8.1.1 基本立体图形 教学设计

高中数学人教A版必修第二册
8.1.1 基本立体图形（一）
（一）教学内容
多面体、旋转体的概念；棱柱、棱锥和棱台的结构特征
（二）教学目标
（1）了解多面体和旋转体的结构特征，理解棱柱、棱锥和棱台的结构特征。
（2）经历从物体到几何体的抽象过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养.
（三）教学重点与难点
重点：认识多面体、旋转体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
难点：多面体、旋转体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征的抽象.
（四）教学过程设计
1.引入新课
问题1：环顾四周，我们生活的空间是三维的空间，触摸到的物体几乎都和几何体相关，观察下图，都有哪些我们在小学和初中接触过的几何体？
答：可以观察到正方体、长方体、圆柱体、球等几何体.
追问：数学是从生活而来的，你能根据经验尝试总结出几何体的概念吗？
答：如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体（space geometry）.
设计意图：引出本节研究内容，给出几何体的概念以及认识几何体的角度.
2.课堂探究
问题2：观察下面的图片，想一想该如何观察并描述它们的形状？
答：我们在观察一个物体时，可以将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体人手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识. ，
追问1：比如纸箱和奶粉罐，它们各有几个面？每个面具有什么样的形状？它们分别类似于哪种我们知道的空间几何体？它们之间的差别是什么？
答：纸箱有六个矩形的面，类似于长方体.奶粉罐上下是两个圆和一个曲面，类似于圆柱.
区别：长方体的每个面都是平面图形，圆柱除了平面图形外还有一个曲面.
问题3：按照围成几何体的面的特点，上述图片反映的几何体可以分为哪几类？各类几何体具有什么样的结构特征？
答：发现一类是，围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形.如纸箱、金字塔、茶叶盒、金刚石、储物箱等物体.
发现另一类围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.如纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体.
概念：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体（polyhedron），围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABE，面BAF；两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AE，棱EC；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体（rotating solid）.这条定直线叫做旋转体的轴.图中的旋转体就是由平面曲线OAA'O'绕轴OO'旋转形成的，图中的纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状.
问题4：我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手，对它们进一步深人认识.观察图中的纸箱、茶叶罐，长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？
答：可以发现，它们每个面都是平行四边形（矩形），并且相对的两个面，如面ABCD和面A'B'C'D'，给我们以平行的形象.①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.满足这三个特征的多面体叫做棱柱(prism).
追问1：你能举出生活中一些给我们以棱柱的形象的实例吗？
答：比如教室等.
追问2：类比一般多面体的面、棱、顶点，棱柱的面、棱、顶点有什么特点？它们之间有什么关系？
答：在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
表示：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱柱记作棱柱ABCDEF-
A'B'C'D'E'F'.
追问3：观察图中的棱柱，你能从它们的底面多边形的边数或侧面与底面的关系的角度对它们进行分类吗？
答：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…….
一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱（图（1）（3）），侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱（图（2）（4））.
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱（图（3））.
底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体（图（4））.
追问4：想一想，分别由平行六面体、直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体各自组成的集合之间的关系是怎样的？
答：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直四棱柱}{平行六面体}
设计意图：以棱柱为载体，师生共同深入认识一个基本几何体，在教学棱柱过程中，渗透认识一个几何体的基本内容和方法，认识一个几何体，主要从其结构特征，从组成这个几何体的要素以及要素之间的位置关系的角度进行，除把握几何体的结构特征外，一般我们还要弄清其相关概念，表示以及分类，在认识几何体的过程中，要注意实物以及立体模型的作用，在这一过程中，发展学生的数学抽象、直观想象素养.
问题5：观察图中金字塔这样的多面体，它由什么样的面围成？这些面之间有什么位置关系？
答：像图中金字塔这样的多面体，均由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点.
追问1：类比棱柱的学习过程，你能给出棱锥的相关概念吗？
答：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）.
这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
追问2：类比棱柱的学习过程，你能给出棱锥的表示并对它进行分类吗？
答：棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图中的棱锥记作棱锥S-ABCD.
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体.
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
设计意图：类比棱柱的学习，在把握棱锥的结构特征的基础上，了解棱锥及其相关概念、表示和分类.
问题6：常见的多面体除了棱柱、棱锥以外，还有棱台，棱台可以看作是由截棱锥形成的，观察下图，你能发现二者之间的关系吗？
答：发现用平行于底面的平面截掉三棱锥上面一部分后可以得到棱台. 所以我们可以通过判断一个多面体侧校的延长线是否交于一点来判断其是否为棱台.
追问1：类比棱柱与棱锥，你能给出棱台的相关概念吗？
答: 如图，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）.
在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.
类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱、顶点.
追问1：类比棱柱的学习过程，你能给出棱台的表示并对它进行分类吗？
答：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台ABCD-A'B'C'D'，由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
设计意图：对于棱台，其定义与棱柱和棱锥不同，它是从截棱锥的角度定义的，教学中要注意到这种差别，可以利用动画展现截棱锥得到棱台的过程，对于棱台的相关概念、分类与表示，可以类比棱柱与棱锥完成.
问题7：棱台与棱柱、棱锥都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？
答：棱柱、棱锥、棱台都是多面体.棱柱有两个大小相同的底面，棱台有两个大小不同的底面，棱锥有一个底面.
追问：当底面发生变化时，它们能否互相转化？
答：从相互联系的观点看：棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就得到棱柱；棱台的上底面缩小为一个点，就得到棱锥.
设计意图：一是通过建立棱柱、棱锥、棱台之间的联系，引导学生用运动、变化、联系的观点去看棱柱、棱锥、棱台，体会从量变到质变的过程，渗透辩证的观点.
3.知识应用
例1将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来；多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.
设计意图：通过例题、练习巩固本节知识，深化对相关概念的理解.
4.归纳总结
（1）本节课我们主要学习了什么知识？
答：学习了多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念及其相关概念.并对比了它们的相同与不同点，研究了它们相互之间的运动转化关系.
（2）认识一个几何体，我们应关注哪些内容，其基本思路是什么？
答：先由实物抽象出几何体，再从几何体的整体人手，关注每个面的形状、面与面之间的关系，归类总结出它的概念，研究其表示、分类以及相互之间的关系.