广东省茂名市高州重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题A卷（含解析）

2023-2024学年度第一学期期中考试
高二级数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
第一部分 选择题（共60分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，若，则（ ）
A. 4 B. 6 C. 5 D. 3
2. 直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
4. 已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则平面与平面所成的角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150°
6. 若，，，且，，共面，则（ ）
A. 1 B. -1 C. 1或2 D.
7．已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围（ ）A． B．
C． D．
8. 已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，，则四边形的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若平面 平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（ ）A. B. C. D.
10．已知是椭圆上一点，是左 右焦点，下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率
C． D．的面积的最大值是2
11. 已知圆，直线.若圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则b的可能值为（ ）
A. B. C. 1 D.
12．长方体中，，，点，分别在棱和上动点（不含端点），若，下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为0
C．面积的最大值为
D．三棱锥的体积不变
第二部分：非选择题（共90分）
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线，若,则m=___________.
14.圆和圆的交点为A，B，则直线AB的方程为_______.
15. 已知向量，，则在上的投影向量为 ______.
16. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为______.
解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求的值.
18．（本小题满分12分）已知长方体中，，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
19. （本小题满分12分）某省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的生物成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如下图：
（1）求图中的值；
（2）从生物原始成绩为的学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意抽取人，求人均在的概率；
（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数）
20. （本小题满分12分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求的方程．
21． （本小题满分12分）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．
22. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.
（1）证明：；
（2）设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
2023-2024学年度第一学期期中考试
高二级数学参考答案
1.【答案】A【详解】由得，又∵，，,解得,故选：A.
2.【答案】C 【详解】直线可化为，设直线的倾斜角为，，
则斜率，即.故选：C
3.【答案】A【详解】由可得离心率为，又，所以，
4.【答案】D
【详解】将代入，得，所以点为圆外一点，易知圆心坐标，半径，所以，
则的最大值为：，故选：D.
5.【答案】B【详解】由于
所以平面与平面所成的角为.故选：B
6.【答案】A【详解】向量，，共面，存在实数使得，
，解得 故选：A
7.【答案】D【解析】如图所示： ，
由图象知：当的斜率不存在时，直线与线段相交，
故的斜率的取值范围为.故选：D.
8.【答案】D【详解】设坐标原点为,∵, ∴四边形为平行四边形,又∵ ∴平行四边形为矩形,
由椭圆的定义得，即，
又∵，∴，∴，
则四边形的面积为，故选：D .
9.【答案】AC【详解】根据题意，与平面的法向量数量积为零，
对A：因为，满足题意，故A正确；
对B：因为，故B错误；
对C：因为，满足题意，故C正确；
对D：因为，故D错误.故选：AC.
10.【答案】BCD 【详解】对于A，因为椭圆，所以知，
所以椭圆的焦距为，故A错误；
对于B，椭圆的离心率为，故B正确；
对于C，由椭圆的定义可得，故C正确；
对于D，设，由椭圆的几何性质可知，
所以，
即的面积的最大值是2，故D正确. 故选：BCD．
11.【答案】BD【详解】由圆，可得圆心为，半径为2，
要使圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，则圆心到直线的距离为1，
所以，所以.故选：BD.
12.【答案】AD
【解析】
以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示.
则设，其中
，
又，即
对于选项A，，因此，故选项A正确；
对于选项B，，
因此无最大值，故选项B错误；
对于选项D，,因此三棱锥的体积不变，故选项D正确.故选：AD.
13.【分析】.若，则，解得
14.【答案】
15.【答案】
【详解】，则.
∴在上的投影向量为 故答案为：
16.【答案】【详解】设 ，
则 的图象是一条过定点的直线，的图象是圆 的上半圆部分，注意到点在圆上，故关于原点的对称点也在圆上，如图示：当直线经过点时，满足关于的不等式
，由关于不等式的解集为，且，可知： ，此时直线的斜率即实数 ，故答案为：
17.【答案】(1)1；(2)
【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简，再把代入求值；
（2）由，，利用角的配凑法得：，再利用两角差的余弦公式得.
【详解】解:（1）因为，........2分
所以.........5分
（2）由得，...7分
.......10分
18.【详解】（1）方法1：（几何法）连接AC交BD于点，连接，
在长方体中，， ..............1分
所以四边形为平行四边形，即，，..............2分
又因为底面ABCD为正方形，所以点为AC的中点，
点为的中点，即点为的中点，
所以，， ..............3分
即四边形为平行四边形，所以， ..............4分
因为平面，平面，所以平面； ..............6分
方法2：（向量法）分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz ..1分
则A（2,0,0）, ,D（0,0,0）,B（2,2,0）,..2分 .......3分
C设平面BDC1的一个法向量为
则 .......5分
,AE 平面BDC1 ..........6分
∴平面 ..............7分
（2）方法1：（几何法）在长方体中平面，平面，所以， ..............7分
又因为上底面为正方形，所以，
因为平面，
所以平面， ..............8分
因为在正方形中，，∴ ..............9分
且点为的中点，所以， ..............10分
所以． ..............12分
方法2：（向量法）
在长方体中，取BD的中点F, ..............8分
..............9分
由（1）可得，平面BDC1的一个法向量为
∴点E到平面BDC1的距离为
.........10分
所以 ..............12分
19.【答案】（1）
（2）
（3）分
【解析】
【分析】（1）利用频率和为可构造方程求得的值；
（2）根据分层抽样原则可确定分数在和的人数，采用列举法得到所有基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果；
（3）分析可知所求为样本数据的中位数，根据频率分布直方图估计中位数的方法即可求得结果.【小问1详解】
，........2分
【小问2详解】
原始分在和的频率之比为，
抽取的人中，原始分在的人数为，记为；原始分在的人数为，记为；.......4分
则从人中抽取人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；.......6分
其中抽取的人原始分均在的结果有：，，，，，，共个基本事件；.......7分
人均在的概率........8分
【小问3详解】
由题意知：A.B等级排名占比为35%+15%=50%， .......9分
则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的等级及以上（含等级）；
，，....10分
中位数位于之间，设中位数为，则，解得：，
原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）........12分
20.【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用点到直线的距离公式即可求得圆心从而求得方程.
（2）分类讨论借助点到直线的距离公式求得直线方程.
【小问1详解】
设圆心坐标为，.......1分
又因为圆的半径为2.由勾股定理可得圆心到直线的距离 .....3分
所以........5分
所以圆的方程为：......6分
【小问2详解】
由已知：
（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，显然符合题意.......7分
（2）当直线斜率存在时，设直线方程为，......8分
即
又因为圆心到直线的距离......10分
所以直线的方程为.......11分
综上所述：直线为或.......12分
21.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质可求得b的值，验证符合题意，即可得答案;
（2）求得，确定其为增函数，且，从而将恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，求得其最值，即可得答案.
解：（1）∵函数的定义域为，且为奇函数，
∴，解得,......2分
经验证：为奇函数，符合题意，
故；......4分
∵，∴在上单调递增，......5分
且．......6分
∵，则，......7分
又函数在上单调递增，则在上恒成立，......8分
∴在上恒成立，......9分
设，
令，则，函数在上递减，在上递增，......10分
当时， ，当时， ，
故，......11分
则 ，∴实数的取值范围为．......12分
22.【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，所以由线面垂直的判定可得平面，从而可得结论；
（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：因为，点是的中点，所以.......1分
因为平面平面，所以平面平面，......2分
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面，所以，......4分
因为，平面，
所以平面，......5分
因为平面，所以.......6分
【小问2详解】
解：由题意可得两两垂直，
设，如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，......7分
因为点是的中点，所以，
所以，......8分
设平面的法向量为，则，
令可得，所以平面的一个法向量.......9分
，设，
即，所以.......10分
又，
所以，
化简得，解得或（舍去）.
所以，......11分
设直线与平面所成的角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.......12分
z
y
X