8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章 立体几何初步
【学习目标】
1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式；
2.能解决实际问题中与多面体相关的简单几何体的表面积和体积；
3.通过学习感受一般化与特殊化、极限等数学思想方法，提高逻辑推理、直观想象等素养和空间想象等能力.
问题1：正方体和长方体的展开图面积与其表面积有什么关系？
几何体表面积
展开图面积
平面图形面积
空间问题
平面问题
转化思想
导
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
棱柱
棱锥
棱台
学
1、棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1 如图，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积.
解：∵ PBC是正三角形，其边长为a，
∴四面体P-ABC的表面积 .
∴
展
B
C
A
P
变式练习：正六棱台的上、下底面边长分别为2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
展
解：如图所示，作 ，垂足为点H，
学
特殊的棱柱-------正方体、长方体的体积公式：
Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长）
Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）
V=Sh (S,h分别表示底面积和高)
由特殊到一般思想
V棱柱=Sh
2、棱柱的体积公式
V棱柱=Sh
如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积：
特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.
学
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
问题2： 取一摞书放在桌面上，并改变它的形状，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
学
祖暅原理：
（456年~536年）
幂势既同，则积不容异.
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
学
学
学
V=Sh
转化思想
等底等高
底面积和高都相等的棱柱，体积相等
V棱柱=Sh
问题3：棱锥与同底等高的棱柱体积之间有什么关系？
学
问题4：三个小棱锥的体积相等吗？
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
学
3、棱锥的体积公式
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
学
如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积：
V棱锥=Sh
4、棱台的体积公式
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
学




P
棱台的体积公式： ，(S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高).
V棱台=（+）h
R
Q
问题5:观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
学












例2 如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01） （计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度）
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
P
解：
如右下图，由题意知
V棱锥P-ABCD =
×1×1×0.5=
(m3)，
所以这个漏斗的容积
V长方体ABCD-A'B'C'D' =1×1×0.5= (m3)，
(m3).
练
课堂小结
评
多面体 图形 表面积 体积 思想方法
棱柱
棱锥 棱台 围成它们的各个面的面积的和
①转化思想
②由特殊到一般思想
③极限思想
（1）练习与巩固：固学案（46页）
（2）探究与发现：祖暅原理与棱柱、棱锥的体积（教材121页到122页）
学习需要巩固，理论要联系实际
谢谢！