【期末能力提升——整式的加减专题复习】
专题06 阅读理解问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
1．先阅读下面材料，再完成任务：
【材料】下列等式：，，…，具有的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作．如：、都是“共生有理数对”．
【任务】
(1)在两个数对，中，“共生有理数对”是______；
(2)若是“共生有理数对”，判断______“共生有理数对”．（填“是”或“不是”）
【答案】(1)；(2)是
【解析】本题主要考查了新定义，整式加减的应用，有理数的四则运算，正确理解新定义是解题的关键．
（1）分别计算出的值，看是否相等即可判断数对，分别就是出的值，看是否相等即可判断数对；
（2）根据“共生有理数对”的定义得到，进而得到，由此可得答案．
解：（1）∵，
∴，
∴数对是“共生有理数对”；
∵，
∴，
∴数对不是“共生有理数对”，
故答案为：；
（2）∵是“共生有理数对”，
∴，
∴，，
∴，
∴是 “共生有理数对”，
故答案为：是．
2．阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为a，个位上的数字为b（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于a与b的差的9倍．
回答问题：
(1)请证明小智的发现；
(2)已知一个三位正整数的百位上的数字为m，个位上的数字为n，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于495，请直接写出_______．
【答案】(1)见解析；(2)．
【解析】（1）根据题意，求得原数以及新数，从而得到原数与所得新数的差和a与b的差，即可求证；
（2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可．
证明：（1）由题意可得：原数为：，新数为，
∵，
∴，
∴原数与新数的差为，a与b的差为
即原数与所得新数的差等于a与b的差的9倍；
（2）设十位上的数字为，
根据题意可得：原数为，新数为：
两数之差为：
根据题意：，
则．
3．阅读材料：
材料1：如果一个四位数为（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，其中a为的自然数，b、c、d为的自然数），我们可以将其表示为：；
材料2：把一个自然数（个位不为0）各位数字从个位到最高位倒序排列，得到一个新的数，我们称该数为原数的兄弟数，如数“123”的兄弟数为“321”．
(1)四位数________________；（用含x，y的代数式表示）
(2)设有一个两位数，它的兄弟数与原数的差是45，请求出所有可能的数；
【答案】(1)；(2)16或27或38或49
【解析】（1）根据题意列出代数式，合并同类项即可；
（2）利用两位数的兄弟数与原数的差为45得出，即可写出结果．
解：（1）根据题意；，
故答案为：；
（2）由题意得，的兄弟数为，
∵两位数的兄弟数与原数的差为45，
∴，
∴，
∴，
∵x，y均为的自然数，
∴可能的数为16或27或38或49．
4．阅读与思考
下面是小颖同学数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
高明的“字母表示数”
张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界…‘代’的方法用途很广．它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．”
例如，很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律，这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示!
半和数：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．
例如三位正整数234中，，所以，234是半和数；又如369中，，所以，369也是半和数．…
任务：
(1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是______；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为_______________，这个数为_____________（用含a的代数式表示）；
(2)小颖发现任意一个“半和数”都能被3整除!请你按下面的思路说明这一结论成立：解：设一个“半和数”的百位数字为a，个位数字为b，则这个“半和数”用含a，b的代数式表示为…
【答案】(1)741；，；(2)见解析
【解析】（1）根据“半和数”的定义先求出这个三位数的十位数字即可得到答案；
（2）先根据“半和数”的定义表示出这个三位数，再根据整除的定义求解即可；
本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键．
解：（1）若它的百位数字是7，个位数字是1，
则十位数字等于，
若它的百位数字为a，个位数字为0，
则十位数字等于，
∴这个数为
故答案为：741；，；
（2）设一个“半和数”的百位数字为a，个位数字为b（a，b均为正整数，且a不为0），
则这个“半和数”用含a，b的代数式表示为：，
∵a，b均为整数，
∴是整数，
∴能被3整除，
∴任意一个“半和数”都能被3整除．
5．阅读下列材料：若一个三位数，其百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么我们称这个三位数为“等差数”，例如246，321…
(1)在579，864，396，630这四个数中，不是“等差数”的是 ；
(2)已知一个“等差数”的百位数字比十位数字小3，且其各位数字之和是15，求这个“等差数”；
(3)喜欢动脑筋的小芳在计算与的结果后，发现两个算式的结果均为396，于是，小芳猜想：将任意一个百位数字比十位数字大2的“等差数”的百位数字与个位数字对调后，得到的新“等差数”会比原来的“等差数”小396．请证明小芳的猜想是否正确．
【答案】(1)396；(2)这个“等差数”为258；(3)小芳的猜想正确，见解析
【解析】本题以新定义为背景考查了因式分解的应用，考核了学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，表示出“等差数”，能根据条件找出合适的“等差数”．
（1）根据“等差数”的定义进行判断即可；
（2）设“等差数”的十位数字为，则百位数字为，个位数字为，列出方程并求解即可；
（3）设“等差数”的十位数字为，则百位数字为，个位数字为，列出代数式并进行计算，最终求解．
解：（1）∵，
∴579，864， 630是“等差数”，396不是“等差数”，
故答案为：396；
（2）设“等差数”的十位数字为，则百位数字为，个位数字为，
，
，
，
答：这个“等差数”为258．
（3）设“等差数”的十位数字为，则百位数字为，个位数字为．
依题意可得：
．
小芳的猜想正确．
6．阅读材料，回答问题．
材料一：因为，，所以．
材料二：求的值．
解：设①
则②
用得，，
所以，即，所以．
这种方法我们称为“错位相减法”．
(1)填空：（ ），（ ）．
(2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了．
①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放 粒米．（用幂表示）
②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S．
【答案】(1)9；7；(2)①；②
【解析】本题考查了数字类规律探索，弄清材料中的求解方法是解题的关键．
（1）根据材料一给出的方法进行求解即可；
（2）①根据题意先确定出前几个格中每个格放的米粒数，从中发现规律即可得答案；
②先列出式子，再根据材料二的方法进行求解即可．
解：（1）由题意得：，，
故答案为：9；7．
（2）①由题意得，第一格放的米粒数为；
第二格放的米粒数为；
第三格放的米粒数为；
第四格放的米粒数为；
∴第n格放的米粒数为，
∴在第64格中应放粒米；
故答案为：．
②由题意得，
，
，
，
即．
7．某学校给学生编制的“身份识别条形码”中共有12位数字（均为之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：
其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性，具体算法说明如下：
步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为m；
步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为n；
步骤3：计算，记为p；
步骤4：取不小于p且为10的整数倍的最小数q；
步骤5：计算，结果即为校验码．
阅读上述材料，回答下列问题：
(1)某同学的“身份识别条形码”为，则计算过程中p的值为 ，校验码的值是 ．（请在横线上直接写出答案）
(2)如图2，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为x，你能否通过其他信息还原出这位数字x，进而确定这位同学的班级吗？如果能，请用数学符号语言写出你的说理过程，如果不能，说明为什么．
【答案】(1)35；5；(2)可以确定学生是班，理由见解析
【解析】本题考查有理数的加减运算．
（1）由定义，则，可得，极验码，结论即得；
（2）由，则，故，根据且x为整数，分类讨论即可确定只有，时时成立，即可确定．
解：（1）由定义，，
，
故，
极验码，
故答案为：35；5；
（2）能确定．
理由：由，
∴，，
∴，
∵，且x为整数，
∴，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
只有，时，，故，
即可以确定学生是班．
8．阅读下面材料并解决问题．
我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一、所谓“求差法”，就是通过先求差、变形，然后利用差的符号来确定它们的大小．例如要比较代数式，的大小，只要求出它们的差，判断出差的符号就可确定与的大小关系，即：
若，则；
若，则；
若，则．
请你应用以上材料解决下列问题：
(1)用“求差法”探究大小关系时，所体现出的数学思想是（ ）
A．分类讨论 B．数形结合 C．化归思想 D．建模思想
(2)制作某产品有两种用料方案，方案一：用块型钢板、块型钢板；方案二：用块型钢板、块型钢板．已知型钢板的面积比型钢板的面积大．若设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由．
(3)试比较图和图中两个矩形的周长和的大小．（的长度不确定）
【答案】(1)C；(2)应选方案二，见解析；(3)见解析
【解析】（1）根据题意得知求差法”探究大小关系时，分为了，，三种情况，所以体现出的数学思想是分类讨论；
（2）根据题意表示出两种方案的用料，利用求差法进行比较即可；
（3）根据图形表示出矩形的周长和的大小，利用求差法进行比较即可．
解：（1）“求差法”探究大小关系时，转化为差与零的大小比较，
体现出的数学思想是化归思想，
故选：C；
（2），
，
，
从省料角度考虑，应选方案二；
（3）由图知：，
，
．
①当时，，即，
；
②当时，，即，
；
③当时，，即，
．
9．阅读理解学习：
【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位谓，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式．
【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是_______________（填序号即可）；
①；②；③；④
【能力提升】
（1）请直接写出一个只含有字母的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次；
（2）已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式．
【答案】【理解判断】①④；【能力提升】（1）(答案不唯一)；（2）不是对称式
【解析】本题考查了整式的加减，新定义，正确理解对称式的定义是解题的关键．
理解判断：根据对称式的定义判断这四个代数式是否为对称式即可；
能力提升：（1）只要是的次数是的次数是4的单项式就可以；
（2）先根据整式的运算法则算出结果，再判断结果是否为对称式即可．
解：理解判断：
①在中，交换两个字母的位置，代数式的值不变，故是对称式；
②在中，交换两个字母的位置得，当时，，故不是对称式；
③在中，交换两个字母的位置得，当时，，故不是对称式；
④在中，任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，故是对称式；
故答案为：①④；
能力提升：（1）因为只含有字母的单项式，单项式是对称式，且次数为8次，
所以，这个单项式可为：(答案不唯一)；
（2）∵，
不是对称式．
不是对称式．
10．阅读材料：
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，．
(1)尝试应用：
把看成一个整体，合并的结果是________；
(2)已知，求的值；
(3)拓广探索：
已知，，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）采用“整体思想”合并，即可得出答案；
（2）将整体代入即可求解；
（3）先化简代数式，利用已知的式子将，，即可得出，即可求解．
解：（1）原式= ．
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴原式．
（3）∵，，
∴，
即，
即．【期末能力提升——整式的加减专题复习】
专题06 阅读理解问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
1．先阅读下面材料，再完成任务：
【材料】下列等式：，，…，具有的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作．如：、都是“共生有理数对”．
【任务】
(1)在两个数对，中，“共生有理数对”是______；
(2)若是“共生有理数对”，判断______“共生有理数对”．（填“是”或“不是”）
2．阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为a，个位上的数字为b（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于a与b的差的9倍．
回答问题：
(1)请证明小智的发现；
(2)已知一个三位正整数的百位上的数字为m，个位上的数字为n，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于495，请直接写出_______．
3．阅读材料：
材料1：如果一个四位数为（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，其中a为的自然数，b、c、d为的自然数），我们可以将其表示为：；
材料2：把一个自然数（个位不为0）各位数字从个位到最高位倒序排列，得到一个新的数，我们称该数为原数的兄弟数，如数“123”的兄弟数为“321”．
(1)四位数________________；（用含x，y的代数式表示）
(2)设有一个两位数，它的兄弟数与原数的差是45，请求出所有可能的数；
4．阅读与思考
下面是小颖同学数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
高明的“字母表示数”
张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界…‘代’的方法用途很广．它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．”
例如，很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律，这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示!
半和数：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．
例如三位正整数234中，，所以，234是半和数；又如369中，，所以，369也是半和数．…
任务：
(1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是______；若它的百位数字为a，个位数字为0，则十位数字为_______________，这个数为_____________（用含a的代数式表示）；
(2)小颖发现任意一个“半和数”都能被3整除!请你按下面的思路说明这一结论成立：解：设一个“半和数”的百位数字为a，个位数字为b，则这个“半和数”用含a，b的代数式表示为_________
5．阅读下列材料：若一个三位数，其百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么我们称这个三位数为“等差数”，例如246，321…
(1)在579，864，396，630这四个数中，不是“等差数”的是 ；
(2)已知一个“等差数”的百位数字比十位数字小3，且其各位数字之和是15，求这个“等差数”；
(3)喜欢动脑筋的小芳在计算与的结果后，发现两个算式的结果均为396，于是，小芳猜想：将任意一个百位数字比十位数字大2的“等差数”的百位数字与个位数字对调后，得到的新“等差数”会比原来的“等差数”小396．请证明小芳的猜想是否正确．
6．阅读材料，回答问题．
材料一：因为，，所以．
材料二：求的值．
解：设①
则②
用得，，
所以，即，所以．
这种方法我们称为“错位相减法”．
(1)填空：（ ），（ ）．
(2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了．
①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放 粒米．（用幂表示）
②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S．
7．某学校给学生编制的“身份识别条形码”中共有12位数字（均为之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：
其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性，具体算法说明如下：
步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为m；
步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为n；
步骤3：计算，记为p；
步骤4：取不小于p且为10的整数倍的最小数q；
步骤5：计算，结果即为校验码．
阅读上述材料，回答下列问题：
(1)某同学的“身份识别条形码”为，则计算过程中p的值为 ，校验码的值是 ．（请在横线上直接写出答案）
(2)如图2，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为x，你能否通过其他信息还原出这位数字x，进而确定这位同学的班级吗？如果能，请用数学符号语言写出你的说理过程，如果不能，说明为什么．
8．阅读下面材料并解决问题．
我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一、所谓“求差法”，就是通过先求差、变形，然后利用差的符号来确定它们的大小．例如要比较代数式，的大小，只要求出它们的差，判断出差的符号就可确定与的大小关系，即：
若，则；
若，则；
若，则．
请你应用以上材料解决下列问题：
(1)用“求差法”探究大小关系时，所体现出的数学思想是（ ）
A．分类讨论 B．数形结合 C．化归思想 D．建模思想
(2)制作某产品有两种用料方案，方案一：用块型钢板、块型钢板；方案二：用块型钢板、块型钢板．已知型钢板的面积比型钢板的面积大．若设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由．
(3)试比较图和图中两个矩形的周长和的大小．（的长度不确定）
9．阅读理解学习：
【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位谓，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式．
【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是_______________（填序号即可）；
①；②；③；④
【能力提升】
（1）请直接写出一个只含有字母的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次；
（2）已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式．
10．阅读材料：
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，．
(1)尝试应用：
把看成一个整体，合并的结果是________；
(2)已知，求的值；
(3)拓广探索：
已知，，求的值．
