期末复习
题型一：全等
1. 如图，点D是上的一个动点，，，，过点A作交的延长线于点F．设，，则y与x的关系式为______．
2. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动，当以B、P、D为顶点的三角形与以C、Q、P为顶点的三角形全等时，点Q的速度可能为_____．
3. 综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
4．已知，，，点D为直线上的一动点（点D不与B、C重合），以为边作（其中，，A、D、E按逆时针排列），连接CE．
(1)如图1，当点D在边上时．
①请写出和之间存在数量关系和位置关系，并说明理由；
②的关系是否成立，并说明理由；
(2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若不成立，请直接写出之间存在的数量关系，不证明；
(3)如图3，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出之间存在的数量关系，不证明．
题型二：轴对称图形
1. 如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝CF，且CE、BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．
2. 如图在△ABC 中，AB、AC 边垂直平分线相交于点 O，分别交 BC 边于点 M、N，连接 AM，AN．
（1）若△AMN 的周长为 6，求 BC 的长；
（2）若∠MON=30°，求∠MAN 的度数；
（3）若∠MON=45°，BM=3，BC=12，求 MN 的长度．
3．的角平分线与角平分线交于点F，连接，若，，则为 度．
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④
题型三：勾股定理
1. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，AD是∠BAC的角平分线，则BD=__________．
3. 如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 _____．
题型四：实数
1. 在中，无理数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 平面直角坐标系中，点（a2+1，2020）所在象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 用四舍五入法得到近似数为3.59万，精确到 ______位 ．
4. 估计与0.5的大小关系是：______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
5.（1）计算：；
（2）求中x的值．
6. 已知，则yx＝_____．
7. 如图，在数轴上点表示的数为，在点的右侧作一个边长为的正方形，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处，则点表示的数是 _________________．
题型五：平面直角坐标系
1. 一次函数的图象如图所示，则以，为坐标的点在第几象限内（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2. 若点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围是____________．
3. 如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是 _____．
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（7，0），B（7，24），点D在线段AB上，OD平分∠AOB，则AD＝_____．
5．点P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型六：一次函数
1. 如图，函数和的图象相交于点，则关于 x 的不等式 的解集为______．
2.如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于x的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（ ）
A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0
3. 如图，等边△OAB的边长为2，以它的顶点O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.若直线y=x+b与△OAB的边界总有两个公共点，则实数b的范围是____.
4. 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
5. 如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时间t是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或6
题型七：用一次函数解决问题
1. 甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离（米与甲出发后步行的时间（分之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米分；②乙走完全程用了22.5分钟；③乙用9分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有270米．其中正确的结论有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地，甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示给出下列说法：①A，B港口相距400km；②B，C港口相距300km；③甲船的速度为100km/h；④乙船出发4h时，两船相距220km，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 快车和慢车都从甲地驶向乙地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息1小时后加速行驶比慢车提前0.5小时到达目的地，慢车没有休息整个行驶过程中保持匀速不变．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米，图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系，请解答下列问题：
（1）甲、乙两地相距 千米，快车休息前的速度是 千米/时、慢车的速度是 千米/时；
（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
4. 某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
5．爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．重庆某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进5个灯笼和4副春联花费185元，第二次购进3个灯笼和8幅春联花费195．
(1)求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？
(2)由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过5900元的资金购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不多于灯笼的数量的3倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
题型八：一次函数和几何
1. 如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出的面积；
（3）当与面积相等时，求实数a的值．
2. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，作直线．点B关于直线的对称点刚好在x轴上，连接．
（1）写出点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；
（2）点D在线段上，连接，当是等腰直角三角形时，求点D坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接，过D作的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时是等腰三角形．
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．
（1）求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．
4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．
（1）填空：m＝______，b＝______；
（2）求的面积；
（3）在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．
5. 如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；
（3）如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．
6. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．
题型九：作图
1. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4，-1)，B(-5，-4)，C(-1，-3).
（1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于y轴对称；
（2）在y轴上作一点P，使得PA+PC最短；
（3）将△ABC向右平移m个单位，向上平移n个单位，若点A落在第二象限内，且点C在第四象限内，则m的范围是 ，n的范围是 .
2．正方形网格中，小正方形的边长为1，小格的顶点叫格点，小强按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之与图（1）中的三角形的面积相等，你能帮小强做出这道题吗？
3．如图①，②，③都是的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，②中已画出线段，在图③中已画出点A．按下列要求画图．
(1)在图①中，以格点为顶点，为一边画一个等腰非直角三角形；
(2)在图②中，以格点为顶点，为一边画一个等腰直角三角形；
(3)在图③中，以点A为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，画一个面积最大的等腰三角形．
4．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)的长为_______________．
(2)在图①中画一个以为直角边的等腰直角三角形．
(3)在图②中画一个以为斜边的等腰直角三角形．
题型十：最值问题
1. 如图，已知点C（1，0），直线y＝﹣x＋8与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____．
2．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点分别是直线及轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．
3．如图，为等边的高，M、N分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ．
题型十一：新定义问题
1．当m，n是正实数，且满足时，就称点为“美好点”．已知点与点B的坐标满足，且点B是“美好点”，则的面积为 ．
2. 已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是_____．
3. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
（1）如图1，三角形内角分别为，，，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条双腰分割线．
（3）如图3，已知中，，是三角形的双腰分割线，且．①求∠C的度数．②若，，求的长．
4．点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点．
(1)已知点Q的坐标为，
①如下图所示，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标________；
②如下图所示，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标；
(2)如下图所示，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．江苏地区 2023—2024 学年八年级第一学期数学期末复习备考资料
题型一：全等
1. 如图，点 D是 上的一个动点，∠ = ∠ = 90°， = ， = = 2，过点
A作 ⊥ 交 的延长线于点 F．设 = ， = ，则 y与 x的关系式为______．
【答案】 y x 1
【解析】
【分析】先根据SAS证明 △ △ ，得到 = = ,∠ = ∠ = 45°，然后根据等
腰三角形的性质和勾股定理可得 = = 2 = 1，进一步即得答案．
2
【详解】解：∵ CAE 90 ， = ，
∴ ACE E 45 ，
∵∠ = ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ， = ，
∴ △ △ (SAS)，
∴ = = ,∠ = ∠ = 45°，
∵ ⊥ ，
∴∠ = ∠ = 45°，
∴ 2 + 2 = 2， = ，
∴ = = 2 = 1，
2
∵ + = = 1，
∴ + = 1，
即 y x 1；
故答案为： y x 1．
2. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16cm，BC＝10cm，点 D为 AB的中点．如果点 P在线段 BC
上以 2cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动，当以 B、
P、D为顶点的三角形与以 C、Q、P为顶点的三角形全等时，点 Q的速度可能为_____．
【答案】2或 3.2厘米/秒．
【解析】
【分析】因为 AB=AC，所以有∠B=∠C，故三角形 BDP与三角形 CQP中，B点和 C点为对应点，
DP与 PQ对应，所以分成两种情况进行讨论：①BP=CQ，BD=CQ；②BP=CP，BD=CQ，设运动时
间为 t，然后建立方程解出即可
【详解】因为 AB=AC，
所以有∠B=∠C，
故三角形 BDP与三角形 CQP中，B点和 C点为对应点，DP与 PQ对应，
所以以 B、P、D为顶点的三角形与以 C、Q、P为顶点的三角形全等有两种情况
BP=CQ，BD=CQ时，则 Q的运动速度与 P的运动速度相等，为 2cm/s
②BP=CP，BD=CQ时，设运动时间为 t，
∵BC=10，
∴2t=10-2t，
5
解出 t=
2
∵AB=16，D为 AB中点
∴BD=8
∴CQ=8
5 16
8÷ =
2 5
所以 Q的运动速度可能是 2cm/s或者3.2cm/s
3. 综合与实践
（1）如图 1，在正方形 ABCD中，点 M、N分别在 AD、CD上，若∠MBN＝45°，则 MN，AM，CN
的数量关系为 ．
（2）如图 2，在四边形 ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点 M、N分别在 AD、CD
1
上，若∠MBN＝2∠ABC，试探索线段 MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证
明．
（3）如图 3，在四边形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点 M、N分别在 DA、CD的
1
延长线上，若∠MBN＝2∠ABC，试探究线段 MN、AM、CN的数量关系为 ．
【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析
【解析】
【分析】（1）把△ABM绕点 B顺时针旋转使 AB边与 BC边重合，则 AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠
BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点 M'、C、N 三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，
从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（2）把△ABM绕点 B顺时针旋转使 AB边与 BC边重合，则 AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠
1
ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点 M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝2∠ABC，可得到
∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（3）在 NC上截取 C M'=AM，连接 B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由 AB
＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到 AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠
1
MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝2∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求
解．
【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点 B顺时针旋转使 AB边与 BC边重合，则 AM=CM'，
BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
在正方形 ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点 M'、C、N三点共线，
∵∠MBN=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，
即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（2）MN=AM+CN；理由如下：
如图，把△ABM 绕点 B 顺时针旋转使 AB 边与 BC 边重合，则 AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，
∠ABM=∠M'BC，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点 M'、C、N三点共线，
1
∵∠MBN＝2∠ABC，
1
∴∠ABM+∠CBN=2∠ABC＝∠MBN，
∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（3）MN=CN-AM，理由如下：
如图，在 NC上截取 C M'=AM，连接 B M'，
∵在四边形 ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAM+∠BAD=180°，
∴∠BAM=∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CB M'，
∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，
∴∠MA M'=∠ABC，
1
∵∠MBN＝2∠ABC，
1
∴∠MBN＝2∠MA M'=∠M'BN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N=CN-C M'，
∴MN=CN-AM．
故答案是：MN=CN-AM．
4．已知Rt △ ， = ，∠ = 90°，点 D为直线 上的一动点（点 D不与 B、C重
合），以 为边作Rt △ （其中 = ，∠ =90°，A、D、E按逆时针排列），连接
CE．
(1)如图 1，当点 D在边 上时．
①请写出 和 之间存在数量关系和位置关系，并说明理由；
② 2 = + 的关系是否成立，并说明理由；
(2)如图 2，当点 D在边 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 、 、 之间存在的
数量关系是否成立？若不成立，请直接写出 、 、 之间存在的数量关系，不证明；
(3)如图 3，当点 D在边 的延长线上且其他条件不变时，补全图形（要求：尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹），并直接写出 、 、 之间存在的数量关系，不证明．
【答案】(1)① = ， ⊥ ，理由见解析；②成立，理由见解析
(2) = 2 + ，理由见解析
(3) = 2 + ，图见解析
【分析】（1）①根据 = ，∠ = 90°， = ，∠ =90°，证 △ ≌ △
(SAS)，推出 = ， ⊥ 即可；
②由 = ，可得 = + = + ，结合 = 2 可得 2 = + ；
（2）求出∠ = ∠ ，证明 △ ≌ △ (SAS)，推出 = 即可；
（3）画出图形后，证明 △ ≌ △ (SAS)，推出 = 即可．
【详解】（1）解：① = ， ⊥ ，理由如下：
∵ = ，∠ = 90°，
∴∠ = ∠ = 45°，
∵ = ，∠ =90°，
∴∠ ― ∠ = ∠ ― ∠ ，即∠ = ∠ ，
在 △ 与 △ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴ △ ≌ △ (SAS)，
∴BD CE, ABC ACE 45 ，
∴∠ = ∠ + ∠ = 45° +45° = 90°，
∴ ⊥ ；
② 2 = + 成立，理由如下：
由①得 = ，
∴ = + = + ，
∵ = ，∠ = 90°，
∴ = 2 ，
∴ 2 = + ；
（2）解：不成立，存在数量关系为： = 2 + ；
理由：由（1）同理可得：∠ = ∠ ，
在 △ 与 △ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴ △ ≌ △ (SAS)，
∴ = ，
∵ = ，∠ = 90°，
∴ = 2 ，
∴BD BC CD 2AC CD ，
∴ = 2 + ；
（3）解： = 2 + ，
如图所示：
理由：由（1）同理可得
在 △ 与 △ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴ △ ≌ △ (SAS)，
∴ = ，
∵ = ，∠ = 90°，
∴ = 2 ，
∴ = + = 2 + ，
∴ = 2 + ．
题型二：轴对称图形
1. 如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边 AB、AC上的点，且 AE＝CF，且 CE、BF交于
点 P，且 EG⊥BF，垂足为 G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若 PG＝1，求 EP的长度．
【答案】（1）见解析；（2）PE＝2
【解析】
【分析】（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可得到∠ACE＝∠CBF；
（2）利用由（1）知∠ACE＝∠CBF，求出∠BPE＝60°，又 EG⊥BF，即∠PGE＝90°，得到∠
GEP＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出 EP 的长．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠BCF＝60°，AB＝AC，
在△ACE与△BCF中，
AC＝BC，∠A＝∠BCF，AE＝CF，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠ACE＝∠CBF；
（2）解：∵由（1）知，∠ACE＝∠CBF，
又∠ACE＋∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°，
∴∠BPE＝60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE＝90°，
∴∠GEP＝30°，
∴在 Rt△PGE中，PE＝2PG，
∵PG＝1，
∴PE＝2．
2. 如图在△ABC 中，AB、AC 边的垂直平分线相交于点 O，分别交 BC 边于点 M、N，连接
AM，AN．
（1）若△AMN 的周长为 6，求 BC 的长；
（2）若∠MON=30°，求∠MAN 的度数；
（3）若∠MON=45°，BM=3，BC=12，求 MN 的长度．
【答案】（1）6；（2）120°（3）5．
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得 BM=AM，CN=AN，再根据三角形的周长即可求出 BC；
（2）设射线 OM交 AB于 E，射线 ON交 AC于 F，根据四边形的内角和，即可求出∠EAF，再
根据三角形的内角和，即可求出∠B＋∠C，然后根据等边对等角即可求出∠MAB＋∠NAC，从
而求出∠MAN；
（3）设射线 OM交 AB于 E，射线 ON交 AC于 F，根据四边形的内角和，即可求出∠EAF，再
根据三角形的内角和，即可求出∠B＋∠C，然后根据等边对等角即可求出∠MAB＋∠NAC，从
而求出∠MAN，设 MN=x，根据勾股定理列出方程求出 x即可．
【详解】（1）∵AB、AC 边的垂直平分线相交于点 O，分别交 BC 边于点 M、N，
∴BM=AM，CN=AN
∵△AMN 的周长为 6，
∴AM＋AN＋MN=6
∴BC=BM＋MN＋CN= AM＋MN＋AN =6；
（2）设射线 OM交 AB于 E，射线 ON交 AC于 F，
在四边形 AEOF中，∠EAF=360°－∠AEO－∠AFO－∠MON=150°
∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=30°
∵BM=AM，CN=AN
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C
∴∠MAB＋∠NAC=30°
∴∠MAN=∠EAF－（∠MAB＋∠NAC）=120°；
（3）设射线 OM交 AB于 E，射线 ON交 AC于 F，
在四边形 AEOF中，∠EAF=360°－∠AEO－∠AFO－∠MON=135°
∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=45°
∵BM=AM=3，CN=AN
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C
∴∠MAB＋∠NAC=45°
∴∠MAN=∠EAF－（∠MAB＋∠NAC）=90°
设 MN=x，则 AN =CN=BC－BM－MN=9－x
在 Rt△AMN中，MN2=AM2＋AN2
即 x2=32＋（9－x）2
解得：x=5
即 MN=5
3． △ 的角平分线 与角平分线 交于点 F，连接 AF ，若∠ ＝25°， = ，则∠
为 度．
【答案】40
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，作 ⊥
于 M， ⊥ 于 N， ⊥ 于 P，根据角平分线的性质与判定可证 AF 平分∠ ．利用HL
证明Rt △ ≌Rt △ ，得出∠ = ∠ ，再证明∠ = ∠ ．根据角平分线的
定义求出∠ = ∠ = 50°，进而求出∠ = 1∠ = 40°2 ．
【详解】解：如图，作 ⊥ 于 M， ⊥ 于 N， ⊥ 于 P，
∵ △ 的角平分线 与角平分线 交于点 F，
∴ = ， = ，
∴ = ，
∴ AF 平分∠ ．
在Rt △ 与Rt △ 中，
=
= ，
∴Rt △ ≌Rt △ (HL)，
∴∠ = ∠ ，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ．
∵ 、 是 △ 的角平分线，
∴∠ = 2∠ = 2∠ = 2 × 25° = 50°，
∠ = 2∠ = 2∠ = 50°，
∴∠ = 180° ― ∠ ― ∠ = 80°，
1
∴∠ = ∠ = 40°2 ．
故答案为：40．
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点 P是 BC的中点，两边 PE、
PF分别交 AB、AC于点 E、F，连接 EF交 AP于点 G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②
AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形 AEPF的面积是△ABC
3
面积的4，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，即可判断①；根据四边形内角和是 360°可判
1
断③，根据等腰直角三角形求出 AP⊥BC，AP=2BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，求出∠FPC=
∠EPA，根据 ASA推出△APE≌△CPF，推出 AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，再逐个判断②④⑤
即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点 P是 BC的中点，
1 1
∴∠B=∠C=2×（180°-90°）=45°，AP⊥BC，AP=2BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA，
在△APE和△CPF中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，故①④正确；
根据等腰直角三角形的性质，EF= 2PE，
所以，EF随着点 E、F的变化而变化，
只有当点 E为 AB的中点时，EF= 2PE=AP，在其它位置时 EF≠AP，故②错误；
在四边形 AEPF中，∠BAC=90°，∠EPF=90°，
∴∠AFP+∠AEP=360°-（∠BAC+∠EPF）=180°，
即∠AFP和∠AEP互补，故③正确；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∵BP=CP，
1
∴S△APC=2S△ABC，
∴四边形 AEPF的面积=S△APE+S△APF
=S△CPF+S△APF
=S△APC
1
=2S△ABC，故⑤错误，
故选 D．
题型三：勾股定理
1. 满足下列条件的 △ ，不是直角三角形的是（ ）
A. 2 = 2 ― 2 B. : : = 5:12:13
C. ∠ = ∠ ― ∠ D. ∠ :∠ :∠ = 3:4:5
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：A、 2 = 2 ― 2即 2 + 2 = 2，则 △ 是直角三角形，故该选项不符合题
意；
B、 : : = 5:12:13，设 = 5 ， = 12 ， = 13 ，
∴ 2 + 2 = 25 2 +144 2 = 169 2， 2 = 169 2，
∴ 2 + 2 = 2，则 △ 是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∠ = ∠ ― ∠ ，∠ + ∠ + ∠ = 180°，
∴2∠ = 180°，
∴∠ = 90°，则 △ 是直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∠ :∠ :∠ = 3:4:5，∠ + ∠ + ∠ = 180°，
5
最大角为∠ = 180° × = 75°，则 △ 3 + 4 + 5 不是直角三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
2. 直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，AD是∠BAC的角平分线，则BD=__________．
10
【答案】 3
【解析】
【分析】先根据勾股定理先求出 BC，作 DE⊥AB， 根据角平分线的性质得到 CD=DE，设
BD=x，得到 DE=6-x，求出 BE=2，在 Rt△BDE中利用勾股定理列出方程即可求解．
【详解】∵直角三角形纸片 ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC= AB2 AC 2 6
作 DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE，AE=AC=8
∴BE=2
设 BD=x，得到 DE=6-x，
在 Rt△BDE中 BD2=DE2+BE2
即 x2=（6-x）2+22
10
解得 x= 3 ．
10
故答案为： 3 ．
3. 如图 1、2（图 2为图 1的平面示意图），推开双门，双门间隙 CD的距离为 2寸，点 C和
点 D距离门槛 AB都为 1尺（1尺＝10寸），则 AB的长是 _____．
【答案】101寸
【解析】
【分析】取 AB的中点 O，过 D作 DE⊥AB于 E，根据勾股定理解答即可得到答案．
【详解】解：取 AB的中点 O，过 D作 DE⊥AB于 E，如图 2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设 OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
1
则 AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝2CD＝1寸，
∴AE＝OA﹣OE＝（r﹣1）寸，
在 Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴AB＝2r＝101（寸），
故答案为：101寸．
题型四：实数
1. 在2 , ― 2,0,0.45445444 中，无理数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：无理数有2 ,0.45445444 ，共 2个，
故选：C
2. 平面直角坐标系中，点（a2+1，2020）所在象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
【答案】A
【解析】
【分析】根据点的横纵坐标的正负判断即可．
【详解】解：因为 a2+1≥1，
所以点（a2+1，2020）所在象限是第一象限．
故选：A．
3. 用四舍五入法得到的近似数为 3.59万，精确到 ______位 ．
【答案】百
【解析】
【分析】3.59万=35900，9在百位上，即得答案．
【详解】用四舍五入法得到的近似数为 3.59万，即 35900，精确到百位；
故答案为：百．
5 1 5 1
4. 估计 与 0.5的大小关系是： ______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
2 2
【答案】＞
【解析】
【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
∵ 5 1 0.5 5 1 1 5 2【详解】解： ，
2 2 2 2
5 ― 2 > 0，
5 ― 2 > 0，
2
5 ― 1 > 0.5．
2
故答案为： > ．
5.（1）计算：( ― 3)2 ― 81 + 3 27；
（2）求3( ― 1)2 ― 75 = 0中 x的值．
【答案】（1）3；（2） = 6或 = ― 4
【解析】
【分析】（1）先求算术平方根和立方根，再计算即可；
（2）利用开平方求解即可．
【详解】解：（1）( ― 3)2 ― 81 + 3 27，
=9 ― 9 + 3，
=3；
（2）3( ― 1)2 ― 75 = 0，
( ― 1)2 = 25，
― 1 = ± 5，
= 6或 = ― 4．
6. 已知 x 2 2 x y 4 ，则 yx＝_____．
【答案】16
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出 x、y，根据有理数的乘方法则
求出 yx即可．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，2-x≥0，
解得，x=2，
则 y=-4，
∴yx=（-4）2=16，
故答案为：16．
7. 如图，在数轴上点 表示的数为1，在点 的右侧作一个边长为1的正方形 BACD ，使对角
线的另一端落在数轴负半轴的点 处，则点 表示的数是 _________________．
【答案】1 ― 2
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，正方形的性质，先根据勾股定理计算 的长，可得 BC BM ，
再确定 M点表示的数．解题的关键是掌握数轴上的点表示数的特点．
【详解】解：∵在数轴上点 表示的数为1，在点 的右侧作一个边长为1的正方形 BACD ，
∴ = 12 + 12 = 2， = 1，
根据题意可得： = = 2，
∴ = ― = 2 ― 1，
∵ 点在原点 的左侧，
∴点 表示的数是 ― 2 ― 1 = 1 ― 2，
故答案为：1 ― 2．
题型五：平面直角坐标系
1. 一次函数 y kx b 的图象如图所示，则以 ， 为坐标的点( , )在第几象限内（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象的位置确定出 k与 b的正负，即可作出判断．
【详解】解：根据数轴上直线的位置得： < 0， < 0，
则以 k、b为坐标的点( , )在第三象限内．
故选：C．
2. 若点 (3 ― 1,2 + )关于原点的对称点 ′在第四象限，则 的取值范围是
____________．
【答案】 2
1
m
3
【解析】
3 ― 1 < 0
【分析】根据题意易得 2 + > 0 ，然后求解不等式组即可．
【详解】解：∵点 (3 ― 1,2 + )关于原点的对称点 ′在第四象限，则点 P在第二象限，
3 ― 1 < 0 1
∴ 2 + > 0 ，解得： 2 m ；3
1
故答案为 2 m ．
3
3. 如图，将等边 △ 放在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(0,4)，点 B在第一象限，将
等边 △ 绕点 O顺时针旋转75°得到 △ ′ ′，则点 ′的坐标是 _____．
【答案】 ―2 2， ― 2 2
【解析】
【分析】过点 ′作 ′ ⊥ 轴于点 E，根据等边三角形的性质，得到∠ = 60°，
= = 4，进而得到 BOE 30 ，再利用旋转的性质，得到∠ ′ = 75°， ′ = 4，
从而得到∠ ′ = 45°，证明 △ ′ 是等腰指直角三角形，最后利用勾股定理求出 = ′
= 2 2，即可得到点 ′的坐标．
【详解】解：过点 ′作 ′ ⊥ 轴于点 E，
∵ 点 A的坐标为(0,4)，
∴ = 4，
∵△ 是等边三角形，
∴ ∠ = 60°， = = 4，
∴ ∠ = 30°，
∵△ 绕点 O顺时针旋转75°得到 △ ′ ′，
∴ ∠ ′ = 75°， ′ = = 4，
∴ ∠ ′ = ∠ ′ ― ∠ = 75 ― 30° = 45°，
∴△ ′ 是等腰指直角三角形，
∴ = ′ ，
由勾股定理得， ′ 2 = 2 + ′ 2 = 2 = 2 ′ = 4，
∴ = ′ = 2 2，
∵ 点 ′在第四象限，
∴ 点 ′的坐标是 ―2 2， ― 2 2 ，
故答案为： ―2 2， ― 2 2 ．
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（7，0），B（7，24），点 D在线段 AB上，OD平分∠
AOB，则 AD＝_____．
21
【答案】
4
【解析】
【分析】作 DH⊥OB 于 H，Rt△ODH≌Rt△ODA，推出 OH=OA=7，设 DH=AD=x，在 Rt△OAB 中，
求出 OB=25，推出 BH=OB-OH=25-7=18，在 Rt△BHD中，根据 BH2+DH2=BD2，推出 182+x2=
（24-x）2，解方程即可解决问题．
【详解】解：如图，作 DH⊥OB于 H，
∵OD平分∠AOB，DH⊥OB，DA⊥OA，
∴DH=DA，
在 Rt△ODH和 Rt△ODA中，
=
= ，
Rt△ODH≌Rt△ODA，
∴OH=OA=7，设 DH=AD=x，
在 Rt△OAB中，OB= 72 + 242=25，
∴BH=OB-OH=25-7=18，
在 Rt△BHD中，∵BH2+DH2=BD2，
∴182+x2=（24-x）2，
21
∴x= ，
4
21
即 AD= ，
4
21
故答案为： ．
4
5．点 P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组
的解（a为任意实数），则当 a变化时，点 P一定不会经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：C
题型六：一次函数
1. 如图，函数 = ―3 和 y kx b 的图象相交于点 ( ，4)，则关于 x 的不等式
kx b 3x 0的解集为______．
< ― 4【答案】 3
【解析】
【分析】先把点 A的坐标代入 = ― 3 中求解 m的值，然后根据一次函数与不等式的关系
可进行求解．
【详解】解：由题意得：
把点 A代入 = ―3 可得 ― 3 = 4，
4
解得：m ，
3
4
∴点 A的坐标为 A ，4 ，
3
由图象可得当关于 x 的不等式 kx b 3x 0时，则需满足在点 A 的右侧，即 y kx b 的
图象在 = ― 3 的图象下方，
∴不等式 kx b 3x 0 4的解集为 < ― 3；
4
故答案为： < ― 3．
2.如图，已知直线 y＝mx 过点 A（﹣2，﹣4），过点 A 的直线 y＝nx+b 交 x 轴于点 B（﹣4，
0），则关于 x的不等式组 nx+b≤mx＜0的解集为（ ）
A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0
答案：D
3. 如图，等边△OAB的边长为 2，以它的顶点 O为原点，OB所在的直线为 x轴，建立平面直
角坐标系.若直线 y=x+b与△OAB的边界总有两个公共点，则实数 b的范围是____.
【答案】 ― 2 < < 3 ― 1
【解析】
【分析】由题意，可知点 A坐标为（1， 3 ），点 B坐标为（2，0），由直线 = + 与△OAB
的边界总有两个公共点，有截距 b在线段 CD之间，然后分别求出点 C坐标和点 D坐标，即
可得到答案.
【详解】解：如图，过点 A作 AE⊥x轴，
.∵△ABC是等边三角形，且边长为 2，
∴OB=OA=2，OE=1，
∴ = 22 ― 12 = 3，
∴点 A为（1， 3 ），点 B为（2，0）；
当直线 = + 经过点 A（1， 3 ）时，与△ABC边界只有一个交点，
则1 + = 3，解得：b 3 1，
∴点 D的坐标为（0, 3 ― 1）；
当直线 = + 经过点 B（2，0）时，与△ABC边界只有一个交点，
则2 + = 0，解得：b 2，
∴点 C的坐标为（0， ― 2）；
∴直线 = + 与△OAB的边界总有两个公共点时，截距 b在线段 CD之间，
∴实数 b的范围是： ― 2 < < 3 ― 1；
故答案为： ― 2 < < 3 ― 1.
4. 如图，点 A，B，C在一次函数 = ― 2 + 的图象上，它们的横坐标依次为 1，1，2，
分别过这些点作 x轴与 y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
2
A. 1 B. 3 C. 3(b 1) D. 3( ― 2)
【答案】B
【解析】
【分析】设直线 = ―2 + 与 y轴交于点 D， ⊥ 轴于点 E，利用一次函数图象上点的坐
标特征可得出点 A，D 的坐标，进而可得出 ， 的长，利用三角形的面积计算公式可求
出 DAE 的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为 1，再将三个小三角形的面积
相加即可求出结论．
【详解】解：设直线 = ―2 + 与 y轴交于点 D， ⊥ 轴于点 E，如图所示．
当 =0时， = ― 2 × 0+ = ，
∴点 D的坐标为(0， )；
当 = ―1时， = ― 2 × ( ― 1) + =2+ ，
∴点 A的坐标为( ― 1，2 + )，
∴点 E的坐标为(0，2 + )， = 1，
∴ DE 2 b b 2 ，
∴ 1 = =
1 × 1 × 2=1
2 2 ．
同理，可求出另两个三角形的面积均为 1（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和 1 1 1 3．
故选：B．
1
5. 如图，直线 = ― + 22 与 x轴、y轴交于 A、B两点，在 y轴上有一点 C(0，4)，动点
M从 A点发以每秒 1个单位的速度沿 x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时
间 t是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2或 4 D. 2或 6
【答案】D
【解析】
【分析】先求解 , 的坐标，再利用全等三角形的性质求解 = 2, 再结合轴对称的性质可
得答案.
1
【详解】解： ∵ 直线 = ― + 22 与 x轴、y轴交于 A、B两点，
令 = 0, 则 = 2,
令 = 0 ― 1，则 + 2 = 0,2
∴ = 4,
∴ (4,0), (0,2), 而 (0,4),
∴ = = 4,
当 (0,2)时， = = 2, 而∠ = ∠ = 90°,
∴△ ≌ △ ,
∴ = 4 ― 2 = 2, = 2,
如图，当 , 1关于 轴对称时，
此时 △ 1 ≌ △ ,
此时 1 = = 2, 1 = 2 + 4 = 6,
∴ = 6,
故选：D
题型七：用一次函数解决问题
1. 甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行 1800米，先到终点的人
原地休息．已知甲先出发 3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 （米)与甲出发
后步行的时间 （分)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为 60米 / 分；②乙走完
全程用了 22.5分钟；③乙用 9分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有 270米．其中
正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和函数图像中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答
本题．
【详解】解：由图可得，
甲步行的速度为：180 ÷ 3 = 60米 / 分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：1800 (12 60 9) 22.5 （分钟），故②正确，
乙追上甲用的时间为：12 ― 3 = 9（分钟），故③正确，
乙到达终点时，甲离终点距离是：1800 (3 22.5) 60 270米，故④正确，
故选： ．
2. 笔直的海岸线上依次有 A，B，C三个港口，甲船从 A港口出发，沿海岸线匀速驶向 C港
口，1小时后乙船从 B港口出发，沿海岸线匀速驶向 A港口，两船同时到达目的地，甲船的
速度是乙船的 1.25倍，甲、乙两船与 B港口的距离 y（km）与甲船行驶时间 x（h）之间的
函数关系如图所示给出下列说法：①A，B港口相距400km；②B，C港口相距300km；③甲船的速
度为 100km/h；④乙船出发 4h时，两船相距 220km，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可知 A、B港口相距 400km，从而可以判断①；根据甲船从 A港口出发，
沿海岸线匀速驶向 C港，1小时后乙船从 B港口出发，沿海岸线匀速驶向 A港，两船同时到
达目的地．甲船的速度是乙船的 1.25倍，可以计算出 B、C港口间的距离，从而可以判断②；
根据图象可知甲船 4个小时行驶了 400km，可以求得甲船的速度，从而可以判断③；根据题
意和图象可以计算出乙出发 4h时两船相距的距离，从而可以判断④．
【详解】解：由题意和图象可知， A、B港口相距 400km，故①正确；
∵甲船的速度是乙船的 1.25倍，
∴乙船的速度为：100÷1.25=80（km/h），
∵乙船的速度为 80km/h，
∴400÷80=（400+ ）÷100-1，
解得： =200km， 故②错误；
∵甲船 4个小时行驶了 400km，
∴甲船的速度为：400÷4=100（km/h）， 故③正确；
乙出发 4h时两船相距的距离是：4×80+（4+1-4）×100=420（km）， 故④错误．
故选 B
3. 快车和慢车都从甲地驶向乙地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息 1小时
后加速行驶比慢车提前 0.5小时到达目的地，慢车没有休息整个行驶过程中保持匀速不
变．设慢车行驶的时间为 x小时，快车行驶的路程为 y1千米，慢车行驶的路程为 y2千米，
图中折线 OAEC表示 y1与 x之间的函数关系，线段 OD表示 y2与 x之间的函数关系，请解答
下列问题：
（1）甲、乙两地相距 千米，快车休息前的速度是 千米/时、慢车的速度是
千米/时；
（2）求图中线段 EC所表示的 y1与 x之间的函数表达式；
（3）线段 OD与线段 EC相交于点 F，直接写出点 F的坐标，并解释点 F的实际意义．
【答案】（1）300,75,60；（2）y1＝100x﹣150（3≤x≤4.5）；（3）点 F 的坐标为（3.75，
225），点 F代表的实际意义是在 3.75小时时，快车与慢车行驶的路程相等
【解析】
【分析】（1）根据图象可直接得出甲、乙两地的距离；根据图象可得 A、B 两点坐标，然后
利用速度=路程÷时间求解即可；
（2）根据快车休息 1小时可得点 E坐标，根据快车比慢车提前 0.5小时到达目的地可得点 C
坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）易得 y2与 x 之间的函数关系式，然后只要求直线 EC 与直线 OD 的交点即得点 F 坐标，
为此只要解由直线 EC与直线 OD的的解析式组成的方程组即可，进而可得点 F的实际意
义．
【详解】解：（1）甲、乙两地相距 300千米，快车休息前的的速度为：150÷2＝75千米/小
时，慢车的速度为：150÷2.5＝60千米/小时．
故答案为：300，75，60；
（2）由题意可得，
点 E的横坐标为：2+1＝3，则点 E的坐标为（3，150），
快车从点 E到点 C用的时间为：300÷60﹣0.5＝4.5（小时），则点 C的坐标为（4.5，300），
设线段 EC所表示的 y1与 x之间的函数表达式是 y1＝kx+b，把 E、C两点代入，得：
4.5 + = 300 = 100
3 + = 150 ，解得： = ―150，
即线段 EC所表示的 y1与 x之间的函数表达式是 y1＝100x﹣150（3≤x≤4.5）；
（3）y2与 x之间的函数关系式为： 2 = 60 ，设点 F的横坐标为 a，则 60a＝100a﹣150，
解得：a＝3.75，则 60a＝225，
即点 F的坐标为（3.75，225），点 F代表的实际意义是在 3.75小时时，快车与慢车行驶的
路程相等．
4. 某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液 300瓶和口罩 200包，
则共需 6000元；若购买洗手液 500瓶和口罩 300包，则共需 9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过 11500元，洗手液瓶数
和口罩的包数之和为 1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的 3倍．设购买洗手液 m瓶，
购买这两种物资的总费用为 W元，请写出 W（元）与 m（瓶）之间的函数关系式，并求出 W
的最小值．
【答案】（1）每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为 10元、15元；（2）W＝﹣5m+15000，W的
最小值是 11250．
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶洗手液和每包
口罩的价格各是多少元；
（2）根据题意可以写出 W（元）与 m（瓶）之间的函数关系式，并求出 W的最小值．
【详解】解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为 a元、b元，
300 + 200 = 6000
500 + 300 = 9500，
= 10
解得 = 15，
答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为 10元、15元；
（2）由题意可得，
W＝10m+15（1000﹣m）＝﹣5m+15000，
∴W随 m的增大而减小，
∵购买这两种物资的总费用不超过 11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为 1000，且洗
手液的瓶数不大于口罩包数的 3倍，
―5 + 15000 ≤ 11500
∴ ≤ 3(1000 ― ) ，
解得 700≤m≤750，
∴当 m＝750时，W取得最小值，此时 W＝11250，
答：W（元）与 m（瓶）之间的函数关系式是 W＝﹣5m+15000，W的最小值是 11250．
5．爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢
天喜地迎新年．重庆某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进 5个灯笼
和 4副春联花费 185元，第二次购进 3个灯笼和 8幅春联花费 195．
(1)求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？
(2)由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过 5900元的资金购进灯笼和春联这两种商
品共 300件，其中春联的数量不多于灯笼的数量的 3倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若
每个灯笼的售价为 30元，每副春联的售价为 25元，在销售中灯笼有3%的损坏，春联有6%
的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三
次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)每个灯笼的进价是25元，每副春联的进价是15元；
(2)第三次购进灯笼 75个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是 2220元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次列不等式组的应用，一次函数的应用，
根据题意正确列方程求解是解题关键．
（1）设每个灯笼的进价是 元，每副春联的进价是 元，根据题意列二元一次方程组求解即
可；
（2）设第三次购进灯笼 个，则第三次购进春联(300 ― )幅，根据题意列不等式组，求出
的取值范围，再设第三次销售获得的利润为 ，根据题意得出 = ― 4.4 + 2550，然后利
用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个灯笼的进价是 元，每副春联的进价是 元，
5 + 4 = 185①
由题意得： 3 + 8 = 195②，
① × 2 ― ②得：7 = 175，
解得： = 25，
将 = 25代入①得：5 × 25 + 4 = 185，
解得： = 15，
答：每个灯笼的进价是25元，每副春联的进价是15元；
（2）解：设第三次购进灯笼 个，则第三次购进春联(300 ― )幅，
25 + 15(300 ― ) ≤ 5900①
由题意得： 300 ― ≤ 3 ② ，
解得：75 ≤ ≤ 140，
设第三次销售获得的利润为 ，
则 = (1 ― 3%) × 30 ― 25 + (300 ― ) (1 ― 6%) × 25 ― 15(300 ― ) = ―
4.4 + 2550，
∵ 4.4 < 0，
∴ 当 = 75时， 有最大值，最大值为 ― 4.4 × 75 + 2550 = 2220，
答：第三次购进灯笼75个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是2220元
题型八：一次函数和几何
1. 如图，直线 l与 x轴、y轴分别交于点 (3，0)、点 (0，2)，以线段 为直角边在第一
象限内作等腰直角三角形 ，∠ = 90°，点 (0， )为 y轴上一个动点．
（1）请直接写出直线 l的表达式；
（2）求出 △ 的面积；
（3）当 △ 与 △ 面积相等时，求实数 a的值．
【答案】（1）直线 l的表达式为： = ― 2 + 23 ；
（2） △ 13的面积为 2
19 7
（3） = 或 = ―3 3．
【解析】
【分析】（1）将点 A、B的坐标代入一次函数表达式： y kx b ，即可求解；
（2）利用三角形面积公式即可求解；
（3）分点 P在 y轴正半轴和负半轴两种情况，分别求解即可．
【小问 1详解】
解：设直线 所在的表达式为： y kx b ，
0 = 3 + = ― 2
则 = 2 ，解得： 3， = 2
2
故直线 l的表达式为： = ― + 23 ；
【小问 2详解】
解：在Rt △ 中，
由勾股定理得： 2 = 2 + 2 = 32 + 22 = 13，
∵ △ 为等腰直角三角形，
1
∴ = 2 = 13△ 2 2 ；
【小问 3详解】
解：①当 P在 y轴正半轴时， (0， )，如图 1所示：
S 1 13 ABP AO BP ，2 2
∵ = 3，
∴ BP
13
，
3
∵ (0，2)，
∴ a
13
2 ，
3
∴ = 193 ；
②）①当 P在 y轴负半轴时，如图 2所示：
△ = △ + △ =
13
2 ，
∵ △ = 3，
13 7
∴ △ = ― 3 =2 2，
1 7
即有： AO PO ，
2 2
∴ = 73，
∵P在 y轴负半轴，
∴ = ― 73．
19
综上： = 或 = ― 73 3．
2. 如图 1，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(3,0)，点 B的坐标为(0,4)，点 C在 y轴上，
作直线 ．点 B关于直线 的对称点 ′刚好在 x轴上，连接 ′．
（1）写出点 ′的坐标，并求出直线 对应的函数表达式；
（2）点 D在线段 上，连接 、 ′、 ′，当 △ ′是等腰直角三角形时，求点 D坐标；
（3）如图 2，在（2）的条件下，点 P从点 B出发以每秒 1个单位长度的速度向原点 O运动，
到达点 O时停止运动，连接 ，过 D作 的垂线，交 x轴于点 Q，问点 P运动几秒时 △
是等腰三角形．
1 3
【答案】（1）( ―2,0)； y x （2）(1,1)
2 2
（3）点 P运动 1或5 ― 5 15或 秒时， △ 是等腰三角形4
【解析】
【分析】（1）由题意求出 ，根据 与 ′关于直线 对称，求出 ′坐标，设点 (0, )，求出
(0,3)，设直线 的解析式为 = + ( ≠ 0)，把 A，C代入可得 表达式；
（2）由已知可得 △ ′是等腰直角三角形，过点 作 ⊥ 轴， ⊥ 轴，证明
1 3
△ ≌ △ ′，得出 DF DE ，设点 ( , )代入 y x 中，即可求出点 D坐标；
2 2
（3）过点 D作 ⊥ 轴， ⊥ 轴，由（2）可得 PDF QDE ，证明
△ ≌ △ ，得到 PF QE ，分①当 = 时，②当 AQ AD 时，③当 = 时，
三种情况分别进行讨论．
【小问 1详解】
解：∵点 A的坐标为(3,0)，点 B的坐标为(0,4)，
∴ = 3, = 4，
∵∠ = 90°，
∴ = 5，
∵B与 ′关于直线 对称，
∴ 垂直平分 ′，
∴ = ′, ′ = = 5，
∴ ′( ―2,0)，
设点 (0, )，
∴ = ，
∴ ′ = = 4 ― ，
∵在Rt △ ′中，∠ ′ = 90°，
∴ 2 + 22 = (4 ― )2，
∴ = 32，
∴ 0, 3 ，
2
设直线 的解析式为 = + ( ≠ 0)，
把 (3,0)， 0, 3 代入得：
2
3 + = 0 = ― 1
3 ，解得： 2 = = 32 2
1 3
∴直线 的解析式为 y x ；
2 2
【小问 2详解】
解：∵ 垂直平分 ′，
∴ = ′，
∵ △ ′是等腰直角三角形，
∴∠ ′ = 90°，
过点 D作 ⊥ 轴， ⊥ 轴，
∴∠ = ∠ = ∠ ′ = 90°，
∵∠ = 360° ― ∠ ― ∠ ― ∠ ,∠ = 90°，
∴∠ = 90°，
∴∠ = ∠ ′，
∴∠ = ∠ ′，
∴ △ ≌ △ ′(AAS)，
∴ DF DE ，
设点 ( , )，
y 1代入 x 3 中，得：
2 2
= ― 1 + 3
2 2，解得： = 1，
∴ (1,1)；
【小问 3详解】
解：过点 D作 ⊥ 轴， ⊥ 轴，
同（2）可得 PDF QDE ，
∵ = = 1,∠ = ∠ = 90°，
∴ △ ≌ △ (AAS)，
∴ PF QE ，
当 = 时，
∵ ⊥ 轴，
∴ = = 2，
∴ = = 2，
∴ = ― = 1，
∴点 P运动时间为 1秒；
②当 AQ AD 时，
∵ (3,0)、 (1,1)，
∴ = 5，
∴ = 5 ― 2，
∴ = = 5 ― 2，
∴ = ― = 5 ― 5，
∴点 P的运动时间为 5 ― 5 秒；
③当 = 时，
设 = ，
则 = = 2 ― ，
在Rt △ 中，∠ = 90°，
∴12 + 2 = (2 ― )2，
= 3∴ 4，
∴ = = 34，
= + = 15∴ ，
4
15
∴点 P的运动时间为 秒；
4
5 ― 5 15综上所述：点 P的运动时间为 1秒或 秒或 秒．4
3
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB为 y＝﹣4x＋b交 y轴于点 A（0，3），交 x轴于点
B，直线 x＝1交 AB于点 D，交 x轴于点 E，P是直线 x＝1上一动点，且在点 D的上方，设 P
（1，n）．
（1）求点 B的坐标及点 O到直线 AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含 n的代数式表示）；
7
（3）当 S△ABP＝2时，在第一象限找点 C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点 C的坐
标．
12
【答案】（1）B（4，0）， 5
2 ― 9（2） 2
9 7
（3）（5，7）或（8，3）或（2，2）
【解析】
【分析】（1）求出直线 AB的解析式，可求点 B坐标，由面积法可求解；
（2）求出点 D坐标，由三角形的面积公式可求解；
7
（3）先计算当 S△ABP=2时，P的坐标，以 PB为边在第一象限作等腰直角三角形 BPC，分三种
情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得 C的坐标．
【小问 1详解】
3
解：∵直线 AB为 y= ― 4x+b交 y轴于点 A（0，3），
∴b=3，AO=3，
3
∴直线 AB解析式为：y= ― 4x+3，
3
令 y=0，则 0= ― 4x+3，x=4，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∴AB= 2 + 2=5，
1 1
∴S△AOB=2×OA×OB=2×AB×点 O到直线 AB的距离，
3 4 12
∴点 O到直线 AB的距离= = 5 ；5
【小问 2详解】
∵点 D在直线 AB上，
9 9
∴当 x=1时，y=4，即点 D（1，4），
9
∴PD=n-4，
∵OB=4，
1 9
∴S 9△ABP＝ ― × 42 ＝2 ―4 2；
【小问 3详解】
7
当 S△ABP= 时，2 ―
9 = 7
2 2 2，解得 n=4，
∴点 P（1，4），
∵E（1，0），
∴PE=4，BE=3，
第 1种情况，如图，当∠CPB=90°，BP=PC时，过点 C作 CN⊥直线 x=1于点 N．
∵∠CPB=90°，
∴∠CPN+∠BPE=90°，又∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠BPE=∠PCN，
又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，
∴△CNP≌△PEB（AAS），
∴PN=EB=3，PE=CN=4，
∴NE=NP+PE=3+4=7，
∴C（5，7）；
第 2种情况，如图，当∠PBC=90°，BP=BC时，过点 C作 CF⊥x轴于点 F．
同理可证：△CBF≌△BPE（AAS），
∴CF=BE=3，BF=PE=4，
∴OF=OB+BF=4+4=8，
∴C（8，3）；
第 3种情况，如图 3，当∠PCB=90°，CP=CB时，
过点 C作 CH⊥BE，垂足为 H，过点 P作 PG⊥CH，垂足为 G，
同理可证：△PCG≌△CBH（AAS），
∴CG=BH，PG=CH，
∵PE=4，BE=3，设 CG=BH=x，PG=CH=y，
则 PE=GH=x+y=4，BE=PG-BH=y-x=3，
1 7
解得：x=2，y=2，
9 7
∴C（2，2），
9
∴以 PB 为边在第一象限作等腰直角三角形 BPC，点 C 的坐标是（5，7）或（3，8）或（2，
7
2）．
4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1＝ + 2的图象与 x轴，y轴分别交于点 A，B， 2
= ― 1 +
3 的图象与 x轴，y轴分别交于点 D，E，且两个函数图象相交于点 ( ，5)．
（1）填空：m＝______，b＝______；
（2）求 △ 的面积；
（3）在线段 上是否存在一点 M，使得 △ 的面积与四边形 的面积比为4：21？
若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点 P在线段 上，连接 ，若 △ 是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P
坐标．
【答案】（1）3，6 （2） △ 的面积为 50
（3）存在，点 M的坐标为(6，0)
（4）所有符合条件的点 P坐标为(3，0)或(8，0)
【解析】
1
【分析】（1）由 ( ,5)是一次函数 1 = + 2与 2 = ― + 3 的图象的交点，即可解出；
（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与 x轴的交点坐标，得到 的长，从而算出 △
的面积；
（3）由已知条件可得 △ 的面积，进而得出 的长，即可得点 M的坐标；
（4）由 △ 是直角三角形、∠ 是锐角，分∠ = 90°和∠ = 90°两种情况讨论，
利用勾股定理即可求解．
【小问 1详解】
解：∵ ( ,5)是一次函数 1 = + 2
1
与 2 = ― + 3 的图象的交点，
∴ + 2 = 5，解得 = 3，
1
∴ 3 b 5，解得 = 6，
3
故答案为：3，6；
【小问 2详解】
解：一次函数 1 = + 2中，当 1 = 0时， = ―2；当 = 0时， 1 = 2，
∴ ( ― 2,0), (0,2)，
1
一次函数 2 = ― + 6中，当 2 = 0时， = 183 ，
∴ (18,0)，
∴ AD 18 ( 2) 20 ，
∴ △ =
1 × 20 × 5 = 50
2 ，
∴ △ 的面积为 50；
【小问 3详解】
解：如图：
在线段 上存在一点 M，使得 △ 的面积与四边形 的面积比为4：21，
∵ △ 的面积与四边形 的面积比为4：21，
4 4
∴ △ = 4 + 21 △ = 25 × 50 = 8，
1 AM OB 8 1∴ ，即 AM 2 8，
2 2
∴ AM 8，
∵点 M在线段 上，
∴点 M的坐标为(6,0)；
【小问 4详解】
解：点 P在线段 上，∠ 是锐角，若 △ 是直角三角形，则∠ = 90°或∠ = 90
°，
当∠ = 90°时， 2 + 2 = 2，
设 = ，
∴ 2 = 2，
∵ ( ― 2,0), (3,5)，
∴ 2 = (3 + 2)2 + 52 = 50， 2 = 52 = 25，
∴ 2 + 2 = 2 +25 = 50，
解得 =± 5， = ― 5舍去，
∴ = 5，
∵ ( ― 2,0)
∴点 P坐标为(3,0)；
当∠ = 90°时， AC 2 PC 2 AP2 ，
设点 ( ,0)，
∵ A( 2,0),C(3,5)，
∴ AC 2 (3 2)2 52 ， AP2 ( p 2)2 ， PC 2 ( p 3)2 52，
∴ ( p 2)2 (3 2)2 52 ( p 3)2 52 ，
解得 = 8，
∴点 P坐标为(8,0)；
综上所述，所有符合条件的点 P坐标为(3,0)或(8,0)．
5. 如图 1，在矩形 OACB中，点 A，B分别在 x轴、y轴正半轴上，点 C在第一象限，OA＝8，
OB＝6．
（1）请直接写出点 C的坐标；
（2）如图②，点 F在 BC上，连接 AF，把△ACF沿着 AF折叠，点 C刚好与线段 AB上一点
C′重合，求线段 CF的长度；
（3）如图 3，动点 P（x，y）在第一象限，且点 P 在直线 y＝2x﹣4 上，点 D 在线段 AC 上，
是否存在直角顶点为 P的等腰直角三角形 BDP，若存在，请求出直线 PD的的解析式；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1）（8，6）
（2）CF＝3 （3）存在，y＝-3x+26
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质和坐标与图形性质可求解；
（2）由折叠性质得 = ′ ， = ′，∠ = ∠ ′ = 90 ，利用勾股定理求解 、 即
可；
（3）分两种情况：点 P在 BC上方和点 P在 BC下方两种情况，利用全等三角形的判定与性
质求得 PF=BE，EP=DF即可求解．
【小问 1详解】
解：∵四边形 OACB是矩形，OA＝8，OB＝6，
∴AC=OB=6，BC=OA=8，∠OAC=90°，
∴点 C坐标为（8，6）；
【小问 2详解】
解：由折叠性质得： = ′ ， = ′ = 6，∠ = ∠ ′ = ∠ ′ = 90 ，
∵OA＝8，OB＝6，∠AOB=90°，
∴AB= 2 + 2=10，则 ′=10-6=4，
在 Rt△ ′ 中，BF=8-CF，由勾股定理得42 + 2 = (8 ― )2，
解得：CF=3；
【小问 3详解】
解：存在，设 P（a，2a－4），
当点 P在 BC上方时，如图，过点 P作 EF ∥ BC交 y轴于 E，交 DC延长线于 F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
∵∠BPE+∠EBP=90°，∠BPE+∠DPF=90°，
∴∠EBP=∠DPF，又 BP=PD，
∴△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=PF=2a-4-6=2a-10，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=3a-10=8，解得：a=6，
∴P（6，8），D（8，2），
设直线 PD的解析式为 y=kx+b，
6 + = 8 = ―3
则 8 + = 2，解得： = 26，
∴直线 PD的解析式为 y=－3x+26；
当点 P在 BC下方时，如图，过点 P作 EF ∥ BC交 y轴于 E，交 AC于 F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
同理可得△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=6-(2a-4)=10-2a，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=10-a=8，解得：a=2，
∴P（2，0），这与点 P在第一象限不符，故舍去，
综上，直线 PD的解析式为 y=-3x+26．
6. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，与直线 OC：y
＝x交于点 C．
（1）若直线 AB解析式为 y＝﹣2x+12，求：
①求点 C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）在（1）的条件下，若 P是 x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时 P的
坐标．
（3）如图 2，作∠AOC 的平分线 OF，若 ⊥ ，垂足为 E，OA＝4，P 是线段 AC 上的动点，
过点 P作 OC，OA的垂线，垂足分别为 M，N，试问 PM+PN的值是否变化，若不变，求出 PM+PN
的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）①（4，4）；②12
（2）（4，0）或（8，0）或（ 4 2 ，0）或（－ 4 2 ，0）
（3）不变，2 2
【解析】
【分析】（1）①当 2x＋12＝x时，解方程即可；
②当 y＝0时，则 2x＋12＝0，得出点 A的坐标，即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出 OC的长，再分 OC＝OP，CO＝CP，PO＝PC三种情形，进而得出
答案；
（3）首先利用 ASA证明△AOE≌△COE，得 OA＝OC＝4，再利用面积法可得 PN＋PM＝AH，再
利用勾股定理求出 AH的长即可．
【小问 1详解】
解：①由题意得 2x＋12＝x，
解得 x＝4，
∴y＝4，
∴点 C（4，4）；
②当 y＝0时， 2x＋12＝0，
∴x＝6，
∴A（6，0），
∴OA＝6，
1
∴△OAC的面积为 × 6 × 4 = 122 ；
【小问 2详解】
解：∵C（4，4），
∴ = 42 + 42 = 4 2，
当 OC＝OP＝ 4 2 时，
点 P（ 4 2 ，0）或（ ― 4 2，0），
当 CO＝CP时，点 P（8，0），
当 PO＝PC时，点 P（4，0），
综上：点 P（4，0）或（8，0）或（ 4 2 ，0）或（－ 4 2 ，0）；
【小问 3详解】
解：PM＋PN的值不变，连接 OP，作 AH⊥OC于 H，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∵OF⊥AB，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（ASA），
∴OA＝OC＝4，
∵ = + ，
1 1 1
∴2OC×AH＝2OC×PN＋2OC×PM，
∴PN＋PM＝AH，
∵直线 OC的解析式为 y＝x，
∴∠AOC＝45°，
∴ = 2 = 2 2，
2
∴ + = 2 2．
∴PM＋PN的值不变，为2 2．
题型九：作图
1. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(-4，-1)，B(-5，-4)，
C(-1，-3).
（1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于 y轴对称；
（2）在 y轴上作一点 P，使得 PA+PC最短；
（3）将△ABC向右平移 m个单位，向上平移 n个单位，若点 A落在第二象限内，且点 C在
第四象限内，则 m的范围是 ，n的范围是 .
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）1 < < 4，1 < < 3.
【解析】
【分析】（1）利用关于 y轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；
（2）由（1）点 C'是点 C关于 y轴的对称点，连接 A C'，与 y轴相交于点 P，点 P为所求；
（3）根据题意，由点 A为( ― 4， ― 1)，点 C为( ― 1， ― 3)，结合平移的规则，有点 A平
移后的坐标为（ ―4 + ， ―1 + ）；点 C平移后的坐标为（ ― 1 + ， ― 3 + ）； 然后联
合成不等式组，即可得到 m、n的取值范围.
【详解】解：（1）如图所示；
（2）连接 A C'，与 y轴相交于点 P，点 P为所求；
（3）根据题意，
∵点 A为( ― 4， ― 1)，点 C为( ― 1， ― 3)，
∴点 A平移后的坐标为：（ ― 4 + ， ― 1 + ）；
∴点 C平移后的坐标为：（ ― 1 + ， ― 3 + ）；
∵点 A落在第二象限内，且点 C在第四象限内，
―4 + < 0 ―1 + > 0
∴ ―1 + > 0， ―3 + < 0，
解得：1 < < 4，1 < < 3；
故答案为：1 < < 4；1 < < 3.
2．正方形网格中，小正方形的边长为 1，小格的顶点叫格点，小强按下列要求作图：①在正方
形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个
格点，使之与图（1）中的三角形的面积相等，你能帮小强做出这道题吗？
【答案】见解析
【分析】本题考查格点三角形的作图，做此类题要熟悉勾股定理，三角形的基本性质，注意
题干条件“①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，且任意两点不在同一条实线
上，②构成的三角形与图（1）中的三角形的面积相等”即可解题
【详解】解： ∵ 小正方形的边长为 1，由图（1）知 = 12 + 22 = 5， = 22 + 42 = 2
5，∠ = 90°，
∴ △ = 5 × 2 5 ×
1 = 5
2 ．
由题干条件，可画图如下：
3．如图①，②，③都是4 × 4的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形
的边长均为 1．在图①，②中已画出线段 ，在图③中已画出点 A．按下列要求画图．
(1)在图①中，以格点为顶点， 为一边画一个等腰非直角三角形；
(2)在图②中，以格点为顶点， 为一边画一个等腰直角三角形；
(3)在图③中，以点 A为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，画一个面积最大的等腰三角
形．
【答案】(1)图见解析；(2)图见解析；(3)图见解析．
【分析】（1）本题主要考查网格点等腰三角形的作图问题，根据等腰三角形的定义可以画出
与线段 等长的线段，注意线段两端点必须在网格顶点处．
（2）本题主要考查利用全等思想构造等腰直角三角形，一线三直角模型是最直接的想法，
直接构造两个直角三角形即可，并让这两个三角形全等，即可构画出一个等腰直角三角
形．
（3）本题主要即考查等腰三角形，有考查做出面积最大的三角形，首先先满足等腰三角形
的条件，那么就要分析先以 A为顶角的等腰三角形，
再分析以 A为底角的等腰三角形，直观发现都能做出等腰三角形，但是 A为顶角的三角形以
面积并不是最大的，最终选择以 A底角画出等腰三角形即可．
【详解】（1）如图①，只要在网格顶点中找到使 = 线段即可，答案不唯一．
（2）如图②，可以过点 B作 ⊥ 交格点或过点 A作 ⊥ ，再由全等检验边相等，当
然也可以先满足边相等，在看是否满足直角．
（3）如图③，多种情况讨论：分别以 A为顶角和以 A为底角顶点讨论；
分析先以 A为顶角的等腰三角形，再分析以 A为底角的等腰三角形，直观发现都能做出等腰
三角形，但是 A为顶角的三角形以面积并不是最大的，见图④，最终选择以 A底角画出等腰
三角形 面积最大，通过全等验证 = ．
4．图①、图②均是10 × 10的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的
边长均为 1，线段 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画
图．
(1) 的长为_______________．
(2)在图①中画一个以 为直角边的等腰直角三角形 ．
(3)在图②中画一个以 为斜边的等腰直角三角形 ABD．
【答案】(1) 34；
(2)作图见解析图；
(3)作图见解析图．
【分析】（1）根据勾股定理解题；
（2）根据等腰直角三角形的性质解题；
（3）根据等腰直角三角形的性质解题；
本题考查网格与勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关
键．
【详解】（1）由网格可知： = 32 + 52 = 34，
故答案为： 34；
（2）
如图， = 34， = 34， = 82 + 22 = 68，
则 = ， 2 + 2 = 2，
∴ △ 是等腰直角三角形，
∴Rt △ 即为所求；
（3）
如图， = 34， = 12 + 42 = 17， = 12 + 42 = 17，
则 = ， 2 + 2 = 2，
∴ △ 是等腰直角三角形，
∴Rt △ 即为所求；
题型十：最值问题
1. 如图，已知点 C（1，0），直线 y＝﹣x＋8与两坐标轴分别交于 A、B两点，D、E分别是
AB、OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____．
【答案】 130
【解析】
【分析】点 C关于 OA的对称点 C′（-1，0），点 C关于直线 AB的对称点 C″（8，7），连接
C′C″与 AO交于点 E，与 AB交于点 D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线
段 C′C″．
【详解】解：如图，点 C关于 OA的对称点 C′（-1，0），点 C关于直线 AB的对称点 C″，
∵直线 AB的解析式为 y=-x+8，
设直线 CC″的解析式为 y=x+b，将 C（1，0）代入，
得：b=-1，
∴直线 CC″的解析式为 y=x-1，
9
y = ―x + 8 =
由 y = x ― 1 ，解得：
2
= 7
，
2
9 7
∴直线 AB与直线 CC″的交点坐标为 K（2，2），
∵K是 CC″中点，
∴可得 C″（8，7）．
连接 C′C″与 AO交于点 E，与 AB交于点 D，此时△DEC周长最小，
△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″= 92 + 72= 130，
故答案为： 130．
2．已知在平面直角坐标系中，点 的坐标为(0，2)，点 ( ，4 ― )与点 分别是直线 及
轴上的动点，则 △ 周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．2 10
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点 关于 轴的对称点 ′，关于直线 的对
称点 ″，连接 ′ ″，交直线 于点 ，交 轴于点 ，则 = ′ ， = ″ ，当点 ″、 、 、
′在同一直线上时， △ 的周长最小，最小值为 ′ ″的长，根据点 ( ，4 ― )，可知点
在直线 = ― + 4上运动，据此解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
【详解】解：如图，作点 关于 轴的对称点 ′，关于直线 的对称点 ″，连接 ′ ″，交直线
于点 ，交 轴于点 ，
，
则 = ′ ， = ″ ，
∴△ 的周长 = + + = ″ + ′ + ，
∴ 当点 ″、 、 、 ′在同一直线上时， △ 的周长最小，
∴△ 周长的最小值为 ′ ″的长，
∵ 点 ( ，4 ― )，
∴ 点 在直线 = ― + 4上运动，
令直线 于 轴交于点 ，交 轴于 ，连接 A D ，
在 = ― + 4中，当 = 0时， = 4，当 = 0时， ― + 4 = 0，解得 = 4，
∴ (0，4)， (4，0)，
∴ = = 4，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ ∠ = 45°，
由轴对称的性质可得：∠ ″ = ∠ = 45°， = ″ ，
∴ ∠ ″ = 90°，
∵ (0，2)，
∴ ′(0， ― 2)，
∴ = 2， ′ = 2， = 2，
∴ = ″ = 2， ′ = 6，
∴ ′ ″ = ′ 2 + ″ 2 = 62 + 22 = 2 10，
故选：D．
3．如图， 为等边 △ 的高，M、N分别为线段 、 上的动点，且 = ，当BM CN
取得最小值时，∠ = ．
【答案】105°
【分析】解：如图，作 ⊥ ，使 BE AB ，连接 交 于点 F，连接 NE ,则
∠ = ∠ = 45°.可证∠ = ∠ ，从而得证 △ ≌ △ (AAS)，于是 = ，
+ = + ≥ .当点 N与点 F重合时，BM CN 取最小值．于是∠ = ∠
= ∠ + ∠ = 105°．
【详解】解：如图，作 ⊥ ，使 BE AB ，连接 交 于点 F，连接 NE ,
∵ △ 是等边三角形，
∴∠ = 60°， = .
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 45°，
∵∠ = ∠ = 90°，
∴ ∥ .
∴∠ = ∠ .
又∵ = , = ，
∴ △ ≌ △ (AAS).
∴ = .
∴ + = + ≥ .
当点 N与点 F重合时， + = ,取最小值，则BM CN 取最小值．
此时，∠ = ∠ = ∠ + ∠ = 60° +45° = 105°．
故答案为：105°
题型十一：新定义问题
1．当 m，n是正实数，且满足 + = 时，就称点 , 为“美好点”．已知点 (9,0)与
点 B的坐标满足 y x b，且点 B是“美好点”，则 △ 的面积为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了新定义运算，先根据点 A坐标确定一次函数的解析式为 = ― + 9，设
=
点 ( , ― + 9)，根据题意， = ― + 9，结合 m，n是正实数，且满足 m，n是正实数，得
+1 =
= 1
，得到 ― 1 = ― + 9,计算 (5,4)，根据 △ = 2 | |计算即可．
【详解】∵点 (9,0)与点 B的坐标满足 y x b，且点 B是“美好点”，
∴0 = ― 9 + ，
解得 = 9，
∴一次函数的解析式为 = ― + 9，
设点 ( , ― + 9)，
=
根据题意， = ― + 9，
∵m，n是正实数，且满足 m，n是正实数，∴ +1 = ，
=
∴ ― 1 = ― + 9,
解得 = 5，
∴ (5,4)，
= 1 | | = 1∴ △ × 9 × 4 = 182 2 ．
故答案为：18．
2. 已知 a，b，c分别是 Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于 x的形
a x b如 y＝ 的一次函数称为“勾股一次函数”．若点 P（﹣1， 2）在“勾股一次函数”
c c 2
9
的图象上，且 Rt△ABC的面积是2，则 c的值是_____．
【答案】6
【解析】
【分析】由点 P（﹣1， 2）在“勾股一次函数”的图象上将 P点坐标代入计算可得 a，b，c
2
1 9
之间的关系 2 ―2 + 2 = 22 ，再根据Rt ABC 的面积是2，可求解 ab＝9，再结合勾股定
理计算可求解．
【详解】解：∵点 P（﹣1， 2）在“勾股一次函数”的图象上，
2
∴ 2 = ―
2
+ ，
即 ― = 2 ，
2
∴( ― )2 = 1 22 ，
∴ 2 ― 2 + 2 = 1 22 ，
∵Rt ABC 9的面积是2，
1
∴ = 92 2，
∴ab＝9，
∴ 2 ―18 + 2 = 12
2，
∵ 2 + 2 = 2，
∴ 2 ― 18 = 1 22 ，
解得 c＝6（舍去负值），
故答案为：6．
3. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的
双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
（1）如图 1，三角形内角分别为80°，25°，75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标
出每个等腰三角形各角的度数．
（2）如图 2， △ 中， B 2 C ，线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ．求
证： 是 △ 的一条双腰分割线．
（3）如图 3，已知 △ 中，∠ = 64°， 是三角形 的双腰分割线，且 = ．①求∠
C的度数．②若 AB 3， = 5，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①32° 16；② 3
【解析】
【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另
一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由 是三角形 的双腰分割线，且 = ．得 = = ，∠ = ∠ = 64°，
1
从而求得∠ = ∠ = ∠ = 32°；②过点 作 ⊥ 于点 ，Rt △ 中， 2 = 2
2
― 2 = 32 ― 2，Rt △ 中， 2 = 52 ―(3 + )2，得32 ― 2 = 52 ― (3 + )2，解方程即
可．
【小问 1详解】
解：线段 是 △ 的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数如图：
【小问 2详解】
证明： ∵ 线段 的垂直平分线交 于点 ，
∴ = ，
∴△ 是等腰三角形，
C DAC ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 2∠ ，
∵ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴△ 是等腰三角形，
∴ 是 △ 的一条双腰分割线．
【小问 3详解】
① ∵ 是三角形 的双腰分割线，且 = ．
∴ = = ，
∴ ∠ = ∠ = 64°，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ = 1∠ = 32°
2 ；
②过点 作 ⊥ 于点 ，
∵ = = = 3，
BE DE ，
设 BE 为 ，
∵ Rt △ 中， 2 = 2 ― 2 = 32 ― 2，
Rt △ 中， 2 = 52 ― (3 + )2，
∴ 32 ― 2 = 52 ― (3 + )2，
解得， = 76，
∴ = 7 × 2 + 3 = 166 3 ．
4．点 P、点 ′和点 Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若 = ′ ，且∠ ′
= 90°，则称 ′为点 P关于点 Q的等垂点．
(1)已知点 Q的坐标为(4,0)，
①如下图所示，若点 P为原点，直接写出 P关于 Q的等垂点 ′的坐标________；
②如下图所示，P为 y轴上一点，且点 P关于点 Q的等垂点 ′恰好在一次函数 = 2 + 3的
图象上，求点 ′的坐标；
(2)如下图所示，若点 Q的坐标为(1, ― 2)，P为直线 = 2上一点，P关于点 Q的等垂点 ′位
于 y轴右侧，连接 ′， ′，请问OP QP 是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，
请说明理由．
【答案】(1)①(4,4)或(4, ― 4)② ′ ― 7 , ― 4 或 ′ 1 ,4 (2) 85
2 2
【分析】（1）①根据新定义，得到 ′ ⊥ 轴，且 ′ = 4，求解即可；②分点 在 轴正半轴
和在 轴负半轴上，两种情况进行求解即可；
（2）过点 作 ⊥ 直线 = 2，过点 ′作 ′ ⊥ ，证明 △ ≌ △ ′ ，得到点 ′在直线
= 5上运动，作点 关于直线 = 5的对称点 ′(9, ― 2)，得到 ′ + ′ = ′ + ′ ′ ≥ ′，
进而得到当 , ′, ′三点共线时， ′ + ′ 的值最小，为 ′的长，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵点 P为原点，点 Q的坐标为(4,0)，
∴ ′ = = 4, ′ ⊥ 轴，
∴ ′(4,4)或 ′(4, ― 4)；
故答案为：(4,4)或(4, ― 4)；
②当点 在 轴负半轴上时：过点 ′作 ′ ⊥ ，
则：∠ ′ = ∠ ′ = ∠ = 90°，
∴∠ ′ = ∠ = 90° ― ∠ ′，
又 = ′ ，
∴ △ ′ ≌ △ ，
∴ ′ = = 4，即：点 ′的纵坐标为4，
∵点 ′在直线 = 2 + 3上，当 = 4时， = 12，
∴ ′ 1 ,4 ；
2
当点 在 轴正半轴上时：过点 ′作 ′ ⊥ ，
同法可得： △ ′ ≌ △ ，
∴ ′ = = 4，即：点 ′的纵坐标为 ― 4，
当 = ―4时， = ― 72，
∴ ′ ― 7 , ― 4 ；
2
综上： ′ ― 7 , ― 4 或 ′ 1 ,4 ；
2 2
（2）如图，过点 作 ⊥ 直线 = 2，过点 ′作 ′ ⊥ ，
∵ (1, ― 2)，点 在直线 = 2上，
∴ AQ 4，
同（1）②法可得： △ ≌ △ ′ ，
∴ ′ = = 4，
∴点 ′的横坐标为5，即：点 ′在直线 = 5上运动，
作点 关于直线 = 5的对称点 ′(9, ― 2)，
∴ ′ + ′ = ′ + ′ ′ ≥ ′，
∴当 , ′, ′三点共线时， ′ + ′ 的值最小，为 ′的长，
∵ ′(9, ― 2)，
∴ ′ = 92 + 22 = 85．期末复习
题型一：全等
1.如 图，点 D是 上的一个动点，∠ = ∠ = 90°， = ， = = 2，过点
A作 ⊥ 交 的延长线于点 F．设 = ， = ，则 y与 x的关系式为______．
2. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16cm，BC＝10cm，点 D为 AB的中点．如果点 P在线段 BC
上以 2cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动，当以 B、
P、D为顶点的三角形与以 C、Q、P为顶点的三角形全等时，点 Q的速度可能为_____．
3. 综合与实践
（1）如图 1，在正方形 ABCD中，点 M、N分别在 AD、CD上，若∠MBN＝45°，则 MN，AM，CN
的数量关系为 ．
（2）如图 2，在四边形 ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点 M、N分别在 AD、CD
1
上，若∠MBN＝2∠ABC，试探索线段 MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证
明．
（3）如图 3，在四边形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点 M、N分别在 DA、CD的
1
延长线上，若∠MBN＝2∠ABC，试探究线段 MN、AM、CN的数量关系为 ．
4．已知Rt △ ， = ，∠ = 90°，点 D为直线 上的一动点（点 D不与 B、C重
合），以 为边作Rt △ （其中 = ，∠ =90°，A、D、E按逆时针排列），连接
CE．
(1)如图 1，当点 D在边 上时．
①请写出 和 之间存在数量关系和位置关系，并说明理由；
② 2 = + 的关系是否成立，并说明理由；
(2)如图 2，当点 D在边 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 、 、 之间存在的
数量关系是否成立？若不成立，请直接写出 、 、 之间存在的数量关系，不证明；
(3)如图 3，当点 D在边 的延长线上且其他条件不变时，补全图形（要求：尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹），并直接写出 、 、 之间存在的数量关系，不证明．
题型二：轴对称图形
1. 如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边 AB、AC上的点，且 AE＝CF，且 CE、BF交于
点 P，且 EG⊥BF，垂足为 G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若 PG＝1，求 EP的长度．
2. 如图在△ABC 中，AB、AC 边的垂直平分线相交于点 O，分别交 BC 边于点 M、N，连接
AM，AN．
（1）若△AMN 的周长为 6，求 BC 的长；
（2）若∠MON=30°，求∠MAN 的度数；
（3）若∠MON=45°，BM=3，BC=12，求 MN 的长度．
3． △ 的角平分线 与角平分线 交于点 F，连接 AF ，若∠ ＝25°， = ，则∠
为 度．
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点 P是 BC的中点，两边 PE、
PF分别交 AB、AC于点 E、F，连接 EF交 AP于点 G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②
AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形 AEPF的面积是△ABC
3
面积的4，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④
题型三：勾股定理
1. 满足下列条件的 △ ，不是直角三角形的是（ ）
A. 2 = 2 ― 2 B. : : = 5:12:13
C. ∠ = ∠ ― ∠ D. ∠ :∠ :∠ = 3:4:5
2. 直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，AD是∠BAC的角平分线，则BD=__________．
3. 如图 1、2（图 2为图 1的平面示意图），推开双门，双门间隙 CD的距离为 2寸，点 C和
点 D距离门槛 AB都为 1尺（1尺＝10寸），则 AB的长是 _____．
题型四：实数
1. 在2 , ― 2,0,0.45445444 中，无理数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 平面直角坐标系中，点（a2+1，2020）所在象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
3. 用四舍五入法得到的近似数为 3.59万，精确到 ______位 ．
5 1 5 1
4. 估计 与 0.5的大小关系是： ______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
2 2
5.（1）计算：( ― 3)2 ― 81 + 3 27；
（2）求3( ― 1)2 ― 75 = 0中 x的值．
6. 已知 x 2 2 x y 4 ，则 yx＝_____．
7. 如图，在数轴上点 表示的数为1，在点 的右侧作一个边长为1的正方形 BACD ，使对角
线的另一端落在数轴负半轴的点 处，则点 表示的数是 _________________．
题型五：平面直角坐标系
1. 一次函数 y kx b 的图象如图所示，则以 ， 为坐标的点( , )在第几象限内（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2. 若点 (3 ― 1,2 + )关于原点的对称点 ′在第四象限，则 的取值范围是
____________．
3. 如图，将等边 △ 放在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(0,4)，点 B在第一象限，将
等边 △ 绕点 O顺时针旋转75°得到 △ ′ ′，则点 ′的坐标是 _____．
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（7，0），B（7，24），点 D在线段 AB上，OD平分∠
AOB，则 AD＝_____．
5．点 P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组
的解（a为任意实数），则当 a变化时，点 P一定不会经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型六：一次函数
1. 如图，函数 = ―3 和 y kx b 的图象相交于点 ( ，4)，则关于 x 的不等式
kx b 3x 0的解集为______．
2.如图，已知直线 y＝mx 过点 A（﹣2，﹣4），过点 A 的直线 y＝nx+b 交 x 轴于点 B（﹣4，
0），则关于 x的不等式组 nx+b≤mx＜0的解集为（ ）
A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0
3. 如图，等边△OAB的边长为 2，以它的顶点 O为原点，OB所在的直线为 x轴，建立平面直
角坐标系.若直线 y=x+b与△OAB的边界总有两个公共点，则实数 b的范围是____.
4. 如图，点 A，B，C在一次函数 = ― 2 + 的图象上，它们的横坐标依次为 1，1，2，
分别过这些点作 x轴与 y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
2
A. 1 B. 3 C. 3(b 1) D. 3( ― 2)
1
5. 如图，直线 = ― + 22 与 x轴、y轴交于 A、B两点，在 y轴上有一点 C(0，4)，动点
M从 A点发以每秒 1个单位的速度沿 x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时
间 t是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2或 4 D. 2或 6
题型七：用一次函数解决问题
1. 甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行 1800米，先到终点的人
原地休息．已知甲先出发 3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 （米)与甲出发
后步行的时间 （分)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为 60米 / 分；②乙走完
全程用了 22.5分钟；③乙用 9分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有 270米．其中
正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 笔直的海岸线上依次有 A，B，C三个港口，甲船从 A港口出发，沿海岸线匀速驶向 C港
口，1小时后乙船从 B港口出发，沿海岸线匀速驶向 A港口，两船同时到达目的地，甲船的
速度是乙船的 1.25倍，甲、乙两船与 B港口的距离 y（km）与甲船行驶时间 x（h）之间的
函数关系如图所示给出下列说法：①A，B港口相距400km；②B，C港口相距300km；③甲船的速
度为 100km/h；④乙船出发 4h时，两船相距 220km，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 快车和慢车都从甲地驶向乙地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息 1小时
后加速行驶比慢车提前 0.5小时到达目的地，慢车没有休息整个行驶过程中保持匀速不
变．设慢车行驶的时间为 x小时，快车行驶的路程为 y1千米，慢车行驶的路程为 y2千米，
图中折线 OAEC表示 y1与 x之间的函数关系，线段 OD表示 y2与 x之间的函数关系，请解答
下列问题：
（1）甲、乙两地相距 千米，快车休息前的速度是 千米/时、慢车的速度是
千米/时；
（2）求图中线段 EC所表示的 y1与 x之间的函数表达式；
（3）线段 OD与线段 EC相交于点 F，直接写出点 F的坐标，并解释点 F的实际意义．
4. 某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液 300瓶和口罩 200包，
则共需 6000元；若购买洗手液 500瓶和口罩 300包，则共需 9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过 11500元，洗手液瓶数
和口罩的包数之和为 1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的 3倍．设购买洗手液 m瓶，
购买这两种物资的总费用为 W元，请写出 W（元）与 m（瓶）之间的函数关系式，并求出 W
的最小值．
5．爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢
天喜地迎新年．重庆某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进 5个灯笼
和 4副春联花费 185元，第二次购进 3个灯笼和 8幅春联花费 195．
(1)求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？
(2)由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过 5900元的资金购进灯笼和春联这两种商
品共 300件，其中春联的数量不多于灯笼的数量的 3倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若
每个灯笼的售价为 30元，每副春联的售价为 25元，在销售中灯笼有3%的损坏，春联有6%
的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三
次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
题型八：一次函数和几何
1. 如图，直线 l与 x轴、y轴分别交于点 (3，0)、点 (0，2)，以线段 为直角边在第一
象限内作等腰直角三角形 ，∠ = 90°，点 (0， )为 y轴上一个动点．
（1）请直接写出直线 l的表达式；
（2）求出 △ 的面积；
（3）当 △ 与 △ 面积相等时，求实数 a的值．
2. 如图 1，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(3,0)，点 B的坐标为(0,4)，点 C在 y轴上，
作直线 ．点 B关于直线 的对称点 ′刚好在 x轴上，连接 ′．
（1）写出点 ′的坐标，并求出直线 对应的函数表达式；
（2）点 D在线段 上，连接 、 ′、 ′，当 △ ′是等腰直角三角形时，求点 D坐标；
（3）如图 2，在（2）的条件下，点 P从点 B出发以每秒 1个单位长度的速度向原点 O运动，
到达点 O时停止运动，连接 ，过 D作 的垂线，交 x轴于点 Q，问点 P运动几秒时 △
是等腰三角形．
3
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线 AB为 y＝﹣4x＋b交 y轴于点 A（0，3），交 x轴于点
B，直线 x＝1交 AB于点 D，交 x轴于点 E，P是直线 x＝1上一动点，且在点 D的上方，设 P
（1，n）．
（1）求点 B的坐标及点 O到直线 AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含 n的代数式表示）；
7
（3）当 S△ABP＝2时，在第一象限找点 C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点 C的坐
标．
4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1＝ + 2的图象与 x轴，y轴分别交于点 A，B， 2
= ― 1 +
3 的图象与 x轴，y轴分别交于点 D，E，且两个函数图象相交于点 ( ，5)．
（1）填空：m＝______，b＝______；
（2）求 △ 的面积；
（3）在线段 上是否存在一点 M，使得 △ 的面积与四边形 的面积比为4：21？
若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点 P在线段 上，连接 ，若 △ 是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P
坐标．
5. 如图 1，在矩形 OACB中，点 A，B分别在 x轴、y轴正半轴上，点 C在第一象限，OA＝8，
OB＝6．
（1）请直接写出点 C的坐标；
（2）如图②，点 F在 BC上，连接 AF，把△ACF沿着 AF折叠，点 C刚好与线段 AB上一点
C′重合，求线段 CF的长度；
（3）如图 3，动点 P（x，y）在第一象限，且点 P 在直线 y＝2x﹣4 上，点 D 在线段 AC 上，
是否存在直角顶点为 P的等腰直角三角形 BDP，若存在，请求出直线 PD的的解析式；若不
存在，请说明理由．
6. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，与直线 OC：y
＝x交于点 C．
（1）若直线 AB解析式为 y＝﹣2x+12，求：
①求点 C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）在（1）的条件下，若 P是 x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时 P的
坐标．
（3）如图 2，作∠AOC 的平分线 OF，若 ⊥ ，垂足为 E，OA＝4，P 是线段 AC 上的动点，
过点 P作 OC，OA的垂线，垂足分别为 M，N，试问 PM+PN的值是否变化，若不变，求出 PM+PN
的值；若变化，请说明理由．
题型九：作图
1. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(-4，-1)，B(-5，-4)，
C(-1，-3).
（1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于 y轴对称；
（2）在 y轴上作一点 P，使得 PA+PC最短；
（3）将△ABC向右平移 m个单位，向上平移 n个单位，若点 A落在第二象限内，且点 C在
第四象限内，则 m的范围是 ，n的范围是 .
2．正方形网格中，小正方形的边长为 1，小格的顶点叫格点，小强按下列要求作图：①在正方
形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个
格点，使之与图（1）中的三角形的面积相等，你能帮小强做出这道题吗？
3．如图①，②，③都是4 × 4的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形
的边长均为 1．在图①，②中已画出线段 ，在图③中已画出点 A．按下列要求画图．
(1)在图①中，以格点为顶点， 为一边画一个等腰非直角三角形；
(2)在图②中，以格点为顶点， 为一边画一个等腰直角三角形；
(3)在图③中，以点 A为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，画一个面积最大的等腰三角
形．
4．图①、图②均是10 × 10的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的
边长均为 1，线段 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画
图．
(1) 的长为_______________．
(2)在图①中画一个以 为直角边的等腰直角三角形 ．
(3)在图②中画一个以 为斜边的等腰直角三角形 ABD．
题型十：最值问题
1. 如图，已知点 C（1，0），直线 y＝﹣x＋8与两坐标轴分别交于 A、B两点，D、E分别是
AB、OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____．
2．已知在平面直角坐标系中，点 的坐标为(0，2)，点 ( ，4 ― )与点 分别是直线 及
轴上的动点，则 △ 周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．2 10
3．如图， 为等边 △ 的高，M、N分别为线段 、 上的动点，且 = ，当BM CN
取得最小值时，∠ = ．
题型十一：新定义问题
1．当 m，n是正实数，且满足 + = 时，就称点 , 为“美好点”．已知点 (9,0)与
点 B的坐标满足 y x b，且点 B是“美好点”，则 △ 的面积为 ．
2. 已知 a，b，c分别是 Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于 x的形
a
如 y＝ x
b
的一次函数称为“勾股一次函数”．若点 P（﹣1， 2）在“勾股一次函数”
c c 2
9
的图象上，且 Rt△ABC的面积是2，则 c的值是_____．
3. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的
双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
（1）如图 1，三角形内角分别为80°，25°，75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标
出每个等腰三角形各角的度数．
（2）如图 2， △ 中， B 2 C ，线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ．求
证： 是 △ 的一条双腰分割线．
（3）如图 3，已知 △ 中，∠ = 64°， 是三角形 的双腰分割线，且 = ．①求∠
C的度数．②若 AB 3， = 5，求 的长．
4．点 P、点 ′和点 Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若 = ′ ，且∠ ′
= 90°，则称 ′为点 P关于点 Q的等垂点．
(1)已知点 Q的坐标为(4,0)，
①如下图所示，若点 P为原点，直接写出 P关于 Q的等垂点 ′的坐标________；
②如下图所示，P为 y轴上一点，且点 P关于点 Q的等垂点 ′恰好在一次函数 = 2 + 3的
图象上，求点 ′的坐标；
(2)如下图所示，若点 Q的坐标为(1, ― 2)，P为直线 = 2上一点，P关于点 Q的等垂点 ′位
于 y轴右侧，连接 ′， ′，请问OP QP 是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，
请说明理由．期末复习
题型一：全等
1. 如图，点D是上的一个动点，，，，过点A作交的延长线于点F．设，，则y与x的关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据证明，得到，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，进一步即得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即；
故答案为：．
2. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动，当以B、P、D为顶点的三角形与以C、Q、P为顶点的三角形全等时，点Q的速度可能为_____．
【答案】2或3.2厘米/秒．
【解析】
【分析】因为AB=AC，所以有∠B=∠C，故三角形BDP与三角形CQP中，B点和C点为对应点，DP与PQ对应，所以分成两种情况进行讨论：①BP=CQ，BD=CQ；②BP=CP，BD=CQ，设运动时间为t，然后建立方程解出即可
【详解】因为AB=AC，
所以有∠B=∠C，
故三角形BDP与三角形CQP中，B点和C点对应点，DP与PQ对应，
所以以B、P、D为顶点的三角形与以C、Q、P为顶点的三角形全等有两种情况
BP=CQ，BD=CQ时，则Q的运动速度与P的运动速度相等，为2cm/s
②BP=CP，BD=CQ时，设运动时间为t，
∵BC=10，
∴2t=10-2t，
解出t=
∵AB=16，D为AB中点
∴BD=8
∴CQ=8
8÷=
所以Q的运动速度可能是2cm/s或者cm/s
3. 综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析
【解析】
【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．
【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，
即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（2）MN=AM+CN；理由如下：
如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，
∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（3）MN=CN-AM，理由如下：
如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，
∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAM+∠BAD=180°，
∴∠BAM=∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CB M'，
∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，
∴∠MA M'=∠ABC，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N=CN-C M'，
∴MN=CN-AM．
故答案是：MN=CN-AM．
4．已知，，，点D为直线上的一动点（点D不与B、C重合），以为边作（其中，，A、D、E按逆时针排列），连接CE．
(1)如图1，当点D在边上时．
①请写出和之间存在数量关系和位置关系，并说明理由；
②的关系是否成立，并说明理由；
(2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若不成立，请直接写出之间存在的数量关系，不证明；
(3)如图3，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出之间存在的数量关系，不证明．
【答案】(1)①，，理由见解析；②成立，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，图见解析
【分析】（1）①根据，，，，证，推出，即可；
②由，可得，结合可得；
（2）求出，证明，推出即可；
（3）画出图形后，证明，推出即可．
【详解】（1）解：①，，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
②成立，理由如下：
由①得，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：不成立，存在数量关系为：；
理由：由（1）同理可得：，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
如图所示：
理由：由（1）同理可得
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
题型二：轴对称图形
1. 如图，△ABC是等边三角形，E、F分别是边AB、AC上的点，且AE＝CF，且CE、BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度．
【答案】（1）见解析；（2）PE＝2
【解析】
【分析】（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可得到∠ACE＝∠CBF；
（2）利用由（1）知∠ACE＝∠CBF，求出∠BPE＝60°，又EG⊥BF，即∠PGE＝90°，得到∠GEP＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EP 的长．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠BCF＝60°，AB＝AC，
在△ACE与△BCF中，
AC＝BC，∠A＝∠BCF，AE＝CF，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠ACE＝∠CBF；
（2）解：∵由（1）知，∠ACE＝∠CBF，
又∠ACE＋∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°，
∴∠BPE＝60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE＝90°，
∴∠GEP＝30°，
∴在Rt△PGE中，PE＝2PG，
∵PG＝1，
∴PE＝2．
2. 如图在△ABC 中，AB、AC 边垂直平分线相交于点 O，分别交 BC 边于点 M、N，连接 AM，AN．
（1）若△AMN 的周长为 6，求 BC 的长；
（2）若∠MON=30°，求∠MAN 的度数；
（3）若∠MON=45°，BM=3，BC=12，求 MN 的长度．
【答案】（1）6；（2）120°（3）5．
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得BM=AM，CN=AN，再根据三角形的周长即可求出BC；
（2）设射线OM交AB于E，射线ON交AC于F，根据四边形的内角和，即可求出∠EAF，再根据三角形的内角和，即可求出∠B＋∠C，然后根据等边对等角即可求出∠MAB＋∠NAC，从而求出∠MAN；
（3）设射线OM交AB于E，射线ON交AC于F，根据四边形的内角和，即可求出∠EAF，再根据三角形的内角和，即可求出∠B＋∠C，然后根据等边对等角即可求出∠MAB＋∠NAC，从而求出∠MAN，设MN=x，根据勾股定理列出方程求出x即可．
【详解】（1）∵AB、AC 边垂直平分线相交于点 O，分别交 BC 边于点 M、N，
∴BM=AM，CN=AN
∵△AMN 的周长为 6，
∴AM＋AN＋MN=6
∴BC=BM＋MN＋CN= AM＋MN＋AN =6；
（2）设射线OM交AB于E，射线ON交AC于F，
在四边形AEOF中，∠EAF=360°－∠AEO－∠AFO－∠MON=150°
∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=30°
∵BM=AM，CN=AN
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C
∴∠MAB＋∠NAC=30°
∴∠MAN=∠EAF－（∠MAB＋∠NAC）=120°；
（3）设射线OM交AB于E，射线ON交AC于F，
在四边形AEOF中，∠EAF=360°－∠AEO－∠AFO－∠MON=135°
∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=45°
∵BM=AM=3，CN=AN
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C
∴∠MAB＋∠NAC=45°
∴∠MAN=∠EAF－（∠MAB＋∠NAC）=90°
设MN=x，则AN =CN=BC－BM－MN=9－x
在Rt△AMN中，MN2=AM2＋AN2
即x2=32＋（9－x）2
解得：x=5
即MN=5
3．的角平分线与角平分线交于点F，连接，若，，则为 度．
【答案】40
【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，作于M，于N，于P，根据角平分线的性质与判定可证平分．利用证明，得出，再证明．根据角平分线的定义求出，进而求出．
【详解】解：如图，作于M，于N，于P，
∵的角平分线与角平分线交于点F，
∴，
∴，
∴平分．
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：40．
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，即可判断①；根据四边形内角和是360°可判断③，根据等腰直角三角形求出AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，求出∠FPC=∠EPA，根据ASA推出△APE≌△CPF，推出AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，再逐个判断②④⑤即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴∠B=∠C=×（180°-90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，故①④正确；
根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，
所以，EF随着点E、F的变化而变化，
只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故②错误；
在四边形AEPF中，∠BAC=90°，∠EPF=90°，
∴∠AFP+∠AEP=360°-（∠BAC+∠EPF）=180°，
即∠AFP和∠AEP互补，故③正确；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∵BP=CP，
∴S△APC=S△ABC，
∴四边形AEPF的面积=S△APE+S△APF
=S△CPF+S△APF
=S△APC
=S△ABC，故⑤错误，
故选D．
题型三：勾股定理
1. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：A、即，则是直角三角形，故该选项不符合题意；
B、，设，
∴，，
∴，则是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、，，
∴，
∴，则是直角三角形，故该选项不符合题意；
D、，，
最大角为，则不是直角三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
2. 直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，AD是∠BAC的角平分线，则BD=__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理先求出BC，作DE⊥AB， 根据角平分线的性质得到CD=DE，设BD=x，得到DE=6-x，求出BE=2，在Rt△BDE中利用勾股定理列出方程即可求解．
【详解】∵直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=
作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE，AE=AC=8
∴BE=2
设BD=x，得到DE=6-x，
在Rt△BDE中BD2=DE2+BE2
即x2=（6-x）2+22
解得x=．
故答案为：．
3. 如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 _____．
【答案】101寸
【解析】
【分析】取AB中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到答案．
【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝OA﹣OE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝505，
∴AB＝2r＝101（寸），
故答案为：101寸．
题型四：实数
1. 在中，无理数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：无理数有，共2个，
故选：C
2. 平面直角坐标系中，点（a2+1，2020）所在象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据点的横纵坐标的正负判断即可．
【详解】解：因为a2+1≥1，
所以点（a2+1，2020）所在象限是第一象限．
故选：A．
3. 用四舍五入法得到近似数为3.59万，精确到 ______位 ．
【答案】百
【解析】
【分析】3.59万=35900，9在百位上，即得答案．
【详解】用四舍五入法得到的近似数为3.59万，即35900，精确到百位；
故答案为：百．
4. 估计与0.5的大小关系是：______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【答案】＞
【解析】
【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
5.（1）计算：；
（2）求中x的值．
【答案】（1）3；（2）或
【解析】
【分析】（1）先求算术平方根和立方根，再计算即可；
（2）利用开平方求解即可．
【详解】解：（1），
=，
=3；
（2），
，
，
或．
6. 已知，则yx＝_____．
【答案】16
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出x、y，根据有理数的乘方法则求出yx即可．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，2-x≥0，
解得，x=2，
则y=-4，
∴yx=（-4）2=16，
故答案为：16．
7. 如图，在数轴上点表示的数为，在点的右侧作一个边长为的正方形，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处，则点表示的数是 _________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，正方形的性质，先根据勾股定理计算的长，可得，再确定M点表示的数．解题的关键是掌握数轴上的点表示数的特点．
【详解】解：∵在数轴上点表示的数为，在点的右侧作一个边长为的正方形，
∴，，
根据题意可得：，
∴，
∵点在原点的左侧，
∴点表示的数是，
故答案为：．
题型五：平面直角坐标系
1. 一次函数的图象如图所示，则以，为坐标的点在第几象限内（ ）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象的位置确定出k与b的正负，即可作出判断．
【详解】解：根据数轴上直线的位置得：，，
则以k、b为坐标的点在第三象限内．
故选：C．
2. 若点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意易得，然后求解不等式组即可．
【详解】解：∵点关于原点的对称点在第四象限，则点P在第二象限，
∴，解得：；
故答案为．
3. 如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴于点E，根据等边三角形的性质，得到，，进而得到，再利用旋转的性质，得到，，从而得到，证明是等腰指直角三角形，最后利用勾股定理求出，即可得到点的坐标．
【详解】解：过点作轴于点E，
点A的坐标为，
，
是等边三角形，
，，
，
绕点O顺时针旋转得到，
，，
，
是等腰指直角三角形，
，
由勾股定理得，，
，
点在第四象限，
点的坐标是，
故答案为：．
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（7，0），B（7，24），点D在线段AB上，OD平分∠AOB，则AD＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】作DH⊥OB于H，Rt△ODH≌Rt△ODA，推出OH=OA=7，设DH=AD=x，在Rt△OAB中，求出OB=25，推出BH=OB-OH=25-7=18，在Rt△BHD中，根据BH2+DH2=BD2，推出182+x2=（24-x）2，解方程即可解决问题．
【详解】解：如图，作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DH⊥OB，DA⊥OA，
∴DH=DA，
在Rt△ODH和Rt△ODA中，
，
Rt△ODH≌Rt△ODA，
∴OH=OA=7，设DH=AD=x，
在Rt△OAB中，OB==25，
∴BH=OB-OH=25-7=18，
在Rt△BHD中，∵BH2+DH2=BD2，
∴182+x2=（24-x）2，
∴x=，
即AD=，
故答案：．
5．点P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：C
题型六：一次函数
1. 如图，函数和的图象相交于点，则关于 x 的不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】先把点A的坐标代入中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解．
【详解】解：由题意得：
把点A代入可得，
解得：，
∴点A的坐标为，
由图象可得当关于x的不等式时，则需满足在点A的右侧，即的图象在的图象下方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
2.如图，已知直线y＝mx过点A（﹣2，﹣4），过点A的直线y＝nx+b交x轴于点B（﹣4，0），则关于x的不等式组nx+b≤mx＜0的解集为（ ）
A．x≤﹣2 B．﹣4＜x≤﹣2 C．x≥﹣2 D．﹣2≤x＜0
答案：D
3. 如图，等边△OAB的边长为2，以它的顶点O为原点，OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.若直线y=x+b与△OAB的边界总有两个公共点，则实数b的范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，可知点A坐标为（1，），点B坐标为（2，0），由直线与△OAB的边界总有两个公共点，有截距b在线段CD之间，然后分别求出点C坐标和点D坐标，即可得到答案.
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴，
.∵△ABC是等边三角形，且边长为2，
∴OB=OA=2，OE=1，
∴，
∴点A为（1，），点B为（2，0）；
当直线经过点A（1，）时，与△ABC边界只有一个交点，
则，解得：，
∴点D的坐标为（）；
当直线经过点B（2，0）时，与△ABC边界只有一个交点，
则，解得：，
∴点C的坐标为（0，）；
∴直线与△OAB的边界总有两个公共点时，截距b在线段CD之间，
∴实数b的范围是：；
故答案为：.
4. 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A. 1 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为1，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．
【详解】解：设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为1（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和．
故选：B．
5. 如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时间t是（ ）
A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或6
【答案】D
【解析】
【分析】先求解的坐标，再利用全等三角形的性质求解 再结合轴对称的性质可得答案.
【详解】解： 直线与x轴、y轴交于A、B两点，
令 则
令，则
而
当时， 而
如图，当关于轴对称时，
此时
此时
故选：D
题型七：用一次函数解决问题
1. 甲、乙两人在笔直的人行道上同起点、同终点、同方向匀速步行1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离（米与甲出发后步行的时间（分之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米分；②乙走完全程用了22.5分钟；③乙用9分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有270米．其中正确的结论有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和函数图像中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，
甲步行的速度为：米分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：（分钟），故②正确，
乙追上甲用的时间为：（分钟），故③正确，
乙到达终点时，甲离终点距离是：米，故④正确，
故选：．
2. 笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地，甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示给出下列说法：①A，B港口相距400km；②B，C港口相距300km；③甲船的速度为100km/h；④乙船出发4h时，两船相距220km，其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可知A、B港口相距400km，从而可以判断①；根据甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，可以计算出B、C港口间的距离，从而可以判断②；根据图象可知甲船4个小时行驶了400km，可以求得甲船的速度，从而可以判断③；根据题意和图象可以计算出乙出发4h时两船相距的距离，从而可以判断④．
【详解】解：由题意和图象可知， A、B港口相距400km，故①正确；
∵甲船的速度是乙船的1.25倍，
∴乙船的速度为：100÷1.25=80（km/h），
∵乙船速度为80km/h，
∴400÷80=（400+）÷100-1，
解得：=200km， 故②错误；
∵甲船4个小时行驶了400km，
∴甲船的速度为：400÷4=100（km/h）， 故③正确；
乙出发4h时两船相距的距离是：4×80+（4+1-4）×100=420（km）， 故④错误．
故选B
3. 快车和慢车都从甲地驶向乙地，两车同时出发行在同一条公路上，途中快车休息1小时后加速行驶比慢车提前0.5小时到达目的地，慢车没有休息整个行驶过程中保持匀速不变．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米，图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系，请解答下列问题：
（1）甲、乙两地相距 千米，快车休息前的速度是 千米/时、慢车的速度是 千米/时；
（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
【答案】（1）300,75,60；（2）y1＝100x﹣150（3≤x≤4.5）；（3）点F的坐标为（3.75，225），点F代表的实际意义是在3.75小时时，快车与慢车行驶的路程相等
【解析】
【分析】（1）根据图象可直接得出甲、乙两地的距离；根据图象可得A、B两点坐标，然后利用速度=路程÷时间求解即可；
（2）根据快车休息1小时可得点E坐标，根据快车比慢车提前0.5小时到达目的地可得点C坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）易得y2与x之间的函数关系式，然后只要求直线EC与直线OD的交点即得点F坐标，为此只要解由直线EC与直线OD的的解析式组成的方程组即可，进而可得点F的实际意义．
【详解】解：（1）甲、乙两地相距300千米，快车休息前的的速度为：150÷2＝75千米/小时，慢车的速度为：150÷2.5＝60千米/小时．
故答案为：300，75，60；
（2）由题意可得，
点E的横坐标为：2+1＝3，则点E的坐标为（3，150），
快车从点E到点C用的时间为：300÷60﹣0.5＝4.5（小时），则点C的坐标为（4.5，300），
设线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝kx+b，把E、C两点代入，得：，解得：，
即线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝100x﹣150（3≤x≤4.5）；
（3）y2与x之间的函数关系式为：，设点F的横坐标为a，则60a＝100a﹣150，解得：a＝3.75，则60a＝225，
即点F的坐标为（3.75，225），点F代表的实际意义是在3.75小时时，快车与慢车行驶的路程相等．
4. 某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元．
（1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？
（2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【答案】（1）每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；（2）W＝﹣5m+15000，W的最小值是11250．
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元；
（2）根据题意可以写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值．
【详解】解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为a元、b元，
，
解得，
答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元；
（2）由题意可得，
W＝10m+15（1000﹣m）＝﹣5m+15000，
∴W随m的增大而减小，
∵购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍，
∴，
解得700≤m≤750，
∴当m＝750时，W取得最小值，此时W＝11250，
答：W（元）与m（瓶）之间的函数关系式是W＝﹣5m+15000，W的最小值是11250．
5．爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．重庆某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品．已知第一次购进5个灯笼和4副春联花费185元，第二次购进3个灯笼和8幅春联花费195．
(1)求每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？
(2)由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过5900元的资金购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不多于灯笼的数量的3倍，且灯笼和春联的进价保持不变．若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有的损坏，春联有的损坏．若第三次购进的灯笼和春联全部售出（损坏的灯笼和春联不能售出），请问当第三次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元；
(2)第三次购进灯笼75个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是2220元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次列不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程求解是解题关键．
（1）设每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设第三次购进灯笼个，则第三次购进春联幅，根据题意列不等式组，求出的取值范围，再设第三次销售获得的利润为，根据题意得出，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元，
由题意得：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
答：每个灯笼的进价是元，每副春联的进价是元；
（2）解：设第三次购进灯笼个，则第三次购进春联幅，
由题意得：，
解得：，
设第三次销售获得的利润为，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：第三次购进灯笼个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是元
题型八：一次函数和几何
1. 如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出的面积；
（3）当与面积相等时，求实数a的值．
【答案】（1）直线l的表达式为：；
（2）的面积为
（3）或．
【解析】
【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：，即可求解；
（2）利用三角形面积公式即可求解；
（3）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
解：设直线所在的表达式为：，
则，解得：，
故直线l的表达式为：；
【小问2详解】
解：在中，
由勾股定理得：，
∵为等腰直角三角形，
∴；
【小问3详解】
解：①当P在y轴正半轴时，，如图1所示：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②）①当P在y轴负半轴时，如图2所示：
，
∵，
∴，
即有：，
∴，
∵P在y轴负半轴，
∴．
综上：或．
2. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，作直线．点B关于直线的对称点刚好在x轴上，连接．
（1）写出点的坐标，并求出直线对应的函数表达式；
（2）点D在线段上，连接，当是等腰直角三角形时，求点D坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接，过D作的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时是等腰三角形．
【答案】（1）； （2）
（3）点P运动1或或秒时，是等腰三角形
【解析】
【分析】（1）由题意求出，根据与关于直线对称，求出坐标，设点，求出，设直线的解析式为，把A，C代入可得表达式；
（2）由已知可得是等腰直角三角形，过点作轴，轴，证明 ，得出，设点代入中，即可求出点D坐标；
（3）过点D作轴，轴，由（2）可得，证明，得到，分①当时，②当时，③当时，三种情况分别进行讨论．
【小问1详解】
解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵B与关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵垂直平分，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
过点D作轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点，
代入中，得：
，解得：，
∴；
【小问3详解】
解：过点D作轴，轴，
同（2）可得，
∵，
∴，
∴，
当时，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴点P运动时间为1秒；
②当时，
∵、，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的运动时间为秒；
③当时，
设，
则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P的运动时间为秒；
综上所述：点P的运动时间为1秒或秒或秒．
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x＋b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．
（1）求点B的坐标及点O到直线AB的距离；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．
【答案】（1）B（4，0），
（2）
（3）（5，7）或（8，3）或（，）
【解析】
【分析】（1）求出直线AB的解析式，可求点B坐标，由面积法可求解；
（2）求出点D坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）先计算当S△ABP=时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标．
【小问1详解】
解：∵直线AB为y=x+b交y轴于点A（0，3），
∴b=3，AO=3，
∴直线AB解析式为：y=x+3，
令y=0，则0=x+3，x=4，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∴AB==5，
∴S△AOB=×OA×OB=×AB×点O到直线AB的距离，
∴点O到直线AB距离==；
【小问2详解】
∵点D在直线AB上，
∴当x=1时，y=，即点D（1，），
∴PD=n-，
∵OB=4，
∴S△ABP＝＝；
【小问3详解】
当S△ABP=时，，解得n=4，
∴点P（1，4），
∵E（1，0），
∴PE=4，BE=3，
第1种情况，如图，当∠CPB=90°，BP=PC时，过点C作CN⊥直线x=1于点N．
∵∠CPB=90°，
∴∠CPN+∠BPE=90°，又∠CPN+∠PCN=90°，
∴∠BPE=∠PCN，
又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，
∴△CNP≌△PEB（AAS），
∴PN=EB=3，PE=CN=4，
∴NE=NP+PE=3+4=7，
∴C（5，7）；
第2种情况，如图，当∠PBC=90°，BP=BC时，过点C作CF⊥x轴于点F．
同理可证：△CBF≌△BPE（AAS），
∴CF=BE=3，BF=PE=4，
∴OF=OB+BF=4+4=8，
∴C（8，3）；
第3种情况，如图3，当∠PCB=90°，CP=CB时，
过点C作CH⊥BE，垂足为H，过点P作PG⊥CH，垂足为G，
同理可证：△PCG≌△CBH（AAS），
∴CG=BH，PG=CH，
∵PE=4，BE=3，设CG=BH=x，PG=CH=y，
则PE=GH=x+y=4，BE=PG-BH=y-x=3，
解得：x=，y=，
∴C（，），
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（5，7）或（3，8）或（，）．
4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．
（1）填空：m＝______，b＝______；
（2）求的面积；
（3）在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．
【答案】（1）3，6 （2）的面积为50
（3）存在，点M的坐标为
（4）所有符合条件的点P坐标为或
【解析】
【分析】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出；
（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积；
（3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标；
（4）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵是一次函数与的图象的交点，
∴，解得，
∴，解得，
故答案为：3，6；
【小问2详解】
解：一次函数中，当时，；当时，，
∴，
一次函数中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为50；
【小问3详解】
解：如图：
在线段上存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为，
∵的面积与四边形的面积比为，
∴，
∴，即，
∴，
∵点M在线段上，
∴点M的坐标为；
【小问4详解】
解：点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或，
当时，，
设，
，
，
，，
，
解得，舍去，
，
∴点P坐标为；
当时，，
设点，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴点P坐标为；
综上所述，所有符合条件的点P坐标为或．
5. 如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．
（1）请直接写出点C的坐标；
（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；
（3）如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（8，6）
（2）CF＝3 （3）存在，y＝-3x+26
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质和坐标与图形性质可求解；
（2）由折叠性质得，，，利用勾股定理求解、即可；
（3）分两种情况：点P在BC上方和点P在BC下方两种情况，利用全等三角形的判定与性质求得PF=BE，EP=DF即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形OACB是矩形，OA＝8，OB＝6，
∴AC=OB=6，BC=OA=8，∠OAC=90°，
∴点C坐标为（8，6）；
【小问2详解】
解：由折叠性质得：，，，
∵OA＝8，OB＝6，∠AOB=90°，
∴AB==10，则=10-6=4，
在Rt△中，BF=8-CF，由勾股定理得，
解得：CF=3；
【小问3详解】
解：存在，设P（a，2a－4），
当点P在BC上方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交DC延长线于F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
∵∠BPE+∠EBP=90°，∠BPE+∠DPF=90°，
∴∠EBP=∠DPF，又BP=PD，
∴△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=PF=2a-4-6=2a-10，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=3a-10=8，解得：a=6，
∴P（6，8），D（8，2），
设直线PD的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线PD的解析式为y=－3x+26；
当点P在BC下方时，如图，过点P作EFBC交y轴于E，交AC于F，
则∠BEP=∠PFD=90°，EF=BC=8，
同理可得△BEP≌△PFD（AAS），
∴BE=6-(2a-4)=10-2a，DF=PE=a，
∴EF=PE+PF=10-a=8，解得：a=2，
∴P（2，0），这与点P在第一象限不符，故舍去，
综上，直线PD的解析式为y=-3x+26．
6. 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
（3）如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）①（4，4）；②12
（2）（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）
（3）不变，
【解析】
【分析】（1）①当 2x＋12＝x时，解方程即可；
②当y＝0时，则 2x＋12＝0，得出点A的坐标，即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出OC的长，再分OC＝OP，CO＝CP，PO＝PC三种情形，进而得出答案；
（3）首先利用ASA证明△AOE≌△COE，得OA＝OC＝4，再利用面积法可得PN＋PM＝AH，再利用勾股定理求出AH的长即可．
【小问1详解】
解：①由题意得 2x＋12＝x，
解得x＝4，
∴y＝4，
∴点C（4，4）；
②当y＝0时， 2x＋12＝0，
∴x＝6，
∴A（6，0），
∴OA＝6，
∴△OAC的面积为；
【小问2详解】
解：∵C（4，4），
∴，
当OC＝OP＝ 时，
点P（，0）或（，0），
当CO＝CP时，点P（8，0），
当PO＝PC时，点P（4，0），
综上：点P（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）；
【小问3详解】
解：PM＋PN的值不变，连接OP，作AH⊥OC于H，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∵OF⊥AB，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（ASA），
∴OA＝OC＝4，
∵，
∴OC×AH＝OC×PN＋OC×PM，
∴PN＋PM＝AH，
∵直线OC的解析式为y＝x，
∴∠AOC＝45°，
∴，
∴．
∴PM＋PN的值不变，为．
题型九：作图
1. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4，-1)，B(-5，-4)，C(-1，-3).
（1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于y轴对称；
（2）在y轴上作一点P，使得PA+PC最短；
（3）将△ABC向右平移m个单位，向上平移n个单位，若点A落在第二象限内，且点C在第四象限内，则m的范围是 ，n的范围是 .
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3），.
【解析】
【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；
（2）由（1）点C'是点C关于y轴的对称点，连接A C'，与y轴相交于点P，点P为所求；
（3）根据题意，由点A为(4，1)，点C为(1，3)，结合平移的规则，有点A平移后的坐标为（）；点C平移后的坐标为（）； 然后联合成不等式组，即可得到m、n的取值范围.
【详解】解：（1）如图所示；
（2）连接A C'，与y轴相交于点P，点P为所求；
（3）根据题意，
∵点A为(4，1)，点C为(1，3)，
∴点A平移后的坐标为：（）；
∴点C平移后的坐标为：（）；
∵点A落在第二象限内，且点C在第四象限内，
∴，，
解得：，；
故答案为：；.
2．正方形网格中，小正方形的边长为1，小格的顶点叫格点，小强按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之与图（1）中的三角形的面积相等，你能帮小强做出这道题吗？
【答案】见解析
【分析】本题考查格点三角形的作图，做此类题要熟悉勾股定理，三角形的基本性质，注意题干条件“①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，且任意两点不在同一条实线上，②构成的三角形与图（1）中的三角形的面积相等”即可解题
【详解】解：小正方形的边长为1，由图（1）知，，，
．
由题干条件，可画图如下：
3．如图①，②，③都是的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，②中已画出线段，在图③中已画出点A．按下列要求画图．
(1)在图①中，以格点为顶点，为一边画一个等腰非直角三角形；
(2)在图②中，以格点为顶点，为一边画一个等腰直角三角形；
(3)在图③中，以点A为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，画一个面积最大的等腰三角形．
【答案】(1)图见解析；(2)图见解析；(3)图见解析．
【分析】（1）本题主要考查网格点等腰三角形的作图问题，根据等腰三角形的定义可以画出与线段等长的线段，注意线段两端点必须在网格顶点处．
（2）本题主要考查利用全等思想构造等腰直角三角形，一线三直角模型是最直接的想法，直接构造两个直角三角形即可，并让这两个三角形全等，即可构画出一个等腰直角三角形．
（3）本题主要即考查等腰三角形，有考查做出面积最大的三角形，首先先满足等腰三角形的条件，那么就要分析先以A为顶角的等腰三角形，
再分析以A为底角的等腰三角形，直观发现都能做出等腰三角形，但是A为顶角的三角形以面积并不是最大的，最终选择以A底角画出等腰三角形即可．
【详解】（1）如图①，只要在网格顶点中找到使线段即可，答案不唯一．
（2）如图②，可以过点B作交格点或过点A作，再由全等检验边相等，当然也可以先满足边相等，在看是否满足直角．
（3）如图③，多种情况讨论：分别以A为顶角和以A为底角顶点讨论；
分析先以A为顶角的等腰三角形，再分析以A为底角的等腰三角形，直观发现都能做出等腰三角形，但是A为顶角的三角形以面积并不是最大的，见图④，最终选择以A底角画出等腰三角形面积最大，通过全等验证．
4．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)的长为_______________．
(2)在图①中画一个以为直角边的等腰直角三角形．
(3)在图②中画一个以为斜边的等腰直角三角形．
【答案】(1)；
(2)作图见解析图；
(3)作图见解析图．
【分析】（）根据勾股定理解题；
（）根据等腰直角三角形的性质解题；
（）根据等腰直角三角形的性质解题；
本题考查网格与勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）由网格可知：，
故答案为：；
（2）
如图，，，，
则，，
∴是等腰直角三角形，
∴即为所求；
（3）
如图，，，，
则，，
∴是等腰直角三角形，
∴即为所求；
题型十：最值问题
1. 如图，已知点C（1，0），直线y＝﹣x＋8与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，则△CDE周长的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″（8，7），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．
【详解】解：如图，点C关于OA的对称点C′（-1，0），点C关于直线AB的对称点C″，
∵直线AB的解析式为y=-x+8，
设直线CC″的解析式为y=x+b，将C（1，0）代入，
得：b=-1，
∴直线CC″的解析式为y=x-1，
由，解得：，
∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（，），
∵K是CC″中点，
∴可得C″（8，7）．
连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，
△DEC周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″==，
故答案为：．
2．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点分别是直线及轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点，则，，当点、、、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长，根据点，可知点在直线上运动，据此解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点，
，
则，，
的周长，
当点、、、在同一直线上时，的周长最小，
周长的最小值为的长，
点，
点在直线上运动，
令直线于轴交于点，交轴于，连接，
在中，当时，，当时，，解得，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
由轴对称的性质可得：，，
，
，
，
，，，
，，
，
故选：D．
3．如图，为等边的高，M、N分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ．
【答案】105°
【分析】解：如图，作，使，连接交于点F，连接,则.可证，从而得证，于是，.当点N与点F重合时，取最小值．于是．
【详解】解：如图，作，使，连接交于点F，连接,
∵是等边三角形，
∴，.
∴，
∴，
∵，
∴.
∴.
又∵，
∴.
∴.
∴.
当点N与点F重合时，,取最小值，则取最小值．
此时，．
故答案为：
题型十一：新定义问题
1．当m，n是正实数，且满足时，就称点为“美好点”．已知点与点B的坐标满足，且点B是“美好点”，则的面积为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了新定义运算，先根据点A坐标确定一次函数的解析式为，设点，根据题意，，结合m，n是正实数，且满足m，n是正实数，得，得到,计算，根据计算即可．
【详解】∵点与点B的坐标满足，且点B是“美好点”，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为，
设点，
根据题意，，
∵m，n是正实数，且满足m，n是正实数，∴，
∴,
解得，
∴，
∴．
故答案为：18．
2. 已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是_____．
【答案】6
【解析】
【分析】由点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上将P点坐标代入计算可得a，b，c之间的关系，再根据的面积是，可求解ab＝9，再结合勾股定理计算可求解．
【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，
∴，
即，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴ab＝9，
∴，
∵，
∴，
解得c＝6（舍去负值），
故答案为：6．
3. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
（1）如图1，三角形内角分别为，，，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条双腰分割线．
（3）如图3，已知中，，是三角形的双腰分割线，且．①求∠C的度数．②若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）从 三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
（3）①由是三角形的双腰分割线，且．得，，从而求得；②过点作于点，中，，中，，得，解方程即可．
【小问1详解】
解：线段是的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数如图：
【小问2详解】
证明：线段的垂直平分线交于点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条双腰分割线．
【小问3详解】
①是三角形的双腰分割线，且．
，
，
，
；
②过点作于点，
，
，
设为，
中，，
中，，
，
解得，，
．
4．点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点．
(1)已知点Q的坐标为，
①如下图所示，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标________；
②如下图所示，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标；
(2)如下图所示，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由．
【答案】(1)①或②或(2)
【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可；
（2）过点作直线，过点作，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，为的长，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵点P为原点，点Q的坐标为，
∴轴，
∴或；
故答案为：或；
②当点在轴负半轴上时：过点作，
则：，
∴，
又，
∴，
∴，即：点的纵坐标为，
∵点在直线上，当时，，
∴；
当点在轴正半轴上时：过点作，
同法可得：，
∴，即：点的纵坐标为，
当时，，
∴；
综上：或；
（2）如图，过点作直线，过点作，
∵，点在直线上，
∴，
同（1）②法可得：，
∴，
∴点的横坐标为，即：点在直线上运动，
作点关于直线的对称点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
∵，
∴．
