10.1.4 概率的基本性质 教案

高中数学人教A版 必修第二册 随机事件与概率
概率的基本性质
(一)教学内容
概率的基本性质
（二）教学目标
1.理解概率的基本性质，会利用概率的基本性质解决简单问题；
2. 类比函数性质的研究内容和方法，提出概率基本性质的研究内容和方法
3.经历具体实例的探究过程，归纳出概率的基本性质，提升逻辑推理素养
（三）教学重点与难点
教学重点：通过探究具体实例，归纳出概率的基本性质
教学难点：类比函数性质的研究内容和方法，提出概率基本性质的研究内容和方法
（四）教学过程设计
一、引入新课
我们在研究函数的时候，是沿着怎样的路径来研究的？类比函数的研究路径，想一想，可以从哪些角度研究概率的性质？
答：在先给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、 单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用．
类似地， 在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质．例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等
二、课堂探究
问题１：概率表示的是一个事件发生的可能性大小，想一想概率的取值范围是什么？那些特殊的事件的概率是怎样的？
（1）任何事件的概率都是非负的；
（2）在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生．
一般地，概率有如下性质：
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥０．
性质2 必然事件的概率为１，不可能事件的概率为０，即P（）＝１，P（）＝0
问题2：我们研究过事件之间的某些关系，设事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？
例如：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”． 事件R，G的概率之间具有怎样的关系？
事件R＝ “两次都摸到红球”与事件G ＝ “两次都摸到绿球”互斥，R∪G＝ “两次摸到的球颜色相同”
因为n（R）=2，n（G）=2，n（R∪G）=4，所以
P（R）= P（G）=
P（R∪G）=
因此
P（R∪G）= P（R）+ P（G）
一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n（A∪B）= n（A）+n（B），这等价于P（A∪B）= P（A）+P（B），即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和．
性质３ 如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）= P（A）+P（B）．
扩展:互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（Am）
追问：设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系？
因为事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B 为必然事件，即P（A∪B）=１．由性质３，得1=P（A∪B）= P（A）P（B）． 由此我们得到
性质４ 如果事件A和事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A），P（A）=1P（B）
追问：若事件A与事件B有包含关系，那么这两个事件的概率有什么关系吗？
在古典概型中，对于事件A与事件B，如果，那么n（A）n（B），于是
，即P（A）P（B）
一般地，对于事件A与事件B，如果，即事件A 发生，则事件B一定发生， 那么事件A的概率不超过事件B的概率．于是我们有概率的单调性：
性质5：如果，那么P（A）P（B）
那么，对于任意事件A，因为，所以０≤P（A）≤１．
思考：上面例子中，一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”．
用R１∪R２ 表示“两个球中有红球”，那么P（R１∪R２）和P（R１）+P（R２）相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P（R１∪R２）
因为n（）=12，n（）= n（）=6
n（R１∪R２）=10，所以P（）= P（）=，
P（R１∪R２）=.因此，P（R１∪R２）≠P（）+ P（）
这是因为R１∩R２={（1,2），（2,1）}，即事件R１，R２不是互斥的，容易得到
P（R１∪R２）=P（）+ P（）P（R１∩R２）
性质６ 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
P（A∪B）=P（）+ P（）P（A∩B）
显然，性质３是性质６的特殊情况． 利用上述概率的性质，可以简化概率的计算．
三、知识应用
例1　从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P（A）＝P（B）＝．那么
（1）C＝“抽到红花色”，求P（C）；
（2）D＝“抽到黑花色”，求P（D）．
解：（1）因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件．根据互斥事件的概率加法公式，得
P（C）＝P（A）＋P（B）＝=
（2）因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件．因此
P（D）＝1－P（C）＝1－=
例2　为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况．如果设A＝“中奖”，A1＝“第一罐中奖”，A2＝“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题．
解：设事件A＝“中奖”，事件A1＝“第一罐中奖”，事件A2＝“第二罐中奖”，那么事件A1A2＝“两罐都中奖”， ＝“第一罐中奖，第二罐不中奖”， ＝“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且
A＝A1A2∪∪．
因为A1A2，，两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
P（A）＝P（A1A2）＋P（）＋P（）．
我们借助树状图来求相应事件的样本点数．
可以得到，样本空间包含的样本点个数为n（Ω）＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的．因为n（A1A2）＝2，n（）＝8，n（）＝8，所以
上述解法需要分若干种情况计算概率．注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于 ＝“两罐都不中奖”，而n（ ）＝4×3＝12，所以
P（ ）=
因此
四、课堂练习
1．从一副混合后的扑克牌（不含大小王）中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P（A∪B）=（ ）
2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（ D ）
A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4
分析：事件“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”两两互斥，则一次射击中够8环的概率为0.2+0.3+0.1=0.6，不够8环的概率为1-0.6=0.4
3．已知，，，则（ 0.2 ）．
分析：P（A∪B）=P（）+ P（）P（A∩B）故0.9=0.5+0.6P（AB）
所以P（AB）=0.2
4．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率是（ ）
分析：设甲落入盒子为事件A，乙落入盒子为事件B，P（）=，P（）=，
P（A∪B）=1 P（）=1×=
五、归纳总结
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥０．
性质2 必然事件的概率为１，不可能事件的概率为０，即P（）＝１，P（）＝0
性质３ 如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）= P（A）+P（B）．
扩展:互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况．如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（Am）
性质４ 如果事件A和事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A），P（A）=1P（B）
性质5 如果，那么P（A）P（B）那么，对于任意事件A，因为，所以０≤P（A）≤１．
性质６ 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）=P（）+ P（）P（A∩B）