10.1.2 事件的关系和运算 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
随机事件与概率
事件的关系和运算
高中数学人教A版必修第二册
情境引入
在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，
例如：Ci＝ “点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；
D1＝ “点数不大于3”；D2＝ “点数大于3”；
E1＝ “点数为1或2”；E2＝ “点数为2或3”；
F＝ “点数为偶数”；G＝ “点数为奇数”；
（1）你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件．
（2）借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？
为什么要研究事件的关系和运算？
如何研究事件的关系和运算？
从简单事件的概率
复杂事件的概率
推算
类比集合的研究方法
从特殊到一般
课堂探究
用集合的形式表示事件C1＝ “点数为１”和事件G＝ “点数为奇数”，你能发现这两个事件之间的关系吗？
答：它们分别是C1＝｛１｝和G＝｛1，3，5｝．
事件关系：如果事件C1发生，那么事件G一定发生．
集合表示：，即.这时我们说事件G包含事件
概念：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A （或事件A包含于事件B），记作（或）．
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B．
课堂探究
用集合的形式表示事件D1＝ “点数不大于3”、事件E１＝ “点数为１或2”和事件E2＝ “点数为2或3”，它们之间有什么关系？
若在一次抛掷骰子的试验中，
反之，
事件“掷出的点数为1，2，3其中之一”发生
事件A与事件B至少有一个发生
事件E１与E2至少有一个发生
E１ E2都发生
朝上点数为 2
E１发生E2不发生
掷出点数为 1
E１不发生E2发生
朝上点数为 3
事件“掷出的点数为1，2，3其中之一”发生
从集合的角度如何表示它们三个事件之间的关系？
｛１，２｝∪｛２，３｝＝｛１，２，３｝，即E1∪E2＝D１
课堂探究
概念：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件 （或和事件），记作A∪B （或A＋B）．
课堂探究
事件C2＝ “点数为2”，事件E1＝ “点数为1或2”和事件，E2＝ “点数为2或3”，则事件C2与事件E1，事件E2有怎样的关系？
事件E1与E2都发生
E1发生：点数是1或2
E2发生：点数是2或3
事件“点数为 2”发生
若在一次抛掷骰子的试验中，
反之，
事件“点数为 2”发生
事件A发生
事件B发生
从集合的角度如何表示它们三个事件之间的关系？
｛1，2｝∩｛2，3｝＝｛2｝，即E1∩E2＝C2，
课堂探究
概念：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件 （或积事件），记作A∩B （或AB）．
课堂探究
事件C3＝ “点数为3”和事件C4＝ “点数为4”，它们可能同时发生吗？用集合来研究它们的关系又是怎样的呢？
事件C3与事件C4不可能同时发生，用集合的形式表示这种关系，就是 ｛3｝∩｛4｝＝，即C3∩C4＝，这时我们称事件C3与事件C4互斥
定义：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝，则称事件A与事件B互斥 （或互不相容）．
课堂探究
用集合的形式表示事件F＝ “点数为偶数”、事件G＝ “点数为奇数”，它们与事件样本空间有怎样的关系？用集合来研究它们的并事件、交事件能发现怎样的关系呢？
在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一．
集合表示为｛2，4，6｝∪｛1，3，5｝＝｛1，2，3，4，5，6｝，即F∪G＝Ω，且｛2，4，6｝∩｛1，3，5｝＝，即F∩G＝．此时我们称事件F与事件G互为对立事件．
课堂探究
概念：一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为.
对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
A
A ，
Ω
应用举例
由甲、乙两个元件组成一个并联电路， 每个元件可能正常或失效．设事件A＝ “甲元件正常”，B＝ “乙元件正常”．
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件，并说明它们的含义及关系．
注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组 （x1，x2）表示样本点．这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态．
应用举例
由甲、乙两个元件组成一个并联电路， 每个元件可能正常或失效．设事件A＝ “甲元件正常”，B＝ “乙元件正常”．
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件，并说明它们的含义及关系．
解：（1）用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（x1，x2）表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝｛（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）｝．
应用举例
由甲、乙两个元件组成一个并联电路， 每个元件可能正常或失效．设事件A＝ “甲元件正常”，B＝ “乙元件正常”．
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件，并说明它们的含义及关系．
（2）根据题意，可得
A＝｛（1，0），（1，1）｝，B＝｛（0，1），（1，1）｝，
＝｛（0，0），（0，1）｝，＝｛（0，0），（1，0）｝．
应用举例
由甲、乙两个元件组成一个并联电路， 每个元件可能正常或失效．设事件A＝ “甲元件正常”，B＝ “乙元件正常”．
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件，并说明它们的含义及关系．
（3）AB＝｛（0，1），（1，0），（1，1）｝，＝｛（0，0）｝；A∪B表示电路工作正常，表示电路工作不正常；AB和互为对立事件．
应用举例
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？
事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
1
4
3
2
应用举例
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
解：（1）所有的试验结果如图所示．用数组（x1，x2）表示可能的结果，
x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
Ω＝｛（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）｝．
事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2，
于是R1＝｛（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）｝；
事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2，
于是R2＝｛（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）｝．
应用举例
解： （1）同理，有
R＝｛（1，2），（2，1）｝，
G＝｛（3，4），（4，3）｝，
M＝｛（1，2），（2，1），（3，4），（4，3）｝，
N＝｛（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）｝．
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
应用举例
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
（2）事件R与R1， R与G，M 与N 之间各有什么关系？
（2）因为RR1，所以事件R1包含事件R；
因为RG＝，所以事件R与事件G互斥；
因为MN＝Ω，MN＝，所以事件M与事件N互为对立事件．
1
4
3
2
应用举例
一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？
事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
（3）因为RG＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．
1
4
3
2
从1，2，3，…，9中有放回地任取两数其中：①恰有一个3的倍数和恰有一个5的倍数；②至少有一个3的倍数和两个都是5的倍数；③两个都是3的倍数和两个都是5的倍数；④两个都是3的倍数和两个都是6的倍数．则互斥事件的组数是( ) ．
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
若两数为3，5，则①中的两个事件同时发生，所以它们不互斥；
若两个都是5的倍数，则两数为5，它们都不是3的倍数，所以②是互斥事件；
若两个都是3的倍数，则两数为3，6，9中任意两个，它们都不是5的倍数，所以③也是互斥事件；
当两个数都为6时，④中的两事件可以同时发生，所以它们不是互斥事件 ．
故选C．
C
解：
课堂练习
试验E:抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子掷出的点数，设事件A表示“向上的点数是1或2”，事件B表示“向上的点数是2或3”，则( ) ．
A. A与B互斥 B. A=B
C. A+B表示向上的点数是1或2或3 D. AB表示向上的点数是1或2或3
故选C．
C
解：事件A={1，2}，B={2，3}，则A∩B={2}，A∪B={1，2，3} ．
若掷出的点数为2，那么事件A和事件B同时发生，故A与B不是互斥事件；
A+B，即A∪B表示向上的点数为1或2或3，AB即A∩B表示向上的点数为2．
课堂练习
课堂练习
试验E:甲、乙、丙三人各投篮一次，观察投中的情况．设事件A表示“甲投中”，B表示“乙投中” ，C表示“丙投中” ，试用A，B，C的运算表示下列随机事件:
(1)甲、乙投中但丙没投中； (2)甲、乙、丙都投中；
(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中； (4)只有乙投中．
解： (1)丙没投中用表示，即事件A，B，同时发生，所以用 AB表示；
(2)甲、乙、丙都投中，即事件A，B，C同时发生，所以用ABC表示；
(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中，用 A∪B∪C表示；
(4)只有乙投中，即甲、丙没投中，乙投中，故事件，B，同时发生，所以用B表示．
归纳总结
事件运算
事件关系
随机事件的运算
对立
互斥
交（积）
非
A∪B (或A+B)
事件 A和B至少有一个发生.
并（和）
A∩B(或AB)
事件 A和B同时发生.
=（Ω-A）
事件 A不发生.
A∩B= ，事件 A与B不能同时发生.
A∪B=Ω, A∩B= ，A与对立.
对立，一定互斥；
反之，不成立.
再 见