8.5.3 平面与平面平行 教学设计

高中数学人教A版必修第二册 空间直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
（一）教学内容
平面与平面平行的判定定理、两个平面平行的性质定理．
（二）教学目标
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理；
2. 理解并掌握平两个平面平行的性质定理；
3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
（三）教学重点与难点
教学重点：平面与平面平行的性质定理以及应用.
教学难点：平面与平面平行的性质定理的探索发现及应用.
（四）教学过程设计
一、引入新课
回顾：两个平面的位置关系有哪些？
答：空间平面与平面的位置关系可分为两个平面平行，两个平面相交．
两个平面平行：没有公共点；
直两个平面相交：有一条公共直线．
问题1：怎样判断平面与平面平行呢？
答：只需判定平面与平面没有公共点．
想一想：判断平面与平面平行，有没有更简便的方法呢？
问题2：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
答:如果两个平面平行，那么一个平面内的任意直线与另一个平面平行.
提醒：如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.
想一想：如何判断一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行？
设计意图：通过回顾旧知，为探索新知识做准备．
二、课堂探究
探究1：根据基本事实的推论2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面.由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行
实例探究：a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗
答：不一定平行
实例探究：c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗
答：平行
设计意图：动手体验，加深理解．
几何图形探究：已知长方体-，//即，//面,则如图可见，，所在平面平面__相交____.
几何图形探究：已知长方体-，相交，且在平面上；相交，且在平面上；则如图可见，平面___平行___.
结论：平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
符号表示 ， ,, .
提醒：证明两平面平行：关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.
例1 已知正方体，求证：平面//平面
证明：∵为正方体，
∴
∴
∴四边形四边形.
∴//
又∵， 平面
∴
同理
又
∴平面
设计意图：突出转化思想．
探究2：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
结论：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.
探究3：如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？
结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线.
想一想：分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？
答：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
探究4：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
已知：平面//，平面分别与平面，相交于直线, .
求证： //.
∵ ∩= ，∩=
∴ .
又//，
∴公共点.
又同在平面内，
∴ //
提醒：要证明两直线平行，就可以用此方法先去构造线线平行.
结论：两个平面平行的性质定理
定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号表示：//， ∩=，∩=.
提示：此定理即由面面平行转化为了线线平行.
三、知识应用
例2：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
已知：如图//， ，且, , , .
求证：
证明：过平行线作平面,与平面和分别相交于和.
∵ // ,
∴ .
又,
∴四边形是平行四边形.
所以.
设计意图：巩固知识，加深对定理的理解及培养应用能力．
归纳总结：
常用的与面面平行相关的性质（补充）.
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
立体几何中的重要思想方法：直线、平面之间位置关系的相互转化
四、课堂练习
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“ ×”.
(1)如果a, b是两条直线，且a∥b ，那么a平行于经过b的任何一个平面 ( )
(2)如果直线a和平面满足a∥，那么a与内的任一条直线平行 ( )
(3)如果直线a，b和平面满足a∥,b // , 那么 a //b ( )
(4)如果直线a，b和平面满足a ∥b，a∥， b，那么b∥ ( )
(5)过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行（ ）
2. 若平面∥平面，直线a∥，点∈，则在内过点的所有直线中 ( )
．不一定存在与a平行的直线.
．只有两条与a平行的直线.
．存在无数条与a平行的直线.
．存在唯一一条与a平行的直线.
3. 如图，在三棱锥中，分别是的中点，是上一点，连接是与的交点，连接，求证：∥.
参考答案：
1. 分析：(1)反例：与 b共面.即(1)错
(2) 平行或异面. 即(2)错
(3) 平行或异面或相交. 即(3)错
答案：（1）×（2）×（3）×（4）√（5）√
2. 分析：A反例：点时，不存在与平行的直线.
答案：A
3. 证明：∵分别是的中点，
∴.
又∵ 平面， 平面，
∴∥平面，
同理∥平面，且∩＝， 平面，
∴平面∥平面.
又∵平面∩平面＝，平面∩平面＝，
∴∥.
五、归纳总结
回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
1.平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
符号表示 ， ,, .
2.两个平面平行的性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号表示 //， ∩= ，∩= .