7.1.2 复数的几何意义 教案

高中数学人教A版必修第二册
7.1.2 复数的几何意义
（一）教学内容
复数的几何意义
（二）教学目标
1.理解复数的代数表示和几何意义；
2.掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念；
3.通过运用复数的几何意义求模及轨迹形状问题，提升直观想象素养；
4.通过构造平面向量将复数问题转化为图形问题解决，提升数学建模素养．
（三）教学重点与难点
重点：复数的几何意义．
难点：复数的向量表示．
（四）教学过程设计
一、情境引入
我们知道，在引入了新数“i”之后，我们对数的认知也扩充到了复数，复数都可以表示为z=a+bi（a，b∈R）的形式，其中，当b=0时，z为实数，也就是说，实数是复数中的一部分．我们又知道，实数从形的角度来说，它与数轴上的点一一对应，那么一个自然的问题就是：复数从几何角度又有什么意义呢？
二、新知探究
问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序数对（a，b）唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表示方法吗？
回答：因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序数对（a，b）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+bi与有序实数对（a，b）是一一对应的．而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z（a，b）表示．
设计意图：通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系，从而找到复数的几何意义．
　　这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
例如，复数2+3i可用点（2，3）表示，复数1-i可用点（1，-1）表示；点（-2,1）表示复数-2+i，点（-3,-2）表示复数-3-2i．
追问：你能说一说两条坐标轴上的点都代表什么数吗？
答案：实轴上点的坐标都（a，0）的形式，所表示的复数虚部为0，都是实数，即实轴上的点都表示实数．虚轴上的点，除原点外，其他坐标都是（0，b）（b≠0）这样的形式，所表示的复数实部为0，虚部不为0，为纯虚数，所以虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．
例如，复平面内的原点（0，0）表示实数0，实轴上的点（2，0）表示实数2，虚轴上的点（0，-1）表示纯虚数-i，点（-2，3）表示复数-2+3i等．
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系．这就是复数的一种几何意义．
设计意图：理解复数集合意义中的一一对应关系，认识复平面．
问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，你能用平面向量来表示复数吗？
答案：如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定．因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即：
这是复数的另一种几何意义．
为了方便，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一复数．
问题3：实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？
答案：数轴上表示数a的点到原点的距离，就叫做这个数a的绝对值．而向量的大小称为向量的长度，也称为向量的模．
类比可以得到，复数z=a+bi（a，b∈R）的模：（a，b∈R），
从几何上来看复数z=a+bi（a，b∈R）的模表示点（a，b）到原点的距离．
设计意图：通过在复平面中寻找两个复数对应的点和向量，理解复数的几何意义，体会数形结合的思想．
三、典例应用
例1 设复数=4+3i，=4-3i．
(1)在复平面内画出复数，对应的点和向量；
(2)求复数，的模，并比较它们的模的大小．
解：(1)如图，复数，对应的点分别为，对应的向量分别为，，
(2)，
．
所以．
问题4：点，有怎样的关系？
答案：点，的实部相等，虚部互为相反数．
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z=a+bi，那么=a-bi．
追问：若，是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？
答案：若，是共轭复数，在复平面内它们所对应的点关于实轴对称．
例2 设，在复平面内对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|=1；(2)1<|z|<2．
解：(1)由|z|=1得，向量的模等于1，所以满足条件|z|=1的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆．
(2)不等式1<|z|<2可化为不等式，
不等式|z|<2的解集是圆||z|=2的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件1<|z|<2的点Z的集合，容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．
设计意图：加深对复数几何意义的理解．
四、梳理小结
复数的几何意义
复平面：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z（a，b）表示．　
x轴叫做实轴 y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数 原点外的虚轴上的点都表示纯虚数
向量的模叫做复数的模
复数的模记作或，
复数的共轭复数为
互为共轭复数的复数对应的点关于轴对称