10.1.2 事件的关系和运算 教学设计

高中数学人教A版必修第二册 随机事件与概率
事件的关系和运算
教学内容
事件之间的关系和运算法则.
（二）教学目标
（1）从实例出发，类比集合的关系和运算，引导学生从多个角度认识事件之间的关系和运算；提升学生的数学逻辑推理素养
（2）掌握事件的交（并）运算公式．
（3）能够判断随机事件是否为互斥事件
（三）教学重点与难点
教学重点：随机事件的交（并）运算.
教学难点：互斥事件的判断.
（四）教学过程设计
一、引入新课
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件．这些事件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算．
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：
Ci＝ “点数为i”，i＝１，２，３，４，５，６；
D1＝ “点数不大于３”；D2＝ “点数大于３”；
E1＝ “点数为１或２”；E2＝ “点数为２或３”；
F＝ “点数为偶数”；G＝ “点数为奇数”；
……
（1）你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件．
（2）借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
答：C1＝{1}，C2＝{2}，C3＝{3}，C4＝{4}，C5＝{5}，C6＝{6}；
D1={1,2,3}，D2={4,5,6}；E1={1,2}，E2={2,3}； F={2,4,6}，G={1,3,5}；
使我们利用集合的知识研究随机事件，为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法．下面我们按照这一思路展开研究
二、课堂探究
问题１用集合的形式表示事件C1＝ “点数为１”和事件G＝ “点数为奇数”，你能发现这两个事件之间的关系吗？
答：它们分别是C1＝｛１｝和G＝｛１，３，５｝．
事件关系：如果事件C1发生，那么事件G一定发生．
集合表示：，即.这时我们说事件G包含事件
概念：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A （或事件A包含于事件B），记作（或）．
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．
设计意图∶通过具体模型，从特例到一般，类比集合的相等关系给出集合相等的概念.
问题2：用集合的形式表示事件D１＝ “点数不大于３”、事件E１＝ “点数为１或２”和事件E２＝ “点数为２或３”，它们之间有什么关系？
思考1：如果事件E１和事件E2至少有一个发生，那么意味着代表随机事件的样本点有怎样的特点？事件 D１会发生吗？
思考2：如果事件D１发生，则事件E１或者事件E2能够发生吗？
思考3：利用样本点表示出各事件，通过集合来研究它们的关系又是怎样的呢？
答：如果事件E１和事件E2至少有一个发生，相当于事件 D１发生；
如果事件D１发生，事件E１或者事件E2不一定发生.
事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是｛１，２｝∪｛２，３｝＝｛１，２，３｝，即E１∪E２＝D１，这时我们称事件D１为事件E１和事件E2的并事件
定义：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件 （或和事件），记作A∪B （或A＋B）．
设计意图：利用集合的关系来体会随机事件之间的关系，通过思考环节不断的引导学生理解、归纳出定义
问题3：事件C2＝ “点数为2”，事件E1＝ “点数为１或２”和事件E2＝ “点数为２或３”，则事件C２与事件E1，事件E2有怎样的关系？
思考1：如果事件E1和事件E2同时发生，则意味着掷出的点数是多少？
思考2：如果事件C2发生，则事件E1和事件E2会发生吗？
思考3：利用样本点表示出各事件，通过集合来研究它们的关系又是怎样的呢？
答：事件E1＝ “点数为１或２”和事件E2＝ “点数为２或３”同时发生，相
当于事件C2发生；如果事件C2发生，则事件E1和事件E2一定都会发生；
事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是｛１，２｝∩｛２，３｝＝｛２｝，
即E１∩E2＝C２，我们称事件C２为事件E１和E2的交事件．
定义：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件 （或积事件），记作A∩B （或AB）．
设计意图：利用集合的关系来体会随机事件之间的关系，通过思考环节不断的引导学生理解、归纳出定义
问题4：事件C3＝ “点数为３”和事件C4＝ “点数为４”，它们可能同时发生吗？用集合来研究它们的关系又是怎样的呢？
答：事件C3与事件C4不可能同时发生，用集合的形式表示这种关系，就是 ｛３｝∩｛４｝＝，即C3∩C4＝，这时我们称事件C3与事件C4互斥
定义：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝，则称事件A与事件B互斥 （或互不相容）．
问题5：用集合的形式表示事件F＝ “点数为偶数”、事件G＝ “点数为奇数”，它们与事件样本空间有怎样的关系？用集合来研究它们的并事件、交事件能发现怎样的关系呢？
答：在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中
之一．
集合表示为｛２，４，６｝∪｛１，３，５｝＝｛１，２， ３，４，５，６｝，即F∪G＝Ω，且｛２，４，６｝∩｛１，３，５｝＝，即F∩G＝．此时我们称事件F与事件G互为对立事件．
定义：一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为.
对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
三、知识应用
例1 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路， 每个元件可能正常或失效．设事件A＝ “甲元件正常”，B＝ “乙元件正常”．
（１）写出表示两个元件工作状态的样本空间
（２）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
（３）用集合的形式表示事件A∪B和事件，并说明它们的含义及关系．
分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组 （x1，x2）表示样本点．这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态．
解：（1）用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（x1，x2）表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝｛（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）｝．
（2）根据题意，可得
A＝｛（1，0），（1，1）｝，B＝｛（0，1），（1，1）｝，
＝｛（0，0），（0，1）｝，＝｛（0，0），（1，0）｝．
（3）AB＝｛（0，1），（1，0），（1，1）｝，＝｛（0，0）｝；A∪B表示电路工作正常，表示电路工作不正常；AB和互为对立事件．
例2　一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
解：（1）所有的试验结果如图所示．用数组（x1，x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
Ω＝｛（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）｝．
事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，于是
R1＝｛（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）｝；
事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，于是
R2＝｛（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）｝．
同理，有
R＝｛（1，2），（2，1）｝，
G＝｛（3，4），（4，3）｝，
M＝｛（1，2），（2，1），（3，4），（4，3）｝，
N＝｛（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）｝．
（2）因为RR1，所以事件R1包含事件R；
因为RG＝，所以事件R与事件G互斥；
因为MN＝Ω，MN＝，所以事件M与事件N互为对立事件．
（3）因为RG＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
四、课堂练习
1.从1，2，3，…，9中有放回地任取两数其中：①恰有一个3的倍数和恰有一个5的倍数；②至少有一个3的倍数和两个都是5的倍数；③两个都是3的倍数和两个都是5的倍数；④两个都是3的倍数和两个都是6的倍数．则互斥事件的组数是( ) ．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2．试验E:抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子掷出的点数，设事件A表示“向上的点数是1或2”，事件B表示“向上的点数是2或3”，则(　　)．
A．A B B．A=B
C．A+B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3
3．试验E:甲、乙、丙三人各投篮一次，观察投中的情况．设事件A表示“甲投中”，B表示“乙投中” ，C表示“丙投中” ，试用A，B，C的运算表示下列随机事件:
(1)甲、乙投中但丙没投中； (2)甲、乙、丙都投中；
(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中； (4)只有乙投中．
参考答案：
1．若两数为3，5，则①中的两个事件同时发生，所以它们不互斥；若两个都是5的倍数，则两数为5，它们都不是3的倍数，所以②是互斥事件；若两个都是3的倍数，则两数为3，6，9中任意两个，它们都不是5的倍数，所以③也是互斥事件；当两个数都为6时，④中的两事件可以同时发生，不是互斥事件．
故选C．
2．事件A={1，2}，B={2，3}，则A∩B={2}，A∪B={1，2，3}，故A+B，即A∪B表示向上的点数为1或2或3，AB即A∩B表示向上的点数为2．
故选C．
3．解：(1)丙没投中用表示，即事件A，B，同时发生，所以甲、乙投中但丙没投中，用 AB表示；
(2)甲、乙、丙都投中，即事件A，B，C同时发生，所以用ABC表示；
(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中，用 A∪B∪C表示；
(4)只有乙投中，即甲、丙没投中，乙投中，故事件，B，同时发生，所以只有乙投中，用B表示．
五、归纳总结
事件的关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A （或事件A包含于事件B），记作（或）．
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．
事件的运算：
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件 （或和事件），记作A∪B （或A＋B）．
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件 （或积事件），记作A∩B （或AB）
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝，则称事件A与事件B互斥 （或互不相容）．
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为.
对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件