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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第二册
第六章 平面向量及其应用
本章复习与测试
2023-2024学年高中数学人教A版(2019)必修第二册 第六章 平面向量及其应用 综合训练 (原卷版+解析版)
文档属性
名称
2023-2024学年高中数学人教A版(2019)必修第二册 第六章 平面向量及其应用 综合训练 (原卷版+解析版)
格式
zip
文件大小
170.4KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2023-12-30 09:16:50
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文档简介
第六章综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b= ( )
A.(-2,-1) B.(2,1)
C.(3,-1) D.(-3,1)
答案A
解析∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,
∴x=-4.
∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).
2.在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
A.30° B.45°
C.135° D.45°或135°
答案B
解析由正弦定理,得,则sin B=.因为BC>AC,所以A>B,而A=60°,所以B=45°.
3.(2021湖南天心校级模拟)已知向量a,b的夹角为π,|a|=2,|b|=1,则|a-2b|=( )
A.2 B.3 C. D.12
答案A
解析∵
=π,|a|=2,|b|=1,
∴a·b=|a||b|cos=2×1×-=-1,
|a-2b|==2.
故选A.
4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.2
答案C
解析将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故S△ABC=absin C=.
5.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则= ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案C
解析∵=(2,3),=(3,t),∴=(1,t-3),∴||==1,解得t=3,
即=(1,0).则=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
6.(2021北京延庆一模)设D为△ABC所在平面内一点,=2,则( )
A.=-
B.=-
C.
D.
答案B
解析∵=2,
∴=2(),
∴=-.
∵由已知可知不共线,
∴前边的系数唯一确定.故选B.
7.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点.若P为半径OC上的动点,则()·的最小值是( )
A.2 B.0 C.-1 D.-2
答案D
解析由平行四边形法则得=2,
故()·=2,||=2-||,且反向,设||=t(0≤t≤2),
则()·=2=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].∵0≤t≤2,∴当t=1时,()·取得最小值,为-2,故选D.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=,C=,则△ABC的面积是( )
A. B.
C. D.
答案D
解析∵sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A,sin(B-A)=sin Bcos A-cos Bsin A,sin 2A=2sin Acos A,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,∴2sin Bcos A=6sin Acos A.当cos A=0时,A=,B=.又c=,所以b=.由三角形的面积公式,得S=bc=;当cos A≠0时,由2sin Bcos A=6sin Acos A,得sin B=3sin A.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理的推论,得cos C==cos,解得a=1,b=3,所以此时△ABC的面积为S=absin C=.综上可得△ABC的面积为,故选D.
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是 ( )
A.(4,-8) B.(8,4)
C.(-4,-8) D.(-4,8)
答案AD
解析当b=-4a时,b=(-4,8);
当b=4a时,b=(4,-8).
10.对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是( )
A.若a∥b且b∥c,则a∥c
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案ACD
解析对
于A,b=0,说法错误;对于B,显然正确;对于C,若a和b,c都垂直,显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以说法错误;对于D,如图,若a=,b=,c=,则(a·b)·c与a·(b·c)分别是与c,a共线的向量,显然(a·b)·c=a·(b·c)不成立.
11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是( )
A.若,则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形
答案AC
解析由,
利用正弦定理可得,
即tan A=tan B=tan C,即A=B=C,
所以△ABC是等边三角形,A正确;
由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,
△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;
由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,
即sin(B+C)=sin B,即sin A=sin B,
则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;
由余弦定理的推论可得cos C=>0,C为锐角,A,B不一定是锐角,D不正确.
12.(2021江苏宜兴期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的有( )
A.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个
B.若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形
C.若2b=a+c,且2cos 2B-8cos B+5=0,则△ABC为等边三角形
D.若sin2A+sin2B+cos 2C<1,则△ABC为钝角三角形
答案CD
解析对于A,由于a=8,c=10,B=60°,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=64+100-2×8×10×=84,解得b=2,可得△ABC有一解,故错误;
对于B,若sin 2A=sin 2B,则2A=kπ+(-1)k·2B(k∈Z),当k=0时,A=B,△ABC为等腰三角形,当k=1时,A=-B,△ABC为直角三角形,故错误;
对于C,2cos 2B-8cos B+5=0,整理得4cos2B-8cos B+3=0,解得cos B=(舍去),由于0
由于2b=a+c,利用正弦定理,得2sin B=sin A+sin C,即sin A+sin-A=,所以sinA+=1,解得A=,
所以A=B=C,则△ABC为等边三角形,故正确;
对于D,因为sin2A+sin2B+cos2C<1,
所以sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C,由正弦定理,得a2+b2
故选CD.
三、填空题
13.(2019全国Ⅲ卷)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos
=.
答案
解析∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4a·b=9,
∴|c|=3.又a·c=2|a|2-a·b=2,
∴cos
=.
14.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,c=2,B=60°,则b= ,C= .
答案2 30°
解析在△ABC中,因为a=4,c=2,B=60°,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=42+22-2×4×2cos 60°=12,所以b=2,又由正弦定理,得sin C=,又由c
15.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5 km,BC=8 km,CD=3 km,DA=5 km,如图所示,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为 km.
答案7
解析因为A,B,C,D四点共圆,所以B+D=π.由余弦定理,得AC2=52+32-2×5×3cos D=34-30cos D,AC2=52+82-2×5×8cos B=89-80cos B.
由于B+D=π,即cos B=-cos D,
因此-,解得AC=7.
16.在四边形ABCD中,=(1,1),,则四边形ABCD的面积为 .
答案
解析由=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且||=||=,因为,所以可知平行四边形ABCD的对角线BD平分∠ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为,且对角线BD长等于边长的倍,即BD=,设对角线BD与AC交于点E,则CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面积为,所以四边形ABCD的面积为2×.
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知a=(1,2),b=(-3,1).
(1)求a-2b;
(2)设a,b的夹角为θ,求cos θ的值;
(3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求k的值.
解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).
(2)cos θ==-.
(3)因为向量a+kb与a-kb互相垂直,
所以(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,
因为a2=5,b2=10,所以5-10k2=0,解得k=±.
18.设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=.
(1)求a与b的夹角;
(2)求|2a+3b|.
解(1)设a与b的夹角为θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos θ=7,于是cos θ=,故 θ=,即a与b的夹角为.
(2)|2a+3b|=
=
=.
19.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos 2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
解(1)由正弦定理得,sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,
即sin B(sin2A+cos2A)=sin A.
故sin B=sin A,所以.
(2)由余弦定理的推论和c2=b2+a2,得cos B=.
由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.
可得cos2B=,又cos B>0,
故cos B=,所以B=45°.
20.(2021山东模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-csin A)sin C=c(1-cos Acos C).
(1)求B的值;
(2)在①,②A=,③a=2c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决问题.若b=3, ,求△ABC的周长.
解(1)由(b-csin A)sin C=c(1-cos Acos C),
可得bsin C+ccos(A+C)-c=0,
即sin C(sin B-cos B)=sin C.
因为C∈(0,π),sin C≠0.
所以sin B-cos B=2sin=1,
即sin,
因为0
所以B-,可得B=.
(2)若选择条件①,
因为acsin,
所以ac=9.
由余弦定理可得cos,
所以a2+c2=18,可得(a+c)2=36.又a+c>0,
所以a+c=6.
因此△ABC的周长为a+b+c=9.
若选择条件②A=,
在△ABC中,由正弦定理可得=2,
所以a=2sin,c=2sin.
因此△ABC的周长为a+b+c=+3+.
若选择条件③a=2c,由余弦定理的推论得cos,
所以4c2+c2-9=2c2,即c2=3,解得c=(c=-舍去),a=2.
因此△ABC的周长为a+b+c=3+3.
21.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,2),n=cos 2A,cos2,且m·n=1.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2,求sin的值.
解(1)由题意得,m·n=cos 2A+2cos2,
由二倍角的余弦公式可得,cos 2A=2cos2A-1,2cos2=cos A+1,
又因为m·n=1,所以2cos2A+cos A=1,
解得cos A=或cos A=-1,
∵0
(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
即()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc, ①
又因为b+c=2,把b=2-c代入①整理得,
c2-2c+3=0,解得c=,b=,
所以△ABC为等边三角形,B=,
∴sinB-=sin
=sincos-cossin.
22.要将一件重要物品从某港口O用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短,则小艇航行速度的大小应为多少
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.
解(1)(方法一)设相遇时小艇航行的距离为s,
则s=
=,
故当t=时,smin=10海里,v==30,
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最短.
(方法二)若相遇时小艇的航行距离最短,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇,如图①所示.在Rt△OAC中,OC=20cos 30°=10,AC=20sin 30°=10,
又AC=30t,OC=vt,所以t=,v==30.
故小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最短.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图②所示,
则v2t2=400+900t2-2×20×30t×cos(90°-30°),即v2=900-.
∵0
∴900-≤900,即≤0,
解得t≥.
又t=时,v=30.第六章综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b= ( )
A.(-2,-1) B.(2,1)
C.(3,-1) D.(-3,1)
2.在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
A.30° B.45°
C.135° D.45°或135°
3.(2021湖南天心校级模拟)已知向量a,b的夹角为π,|a|=2,|b|=1,则|a-2b|=( )
A.2 B.3 C. D.12
4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.2
5.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则= ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
6.(2021北京延庆一模)设D为△ABC所在平面内一点,=2,则( )
A.=-
B.=-
C.
D.
7.如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点.若P为半径OC上的动点,则()·的最小值是( )
A.2 B.0 C.-1 D.-2
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=,C=,则△ABC的面积是( )
A. B.
C. D.
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是 ( )
A.(4,-8) B.(8,4)
C.(-4,-8) D.(-4,8)
10.对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是( )
A.若a∥b且b∥c,则a∥c
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c
D.(a·b)·c=a·(b·c)
11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是( )
A.若,则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形
12.(2021江苏宜兴期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的有( )
A.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个
B.若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形
C.若2b=a+c,且2cos 2B-8cos B+5=0,则△ABC为等边三角形
D.若sin2A+sin2B+cos 2C<1,则△ABC为钝角三角形
三、填空题
13.(2019全国Ⅲ卷)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos
=.
14.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,c=2,B=60°,则b= ,C= .
15.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5 km,BC=8 km,CD=3 km,DA=5 km,如图所示,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为 km.
16.在四边形ABCD中,=(1,1),,则四边形ABCD的面积为 .
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知a=(1,2),b=(-3,1).
(1)求a-2b;
(2)设a,b的夹角为θ,求cos θ的值;
(3)若向量a+kb与a-kb互相垂直,求k的值.
18.设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=.
(1)求a与b的夹角;
(2)求|2a+3b|.
19.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos 2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
20.(2021山东模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-csin A)sin C=c(1-cos Acos C).
(1)求B的值;
(2)在①,②A=,③a=2c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决问题.若b=3, ,求△ABC的周长.
21.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,2),n=cos 2A,cos2,且m·n=1.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2,求sin的值.
22.要将一件重要物品从某港口O用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短,则小艇航行速度的大小应为多少
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.
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同课章节目录
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.2 平面向量的运算
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.4 平面向量的应用
第七章 复数
7.1 复数的概念
7.2 复数的四则运算
7.3 * 复数的三角表示
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
8.2 立体图形的直观图
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.5 空间直线、平面的平行
8.6 空间直线、平面的垂直
第九章 统计
9.1 随机抽样
9.2 用样本估计总体
9.3 统计分析案例 公司员工
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.2 事件的相互独立性
10.3 频率与概率
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