连接、，点F为的中点，连接．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，过点B作的垂线，垂足为点G，若，，，求的长．
【例7-2】如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F．
(1)写出与相等的理由；
(2)过点D作于点G，写出与间的数量关系，并说明理由．
针对练习7
1 .【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容：
(1)【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ．
(2)【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长．
2 .中，，，点在射线上（不与，重合），连接，过点作，垂足为．
(1)如图1，点在线段上，若恰好平分，探究、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点在线段上，点是直线上的一点，且平分，探究、、之问的数量关系，并说明理由．
(3)若点在线段的延长线上，点是直线上的一点，且平分，请在图3中画出图形，判断（2）中的结论是否仍然成立？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出正确的结论．
八年级数学上期末复习大串讲+练专题
专题十一 等腰三角形中的几何模型探究
模型五 三线合一辅助线模型
等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，（2）等腰三角形没有底边上的中线时作底边上的高。利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件.当看见等腰三角形的时候，就应想到：边、角相等以及“三线合一”.
【例5-1】如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
【例5-2】如图，在中，，D是上一点，，E是上一点，，．
(1)求证：平分；
(2)求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）过点E作于F，根据等腰三角形的性质得出，进而得出，再证明，得出，即可得出结论；
（2）先求出，根据等边对等角得出，再根据三角形的外角即可得出答案．
【详解】（1）解：过点E作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
针对练习5
1．如图1，在等腰直角中，，点是线段上不与点，重合的动点，连接并延长至点，使，过点作，垂足为点．
(1)当点，位于点的异侧时，问线段，，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
(2)当点，位于点的同侧时，若，，请在备用图中画出图形，并求的长．
【答案】．(1)，证明见解析
(2)作图见解析，线段的长为或
【分析】（1）如图，过点作于点，证明，可得，，再结合线段的和差关系可得结论；
（2）如图，过点作于，求解，同（1）可得，设，则，分两种情况讨论：①当点在点，之间时，点在点，之间，②当点在，之间时，点在，之间，再利用线段的和差关系建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点
∵在等腰中，，∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图，过点作于
在等腰中，由三线合一得点是的中点
∵，
∴，
同（1）可得，
设，则，
①当点在点，之间时，点在点，之间，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在，之间时，点在，之间
∴，
∴，
∴，
∴
综合上述，线段的长为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的方法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
2．如图所示，△ABC中，BA＝BC，点D为BC上一点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交AC于点F．
（1）若∠AFD＝160°，则∠A＝ °；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．
【答案】（1）70°；（2）见解析
【分析】（1）根据题中的角度关系，求得∠A的度数即可；
（2）连接FB，根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=∠ABC．
【详解】解：（1）∵∠AFD=160°，
∴∠DFC=20°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，
∴∠C=90°-20°=70°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=70°，
（2）连接BF
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质并注意题中的垂直关系．
3．如图，等腰中，，于点E，且，若，求的度数．
【答案】
【分析】过点A作于点D，
【详解】解：过点A作于点D，如图所示．
∵等腰中，，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
，
∴（HL），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
模型六 绝配角构等腰
绝配角的问题难度都较大，往往需要巧妙的构造等腰三角形。
两个角满足a+2β=180°，则a、β为绝配角
“绝配角”就是经过特殊“处理（转化）”的角度条件，使得条件埋藏的更深，包装更厚，因为角度本身的灵活性，使得条件更加扑朔迷离，不知道怎么应用。通常有邻补角的角平分线所形成的角度关系；三角形外角平分线相交所形成的角与三角形第三个角之间的关系；等腰三角形顶角与底角的关系等。
一组绝配角有公共边延长一边。
a、β在同一三角形中以a为顶角构造等腰三角形
出现2倍角时翻折构造等腰三角形
【例6-1】如图，在△ABC中，点D在BC边上，，垂足为点E，若，，，，求CD的长．
【解析】设，则
∵，∴，∴
∴
∴∴
∵，
∴
∴
∴
【例6-2】如图，在△ABC中，，，点D是AB的中点，点E在AC上，点L在BC上，，连接AL，若，，，求AL的长.
【解析】
解：连接CD、EL
∵，，∴
∵点D是AB的中点，
∴，，
∴
又∵
∴
∴
在△CED和△BLD中
∴△CED≌△BLD
∴，
∴，.
设，则.
∵，
∴，∴.∴
延长AC至点F，使得，连接
∴垂直平分
∴
∴
∵
即
∴
∴
∴
针对练习6
如图，在△ABC中，，垂足为D，CE平分交AB于点E，，，交AD的延长线于点M，求证：.
【解析】
证明：∵CE平分，∴
∵∴
设，则
∵，
∴，∴
∴
∴，∴
2 .阅读下面材料并完成相应学习任务：
利用轴对称研究边与角之间的数量关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则．
∵（依据1）
∴
∴．
这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小．
类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小．
如图2，在中，如果，那么可以将沿折叠，使点B与点C重合，则，
∴（依据2）
在中，（依据3）
∴，即．
归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系．
任务一：上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？
依据1：___________；
依据2：___________；
依据3：___________．
任务二：
（1）如图3，在中，若，请直接写出之间的等量关系___________；
（2）如图4，中，于点D，．求证：．
【答案】任务一：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据 2：等角对等边；依据3：三角形两边的和大于第三边；（2）；（3）见解析
【分析】任务一：依据1根据三角形外角的性质解答即可；依据2根据等角对等边解答即可；依据3根据三角形三条边的关系解答即可；
任务二：（1）利用翻折的性质得到，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定证明，进而可得出结论；
（2）在DB上截取，连接，证明得，，再证明即可得出结论．
【详解】解：任务一：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
依据 2：等角对等边；
依据3：三角形两边的和大于第三边．
故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等角对等边；三角形两边的和大于第三边；
任务二：
（1）．
由折叠知：．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接
∵，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
模型七 构造等腰三角形
作平行线构造等腰三角形
截长补短构造等腰三角形
利用中点构造等腰三角形
【例7-1】如图，等腰三角形和等腰三角形，，，连接、，点F为的中点，连接．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，若，过点B作的垂线，垂足为点G，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）延长至点H，使，证明得出，利用平行线的判定与性质并结合可得出，再证即可得证；
（2）延长至点H，使，则，由（1）知，则，进而可得出，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：延长至点H，使，
∵点F为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）解：延长至点H，使，则，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等．
【例7-2】如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F．
(1)写出与相等的理由；
(2)过点D作于点G，写出与间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质进行证明．
（1）过点D作交于H，构造出全等三角形，，得到；
（2）由得到，再根据等腰三角形“三线合一”的性质得，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，过点D作交于H，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中,
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
针对练习7
1 .【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容：
(1)【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ．
(2)【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)【拓展延伸】如图③，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)3
【分析】（1）延长到E，使，连接，证明，得出，在中，根据，求出结果即可；
（2）延长，交于点F，证明，得出，证明，得出，根据，得出；
（3）延长交的延长线于点G，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）解：延长到E，使，连接，如图所示：
∵是边上的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：结论：．
理由：如图②中，延长，交于点F，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图③，延长交的延长线于点G，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2 .中，，，点在射线上（不与，重合），连接，过点作，垂足为．
(1)如图1，点在线段上，若恰好平分，探究、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点在线段上，点是直线上的一点，且平分，探究、、之问的数量关系，并说明理由．
(3)若点在线段的延长线上，点是直线上的一点，且平分，请在图3中画出图形，判断（2）中的结论是否仍然成立？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出正确的结论．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质等知识；
（1）延长，交于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）延长，交于点，由（1）可知，，由全等三角形的性质得出结论．
（3）同（1）可知，，得出，，则可得出结论．
正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）．
理由：延长，交于点，
平分，
，
又，，
，
，
，，
，
，，
，
，
；
（2），
理由：延长，交于点，
由（1）可知，，
，，
；
（3）如图，．
理由：同（1）可知，，
，，
．
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八年级数学上期末复习大串讲+练专题
专题十三 等腰三角形中的几何模型探究
分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类讨论思想对于训练学生思维的严密性有至关重要的作用。在等腰三角形中有如下几种情形需分类讨论。
底和腰不确定需分类讨论
【例1-1】用一条长的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为 ．
【例1-2】等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．18
针对练习1
1 .已知等腰三角形的两边长为a，b，且满足与互为相反数，则三角形的周长为 ．
2.已知一个等腰三角形的三边长分别为 2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．
（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．
解：①当 2x﹣1=x+1 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．
②当 2x﹣1=3x﹣2 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．
（2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．
底角和顶角不确定需分类讨论
【例2-1】等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是（ ）
A．70° B．70°或40° C．70°或55° D．55°
【例2-2】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ．
针对练习2
1.已知等腰三角形中的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100° C．40°或100° D．40°或80°
2 .在学习等腰三角形的性质时，某学习小组交流探究了下列问题：
已知是等腰三角形，若，分别求另外两角的度数．
经过独立思考，同学们进行了交流．甲同学说：“另外两角分别是和”；乙同学说：“另外两角都是”．对此丙同学提出了不同的看法…．
(1)如果你是该学习小组的一员，请发表你的意见，并说明理由；
(2)经历了上面问题的讨论，请谈谈你的感受．
3 .已知等腰三角形中的一个内角为100°，则这个等腰三角形的顶角为
高的位置不确定需分类讨论
【例3-1】已知BD是等腰△ABC中一腰上的高，∠ABD＝50°，则顶角的度数可能有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3-2】已知的高所在的直线交于点，若，则的度数为___________．
针对练习3
1 .若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
2 .在平行四边形中，，BE是AD边上的高，，则的度数为 ．
3 .等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
与中线有关的分类讨论
【例4-1】若等腰三角形一腰上的中线分周长为和两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长
【例4-2】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ．
针对练习4
1 .在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm的两部分，则BC的长为 ( )cm
A．14 B．16或22 C．22 D．14或22
2 .在周长为10的ABC中，，BD为ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ．
与腰的中垂线有关的分类讨论
【例5-1】已知，在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，则 ．
【例5-2】在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为 ．（用含的代数式表示）
针对练习5
1 .中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，垂直直线于E，若，则的长是 ．
2 .已知线段垂直平分线上有两点、，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
动点问题的分类讨论
【例6-1】如图，的顶点A，C在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当是等腰三角形时，的度数是 ．
【例6-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
针对练习6
1 .如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB= °．
2 .如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．
(1)发现问题：发现的大小不变为 ．
(2)分析问题：当时，分析判断的形状是 三角形．
(3)解决问题：请直接写出当为 度时，是等腰三角形．
3 .如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ 时，△POQ是等腰三角形．
．
构造等腰三角形需分类讨论
【例7-1】如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
【例7-2】过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 ．
针对练习7
1 .如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝ ．
2 ..定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数 ．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为 ．
3 .如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，若将△ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（ ）
A．100°、140°或100°、20° B．100°、140°
C．100°、20° D．140°、20°
等腰三角形个数的分类讨论
【例8-1】在平面直角坐标系中，A（2，3），O为原点，若点B为坐标轴上一点，且△AOB为等腰三角形，则这样的B点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【例8-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
针对练习8
1 .如图，∠MON＝43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2 .如图，已知线段和直线，点A在直线m上，且．以为一边作等腰，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形的个数共有 个．
3．如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线互相重合．
(1)的面积是 ；
(2)画出关于直线对称的；
(3)在所给网格图中，以为底边且另一个顶点在小正方形的顶点上的等腰三角形的个数是 个．
八年级数学上期末复习大串讲+练专题
专题十三 等腰三角形中的几何模型探究
分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类讨论思想对于训练学生思维的严密性有至关重要的作用。在等腰三角形中有如下几种情形需分类讨论。
一、底和腰不确定需分类讨论
【例1-1】用一条长的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为 ．
【答案】
【分析】设较短的边长为，则较长的边为，分两种情况：当较短的边为底边，较长的边为腰时；当较长的边为底边，较短的边为腰时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】解：设较短的边长为，则较长的边为，
当较短的边为底边，较长的边为腰时，则，
解得：，
此时三角形三边长分别为，，，能组成三角形；
当较长的边为底边，较短的边为腰时，则，
解得：，
此时三角形三边长分别为，，，
，
不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形；
综上所述，三角形底边的长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形任意两边之和大于第三边，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
【例1-2】等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．18
【分析】等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，所以能构成三角形，
周长是：22．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，解题的关键还应验证是否能构成三角形进行解答．
针对练习1
1 .已知等腰三角形的两边长为a，b，且满足与互为相反数，则三角形的周长为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了相反数的运算性质，非负数的性质，等腰三角形性质．先根据已知条件求出a，b的值，则b为腰a为底，即可求得周长．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
即；
显然b为腰a为底，则等腰三角形的周长为：．
2.已知一个等腰三角形的三边长分别为 2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．
（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．
解：①当 2x﹣1=x+1 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．
②当 2x﹣1=3x﹣2 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）．
（2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．
【答案】（1）①x=2，此时 3，3，4，能构成三角形．②x=1，此时 1，2，1 不能构成三角形；（2）分析见解析，三角形的周长为10或7．
【分析】（1）①②解方程，根据三角形三边关系判断即可；
（2）构建方程即可解决问题；最后求出三角形的周长即可．
【详解】（1）①当2x﹣1=x+1时，解得：x=2，此时3，3，4，能构成三角形．
②当2x﹣1=3x﹣2时，解得：x=1，此时1，2，1不能构成三角形．
故答案为2，能，1，不能；
（2）③当x+1=3x﹣2，解得：x=，此时2，能构成三角形．故三角形的周长为：3+3+4=10或=7．
综上所述：三角形的周长为10或7．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系、一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型
二、底角和顶角不确定需分类讨论
【例2-1】等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是（ ）
A．70° B．70°或40° C．70°或55° D．55°
【分析】由等腰三角形的一个内角为70°，可分别从70°的角为底角与70°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
若这个角为底角，则另一个底角也为70°，
∴其一个底角的度数是55°或70°．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意等边对等角的性质的应用，注意分类讨论思想的应用．
【例2-2】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当点在上时，当点在的延长线上时，由等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，
,
当点在上时，由作图可得：，
，
，，
，
在中，，，
，
，
当点在的延长线上时，由作图可得：，
，
，，
，
综上所述：的度数是：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
针对练习2
1.已知等腰三角形中的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100° C．40°或100° D．40°或80°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质分类计算即可；
【详解】∵已知三角形是等腰三角形，
∴当40°是底角时，顶角的度数为；
当40°是顶角时，符合题意；
∴顶角的度数是40°或100°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，准确计算是解题的关键
2 .在学习等腰三角形的性质时，某学习小组交流探究了下列问题：
已知是等腰三角形，若，分别求另外两角的度数．
经过独立思考，同学们进行了交流．甲同学说：“另外两角分别是和”；乙同学说：“另外两角都是”．对此丙同学提出了不同的看法…．
(1)如果你是该学习小组的一员，请发表你的意见，并说明理由；
(2)经历了上面问题的讨论，请谈谈你的感受．
【答案】(1)甲乙两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是和或和，理由见解析
(2)感受为：解题时，思考问题要全面，有的题目要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏
【分析】（1）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质即可得答案；
（2）说出自己通过做题得到的方法即可．
【详解】（1）解：甲乙两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是和或和
，理由如下：
①当是顶角时，
，
其余两角是和；
②当是底角时，
，
其余两角分别是和；
（2）感受为：解题时，思考问题要全面，有的题目要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．
【点睛】本题考查了等腰三角形及三角形内角和定理，利用分类讨论的思想是解题的关键．
3 .已知等腰三角形中的一个内角为100°，则这个等腰三角形的顶角为
【答案】100°
【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【详解】解：①当这个角是顶角时，底角=（180°-100°）÷2=40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，
∵，不符合三角形内角和定理，故舍去．
故答案为：100°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理的综合运用，分类讨论是解答本题的关键。
三、高的位置不确定需分类讨论
【例3-1】已知BD是等腰△ABC中一腰上的高，∠ABD＝50°，则顶角的度数可能有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】当∠A是锐角时，根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再分点A是顶角顶点，点A是底角顶点以及点A是钝角的顶角顶点3种情况求解．
【解答】解：∵∠ABD＝50°，BD是腰上的高，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°．
①如图1，点A是顶角顶点时，∠A为锐角时，∠A＝40°；
②如图2，点A是底角顶点时，
顶角∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°；
③如图3，点A是顶角顶点，∠A为钝角时，
顶角∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
综上所述，等腰△ABC的顶角的度数为40°或100°或140°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，难点在于要分情况讨论．
【例3-2】已知的高所在的直线交于点，若，则的度数为___________．
【答案】图见解析，或
【分析】分两种情况，画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：[作图区]
当为锐角时，如图①．
当为钝角时，如图②．
[解答区]
①若为锐角三角形时，为锐角，如图①，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
②若为钝角三角形时，为钝角，如图②，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
针对练习3
1 .若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数．
【详解】解：当为锐角三角形时，作于点D，取的中点E，连接，如图：
则，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
当为钝角三角形时，作，交的延长线于点D，取的中点，连接，如图：
则，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是或，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
2 .在平行四边形中，，BE是AD边上的高，，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】首先求出的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出的度数．
【详解】解：情形一：当点在线段上时，如图所示，
是边上的高，，
，
，
；
情形二：当点在的延长线上时，如图所示，
是边上的高，，
，
，
．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的高等知识，得出的度数是解题关键．
3 .等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【解答】解：当高在三角形内部时，如图1，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC，
∴∠A＝60°；
∴顶角是60°；
当高在三角形外部时，如图2，
∵∠ABD＝30°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°
∴顶角是120°．
故选：D．
四、与中线有关的分类讨论
【例4-1】若等腰三角形一腰上的中线分周长为和两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长
【答案】这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8
【分析】由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成9和12两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为9或12两种情况进行分析即可．
【详解】解：如图，①当时，
是边的中线，
，
，，
；
②当时，则，
；
，
答：这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及二元一次方程组的应用；解题时主要利用了分情况讨论的思想及列二元一次方程组求解，也是正确解答本题的关键．
【例4-2】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ．
【答案】9cm或21cm
【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．
【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm．
根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分，
∴或，
解得或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm．
故答案为：9cm或21cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
针对练习4
1 .在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm的两部分，则BC的长为 ( )cm
A．14 B．16或22 C．22 D．14或22
【答案】D
【分析】根据点D为AC中点，得出AD=DC=，根据AB=AC，得出AB=2AD，分两种情况当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，可求 BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm，可求BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm即可．
【详解】解：∵点D为AC中点，
∴AD=DC=，
∵AB=AC，
∴AB=2AD，
分两种情况，当AB+AD=24cm时，2AD+AD=24cm，
解得AD=8cm，
∵BC+CD=30cm，
∴BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，
当AB+AD=30cm时，2AD+AD=30cm，
解得AD=10cm，
∵BC+CD=24cm，
∴BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm，
∴BC的长为14cm或22cm．
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用，掌握等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用是解题关键．
2 .在周长为10的ABC中，，BD为ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ．
【答案】或
【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为两部分，但已知没有明确是哪两部分，因此有两种情况，需要分类讨论．
【详解】解：在ABC中，，BD为ABC的中线，
设则同时设
①当时，
∴
解得，
∴
②当时，
∴
解得，
∴
综上，△的底边的长为或
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．在解题时要注意找出等量关系是解题的关键．
五、与腰的中垂线有关的分类讨论
【例5-1】已知，在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，则 ．
【答案】或
【分析】为锐角三角形时，根据线段垂直平分线的定义得到，从而求得，继而可得，问题得解；为钝角三角形时，同理可得，即，问题得解．
【详解】解：①如图1，为锐角三角形时，
∵垂直且平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②如图2，为钝角三角形时，
∵垂直且平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的定义以及等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，掌握这些性质及定理，准确作出图形是解题的关键．
【例5-2】在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为 ．（用含的代数式表示）
【答案】或
【分析】先根据线段垂直平分线的性质，得到，，进而得到，再分两种情况：①为钝角；②为锐角进行讨论，利用角的和差关系进行计算即可得出答案．
【详解】解：分两种情况：
①如图所示，当为钝角时，
∵垂直平分，垂直平分
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵
∴
②如图所示，当为锐角时，
∵垂直平分，垂直平分
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵
∴
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键．
针对练习5
1 .中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，垂直直线于E，若，则的长是 ．
【答案】11或3
【分析】分点E在上或点E在的延长线上两种情形，分别利用证明，得，同理可得，从而解决问题．
【详解】解：如图，当点E在上时．
过点D作，交的延长线于F，连接，
∵的垂直平分线与的外角平分线交于点D，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
当点E在的延长线上时，如图，
同理可得，
∴，
综上：或3，
故答案为：11或3．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
2 .已知线段垂直平分线上有两点、，若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝40°，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当点在ED的延长线上，＝10°时，则＝60°，根据等边三角形的性质易得＝60°．
【详解】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA（180°﹣∠ADB）（180°﹣80°）＝50°，
当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
当点在ED的延长线上，＝10°时，则＝50°+10°＝60°，
∵CA＝CB，
∴＝60°，
综上所述，∠ACB的度数为60°或100°．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
六、动点问题的分类讨论
【例6-1】如图，的顶点A，C在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当是等腰三角形时，的度数是 ．
【答案】，，或
【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：，分三种情况：当时；当时；当时，分别讨论是解题的关键．
解：∵，，
∴，
分三种情况：
当时，若点P在的延长线上，如图：
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴；
当时，若点P在上，如图：
∵，，
∴；
当时，如图：
∵，
∴，
∴；
当时，如图：
∵，
∴；
综上所述：当是等腰三角形时，的度数是，，或，
故答案为：，，或．
【例6-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25°；小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB＝2，
∴AB＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，
当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
针对练习6
1 .如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB= °．
【答案】40或70或100
【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．
【详解】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB1=AB1时，∠OAB=∠α=40°；
②当OA=AB2时，∠OAB=180°-2×40°=100°；
③当OA=OB3时，∠OAB=∠OBA=（180°-40°）=70°；
故答案为：40或70或100．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
2 .如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．
(1)发现问题：发现的大小不变为 ．
(2)分析问题：当时，分析判断的形状是 三角形．
(3)解决问题：请直接写出当为 度时，是等腰三角形．
【答案】(1)
(2)直角
(3)或或
【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再由等边三角形的性质推出，由旋转的性质可得，则；
（2）由旋转的性质可得，则是等边三角形，得到，由此求出，则，即可得到是直角三角形；
（3）分，，三种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，即可利用周角的定义求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∵将绕点C顺时针方向旋转得，
∴，
∴，
故答案为：
（2）解：∵将绕点C顺时针方向旋转得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（3）解：当时，则，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键。
3 .如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ 时，△POQ是等腰三角形．
【分析】：根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
【解答】：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即10﹣2t＝t，
解得，ts；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣5）＝t，
解得，t＝10s
故填或10．
【点评】：本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
七、构造等腰三角形需分类讨论
【例7-1】如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．
【解析】：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；
C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
故选：B．
【点评】：本题主要考查了等腰三角形的判定，解题时注意：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
【例7-2】过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况画出图形，①当，时，设，得．．由，则，即可得到；②当，，时，设．得．则，则，得．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图（1），
当，时，设．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
②如图（2），
当，，时，设．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
综上，原等腰三角形顶角的度数为或．
故答案为：或
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
针对练习7
1 .如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝ ．
【答案】45°或30°
【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【详解】∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．
此时∠B＝2x＝45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，
解得x＝37.5°，
此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．
③DE＝BE时，则∠B＝（180﹣2x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述，∠B＝45°或30°．
故答案为：45°或30°．
【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用。
2 ..定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数 ．
（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为 ．
【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；
（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．
【解答】解：
（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；
（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．
每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．
故答案为：90°、135°、45°．
（3）如下图作△ABC，
①如图1：当AD＝AE时，
∵2x+x＝30+30，
∴x＝20．
②如图2：当AD＝DE时，
∵2x+x+30+30＝180．
∴x＝40．
所以x的所有可能的值为20°或40°．
故答案为20°或40°．
3 .如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，若将△ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（ ）
A．100°、140°或100°、20° B．100°、140°
C．100°、20° D．140°、20°
【分析】：有两种情况：把120°的角分为100°和20°或40°和80°，分别画出图形，即可求解．
【解析】：分两种情况：
①如图1，把120°的角分为100°和20°，
则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，140°；
②把120°的角分为40°和80°，
则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，20°
故选：A．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形各角之间的关系，难度适中，画出图形是关键
八、等腰三角形个数的分类讨论
【例8-1】在平面直角坐标系中，A（2，3），O为原点，若点B为坐标轴上一点，且△AOB为等腰三角形，则这样的B点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【解析】
【分析】
分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】
解：如图，满足条件的点B有8个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【例8-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
【解答】解：如图：可以画出7个等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
针对练习8
1 .如图，∠MON＝43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】：有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点P，根据角的不同应该能够找到三个点构成等腰三角形．
【解析】：当∠O＝∠OAP时，构成等腰三角形可找到一个P点．
当∠O＝∠OPA时，构成等腰三角形可找到一个P点．
当∠OAP＝∠OPA时，构成等腰三角形可找到一个P点．
故可找到三个P点．
故选：C．
【点评】：本题考查等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，根据此判定定理可找符合条件的P点．
2 .如图，已知线段和直线，点A在直线m上，且．以为一边作等腰，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形的个数共有 个．
【答案】4
【分析】根据当为等腰三角形的腰时有三个；当为等腰三角形的底边时，有一个，那么可作出等腰三角形共4个，即可得出答案．
【详解】解：如图以A为圆心，为半径画弧，即可得出、两点，
此时：，，
同理当为底边时，作的垂直平分线，，
以B为圆心，为半径画弧，即可得出点，
∴，
所以这样的等腰三角形的个数共有4个,
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质；等腰三角形有2条边相等，注意可选不同的顶点为等腰三角形的两条腰的交点．
3．如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线互相重合．
(1)的面积是 ；
(2)画出关于直线对称的；
(3)在所给网格图中，以为底边且另一个顶点在小正方形的顶点上的等腰三角形的个数是 个．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）利用割补法求解即可；
（2）根据轴对称的性质先找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据等腰三角形的定义结合网格的特点进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求；
；
（3）解：如图所示，根据网格的特点可知D、E、F、G都满足题意，
∴以为底边且另一个顶点在小正方形的顶点上的等腰三角形的个数是4个，
故答案为：4．
．
【点睛】本题主要考查了割补法求三角形面积，在网格中画轴对称图形和画等腰三角形，灵活运用所学知识是解题的关键．
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