【期末能力提升——整式的加减专题复习】
专题09实践探究问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
1．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式和按如下规律进行操作：第1次操作后得到3个整式，，；第2次操作后得到4个整式，，，……其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是（ ）
A． B． C． D．
2．阅读与探究
请阅读下列材料，并解答相应的问题：
幻方
将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则具有这种性质的数字方阵为“幻方”，中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等.
例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.
(1)现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面的方格中.
(2)若设（1）题幻方中9个数的和为，则与中间的数字之间的数量关系为： .
3．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2．
（1）请比较S1与S2的大小：S1 S2；
（2）若一个正方形与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）；
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S1的差（即S3﹣S1）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
（3）若满足条件3＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有8个，直接写出m的值．
4．探究活动：
（1）将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成图②一个长方形，则长表示为________，宽为________．
（2）则图②中阴影部分周长表示为________．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题
（3）计算：已知，，则阴影部分周长是多少？
5．【问题提出】：比较代数式a与b的大小．
【问题探究】：要比较代数式a与b的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则；，反之亦然．
【问题解决】：
(1)如图，有A、B两种型号的钢板，A型钢板的面积比B型钢板大，制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案2：用3块A型钢板，9块B型钢板．从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由；
(2)有A、B两块长方形菜地，A菜地的长为米，宽为b米，B菜地的长为米，宽为米，试比较两块长方形菜地周长的大小；
(3)如图，正方形的边长为a，以A为圆心，为半径作圆弧．以D为圆心，a为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为、，请你比较与的大小．
6．如图1，有足够多的1号大正方形，2号小正方形、3号长方形的卡片，某数学课后活动小组的两名成员，分别选取了1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，拼成了如图2的一个不重叠无缝障长方形．
【观察推理】观察图2，小军、小芳分别用长方形面积公式，拼图所用三种卡片数量得出了图2的面积的表示方法，因此得出了含有、的一个等式：______．
【尝试探究】小军想设计一个长为，宽为的长方形，小芳很快告知了小军所需的1号、2号、3号卡片的张数，请你用所学知识推算出1号、2号、3号卡片的数量．
【综合应用】小芳提议：在1号卡片的四个角上各裁去一个小正方形卡片（剪去部分不再使用）．再沿虚线折叠、粘合（如图3），能制作出一个无盖长方体盒子．若分米，小正方形的边长记为分米（的值可变化），无盖长方体的体积记为（），
①无盖长方体的体积______（用含的代数式表示）；
②两人把的多种情况代入上式，发现当时，______，当时，______；他们找老师帮绘制出了与的关系图像（如图4），最终证实了当时，最大，最大值=______；
③借助以上信息，可得随着的变化而变化的情况是：______．
7．数学活动——探究日历中的数字规律
如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图1中的结果为______；将3×3的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为___________；
(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设，则，，______．
（______________）
＝______
所以，的值均为______．
(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究．
请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择_______题．
A.在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由．
B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由．
8．【课本探究】小明在学习《苏科版七上·数学》课本第31页“数学实验室”中碰到如下问题：
如图2-14，把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“”的位置上．用算式可以将结果表示为：．
【深度思考】小明运用“由特殊到一般”的数学思想方法，得出结论：若表示数m的点向左平移个单位长度，得到的点表示的数为；向右平移个单位长度，得到的点表示的数为 ．
【实际应用】数轴上A、B、C、D 四点表示的数分别为a，b，c，d，且点A向右移动1个单位长度到点B位置，点B向右移动个单位长度到点C位置，点C向右移动个单位长度到点D位置，
(1)当时，则 ； ； ；
(2)在（1）的条件下，若A、B两点分别以2个单位长度每秒的速度向右运动，同时C、D两点分别以1个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当A、B两点中至少有一个点落在C、D之间时（不包含C、D两点），求运动时间t的取值范围是多少
(3)若a，b，c，d这四个数的和与其中的三个数的和相等，，求出a可能的值．
(4)若a，b，c，d这四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等．当n为任意正整数时，a始终为整数．求此时a与n之间的数量关系式 ．【期末能力提升——整式的加减专题复习】
专题09实践探究问题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
1．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式和按如下规律进行操作：第1次操作后得到3个整式，，；第2次操作后得到4个整式，，，……其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题考查了整式的加减运算以及代数式的规律探究，先逐步分析前面7次操作，可发现规律，整式串每六个一循环，即可获得答案．
解：解析：第1次操作后得到的整式串，，；
第2次操作后得到的整式串，，，；
第3次操作后得到的整式串，，，，；
第4次操作后得到的整式串，，，，，；
第5次操作后得到的整式串，，，，，，；
第6次操作后得到的整式串，，，，，，，；
第7次操作后得到的整式串，，，，，，，，；
…
第2023次操作后得到的整式串共2025个整式；归纳可得，以上整式串每六个一循环．
∵，
∴第2023次操作后得到的整式串各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为．
故选：A．
2．阅读与探究
请阅读下列材料，并解答相应的问题：
幻方
将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则具有这种性质的数字方阵为“幻方”，中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等.
例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.
(1)现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面的方格中.
(2)若设（1）题幻方中9个数的和为，则与中间的数字之间的数量关系为： .
【答案】(1)见详解；(2)
【解析】（1）9个数的平均数为7，故幻方中间是7，四个角填偶数、四边中间填奇数，根据每列每行以及对角线和为21填入各个数即可；
（2）求出9个数的和，即可解决问题．
解：（1）9个数的平均数为7，故幻方中间是7，四个角填偶数、四边中间填奇数，根据每列每行以及对角线和为21填入各个数得：
（2）设（1）题幻方中9个数的和为S，则S与中间的数字x之间的数量关系为：．
故答案为．
3．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2．
（1）请比较S1与S2的大小：S1 S2；
（2）若一个正方形与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）；
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S1的差（即S3﹣S1）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
（3）若满足条件3＜n＜|S1﹣S2|的整数n有且只有8个，直接写出m的值．
【答案】（1）＜；（2）①m+4.5；②S3与S1的差（即S3﹣S1）是常数，为0.25；（3）m＝11．
【解析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）①根据矩形和正方形的周长公式即可得到结论；
②根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论；
（3）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论．
解：（1）图甲中长方形的面积S1＝（m+5）（m+4）＝m2+9m+20，
图乙中长方形的面积S2＝（m+7）（m+3）＝m2+10m+21，
∵S1﹣S2＝﹣m﹣1，m为正整数，
∴﹣m﹣1＜0，
∴S1＜S2．
故答案为：＜；
（2）①2（m+5+m+4）÷4＝m+4.5；
②S3﹣S1＝（m+4.5）2﹣（m2+9m+20）＝0.25，
故S3与S1的差（即S3﹣S1）是常数；
（3）由（1）得|S1﹣S2|＝m+1，且m为正整数，
∵3＜n＜|S1﹣S2|，
∴3＜n＜m+1，
由题意得11＜m+1≤12，
解得：10＜m≤11，
∵m为正整数，
∴m＝11．
4．探究活动：
（1）将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成图②一个长方形，则长表示为________，宽为________．
（2）则图②中阴影部分周长表示为________．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题
（3）计算：已知，，则阴影部分周长是多少？
【答案】（1）（a+b），（a-b）；（2）4a；（3）20m-12n
【解析】（1）根据图①中的剪拼方式结合长度可得结果；
（2）根据（1）中长和宽克的周长；
（3）将a=5m-3n代入（2）中结果可得．
解：（1）由题意可得：
图②长方形的长为：（a+b），宽为：（a-b）；
（2）图②中阴影部分周长表示为：2（a+b+a-b）=4a；
（3）∵，，
∴阴影部分周长是4a=20m-12n．
5．【问题提出】：比较代数式a与b的大小．
【问题探究】：要比较代数式a与b的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则；，反之亦然．
【问题解决】：
(1)如图，有A、B两种型号的钢板，A型钢板的面积比B型钢板大，制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案2：用3块A型钢板，9块B型钢板．从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由；
(2)有A、B两块长方形菜地，A菜地的长为米，宽为b米，B菜地的长为米，宽为米，试比较两块长方形菜地周长的大小；
(3)如图，正方形的边长为a，以A为圆心，为半径作圆弧．以D为圆心，a为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为、，请你比较与的大小．
【答案】(1)方案2，理由见解析；
(2)若，则，的周长大；若，则，的周长一样大；若，则，的周长大；
(3)，理由见解析．
【解析】（1）设两种型号的钢板的面积分别是，由题意，表示出两种方案的材料，再作差比较即可判断；
（2）表示出、长方形菜地的周长分别为：，，进行作差，得到，然后再进行分类讨论即可；
（3）分别求出，，，再根据即可进行求解．
解：（1）解：设两种型号的钢板的面积分别是，
由题意，
根据方案1：用4块A型钢板，8块B型钢板；
则，
根据方案2：用3块A型钢板，9块B型钢板；
则，
，
方案2更加省料，应选方案2；
（2）解：根据题意得出、长方形菜地的周长分别为：，，
，
若，则，的周长大；
若，则，的周长一样大；
若，则，的周长大；
（3）解：如下图：
，
，
，
根据图形可知：
，
，
，
．
6．如图1，有足够多的1号大正方形，2号小正方形、3号长方形的卡片，某数学课后活动小组的两名成员，分别选取了1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，拼成了如图2的一个不重叠无缝障长方形．
【观察推理】观察图2，小军、小芳分别用长方形面积公式，拼图所用三种卡片数量得出了图2的面积的表示方法，因此得出了含有、的一个等式：______．
【尝试探究】小军想设计一个长为，宽为的长方形，小芳很快告知了小军所需的1号、2号、3号卡片的张数，请你用所学知识推算出1号、2号、3号卡片的数量．
【综合应用】小芳提议：在1号卡片的四个角上各裁去一个小正方形卡片（剪去部分不再使用）．再沿虚线折叠、粘合（如图3），能制作出一个无盖长方体盒子．若分米，小正方形的边长记为分米（的值可变化），无盖长方体的体积记为（），
①无盖长方体的体积______（用含的代数式表示）；
②两人把的多种情况代入上式，发现当时，______，当时，______；他们找老师帮绘制出了与的关系图像（如图4），最终证实了当时，最大，最大值=______；
③借助以上信息，可得随着的变化而变化的情况是：______．
【答案】观察推理：
尝试探究：需要1号3张、2号卡片3张、3号卡片10张
综合应用：①；②1.936，1，2；③当由0增大到时，由0增大到2；当由增大到时，由2减小到0
【解析】观察推理：根据长方形面积公式即可获得答案；
尝试探究：根据多项式乘以多项式法则，可得，即可获得答案；
综合应用：①根据长方体体积公式，即可获得答案；②由题意可知，分别将、、代入求解即可获得答案；③结合题中信息分析随着的变化而变化的情况即可．
解：观察推理：由图2可知，图形面积．
故答案为：；
尝试探究：
∵，
∴需要1号3张、2号卡片3张、3号卡片10张；
综合应用：
①由题意可知，该无盖长方体的长、宽、高分别为、、，
则其体积为；
②当时， ，
当时， ；
当时，最大值 ；
③借助以上信息可知，当由0增大到时，由0增大到2；当由增大到时，由2减小到0．
故答案为：①；②1.936，1，2；③当由0增大到时，由0增大到2；当由增大到时，由2减小到0．
7．数学活动——探究日历中的数字规律
如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图1中的结果为______；将3×3的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为___________；
(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设，则，，______．
（______________）
＝______
所以，的值均为______．
(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究．
请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择_______题．
A.在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由．
B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由．
【答案】(1)0；0；(2)见解析；(3)见解析
【解析】本题考查正式的加减，有理数的加减，解题的关键是能观察得到日历表中框出的数字规律．
（1）计算所列式子即可；
（2）根据框出的数字规律填空即可；
（3）A．设，，，，再代入计算即可；
B.设，，，，再代入计算即可．
解：（1），
将3×3的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为，
故答案为：0；0；
（2）；
所以，的值均为0
故答案为：，，，0；
（3）A．的值均为0.
理由：设，，，，
所以，的值均为0.
B.的值均为．
理由：设，，，，
．
所以，的值均为．
8．【课本探究】小明在学习《苏科版七上·数学》课本第31页“数学实验室”中碰到如下问题：
如图2-14，把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“”的位置上．用算式可以将结果表示为：．
【深度思考】小明运用“由特殊到一般”的数学思想方法，得出结论：若表示数m的点向左平移个单位长度，得到的点表示的数为；向右平移个单位长度，得到的点表示的数为 ．
【实际应用】数轴上A、B、C、D 四点表示的数分别为a，b，c，d，且点A向右移动1个单位长度到点B位置，点B向右移动个单位长度到点C位置，点C向右移动个单位长度到点D位置，
(1)当时，则 ； ； ；
(2)在（1）的条件下，若A、B两点分别以2个单位长度每秒的速度向右运动，同时C、D两点分别以1个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当A、B两点中至少有一个点落在C、D之间时（不包含C、D两点），求运动时间t的取值范围是多少
(3)若a，b，c，d这四个数的和与其中的三个数的和相等，，求出a可能的值．
(4)若a，b，c，d这四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等．当n为任意正整数时，a始终为整数．求此时a与n之间的数量关系式 ．
【答案】(1)，，
(2)当时，A、B两点中至少有一个点落在C、D之间；
(3)或；
(4)．
【解析】（1）根据，分别求出，，；
（2）先求得，，根据A、B两点运动的时间和距离，以及A、B两点进入之间的先后，列式计算即可求解；
（3）若a，b，c，d这四个数的和与其中的三个数的和相等，则剩下的那个数就是0，分四种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，分别计算即可求解；
（4）根据题意得a，b，c，d是两正两负，分四种情况讨论，计算即可求解．
解：（1）∵，，，
而，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）∵，，，，
∴，，
∴，则点B比点A先进入之间，
当点B比点C重合时，，，
∴；
当点A比点C重合时，，，
∴；
再移动后，点B比点D重合，再后点A比点D重合，最后均离开，
当点A比点D重合时，，，
∴；
∴当时，A、B两点中至少有一个点落在C、D之间；
（3）若a，b，c，d这四个数的和与其中的三个数的和相等，则剩下的那个数就是0，
①当时，成立；
②当时，
∵，
∴，，则当时成立；
③当时，
∵，
∴，
∵，
∴，而，此情况不成立；
④当时，
∵，，，
∴，而，此情况不成立；
综上，或；
（4）∵a，b，c，d这四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等．
∴a，b，c，d是两正两负或四个都是正数（舍去），
又，，，，则，
当两正两负时，
①，则，
∴，不恒为整数，不成立；
②，则，
∴，不恒为整数，不成立；
③，则，
∴，成立；
④，则，
∴，不是整数，不成立；
综上，．
