广东省高州重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

2023-2024学年度第一学期期中考试题
数学试卷
全卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．2
4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5. 中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ）
A. B. C. D.
6．已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7. 已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则|FN|＝（ ）
A. B. C. D. 1
8. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：（）记其均值为m，中位数为k，方差为，则（ ）
A．
B．
C．新数据：的均值为m
D．新数据：的方差为
10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A. 所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项
C. 所有项的系数和为 D．有理项共5项
11．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为偶函数
C．为周期函数，且2为的周期 D．
12．已知球的半径为1（单位：），该球能够整体放入下列几何体容器（容器壁厚度忽略不计）的是（ ）
A．棱长为的正方体
B．底面边长为的正方形，高为的长方体
C．底面边长为，高为的正三棱锥
D．底面边长为，高为的正三棱锥
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．
14．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为 .
15．若函数，在上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的取值范围是 ．
16．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且．若的面积为，则双曲线的离心率为 ．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. （10分）记为数列的前的和，已知，是公差为的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
18．（12分）已知．在中，，．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值及边上的高．
19．（12分）某单位举办2023年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值.
20．（12分）如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且，．
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若与平面所成角为，求二面角的余弦值．
（12分）设函数
讨论的单调区间；
若，证明：.
22. （12分）在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，．相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E．过点作直线l交曲线E于P，Q两点，且点P位于x轴上方．记直线，的斜率分别为，．
（1）证明：为定值：
（2）设点Q关于x轴的对称点为，求面积的最大值．
2023-2024学年第一学期期中
数学 答案
1．B 由题设，或，所以.故选：B
2．C 因为复数满足，所以所以，,所以.故选：C
3．C 因为，，所以，又因为，所以，化简得.故选：C.
4．D 解：因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，且在恒成立，所以，，解得.所以，实数的取值范围为,故选：D
5. A 从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率.故选：A
6. D 因为，所以.又因为，，
所以，，从而可得，，所以.故选：D.
7．A 因为F是抛物线C：y＝2x2的焦点，所以F，抛物线C的准线方程为y＝－，如图，过点M作抛物线的准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MA∥OF，所以＝.因为2＝，所以|MA|＝×＝，|MF|＝|MB|＝＋＝，|FN|＝3|FM|＝.故选：A
8.B 由题意得，则，故曲线在点处的切线方程为，即，而切线与曲线只有一个公共点，即有且只有一正解，即有且只有一正解，
令，则，
由于，故，当时，，在上单调递增，且，，即在上存在唯一零点，即有且只有一正解；当时，，在上单调递增，由于的最小值为，故当趋向于0时，可取到负值，且，故在上存在唯一零点，
即有且只有一正解；当时，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，
令，则在上单调递增，且，此时要使有且只有一正解，故需，综合以上可知或，故选：B
9．BD 对于A，不妨令，则，A错误；对于B选项，因，样本数据最中间的项为和，由中位数的定义可知，，B正确；对于C，数据的均值为：，C错误；对于D，数据的均值为：，其方差为，D对.故选：BD
10.ABD 因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确；令，得所有项的系数和为，故C错误；因为展开式通项为，当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．故选：ABD．
11．AD A选项：令，得，故A正确；B选项：令，则，因此，又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误；
C选项：令，则，所以，因此，所以为周期函数，且周期为4，故C错误；
D选项：，故D正确.故选：AD.
12．ACD 球的半径为，则直径为，对于A，棱长为的正方体内切球直径为，A正确；对于B，长方体高为，高小于球的直径，B错误；
对于C，如图所示，设正三棱锥为，设为三棱锥的内切球的球心，为正三角形的中心，所以为正三棱锥的高，，设是的中点，正三棱锥的底面边长为，所以，，
因为为正三棱锥的高，所以，由正棱锥的性质可知：，，，
内切球半径为，，得，C正确；
对于D，和C的正三棱锥相比，底面边长相同，只需比较高的大小，即比较和的大小，由于，故选项D正确故选：ACD
13. 因为，所以，因此．故答案为：．
14. 由题意得，设，则，.过点，在平面内分别作，，垂足分别为点、，在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，所以，，则，因为，，，
所以，所以，在中，由勾股定理得，所以等腰梯形的面积为，所以.
所以，，方亭的高，故方亭的体积为.故答案为：
15. 由三角恒等变换可得，时，有，若要满足题意则需：.故答案为：
16． 不妨设点为第一象限内一点，双曲线的渐近线方程为，
设点，其中，易知、，，，
因为，则，
因为，解得，即点，所以，，所以，，所以，，因此，双曲线的离心率为.故答案为：.
17.（1）因为是公差为的等差数列，所以，所以
当时，，当时，，所以.
（2）因为，所以.
18．（1）由已知，
∵，∴，即，又∵，为三角形内角，且由，有，∴，即，∴.
（2）由正弦定理，得，∵，∴，又∵，∴，，∴，
边上的高.
19．（1）设“会徽”卡有张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有，，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为；
（2）由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布，即，
，，，，，的分布列为：
0 1 2 3 4
.
20.（1）连接，在中，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，在矩形中，，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；
（2）过点做交于点，连接由题可知平面，且，所以平面
则，又，平面，所以平面，∴在平面内射影为，则即为与平面所成的角，所以，在中，由可知，则，，以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于平面为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
所以，因为二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
(1)的定义域为 ,,令，解得
当，；当，；
所以的单调增区间为；单调减区间为
因为，所以，
所以，设，则上式为，所以，设，则，令，则，所以当；当；所以在，所以，所以，解得，所以．
22. (1)设，由题可知，所以（）．设直线l的方程为，，，联立，得，所以，，所以，，所以
，所以为定值．
(2)设，由椭圆的对称性，不妨设，∴，，而
，当，即时，等号成立，
此时的面积最大值为．